장음표시 사용
191쪽
ad OE, se solida ad ipsos conos . sed ex propost.
33. lib. nostri sexaginta problematum geometrico. rum, solida sunt ad conos ut quadrata FE, EG, ad duplum quadratum E G. Ergo& PE, eritud EO, ut quadrata F E, E G, ad duplum quadratum E G. Et antecedentium dupla. Ergo ut DE, ad EO,lic duo quadrata F E, cum duobus quadratis EG, ad duo quadrata E G. Ergo & per conuersionem rationis ut E D, ad D O, sic duo quadrata F E, cum duobus quadratis EG, ad duo quadrata FE nempe sic dimidium ad dimidium, scilicet sic quadrata FE, EG, ad quadratum FE. Et ut antecedentium dupla . Ergo ut AD, ad D O, se duo quadrata F E, cum duobus quadratis G E, ad quadratum FE. Et diuidendo ut AO, ad OD, sic quadratum FE, cum duobus quadratis GE, ad quadratum FE. Quod erat ostendendam.
Cum ergo in progressit demonstrationis probatum sit, esse DF., ad Eo, ut duo quadrata FE, cum duobus quadratis G Ε, ad duo quadrata G E;
nempe ut quadrata F E, E G, ad quadratum EG; ergo etiam diuidendo, erit D O, ad O E, ut quadratum F E, ad quadratum G E. Quod etiam patet verificari in cono. Sed ex hac propositione, &ex analogia , qUae reperitur inter parabolam quadraticam, &spha ram, potest colligi quaedam propolitio
192쪽
positio uniuetialis is qualibet portione para he
es in quacunque portione parabola qua ratiω resectae nea, diametro parallela inscribatur triangulum, ω basis pomtionis parabola secetur bifariam , ω per punctum bis ctionis ducatur paradisti diametro . Centriam aequibbri fecundum basim praedictae portionis sic secatit basim,
mi pars ad curuam terminata sit ad reliquam, it parasi la diametro ducta a puncto bissectionis, ina cum ιueercepta inter puoctum bisiectionis, sist latus ira inquis, a praedictam parallelam diametro . I x
Esto par bola ABC, quadratura , cuius basis
A C, diameter B D, S sit quaelibet eius portio E F BC, resecta F E, diametro B D, parali la, di in polliones irasci iptum triangulum CFE; sitque C E , secta bifariam in G, & ita G, ducatur GI H , parallela diametro, sitque Κ, centrum quilibr j in basi portionis EF I, C. Dico Ck, esse ad k E, ut H G, cum G L ad H Ilia tertia figura schematis anteced. propos intelligatur portio si haerae, vel sphaeroidis B A C, proportionalis E F BC,
portioni parabolae , & intelligantur in ea omnia, qua supra. Ergo CK, erit a S E E, in portione parabolae, ut A G, ad G D, in portione sphaerae; nempe ex propossit. anteced. vi duplum quadratum G
193쪽
cum quadrato FE, ad quadratum FE. sed cum C E, sit dimidia B D, eius quadratum erit quarta pars quadrati BD; & duo quadrata G E, erunt dimidium quadrati BD. Ergo Α Ο, ad O D, & C had kE, in portione parabolae,erunt ut quadratum FE, cum dimidio quadrati BD, ad quadratum FE; nempe ut dimidium rectanguli H DA, cum rectangulo HEA, ad rectangulum H EA. Sed ut illa plana ad inuicem in portione sphaerae, sic in por tione parabola: qii ad raticae dimidium rectanguli AEC, cum rectangulo AG C, ad rectangulum A G C. Ergo & ut C h, ad E E, G dimidium rectanguli AEC, cum rectangulo A GC, ad rectan-
194쪽
stulum AG C. sed ut haec plana ad inuicem scdimidia F E, nempe G l, cum H G, ad HG. Quare & ut C h, ad Κ E, sic μI, cum Quod erat ostendendum . l λ γ
Scd cx progressu demonstrationi Iotest etiam λcile probari eis e Ck, ad iE, ut A E, cum A ,4 AG. Nam cum probatum' sit esse C E. ad .EE, ut dimidium iectanguli AEC nempe ut tectangu . tum AE, GCὶ simul cuna rectangula I C, adrectangulum AG C. Patet haec auctangula ob com-n une latus CG, esse ut A G, ad A G. Quare&sc Ck, ad kE. AHiciet ergo lectorfacile, esse Eh, ad kG, vi H G, ad dimidiam G l; vel vi GiA, ad dim diamri E. Exqu bus etiam parebit in portione B A C, sphaerae, vel sphaeroidis esse H O, ad O D, ut D H, H E, ad H E. Et D O, es e ad O E, ut E H, ad dimidiam H D.
