장음표시 사용
131쪽
xI 6 De Infinitorum syralium apud ipsum esset, nobis accommodare. Nec euanuit spes nostra . Ille etenim Excellentissimus vir summa, qua pollet humanitate , vota nostra expleuit, librumque ab ipso mutuo recepimus. Quo Vix inspecto, statim occurrit nobis tractatus de sectionibus conicis, &c protinusque obseruauimus in ipsi dedicatione asserri validissimum testimonium proii diuisibilibus. Ita namque ait. I Opus ipsum quod uti Lme s iidebitis me stat;m ab initio siuasieris istia um indiuisib m, quasilum a Geometris paseim receptam tam buse,qsam tractatui sequenti qui buic gemellus est substernere oec. Audi Tacquet, & amplius noli dedi diuisibilibus iudicare . Methodus namque illa in diuisibilium,
μμ, a geometris passim recipitur. Desine quaeso, adducendo argumentationis per indivisibilia exem
plam, exclamare. -ae em conuincat ι abaec ratiocinatio.
Nan iuxta UuaIlisu u squi pluribus in locis perlimnorifice de indiuilibi libas loquitur) conuincit pasesin geometras. O Fus ergo Uuallisii percurrentes, animaduerti-mu, ipsi, n anno 636. circa aliquot laborasse, circa
quae Caualerius in exercitationibuς geometricis I 64 . & nos in operς de infinitis parabolis anno Sed non pςnituit illa , quamuis ipso post riores , eualgasse r namque procedimus methodo a fra torul iter diuersii re iuxta nobis connatu tale, geometrica geometrice pertractauinius. i: Porro valde gavisi bimus dum inspeximus, ins-
132쪽
, Spatiorum Me θω tiynitas spirales abcillo acutissinao vir λ explapatas, diuersissimas fore toto caeloiab ijs :c, qua inu δ' ditati eramus. In scholio exenim s ρxo propossit. 43. Arithmeticae infinitorum , in quo sit asin finitas spirales e pl icat, supponit ipsas ditiersifica ri ex diuersa proportione in spirales incidentium ali initio ad inuicem secundum multiplicatam proporritionem angulorum. vi. g. in schem .sequenti, si F A,
incidens in spiralem sit ad AC , itidem in spiralem
incidentem, ut angulus NOR A, ad angulun OSRA; nempe ut arcus N O SR, ad arcu MoIR: Secundum ipsum , spatium o C. FRAsest primum spatium spirale, si vero M F A, ad AC in duplicata proportione praedicti anguli ad praetium angulum, seu dicti arcus ad dictum as,
cum . Spatium elissecundum. Si in triplicata, terntium, etc. At in nostris spiralibus res e contra ascla
133쪽
ri a De Infinitorum Spiralium dit. Nam incidens ad incidentem est in submulti fici proportione anguli ad angulum, seu arcus ad arcum. In spirati etenim quadratica, cum ex prinposit. prim. sit quadratum FR, ad quadratum A ut arcus NOS R, ad arcum o S R , erit F A, ad AC, in subduplicata proportione arcus ad arcum . Et sic consequenter in cubica , in subtii plica ta , & sic deinceps. Procedentes ergo per diuersa principia, & circa diuersissima laborantes, diuersi Lsma etiam colligimus. Ipse etenim patans incidentes in spiralem augeri secundum multiplicem proportionem angulorum, seu arcuum, arguendo suo modo
colligit spatia spiralia minui. Secundum enim ipsum, ei reuius circumstriptus primo spatio, sed prinis generis est ad ipsum, ut 3. ad i. Ad spatium secundi ge neris, Vt q. ad a ' Ad tertij, vi s. ad i. & sic in infinitum . Nos vero supponentes incidentes in spirales augeri in submultiplici proportione angulorum , s uarcuum, deduximus spatia spiralia augeri. Circulus enim ad spatium primi generis est , ut 3. ad i. Ad spatium secundi, Vt q. ad a. Ad tertii, Ut s. ad I & sic in infinitum. Vnde in suis spiralibus circulus est ad spatium spirale, ut numerus gradus spatij binario auctus ad unitatem: at in nostro est,ut num rus binario auctus ad numerum. vinuersaliter ipse
existimat proportionem circuli ad infinita spatia spiralia esse eandem congruenter cum proportione pMrallelogrammi ad infinita trilinea parabolica sibi inscripta. Ru nos ita nostris spiralibus infinitis adin,-
134쪽
