장음표시 사용
511쪽
CUBATIO SPHAERAE. 499 Coron. v. Eadem A aequalis est duabus quintis PROP.
arcus BC. am quadrata a Gi, AC, Ae sunt ξ, d,
et Quare latus A est et arcus BC. Notandum quod rectae Gi, AC, A e dupliciter aestimantur uno modo per partes arcus BC, alio per partes radii AC.
Si a puncto Mucatur rectaram parallela CG, areana AC in m die septem recta AC, ΑΥ ΑΖ, Ah, M.Am, se continuep Fortionat . Cum enim A C, ΑΥ, M sint continue proportionales, per constructionem ostensumque sit AZ, ΑΛ, Α esse continue proportionales positis ordine
quantitatibus AC, ΑΥ ΑΖ, ΑΛ,ae, ratio AC ad Aeerit per Eucl. xiv. 28 duplicata rationis A ad M. Sed ratio vad AZ subduplicata est rationis A C ad A Z. Quare ratio Arad ΑΖ, eadem est cum ratione ΑΖ ad A vel M ad A e. Sunt ergo A C, AY, A Z; Ah, A e continue proportionales. RurSus, quia AC, h, i sunt continue proportionales: nam Ai aequalis est dimidiae diagonali ΑGὶ et ΑΖ,
Ah, A e sunt ostensae continue proportionales erit ut AC ad AZ, ita reciproce Ae ad Me. Quia denique tres rectae Ab, An Αἰ sunt aequales tribus AY, ΑΖ continue proportionalibus, etiam ipsae sunt continue proportionales. Sunt ergo septem rectae AC, ΑΥ, AZ, Ah, Ari r Me continue proportionales. Propositio haec sine alia demonstratione perspicua est ab ipso diagramatis intuitu. Impossibile enim est ut septem rectae continue proportionales sint in ratione G ad in nisi arcus ab antecedente do-
512쪽
500 UBATIO SPHAERAE.PR0P- scriptus, et recta proxime consequens, e mutuo secent in recta AO ut quemadmodum arctus ab
AC secata ini, ita arcus ab A secet crin d.
dieti reetis AC, AY, ΑΖ, etc. Manifestum est per Eucl. i. 47 quod quadratum ab AO ad quadratum ab AC vel AΡ, est ut 5 ad 4; quia GC, aequalis AC, secta est bifariam in o et est
Rursus, quia Q, parallela GC secta est bifariamini, quadratum ab A vela est ad quadratum a Ze ut 5 ad 4 quia GC, Ze sunt parallelae, et recta AO secat arcum mad d, et dividiturae bifariam in L Item, quadratum ac, quod est Io quorum AC quadratum est 6 est ad quadratum ab hia quod est' quorum AC quadratum est 16, ut 10 ad B, id est ut 5 ad 4.
Item, quoniam quadratum ab AC ostensum est aequale linquadratis a quinta parte arcus BC, dimidium ejus, hoc est quadratum ab hL, aequale est quinque quadratis ab eadem quinta parte arcus BC. Sed ostensum est rectam eb, Veline, aequale Meduabus quintis arcus BC, et proinde quadratum ejus aequale esse quatuor quadratis a quinta parte arcus BC.
Est ergo quadratum ab EL sive M ad quadratum ab eb sive Ae, ut 5 ad 4. Postremo, cum quadrata ab AC, AZ, sint continue proportionalia in ratione 16 ad lo sive 10 ad 6ὲ erit quadratum abaei eorum quorum quadr
513쪽
CUBATIO SPHAERAE. 50 1 tum ab Am sunt quinque, nam Am est semissi PROP. X.
