장음표시 사용
521쪽
CUBATIO SPHAERAE, ETC. 509 ergo utraque haec aequalitas ita manifeste demon ADPROP. I. Strata, ut a nemine unquam refellenda sit tum propositio ipsa prima, tum utrumque ejus corollarium in tuto sunt objectiones ejus contra propositionem secundam differamus, ut ad caeteras ejuSobjectiones quae ad plana pertinent, continue respondeamus,
Contra hanc objicit, falsam esse propterea quod labam contraxerit o p F. id aggumen quadratum aba inquale eage quadranti ACB. Rem. Quoniam ergo ita clare demonstratum est, ut dubitari amplius non possit quin quadratum a sequale sit quadranti, propositio haec cum
sua demonstratione salva est. AD PROPOSITIONEM IV.
Ruit, inquit, propositio haec quarta cum Praecedente, ex qua dependet; sicut et corollarium ejus. Respondeo, Veram ergo esse tum propositionem, tum corollarium ejus quia propositio praecedens
manet inconcus8R. AD PROPOSITIONEM V.
Propositionem hanc quintam, nempe Ze hL, eb, sive AZ, Ah, Ae esse continue proportionales, concedit esse eram. Corollarium autem utrumque negat. Quorum Primum est, rectam Aia aequalem ae duplo eb., anifestum est quadratum ab A duplum esse quadrati ab e vel ab sed quadratum ab Ab aequale est quadrato ab ΑY. Est autem quadratum
522쪽
AD PROP. v. ab A duplum quadrati ab AY. Ergo quadratum ab A quadruplum est quadrati ab eb. Itaque
recta Aia dupla est rectae eb. Secividum corollarium erat, arcuman, duetum radio AZ, terminatum in AG et rectam Aa, secure rectam ΑΟ in eodem puncto. Μiror illum rem tam manifestam Videre non P tuisse. Concess ' enim ad propositionem hanc, rectas c, LL, eb, sive M, H, Ae esse continue proportionales. Quomodo ergo videre non potuit, easdem esse continue proportionales in ratione
ad 4 cum quadratum ab AZ ad quadratum ab Avid est quadratum ab An ad quadratum Ab sit ut 4 ad 5 atque etiam quadratum ab Ab sit ad quadratum AL ut 4 ad 5, quomodo ignorare potuit quadratum ab A ad quadratum ab e esse ut 4 ad 5: atque adeo omnes rectas An, Ab, AL Ae Aia, AG,
esse continue proportionales, sicut et rectas omnes
proinde omnes ipsarum arcus secaturo Onme Pa
allelas, quemadmodum arcus CL secat parallelam Y in recta AO ad Ρ, vel ut arcusab secat parab
Ρraeterea, quomodo Videre non potuit quod sicut Aia dupla est eb, ita Ac dupla sit mn, et u dupla kl, et proinde septem rectas AC, ΑΥ, AZ, Ah, Α' esse continue proportionales, et duas AZ, Aeesse medias inter totam AC et semissem ejus Aa rΡrobatum ergo est hoc loco cubum ab Ac duplum esse cubi ab M, et cubum ab AZ duplum esse cubia eb, et cubum ab eb duplum esse cubi ab Ak. Itaque persectissime demonstratum est ex iis quae ille concessit et omnes sciunt Vera esse, id quod demonstrare ab initio propositum erat.
