장음표시 사용
301쪽
nb O. μ' sin. ψvbi breuitatis gratia oco coeffcientis constantis scribatur C et cum X indole ornatalae Propositae semper sit A n. tias sormulas ita succinctius Xhibere licet:
1in xl sin. p quae ergo formulae, 'UiCunque numeri Pro accipibantur, semper a Iogarillimis et arcubus circularibus Pendere sunt censendae.
q. s. Quodsi binae formulae cos in o et
sin. -ρ- φ) euoluantur ambae dormulam integrales inuentae commode in nam Contrahi Poterunt, quae hanc habebit sormam
302쪽
vhi liticrae α β γ δ Pro Iubitu accipi possunt quamobrem si ad fractiones tollendas statuamus ii nou, ut sit' et ad sequens eiducimur theorema notatu ibgnissimum. Theorema. Si littera m et es denotent numeros integro quos cunque integrati huiuS formulae:
sin ii, semper ad logarithm03 et arcu circuIare reduci potest, ubcunque etiam valore litteris α β γ δ tribuantur. f. 16. Quam ardua hiat Us Theorematis demonstratio sit, clarius intelligemus, si hanc sormulam ab angulis ad quantitates ordinarias revocemias. Ponamias igitur tang. erit ' deinde si ICV. r. uncias Potest tum binomii hoc modo designemias, ut sit 1 Hae) )X-Hu)ae' - - )ae -- etc. sinus ot cosiniis rangulorum multiplorum ipsius , sequenti modo sero XPrimentiar:
Ponamus Utem porro reUitatis ergo
303쪽
Vbi omnia quidem sunt rationalia, praeter formulam
statim atque n. binarium superat, tantopere sit irrationalis, ut nulla plane via pateat irrationalitatem tollendi, si tantum fuerit a in alto minUS, 1 CXPonen H magis in Crescat, ullo modo reductionem ad rationalitatem sperare licebit. Interim tamen sequentem demonstrationem mihi eruere Cou-
tigit. Demonstratio superioris Theorematis.
f. r. Ante omnia hic in subsidium vocari conum nil ormulas illas imaginarias, qui biis iam saCPius cum egregio successu sum usus, quibus Ono a cos.
304쪽
f. 8. Quo substitutio horUm alorum magis sublevetur obseruasse juvabit, Coessiclentes constantes nihil ad integrabilitatem conserres ideoqU Ve omitti, vel sub alia forma reserri posse. man ob rem statuemus
His igitur valoribus substitutis formula nostra hanc induet
305쪽
Is I. 19 Haec iam formula ultro se scindit in duas partes, quas ita seorsim repraesentemUs:
e nunc non amplius difficile erit, utramqUe harum formularum seorsim ad rationalitatem redUCere. In priore enim tantum opus est statuere Ῥη' - '; tum enim erit
cuius ergo integrale per Iogarithmo et arcus circulares e hibere licet. I. O. Quod vero ad alteram formulam attinet reductio etiam se facile offeret, si ipsa formula hoc nodo I Praesentetur
306쪽
stitutis ista sormula euadet quae ergo Pariter est rationalis. l. r. Hoc igitur modo veritas nostri theorematis satis firmiter est demonstrata, atque iste Casta ita si comparatus, ut tota formula ope nius substitutionis nullo modorationalis reddi queat, quae Circomstantia o Bgis est notatu digna, quod Vulgo statui solet, omnes formulas disserentiales, quantiamuis fuerint irrationales, si earum integratia per togarithmos et arCus cirCUlares CXhiberi Possiant, eas semper ope Certae substitutionis ad rationalitatem perduci posse. Nunc igitur videmus hoc effatum ita restringi debere, Ut tantum ad singulas partes totius ornatalae propositae Xtendatiar, Uandoquidem steri Potest, ut quaelibet pars peculiarem substitutionem postulet. I. a. Quod si an demonstrationem attentios Perpendamus DCile videre licebit, eam ad ornatalas multo latius patentes CXtendi posse. Apparebit enim sequentem sermulam multo generaliorem semper ad rational1tatem se duci posse, id quod in sequente theoremate claritis XPIL
307쪽
atque statim patet posteriorem artem alionalem reddi poe
hest unctio rationalis ipsius ae , facta a substitutione proedibit certe functio rationalis ipsius ', sicque ars Posterior accipiet an formam: sar' ' λδ r. Quo prior pars ad rationalitatem aeuocetur, It
308쪽
stituatur, manifesto dabit functionem uationalem ipsius u ;
sormula etiam est rationalis. Quin etiam in angulis Theorema multo generalius Proponi Potest, Uod ita se abebit: Theorema generale. f. et . Si itterae P et Q denotent funalones qua cunque rationale binarum formularum in anae et V 2ntes, sequens formulo integrali semper Per Iogarithmo et reuocirculare eaeρediri poterit:
sin nis cuius demonstratio simili modo succedet ut supra, tam pariter ad binas partes percienietUr, quarUm triamque Certa substitutione rationalem reddere licebit. . s. Pluribus ortasse displicebit, quod resolutio postremae sormulae per substitutiones imaginarias CragatUr, Cum tamen hic nobis sit propositum imaginaria a realibus separare; plurimum igitur optandum esset ut BO negoti-
309쪽
um sine imaginariis absolui posset; verum equidem lateri cogor, me neutiquam PerspiCere, quomodo hoc praestari queat. Ceterum quia reductio maginariorum ad realia iam salis est XCII a tale remediUm non adeo desideram dum videtur. Quin potius hi notius se prodit usus magi, nariorum in ipsa resolutione formularum integralium, dum eiusmodi formulae integrabiles Xhiberi possunt, quarum integralia sine auXilio Imaginariorum eruere non Iicet.