Sed lar c, quae probata sue lunt ex analogia reperiata inter sortione, parabolae,& sphaere,pi fiunt ab-lolute piobari ex proprijs ipsus palabole. Nam cum Fn C, si vel e parab da cx ptam cor ic. propc sit. - . cui is diatretcr Hi, erit in G, centrum ae-
qu libri j parabo FBC, appenses cundum C E. Fiat c L, dupla L E. Ergo L, erit centrum aequi-bismii trianguli E F C, appensi secundum, CE. Er-
195쪽
go erit reciproce ut L h, ad EG, se FBC, ad triangulum FCE. Et componendo , erit LG, ad Gh, ut portio EFB C, ad triangulum EF C. Sed cum ex schol. proposit. 37. lib pri n. sit conuertendo, portio ad parallelogrammγm duplum trianguli, ut dimidia A B, una cum stacta parte CE, ad A E;& ad ipsam triangulum, ut idem antecedens ad dimidiam A E. Ergo erit etiam, ur L G, ad GK, sic dimidia Α Ε, eum sexta parte C E, ad dimidiam A E. Ergo & ut antecedentium tripla. Ergo ut EG, tripla LG, ad Gh, ire sesquialtera A E, cum dimidia C E, ad dimidiam'A E . Et mr eon- uerlinem rationis, ut GS, ad Eη, sic sesquialte-Y x Ia
196쪽
ta A E; cum dimidia CE, ad dimidiam CE, cum
AE . Et rursum ut antecςdentium dupla. Ergo ut
CE, ad ΕΚ, sic C E, cum tripla AE , ad dimidiam CE, cum ΑΕ. Ergo&diuidendo , ut dimidia CE, cum dupla A E, ad dimidiam CE, cum AE, sic CK, ad ΚΕ. Sed ut dimidia CE, cum dupla Α Ε, nempe ut G Axum i ΛΤ, ad dimidiam CE, cum Ad, nempe ad GA, sic sumpta communi altitudine C C ,:rectangulunt AG C, cum rectangulo sub AH, in G C, ad rectangulum AGC: Et virectangulum A GCctum rectangulo A β, GC, ad rectangulum AUC, sic HG, cum di dia FE, nempe cum I G, ad HG. Quare N ut CK, ad kE, sic HG, cum GI, ad HG. Quod erat osten
Sed cum in schola prop. 3 . probatum sit parabolam quadraticam ,sphaeram,& sphaerokles esse quantitates proportionaliter anah gis cum tribus alijs solidis, sequitur etiam in iIlis currere supra explic tum compendium circa illorum contra grauitatis. Quoniam ergo excessius, in schemate sequenti, pomtionis ABC, sphaetae, vel sphaeroidis supra conum Α Β C, e th proportionaliter analogus cum parabola
quadratica A BC; sequitur inquam, quod si prius secti plano Fh G, deinde plano RuY, secante B L, bifariam in V, quod centrum grauitatis partis
197쪽
excessus ex FB H, reuoluta circa BE, sic secabit BE, ut pars terminata ad B, sit ad partem terminatam ad E, vel ut rectangulum RTY, cum dimidio rectanguli FHG, ad rectangulum RTY: velut rectangulum AT B, cum dimidio rectanguli AHB, ad rectangulum ATBr vel ut rectangulum D VB, cum dimidio rectanguli DE B, ad rectangulum D VB: vel compendiosius, ut ED, DU,
ad D V: seu, quod idem est, ut A H. A T, ad A T.