523쪽
CUBATIO SPHAERAE, ETC. IIVideant nunc geometrae omnes qui sunt Vel erunt, AD PROP. I. an convellere haec poterunt. Sin firma sint, Videant an argumenta Professoris, quae hic et in sequentibus in contrarium adducit arithmetica, digna sint responsione et antrofessor iste demonstrationum in geometria judex idoneus fuerit. Videant porro si quaestio deinceps inter me et arithmeticos de hac re, alia esse possit quam de rationum numerorum in geometria ineptitudine. Illis autem rosessor, Prop. 5 7, 9, 10,ll, et l2, solis utitur. AD PROPOSITIONEM VI. Propositionem hanc absolvit. Sanae ergo Sunt, cum suis corollariis, prima, tertia, quarta, quinta et
Septima est, quadratum ab AZ, vel ra, aequale est Io quadratis a quarta parte radii quam dicit esse falsam, et rectas AO, AZ pro aequalibus sumptas esse gratis. Tuum est, lector, hoc dijudicare. Quadratum ab A aequale est 5 quadratis a dimidia GC, id est, quadratum ab Ao est sequiae 20 quadratis a dimidia GC. ullum hic dubium est. Quare centro Α, radio ΑΟ, si ducatur arcus circuli secans Αωine, quadratum abis aequale erit 2 quadratis aquarta parte GC, sive 20 decimissextis totius quadrati a GC et propterea quadratum ara sequale est lo decimissextis quadrati a C. Itaque absurde fecit Professor destruere conatus
Sic edit. 669 Quaere a quarte parte l
524쪽
5I QUADRATURA CIRCULI, ADPROP. VII. quod ante non modo consessus erat, sed etiam in
objectionibus suis ad quintam propositionem clemo Straverat nimirum, Zc, L eb, et proincte etiam Ac M, Ab esse continue proportionales. Non potuit enim non videre quadratum ab AL, Sive ab AC, ad quadratum sive Ab esse ut 5 - 4: et per consequens, quadratum ab A ad quactratum ab A esse etiam ut 5 ad 4 ideoque ΑO, Ac esse aequales ex eo autem quod quadratum Z aequale est lo decimissextis quadrati GC, sequi quo ab que eo manifestum est quadratum abra sequale esses decimissextis, sive dimidio quadrati a C: et per consequens etiam M A' Am M, et Pra terea AC, M.Ae, Αλ esse continue proportiones . Quae est duplicatio cubi ex ipsius rosessoris Con
Sed eadem rursus demonstratione sua evertit: cujus sententia haec est. Si GC divisa sit quinque-fariam, quadratum totius erit sequiae 25 quadratis a parte sua quinta. Et quia recta AZ, velari esti rectae GCDquadratum a Ze aequale erit a quadratia C. Sed Emajus est quam e .
Vera haec esse agnosco, et quadratum hoc numericum esse 2 quorum quadratum Z est 16, et
singula distincta a sibi proximis, tribus longitudinibus sine latitudine, quarum per Euclidem duae
sunt ipsorum quadratorum contiguorum termini, tertia est inter illos terminos media Atque haeca geometrarum principiis Vere derivantur, quanquam aliquibus fortasse inepta videbuntur. Sed quomodocunque accipiantur, rationem continuam rectarum praedictarum AC AM, AZ, etc., non tollunt et per consequens, neque duplicationem cubi,
quae suis stat principiis neque impediunt quin Gh
525쪽
CUBATIO SPHAERAE, ETc. I 3 sive dupla Ze sit aequalis arcui BC, ut in prop. Let ADPROP. VII. iii demonstratum St. Examinemus autem quadratum hoc numericum Ρrofessoris. Quoniam, ut supponit, quadratum a Z est 2 quorum quadratum a GC est P, et quadratum aba P quadratum autem ab Aese, quod minus est quam erit ΑΟ major quam Ac. Est autem quadratum ab A duplum quadrati a C: erit ergo P, et quadratum ab ua, et quadratum
AO . Quae rationes, nempe 5 ad , OBVeniunt cum rationibus rectarum AG, Aia, Ac Quare, contra id quod demonstrare voluit, ΑΟ, Α sunt
Etiam falsum est quod quadratum ab Ao vel Aeaequale sit, quadrati a radio. Quadratum enim a radio est 25 Ergo quadratum a semiradio est 6l. Quare quadratum ab A est 3H. on est ergo quadratum ab Ao P. Quadratis ab A G, ΑΩ, Ac, L respondent numeri hi, 250, 000, 800, 650. Quadratum, juxta methodum meam, a radio est l6 quadratum ab O 20 quadratum ab Q, 25 et quadratum ab G 3Ii. Uterque ergo calculus
