장음표시 사용
101쪽
8 ε De I latorum Spiralium dem gradus cum spirali, ad talem partem disserentiae potestatum M A, AH, duplici gradu altiorum intestate spiralis, quae se habeat ad ipsam differentiam,
ut numerus spiratis,ad numerum binario auctum. Ergo primum spatium helicum ad secundum habet rationem compositam ex omnibus his rationibus. Sed ex rationibus partis quadrati A H, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis ad numerum binario a clum, ad quadratum AH, & huius ad quadratum AM, componitur ratio praedictae partis quadrati AH, ad quadratum AM. Ergo ratio primi spatij ad secundum, erit tantum composita ex ratione dictae partis quadrati A H, ad quadratum A M, & facti sub quadrato AM, in differentiam potestatu MAM, A H, eiusdem gradus cum spirali, ad partem differentiae potestatum AM, AH, duplici gradu altiorum potestate spiralis, se habentem ad dictam differentiam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Sed ex dictis rationibus componitur rutio facti sub dicta parte quadrati A H, in factam. sub quadrato AM, in differentiam potestatum A M, A H, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub quadrato 'M, in dictam partem differentiae potestatum A M, AH, duplici gradu superiorum potestate spiralis. Ergo primum spatium erit ad secundum in praefata ratione . sed cum in ambobu terminis proportionis reperiatur quadratum A M, si potestates terminorum deprimantur, erit primum spatiu m ad secundam, ut factu vi sub dicta parte que
102쪽
drati AH, in differentiam potestatum M A, AH, eiusdem gladus cum spirali, ad smilem partem disserentiae potestatum A Η, A M, duplici gradu superiorum potestate spiralis. Quod primo erat ostem
Quod vero ratio secundi spatij ad tertium sit ea, quae supra dicta suit, probabitur fere eodem modo. Nam ratio secundi spatij ad tertium componitur ex ratione ipsius ad secundum circulum , huius ad te
rium ; & tertii circuli ad tertium spatium . Ratio seiscundi spatij ad secundum circulum est, ut pars differentiae potestatum AH, AM, duplici gradu superiorum potestate spiralis, se habens ad ipsam disterentiam,Vt numerus gradus spiralis adnumerum binario auctum, ad factum sub quadrato A M, in differentiam potestatum AM, AH, eiusdem gradus ct m spirali, ex schol. a proposit. I . Ratio circuli ra- dij AM, ad circulum radi j AB , cst ut quadratum AM, ad quadratum 4B. Ratio circuli radia AB, ad tertium spatium est, ut factum sub quadrato A B, indifferentiam potestatum A B, AM, eiusdem gradus cum spirali, ad partem differentiae potestatum 4 B, A M, duplici gradu superiorum potestate spiralis, se habentem ad dictam differentiam, ut numerus ad numerum binario auctum ex schol. citat. Ergo ratio secundi spatij ad tertium componetur ex omnibusntecedentibus ad omnia consequentia: nempe erit, ut factum sub omnibus antecedentibus ad factum sub onanibus consequentibus. Sed tam in facto ex
103쪽
gs De Infinitarum Syralium omnibus antecedentibus, quam in facto ex omnibus consequentibus reperitur lactum sub quadratis A M. AB. Si ergo tam factum sub omnibus antecedentihus, quam factum sub omnibus consequentibus deprimatur , nempe auferatur ab ipsis facta sub quadratis AM, AB, nihilominus seruabitur eadcm proportio. Erit ergo a primo ad ultimum, secundum
spatium ad tertium spatium, ut factum sub parte di fel entiae potestatum OH, A M, duplici gradu superiorum potestate spiralis, se habente ad ipsam differentiam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum, & sub differentia potestatum B Λ, Λ M, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub parte simili priori differentiae potestatum duplici gradu altiorum spirali, ipsarum BA, AM, & sub differentia potestatum M A, AH, eiusdem gradus cum spirali. Quod secundo erat cstendendum.
Etiam in praesenti harum proportionum sunt reperibilia compendia. Sed quia ptoportio spatiorum spiralium inter se potest expiscari iucundius ex ana-lcgia reperta interdicta spatia, & trilinea parabol ea. ideo haec explicanda prius sunt, postea ipsa compendia assigna bimus.
