장음표시 사용
111쪽
ss De Infinitarum Spiralium eum textis parte quadrati disserentia borum radiorum,o fle dein vi m reliquis.
HAEc propositio ijsdem terminis, & mediis probatur a Caualerio in lib 6. Geomet. Ind. proposit. Is . sed nos ipsam ostendemus ex proprijs ostensis. Supponamus ergo ut in proposit. 26. esse spatia,&circulos. Dico primum spatium AGH, esse ad secundum spatium H RPMH, ut tertia pars quadrati ΑΗ, ad rectangulum M ΑΗ, cum tertia parte quadrati H M. item secundum spatium dictum ad tertium MNESBM, ut rectangulum M AH , cum tertia parte quadrati H M, ad rectangulum BAM, cum tertia parte quadrati M B,&sic in alijs. Etenim spatium AGH, est coroll. proposit. 7. ' citatili radii AH, nempe est ad ipsum, ut ἰ quadrati AH, ad quadratum AH Circulus radi j AH, est ad circulum radij AM, ut quadratum AH, ad quadratum A M. Circulus radij A M, est ad secundum spatium, quod claudit,
ex schol. proposit. 7. ut quadratum AM, ad rectangulum M A H, Una cum tertia parte quadrati H M. Ergo ex aquali, erit primum spatium ad secundum , ut ' quzdrati Α Η , ad rectangulum MAH, una cum ἀ quadrati H M. Pariter comuel tendo, est secundum spatium ad secundum ci culum , ut rectangulum M AH, una cum ' quadrati H M, ad quadratum A M. Circulus radijAM, est ad circulum radii AB, ut quadratum AM,
112쪽
AM, ad quadratum AB. Circulus radii AB, est cx dicto scholio, ad tertium spatium, ut quadratum BA, ad rectangulum BAM, cum ς quadrati B M. Ergo rursum ex aequali, erit secundum spatium ad tertium , ut rectangulum MAH, cum quadrati M H, ad rectangulum BAM , cum quadrati MB. Sic discurretetur in caeteris. Quare patet propositum. N SCHO:
113쪽
Colligemus ergo in numeris , esse primum spatium ad secundum, ut i. ad 7. secundum ad tertium Vt T. ad Is. tertium ad quartum ut i s. ad 37. Hoc ad quintum ut 37. ad 6 I. & sic discurrendo . Cum enim sit primum spatium ad secundum, ut qua drati AH, ad rectangulum MAH, cum j quadrati H M: supponamus AH, esse I. Ergo M A, erit 6 quadratum AH, erit s. eiuS s. rectan. gulum MAH, erit s8. ' quadrati M H, erit s. Ergo primum spatium ad secundum erit, ut 3. ad II. nempe ut a. ad 7. Item rectangulum BAM, cum' quadrati MB, erit 37. Ergo secundum spatium crit altertium ut 1 l. ad 37. nempe ut T. ad I9. &sic discurrendo in alijs. Diuidendo ergo crit primum spatium ad differentiam inter ipsum, & secundum, ut I. ad 6. Secundum ad disterentiam inter ipsum, & tertium , ut 6. ad I L. & sic discurrendo augendo semper con sequens senario.
Ju spirab quadratisa , primi eirculi satis felicum a st
riam heώcum secundi circuli erit , it ' quassi ali radii primi tauuli, ad reo angulum βό hoe,usecundi circu- θ adio, ina cum ζ quadrati disserentia horum rad ruis. Spatium mero secuNH ad spatium tertis, erit it
114쪽
Spatiorum Mensur . 99 dictum consequens, ad rectangulum I b radiis secundi , sist tertij, inacum ' quadrati iusserentia barum, es sic deinceps in reliquis. . t I Supponamus omnia, quae in schemate superio- ri, sed spatia esse spiralis quadraticae. Dico primum spatuam ad secundum esse, ut I quadrati AH, ad rectangulum MAH, cum I quadrati
H M. Secundum ad tertium , Ut rectanguluinis N. E MAHis
115쪽
x eo Infinitorum Spiratum MAH, cum ἶ quadrati H M, ad rectangulum BAM, cum I quadrati MB. Et sic in reliquis.