arithmeticus, mei et illius, consentiunt quatenus recte computatur sed ille, ut manifestum est, male computavit. Quadratum ergo, inquiet, ab AG nonne duplum erit quadrati a radio Ita quidem, duplum erit. Sed calculo arithmetico nunquam demonstrabitur, propter differentiam inter continuam quantitatem, et discretam. Ad quam rem plura ex differentia illa argumenta sunt. rimo, quod inter duos numeros raro interponi medius potest. Secundo, quia calculus arithmeticus separat quadrata per tres
526쪽
514 QuADRATURA CIRCULI, ADPROP. vii lineas ut modo dixi puras, id est nihilias quas calculus geometricus non recipit. Tertio, qui e duabus rectis AZ,ac longitudine aequalibus, altera AZ vere et proprie est rectangulum, altera Mara-PeZium. Item, rectae omnes quae vocantur latera
triangulorum, sunt et ipsae triangula. Quarto, et praecipue, quia arithmetica nihilo magis pertinet ad geometriam, quam ad aliam quamlibet scientiam. In geometria, nulla est radix, nullum quotiens It que qui ex operationibus arithmeticis theoremata geometrica demonstrare velle didicerunt, operam et tempus perdiderunt. Quantumcunque autem in numeris sit quadratum ab Ac rectas tamen AZ, Ze, simul sumptas, aequales esse arcui BC, in praecedentibus satis demo
Caeterum erige animum, Professori untio enim
tibi, nisi diagonalis A et rectam ita se mutuo
secent, ut ex quatuor partibus maxima, quae te
minatur in i sit secans 30 graduum sumptorum in arcu BC et proxima illi, quae terminatur in G, sit
sinus arcus 60 graduum in eodem circulon et Proxima huic, quae terminatur in B, sit secans arcus 30 graduum in circulo cujus radius est se, vel Ae: et minima quae terminatur in A, sit sinus arcu gr duum 60 in eodem circulo, cujus radius est ' , Vel Ae omnia quae in praecedentibus visus sum mihi demonstrasse, falsa esse. Dependent enim a praee dentibus nexu necessario, et lacile inde deduci possunt a mediocri geometra. Accingere ergo ad Spem OVam, et geometriae tuae nervos si quos habet intende omnes. Quaeres fortasse dissensionis uter calculum arithmeticum et geometricum quae sit causa et meum esse dices quae est tua justitia causam as-
527쪽
CUBATIO SPHAERAE, ETc. 515 signare Redde prius gratiam debitam pro multi ADPROP. VII.
problematibus, quibus geometriam jamdudum am plificavi. on solet, inquies, fieri Recte hoc.
Intelligatur sector quadrantis ABC dividi in rectis lineis ad centrum A mmero quocunque ductis, sine latitudine. Horum sectorum Vertices erunt tot puncta, quot sunt factae partes totius sectoris ABC. Quare angulus rectus A continebit tot Sectorum exiguorum vertices, quot sunt in qu drante ABC sumptae partes. Sectorum igitur horum exiguorum latera non concurrent in puncto A, sed ipsum divident. Concurrent ergo extra Α, nempe G extra quadratum producta. Posita ergo Ac 32, recta sumpta a puncto hoc
extra quadratum indivisibili, si fiat ipsi Ac sequalis, cadet infra c. Et huic addita cia, cadet infra Q. Et huic rursus addita G, cadet infra G. Et tres illae lineae sunt aequales tribus Ac, ΑΩ, G, et in
Causa ergo quare calculus arithmeticus differt a geometrico haec est quod linearum sine latitudine nihilitas facit ut calculus arithmeticus incipiat extra quadratum, et calculus geometricus incipit in ipso quadrato ad punctum A. Distantia autem quae est inter et concursum rectarum latitudine carentium in G producta, erit in calculo arithmetico nitas.
Propositio viii haec est 2 quadrata a quinta parte arcus BC, vel rectae Gi, aequalia sunt l0 qu dratis a semiradio O. Falsum est, dicit primo, quia arcus BC non est aequalis rectae i.
528쪽
AD PROP.viii. Quoniam ergo in i et iii aequalitas haec aperte demonstrata est, tollitur haec objectio. Secundo, quia quadratum a Gi non est aequale I 0 quadratis a semiradio. Quia hoc etiam iterum demonstratum est ad V, et ostensum est ad vii argumenta ejus numerica omnia esse vitiosa firmae sunt i, iii, iv V, i, vii et Viii.
Objectiones contra i et x refutatae sunt in responsione mea ad vii unaque in illius operibus sunt geometrica quae quidem sua sunt omnia confutata, ut quae salsis principiis innituntur.