Spatiorum Mensura. II suenimus, proportionem circuli ad eadem infinita spatia subintellige semper primae reuolutionis,esie eandem cum congrilenti, & explicata proportioneettianguli ad excessus supra infinita trilinea parabolia ea sibi insciipta. Quae proportiones in spirali Archimedea dumtaxat conueniunt. In ipsa etenim solummodo ;rram parallelogrammum ad trilineum, quam triangulum parallelogrammi dimidium ad eracessum ipsius supra trilineum, sunt ut 3. ad I. In reis liquis vero, parallelogrammum est ad trilineym, ut numerus erilinei unitate auinus ad unitatem: tria gulum vero est ad excessum sui supra trilineum , ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerum rrilinei unitate minutum . Cum ergo infinitae spira Iese larissimi Vuallisia sic discrepenta nostris, prodeant
Porrh quis recolens dicta in praesenti digresso. se , & modum supra explicatum , quo Clarissiamus Torricellius considerauit analogiam inter spiralem linearem, & parabolam quadraticam, posset rationabilius, quam ibidem factum suit, cogitare, ana lx giam illam, quam supra diximus nequaquam semitari inter infinitas spirales, & infinitas parabolas, . vij que locum habere in infinitis parabolis, & in infinitis spitalibus Uuallisij. Nam ex supradictis, pa- tet, in his omnibus easdem proportioneS servari. Ex statim enim supra dictis liquet, circulum ad infinitas spirales V uallisij esse secundum ipsum, ut numerus gradus spiralis binario auctus, ad unitatem: & ad e
135쪽
Mo Infinitorum Spiralium e fisum ipsius sipra spatia, ut numerus binario a 'diis et 8 numerum unitate auctum. Ex dictis vero iaschol. proposit. 32. constat in schem. illius, esse trian-g0lum ABC, ad parabolam A BC, ut numerus
parabolae unitate auctus nempe, ut numerus spira. iis binario auctus) ad unitatem: & ad excessum ip-
sus supra parabolam, ut nure erus unitate auctus, ad numerum. Easdem ergo proportionα habent triangulum ad excessum, & ad parabolam, S circulus adcxcesium, S ad spatium. Sicuti ergo , posset quis dicere, Torri cellius patefecit similes anatagias inter triangulum A EC, & excessum ipsius super parabola quadratica ABC, S inter circulum,&excest una ipsius si pra spatium spirale lineare A GC, sc forsitan seruabitur sitirilis analogia inter alias expli-
catas filuras. Sed similes discursus erronei sunt cen- sendi, ut infra manifestabimus. - ii
Sed prius Uualliij infinitae spirales, earumque ge- ne sis clarius sunt cxplicandae , discritnenque intertio litas, & tuas dilucidius cst: assignandum. 'Dixi- linil initio operis, spirales nostras generari ex duplici In Ctu ecd m Empore peracto, nempo in sciamate sequenti, pu acti A, aequabiliter semper lati perse- , mi diametruiri AR; & semidiametri A R, i circa icentrum A, puncto R, describentis peripheria in
vel aequabiliter, vel ita ut circumserentia peracia ad circumfercntiam , vel angulu, ad angulum esset, ut variae temporum potestateS ad inuicem. Hinc oriebatur, quod AC, AF, in spiralemi incidentes
136쪽
erant ad Inuicem in submultiplici proportione a cuum, seu angulorum. Cum enim ex proposit. pri. sit arcus ad arcum, ut potestas A C, eiusdem gradus cum spirali ad simile M potestatem AF, patet AC, ad A F, esse in dicta submultiplici proportione. Vualliis si j pariter infinitae spirales concipiendae sunt creati
ex duplici motu eorundem mobilium, ast modis conistrarijs Motus enim semidiametri per circumferentia concipiendus est semper aequabilis: at motus puncti Α, per semidiametrum, vel aequabilis,vel varie acceleratus secundum varias temporum potestates. Si ergo Vterque motus erit aequabilis, genita erit spiralis archimedea . Si vero motus puncti a accierabbtur secundum quadrata temporum, erit secunda spiralis. Si ut cubi, tertia. Et sic deinceps. Hinc erogo fiet, AC, ad A F, esse in multiplici proposecta tione
137쪽
rax De Asinit oram Spirabum tione arcus ad arcum; seu anguli, ad angulum, ut ait Uuallitius.