Pariter sequitur, quod EV, sic secabitur a praedicto centro, ut parS terminata ad si, sit ad partem terminatam ad V, ut V D, ad dimidiam DE: seu vi TA, ad dimidiam ΑΗ: seu vi rectangulum BV D, ad dimidium rectanguli BE D: stu ut rectangulum B T A, ad dimidium rectanguli BHArseu tandem ut rectangulum RTΥ, ad dimidium rectanguli FH G.
198쪽
sito R RZ, Λ BC, eee conos, probatu sis ibidem ex Lsem cylindri R C, supraillos con esse
naliter analogum cum parabola quadrat i catur, quod si praedictus excessis secetur plano L mdeinde supponamus rursum sedari plano IT X, s cante bifariam S G, in V ' sequitur inquam S se cari a centro grauitatisi partis excessis geniti ex reuolutione segmenti L P B T R, in praedictis rationibus. - Tandem inspiciatur schema positum in pro postea 6. in quo ex cit. schol. annulus latus ex hyperbola ABC, circa ΚM, probatus fuit proportionaliter analogus cum parabola quadratica AO C. Si ergo illae annulus secetur prius ubi libet plano N B V, deinde plano IS T, secante bifariam Κ L, in puncto, in quo ipsam secat; eadem compendia supra exposita colligemus circa centrum grauitatis portionis annuli ex portione hypei bolae ABN. Haec enim omnia patent ex dictis, & lector memor si pradictorum facile percipiet . Ne ergo ipsi tardium asseramus ad aliati anseamus. Parabola quadratica habet Iineam quandam, qaae appellatur parameter, seu latus rectum ; cuius naturacst, ut quadrata ordinatina applicatarum, ariqualia sint rectangulis contentis sub hac, &sub por tionibus axis abscissis versus verticem ab ordinatim applicatis. Hanc proprietatem habent quoque aliae inlinitae palabolae, sed suo modo: adeo ut in qu Iibet sitasngnabilis quidam linea, ut potestates ordinatim
199쪽
natim applicatarum parabolae congruentes, quales snt potestatibus factis sub prς dictis abscissis ab ordinatim applicatis, & sub potestate talis lineat uno gradu depressore potestate paraboli, Sit ergo.
Si fiat is diameter parabolae ad semibasim , sic huius pote Has ino gradu aepressior potesare parabolae ad simialem potestatem lis eae inueniendae . Potectates applicat rum ordinatim tu parabola eiusdem gradus cum parabo. ta , aequales erunt fami sub abscissis diametri mersus meriιcem ab ordinatim applicatis, in sub potestate si nea inuenta , mno gradu depressore potestate par
E xo quaelibet parabola B AC, in qua fiat ut dia.
meter AD, ad semibasim DB, sic potestas .hu : Suno gradu depressior potestate parabolae, adiuvilem potestarem A H: v. g. si parabola est quadrat ca, sic D B, ad A H; si eis cubica , sic quadratum DB, ad quid latum A H: si est quadratoqua- dratica, sic clibu, D B, ad cubum A H. Dico, quod si ordinatim applicentur GL, Eh, potestas GL, e s m g ad is cum palabola squalis erit facto sub LA, & sub potestate AH, uno gladu depressiore potestate parabolae, & scde caeter s. Quoniam e niui ut A Di ad ita B, sic potestas DB, uno gradad; pressior potestate parabolae, ad similem porcsta
200쪽
tem AH; ergo factum sub DA, & sub praedicta potestate ΑΗ, erit squale potestati BD, eiusdem
gradus cum parabola. Cum autem sit ex gene sit parabolae, ut potestas BD, eiusdem gradus cum parabola ad similem potestatem G L, sic DA, ad A L.Ft ut DA, ad AL, sic factum sub DA, & subpo- testate AH, uno gradu depressiore potestate par holae . ad factum sub LA, & sub pisdicta potestate AH . Ergo& ut factum sub DA, & sub tali potestate AH, ad factum sub LA, & sub potestate AH, scpotestas BD; eiusdem gradus cum palabo- Iaad sinulem potestatem G L. Ergo & pernutando, ut factum sub DA, & sub tali potestate AH, ad potestatem BD, eiusdem gradus cuni paris bila, se factum sub L δε, & sub potestate OH . ad potestatam