104쪽
Si quodlibet ex infinitis trilineis parabolicis secetur linea basi
parallela,qtam toto tritaeo, quam trianeo ad merticem circumscribantur triangula. Erit excessus trianguli ei egmscripti toto trisne upra ipsum, ad excessum trianguli circumsi pti tritaeo ad merticem supra jsum, mi pol Has diametri trilinei mno gradu ali in potesate trilinei, ad similem pote Hatem diametri trilinei ad merticem.
Esto quodlibet trilineum parabolicum QX EZ,
cum sibi circumscripto triangulo mi Ζ, rest ducta XY, parallela basi Q X, & trilineo adverticem XEY, sit circumscriptum triangulum XE Y . Dico spatium comprehensum a recta , &curua QE, esse ad spatium coinplehensum a recta, &curua XE, ut potestas ZE, uno gladu altior potestate trilinei ad similem potestatem Y E. V. g. in quadratico, ut cubus, ad cubum . in cubico, veqUadratoquadratum ad quadratoquadratum, & sic in infinitum. Haec propositio ostensa fuit in schol. pri. proposit. 3. lib. pri. de Infinit. Parab. ex eo quod trilinea sint eiusdem rationis. Cum ergo eandem habeat rationem tam triangulum ad triangulum, qtam trilineum ad trilineum, quam e cessus trianguli supra trilineum, ad excessum trianguli supra trilineum ue & triangulum EZ, sit ad triangulum ΣΕΥ, ut potestas ZE, uno gradu altior potestate M trili-
105쪽
so De Infinitorum Spirassum trilinei ad similem potestatem EY quia haec ratio
componitur ex ratione QZ, ad XY; nempe ex ratione potestatis ZE, eiusdem gradus cum trilineo, adsimilem potestatem EΥ,&ex ratione ZE, ad E Υ: quae duae componunt rationem potestatis EZ, Vno gradu altioris potestate trilinei , ad similem potestatem EΥ;ὶ erit etiam excessus trianguli QEZ, supra suum trilineum, ad excessum trianguli XEY, se pra suum trilineum, ut potestas ZE, uno gradu altior potestate trilinei, ad similem potestatem E Υ. Quod &c.
Dedueemus ergo diuidendo , esse spatium QEXQ ad spatium X EX, ut differentia potestatum ΖΕ, ΕΥ, uno gradu superiorum potestate trilinei, ad similem potestatcm ΕΥ. Quod si iterum ducta IT, parallela XΥ, fiat triangRlum IET; erit excessus X EI, aduceiis in 1 EI , ut potestas Υ Ε, uno gradu altior potestate trilinei, ad similem potestatem ET . Et diuidendo , erit ex-eessus X E l X, ad I EI, ut differentia potestatum dictarum YE, ET, ad similem potestatem ET . Erit ergo etiam spatium Q EXQ, ad spatium X EIX, ut differentia potestatum Z F, BY, uno gradu altiorum potestate trilinei, ad differentiam similium potestatuin ΥΕ, ET. Si ergo supponamus Q EZ, esse trilineum pD
106쪽
Spatiarum messura. strabolicum quadraticum , & Er, TY, YZ , esse aequales s qua ΕΥ, est dupla ET,
ergo cubus ET, erit ad cubum EY, ut I. ad 8.& ad disserentiam cuborum, ut I. ad T. Ergo etiam,
spatium I EI, erit ad spatium X ElX, ut t. ad 7. Pariter , quia Z E, est sesquialtera E Y, erit eius cubus 1 ; & disserentia cuborum EY, EZ, 10. Ergo disserentia cuborum ΕΥ, ET, erit ad disserentiam cuborum E Υ, EZ, Vt T. ad 39. & in eadem ratione erit spatium X ElX, ad spatium LX Q. Et eodem modo quadruplicata ET, quintuplicata &e. reperiremus spatium QEXQ, Ge ad immediate maius, ut as. ad 37. Hoc adim-
107쪽
ya De Infinitorum Syrabum mediate maius ut 3 . ad ε i. &e. Unde diuidendo colligeremus esse I El, ad excessum X E IX. su os alesum, ut r. ad ε. spatium X EIX, ad excess ira spatij QSXα supra ipsum, ut 6. ad ra. Q EX