Ex hae doctrina habebimus , quod in schemat. seq. circumscripto spirali circulo, & semidiametro ΑV, ducto arcu VTl. Erit peripheria EM SE,
ad arcum V TI, in ratione composira ex ratione A B, ad AU, & ex ratione vel A E, ad A V, in spirali lineari; vel minoris mediarum extremarum continue inter EA, A V, quarum numerus sit unitate minor numero spiralis, ad A V. V. g. in quadratica, ex ratione ΑΕ, ad A V. & mediae
138쪽
proportionalis inter A E, RU, ad A V. In cu. hica, ex ravonibus Α Ε, ad A V, &minoris dua rum mediarum continue proportionalium inter
tet, quia circumferentia EM SE, ad UTI, habet rationem compossitam ex ratione ipsius ad
VTIV nempe E A, ad AVὶ & VTIV, ad UTI; nempe EM SE, ad EMS. Sed in alijs spiralibus a lineari proportio EM SE, ad EMS, est sub multiplex proportionis EA, ad AI, seu
Av, secundum explicatum gradum spiralis: unde est in quadratica, ut media inter EA, AU, ad AV: in cubica , ut minor duarum mediarum ad 8 V, &c. Ergo ratio EM SE, ad UTI, componetur ex ratione EA, ad A V, &dictarum mediarum ad AU. His pereeptis. Ostendemus in schemate sequenti, non seruari dictam analogiam inter circulum ra- dij AC, &excessum ipsius supra spatium spirale AG C, & inter triangulum Assi C, &excessum ipsus supra parabolam AB C. Hoc autem ostendemus in spirali quadratica, & parabola cubica Nam si
dicta analogia curreret, mente centro A, interuallo A O, intellecta peripheria, esset C E, ad M B,
ut circumserentia radii AC, ad circumferentiam descriptam in ipso excessu contentam inter O, &punctum in spirali. Sed ratio circumferentiae radii AC, ad dictam circumferentiam componitur ex ratione Cis, ad AO, di mediae proportionalis
139쪽
inter CA, AP, adipsam A Ergo. etiam rae aio CE, ad MB, ex iisdem componeretur ratio nibus. Porro ratio CE, ad MB de soris sumpta MO,ὶ componitur quoque ex rationibus C E
140쪽
Quod uti ue est falsissimum. Nam OM, ad M'
est ex citat. prop. sis. Miscel. hyperb. ειαν tinter autem C λ, duplam A Ο, & AO. nempe is
q. & a. non est 3. medium proportionale . Noa ervi seruatur dicta analogia: & tamen si vera sunt, quuVuallisius scripsit t nobis enim diuers, methodo Asua adhuc non constata est semper eadem propos
In praesenti ergo opusculo comprehensa, sunt ea, quae quinto tibi proponimus, benigne lector, percurrenda . In quatuor primis nostris operibus antea elaboratis quamplurimos , progressu emporis, es- rores animaduertium: n6n paucis etiam praesens est aspersum. Ast nec illi, nec isti, ut plurimum, materiam labefactant, nec sensum praecipue intentum euertunt, adeout lectoritarendum sit in assertorum intelligentia. Errores versantur tape saepius vel in locutione latina, vel in aliis rebus non magni m menti. Hos errores dona nobis quaeso, benigne lector. Nec putamus te eXperiri inclementem, praecipuE si in typographiis aliquando te exercueri S. Crede nobis , ingens tormentum authoresexagitat in i visa impressione; & plus laboris adinvenitur in hac, quam in compositione ipsemet, in rebus geometricis, Praesertim. Oscitantia etenim, im probitas, & imperitia arti ficum sic torquent, & angunt authores , Utruon paucis vicibus cogitent momento disperdere quae tempore prolixo, & magnis laboribus college-xunt. Porro omnia haec, de aliae inaumera ab in