Contra xi, quae est haec :-Si ducatur recta Aa, dividens arcum V bifariam, secans latus Gin a, erit a tangens arcus 30 graduum- primo supputationem Suam objicit hanc:- est angulusCAa z- et Br 4- ο unius recti, non - Vide, lector, an dubitari possit quin scribendum esset pro Aa, CaΑ errorque esset typographi, quem quidem in suo libro emendare, sed neque objicere neque recitare debuit lector candidus. Quod autem ad propositionem serio OΡ- ponit, hoc est quod punctum concursu rectarum B et Aa erit eaetra quadratum. Bene est: at rectae Aa positio mutari non potest. Sed fieri, inquit, potest ut B producta non transeat per a quia Ga major Si quam Vera tangens 30 M duum caeterum B concurrens cum Aa producta, faciet angulum aequalem 'binius recti. Haec ille. Concedit ergo rectam Br ut vult productam, SeCan-
529쪽
C BATIO HPHAERAE, ETc. 5l7tem esse arcus 30 graduum in quadrato descripto la AD PROP. XI. teribus sequidistantibus a lateribus quadrati ABGC. Quare a puncto concursus rectarum Braetria ducta secans arcus 30 graduum in quadrato exteriore, pareitela erit rectae Br; et propterea recta Br producta incidet in quod negavit ille. Propositio ergo haec ri manet inconcuSSa. Quod autem sequitur, tangens anguli graduum P p et tangens graduum 30 simul sumptae sunt toto radio minores, affirmat ille falso et sine demonstratione, confidens tabulis secantium, Sinuum, et tangentium, quae falsae sunt ut quorum calculus dependet ab extractione radicum quadratorum, quae non sunt latera quadratorum, neque omnino lineae.
Νam in quadrato ABGC, quatuor sunt quadrata a recta CO Si ergo ex 4 extrahatur radix erit illa radix duo. Duo quae Νon sunt duo nihila. Qua sunt ergo res illae duae λ on sunt duo caballi. Sunt ergo duo quadrata quorum quadratum ABGC est . Sunt autem illa duo radix illorum quatuor sequalia rectangulo AO. Quare radix quadrati ab AC est AD quam radicem geometrae mixti sumunt pro latere AC. Quod autem tangen 30 graduum una cum recta GL aequalis sit radio G manifestum est ex eo quod Aa dividit sectorem AC bifariam. am si ducta intelligatur rectata erunt a et L aequales, et angulus GL rectus et propterea, quia angulus aGL est semirectus, erunt Via sequales. QuOniam ergo Ga et a simul sumptae sunt aequales lateri CG, etiam a et L simul sumptae aequales sunt eidem GC. Quanta autem G vel a sit in
530쪽
AD PROP. XI. numeri non examinabo, cum sciam esse incertum
ab ipsa tabularum constructione falsa.
Propositio xii est, latus cubi sphaerae circumscripti additum lateri cubi in eadem sphaera inscripti rectam constituit aequalem semiperimetro maximi in sphaera circuli. Νegat hanc esse Veram quia quadratum, inquit, a BG non est triplum quadrati ama, propterea quod B producta non transibit per a. Huic Objectioni responsum est in responsione aclobjectiones proxime SuperioreS.Νegat deinde rectamina transituram per omnes intersectiones arcus Z cum L etc. eo quoclAC, ΑΥ ΑΖ, ΑΛ eloe, non sunt continue ProportionaleS. Sed proportionales esse ad prop. V iterum demonstratum St. Possem etiam, si vellem tanti emere maledicta, demonstrare quod recta ducta
per D et G transiret per 3 atque ductam Ba sequalem esse rectae Q. Item, rectam A mediam eSSe proportionalem inter totum arcum BC et dimidium ejusdem. Sed relinquo haec rofessori Saviliano demonstranda. Quarto, negat cubum a Ze duplum esse ubi ab eb: quia non sunt, inquit, CG Ze eb, kl continue
proportionales. Ego ero ea esse continue proportionales demonstravi iterum a Prop. V. Omnes ergo propoSitiones meae, excepta secunda, a Prosessore publico incolumes sunt.