Hare propositio probabitur eodem modo, quo probata fuit superior, & ex iisdem loci s. Spatium enim AGH, circuli radii AH, est, ex coroll. proposit. s. ἰ: nempe est ad ipsum, ut ζ quadrati AH, ad quadratum AH. Circulus radii AH, est ad circulum radij AM, ut quadratum AH, ad quadratum Α M. Hic est ad secundum spatium , ex schol. proposit. 17. Vt quadratum A M. ad rectangulum MAH, cum I quadrati H M . Ergo ex aequali, erit primum spatium ad secundum ut ζ quadrati A Η, ad rectangulum M AH, cum ἰ quadrati H M. Eodem modo demonstrabitur esse secundum spatium ad tertium, ut rectangulum MAH, cum quadratilHM, ad rectangulum BAM, cum dimidio P - .diast M B. Et sic in alijs.
Sed ad a stignandas in numeris horum spatioruim rationes, magis inseruiet sequens regula.. Nempe primu o spatium, csse ad secundum, ut quadratum radii primi circuli, ad quadrata ipsius , dc radij se cundi . Secundum ad tertium , ut haec quae irata , ad quadrata radiorum secundi, & tertij. Et sic deinceps . Quod vero regula sit vera, patet . Quia, ut dimidium ad dimidium, sic duplum ad duplum . Duplum autem iectangab M AH, & : quadrati
116쪽
M H , erunt quadrata MA, AN Quia duo rectan gula MAH, faciunt duo rectangula :M H A, &duo quadrata AH; & duo rectangula Mn A, cum quadratis AH, H M, faciunt quadratum MA: &duplum restanguli B A M, & I quadrati M B, faciunt quadrata BA, A M.
In numeris ergo adinveniemus, esse primum spatium ad secundu ur, ut i. ad Secundum ad te tium, ut 3. ad s. di sic in infinitum secundum progressionem numerorum imparitim ab unitate inclusiuὶ procedentium t quadrara enim AH, AM, AB, sunt ex geneti spiraliumrnrtio explicata I. h. 3.&c. Diuidendo ergo erit primum spatium, .ad disseremtiam inter ipsum, & secundum , Ut ε. ad L. Secundum ad disserentiam inter ipsum,& tertium, ut 3. ad a. &sic infinitum.
Iis expletis, quae ad spatiorum heIicum mensuram
pertinent, in proposit. xl. lib. 6. eitat. Geom. Indi. pergit Caualerius considerare proportiones repertas
inter cylindros, cylindricos, & com cos super circulis, & spat js spiralibus existentes. Non ergo rem ingratam lectori fore arbitramur, si & nos i n spatiis, infinitarum spiralium exequeamur illud idem, quod Caualerius in spatijs unius dumtaxat linear: s sp resis adimpleuit. Sed anteqiruir hoc aggrediamvir debemus su pponere illud idem, quod ipsemet in dicta ,
117쪽
I o a De Infinitorum Syralium proposit. a I. ex sparsim probatis in sua geometria, deducit. Nimirum . .euodsi expinatur seriesspiraliμm,
se circulsrum deinceps a primis, in Daliis mero sub spι irabbus, molutis, rici, sy conici thyiadem altit dine mures inteligantur constituti tamquam in basibus J- militer ω in circulis conctituti esse οὐndrici eriti intel-hantur: e lindri inter cylindrici pariter inter se, μue ad cybndros comparat , siue coni inter se, , conici inter se, siue ad conos comparati eandem rarionem, quam bases,
sebunt. Huiusce asserti subiungit Caualerius probationem inquiens. Patet haec propositio, nam lindrici,
es' conici in eadem altitudine con titutιseunt Enterse, mi M-Ies: sunt autempraedicta sobriper constructionem in eadem altitudine posita, ergo erunt inter se, it ipse bases s Vocentur autem cylindri , , cylindrici, nec non conici eiusdem numeri cum spatiis, quibus insistunt, id Iprimus cylindrus,rvel conus, qui es in primo circulo, secundus obnisus, maconus , qui est inscundo circulo tamquam in basis primus cylindricus, mel conicus, qui est in spatio hebco primi circuli tamquam in basi, secundus cylindrkus , 'Delconicus, qui ea in spatios condi circuli, 'sie deiure'. Haec Caualerius, Quibus consequenter ad nostram doctrinam addem dum videtur, non solum cylindros, conos , cylindr, cos , conicOS, primOS, secundos, tertios, &c. serenuncupandos secundu umerum, a quo denominantur circuli, & spatia super quibus insistunt, sed etiam primi, secundi, tertis gradus, &c. secundum quod spatia ipsainet sunt vel linearia, vel quadratica, vel cubita, &c. His explicatis sit.