ad excessiim immediate superioras supra ipsum, ut a x. ad 18. & sic in infinitum augendo consequens
Sed supponamus QEZ, esse trilineum parabo. Iicum cubicum, & quadratum Y E, duplum esseia quadrati ET; quadratum Z E, eius triplum, &c. Quia ergo quadratum Υ E, duplum est quadrati ET, si supponamus quadratum E Γ, esse unitatem,
erit quadratum Υ E. a. & quia quadratoquadratum oritur ex multiplicatione quadrati in seipsum, erit quadratoquadratu in EΥ, 4. Erit ergo quadrato- quadratum YE, ad quadratoquadratum ET, vi q. ad I.&diuidendo, ut 3. ad I. Erit ergo spatium X EIX, ad I El, ut s. ad I. Item,quoniam quadratum Z E, cst s. & quadratoquadratum Z E, s. erit disserentia quadratoquadratorum TE, EΥ, s. Erit
ergo spatium QJ X Q, ad spatium X EIX, ut 1. ad 3. Quod si quadratum ET, intelligeretur quadruplicatum, adeo ut eius quadratoquadratum esseta 6, & intelligerentur aucta omnia; esset spatium immediate maius, ad spatium QEXQ, ut . ad .& sic in infinitum secundum progressionem numerorum imparium ab unitate procedentium. Divide
108쪽
hatiarum' sXEIX, erit ad excessum spatii QEX , supra
ipsum, ut 3. ad a. Ipsum vero QSXQ, ad excesilam immediate maioris supra ipsum, ut s. ad a. &sie in infinitum, ita ut omnia antecedentia contineant seriem imparium incipientium ab unitate, co sequens vero sit semper binariam . . His explicatis, supponamus diametrum Z E, tria linei aequalem esse AB, semidiametro circuli diagrammatis proposit. 24. Υ Ε, intriIineo ipsi AM, in circulo, & TE, in trilineo aequalem AH, inspirali, & ZQ, basim trilinei aequalem tot circum serenti, FD CB, quotus est numerus re Iuli num, v. g, in casu nostro tribus, Ergo ex proposita
109쪽
De I ultorum Spiralium x . spatium in trilineo QEXQ, est aequale inspirali tertio spatio MN LSBMr item spatium .XEIX , in trilineo aequale secundo spatio spirali. HRPMH: item spatium in trilineo 1 EI, erit ex proposit. s. aequale ptimo spatio spirali AGHA. Ergo eandem proportionem hab bunt spatia helica ad inuicem, qiam habeat praedicta spatia in trilineo. Cum Vrg uniuersaliter sint in trilineo spatiuna primum ad secundum, ut potestas diametri ipsius
110쪽
Spallorum Mensura susscilicet ET, uno gradu altior potestate trilinei ad disserentiam potestatum similium ipsius, ET,EΥ, diametri secundi spatij; & ut secundum spatium ad tertium , sic haec disserentia ad similem diriarentiam potcstatum ΕΥ, EZ; & sic in infinitum sic in spirali, erit generaliter primum spatium ad secundum , ut potestas A H, radij primi circuli duplo gradu altior potestate spiralis gradus enim trilinei superat gradum spiralis unitate θ ad differentiam potestatum AH, radi j primi circuli, & AM, ra-
dij secundi circuli. Secundum vero spatium erit ad tertium, ut dicta differensia ad similem differentiam radiorum AM, AB. Et sic in infinitum . Immo ea compendia, quae in trilineis quadratico, & cubico collecta fuerunt, poterunt etiam colligi in spirali lineari, & quadratica, sed haec in duabus sequen
In spirali lineari primi eirculi spatium belicum ad spatium
helicum fecundi circub, erit mi tertia pars quadrati radiν primi circuli, ad rectangulumsub radio primi, o secundi ciνculi, mna cum tertia parte quadrati excessus rari, secunae circulis pra radium primi. Spatium me ro secundi circuli ad natium tertium , erit mi dictum consequens adrectangulumsub radio Iecuudi, in tertii ,