118쪽
Primus Ibndricus ad primum conicum cuiuscunque gra sest, Ut triplus numerus spirans sinano auctus, ad num rum pirat F. :
Esto in schem. spiralium, spatium primum hel,
cum A GH, cum sibi circumscripto primo circulo radij AH, & super circulo intelligamus cylindrum, super vero spatio spirali conicum eiusdem altitudinis cum cylindro . Dico cylindrum esse ad
conicum, ut triplus numerus gradus spiralis senario auctus, ad numerum spiralis. V. g. in lineari, ut p. ad I. In quadratica, ut Ia. ad a. In cubica, ut a . ad I. & sic in infinitum, augendo semper antecedens ternario,consequenS Vero Unitate. Nam, x coroll. proposit. s. cylindrus super circulo, i ad cylindricum super spatio eiusdem altitudinis quia sunt ut bases est, ut numerus gradus spiralis binario auctus, ad numerum; nempe ut triplus ad triplum; scilicet ut triplus numerus senario auctus ad I plum numerum . Ergo erit ad conicum ς cylintrici,ut triplus numerus senario auctus, ad numerum-Quod erat ostendendum .
119쪽
istarius se per circulo, ad conteum eiu em altitudinis cum ipse existentem seper quolibet agiorum spatiorum a primo cui cunque gradus quod com ebendit. Erit vel ut factum sub triplo quadrato radi, ipsius in disserentiam pol natum ipsius, in radis circuli initate minoris: mel e
factum sub quadrato sius sub tripla disterentia dia 'Na , ad partem differentiae potestarum radii ipsius, sty
circulι 'Unitate minoris duplici grata altiorum potestate
ratis, ad numerum binario auctum.
E xo in schemat. eodem quilibet circulus radii
AB, circumscriptus cuilibet spatio M Z BM, cujuscunque nutilari a primo , & cuiuscunque gradus, &esio AM, radius circuli unius numeri inserioris. Dico cylindrum super circulo radii AB. esse ad conicum e :usdem altitudinis existentem supcr spatio MN Z, BM, vel ut factum sub triplo qίadrato AB, & sub disserentia potestatum BA, Α M, eluidem gradus cum spirali: vel ut factum subquadrato A B, S sub tripla dicta differentia,ad partem differentiae potestatum BA, AM, duplici gradu altiorum potcstate gradus spiralis se habentem ad differentiam, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum. U. g. in spirali lineari, erit cyliadius ad conicum, vel ut factum sub quadrato triplo
120쪽
triplam BM, ad ' d flerentiae cuborum AB, A M. in 'i' adratica I ero erit, v ci ut factum s b quadraroti iplo A B, in differentiam q adratorum AB, A i es ut factum sub quadrato AB, in triplam differentiam quadratorum AB, AM, ad et differentiae' adiatDquadratoium AB, Α M. Et sic in