rectae Ao), et quadratum ab A 4. Sed 6i 5 4
Sunt continue proportionales in ratione 5 ad 4.Νam multiplicatis omnibus per , fiunt ratione non mutata 25, 20 16, quae sunt in continua ratione 5
Etiam intermissis quadratis alterais quin qu dratum ab A est e quadrati ab arcu BC, et quadratum ab Araesta quadrati ab AC, erit quadratum ab AC ad quadratum ab M ut 5 ad 16, id est in duplicata ratione 5 ad 4 Deinde, quia AZ
est aequalis semissi arcus BC quadratum ejus erit quarta pars quadrati ab arcu BC, id est, quorum quadratum ab arcu B est 25, eorum quadratum
ab AZ est 6 . Quia autem quadratum ab AC est ejusdem quadrati ab arcu BC quadratum ab hLerit e Sed quadratum ab e est P. Est ergo, rursus, quadratum ab M ad quadratum ab eb sive Ae in duplicata ratione 5 ad 4. amii 5. sunt
continue proportionaleS. Quare calculus arithmeticus demonstrationi eometricae proxime praecedenti non repugnat. Est tamen calculus alius arithmeticus, etiam Verus, qui repugnat, demonstrationem tamen non
destruit. Procedit autem calculus quem dico, per Regulam Auream. Exempli causa ostensum est quadratum a Gaequale esse linquadratis a quinta parte arcus BC; et rectam Aia duplam esse rectae Ae et quadratum ab M aequale esses quadratis a quinta parte arcus BC et proinde quadratum ab A aequale essem quadratis a quinta parte arcus C; et quadratum abo aequale esse 8 quadratis ab
514쪽
502 UBATIO SPHAERAE. PROP. X. eadem quinta parte arcus BC denique, quadratuma CG ad quadratum aba esse ut 10 ad B. Examinemus haec jam per Regulam Aursam. Μultiplicetur in se factus erit 64 qui clivisus per l0, facit quotientem e pro quadrato a c. Sed quadratum a Ze est quarta pars qunorati a toto arcu BC, sive quarta parsa quadratorum quinta parte arcus BC et proinde erit 6 quo mGC quadratum est Io. Quare si et i EbenteSSe aequales, nec sunt. Differunt enim in ratione θ ad P, id est ut Metra vel 16 et 10. Rursus, quadratum a Z aequale est 10quaoratis quarta parte lateris CG, et quadratum ab L aequale est' quadratis ab eadem quarta parte I teris CG. Quare quadratum ab e deberet esse aequale e quadratis a quarta parte lateria G. Sed quadratum ab eb sive Ae ostensum est aequale 6 quadratis a quarta parte lateris CG. taque iterum reperitur dissensio similis prioris. Rursus, quia quadratum a CG aequale est linquadratis a quinta parte arcus BC quadratum ab L, quod est dimidium quadrati a G, erit aequale quadratis ab eadem quinta parte arcus BC. Sed quadratum ab eb ostensum est aequale esse inu dratis ab eadem quinta parte arcus BC. Est ergo quadratum abra ad quadratum ab eb ut 5 ad 4. Fiat jam juxta Regulam Auream, ut 5 ad cita 4 ad tertiam eritque illa tertia a pro quadrato rectaemn. Quoniam autem recta AO, Vel Ac, ostensa est media proportionalis inter arcum BC et ejus semissema erit quoque ηι, quae est semissis rectae ΑΟ, media proportionalis inter arcum quadrantis
descripti ab M et semissem ejus, id est, inter Ze
515쪽
CUBATIO SPHAERAE. 503 et emissem ipsius e. Quadratum autem et PROP. X. aequale est 6 quadratis a quinta parte arcus C. Differunt ergo rursus eadem ratione qua ante. Praeterea, quadrata ab eb, mn kl, quia sunt in
tione quadratorum M, M', id est in ratione quadratorum ab AZ, M.Ae, habebunt eodem modo calculum geometricum ab arithmetico diversum sicut illa, nempe ut per Regulam Auream quadratum ab Ak vel kl majus justo sit quanto majus est; quam ' unius unitatis. Postremo, quia quadratum a CG l6 est ad quadratum arae 10 ut 6 ad l0, sive ut 10 ad 6i, quadratum ab e sive Ae ut ante ostensum est)erit si quod consentit cum calculo geometrico. Sed quadrata illa non sunt immediata, quia inte Ponuntur quadrata abaia et hL. Νeque mirum videri debet, si calculus perra
gulam Auream producat humerum majorem quam calculus per ipsa plana geometrica. am numerus est quantitates discretae, in quibus una cum altera nihil habet commune, sed tot revera sunt resin meratae quot numerantur. Quadrata autem haec sunt quantitas una continua, quae cum habeant quatuor latera unumquodque non contigua sed continua, quoties multiplicantur toties singula latera eadem numero numerantur, id est, unumquodque latus multiplicatur, et proinde faciunt numerum quadratorum justo majorem. Haec fuse, et ut credo perspicue explicui, ut sciant tandem geometrae qui plana metiri consueverunt per Regulam Auream Vel per algebram,hustra se facere.
516쪽
504 CUBATIO SPHAERAE. PROPOSITIO I.
PROP. r. Si a centres ducatur recta Aa, disse a----ΡWbi riam, secamque larua CG ima, ctris G ι- gens arcu 30 graduum. Ducatur Oo parallela lateri AC secans Iatus BAinis, et arcum BC in et ducta B productatur ad latus CG illa recta abscindet tangentem 30 graduum facietque cum GC angulum aequaIem sive, anguli recti. Rursus, quia duo arcu CRI Usunt aequales, etiam totus arcus CL secabitur ab Ambifariam. Est ergo angulus Aa quarta pars rectit et
angulus GA, sive Aa, tres quartae unius BCti, Sive in unius recti et angulus B aequalis P unius recti. Anguli autem axe ABr faciunt unius recti. Ergo producta recta Br donec occurrat ubicunque rectae a faciet cum en angulum aequalem unius recti. Rm Ἀ- et , faciunt ζ, id est, duos rectos, id est, angulum aequalem omnibus simul angulis qui constitui possunt super unam rectam in quocunque puncto ad easdem partes. Itaque producta B incidet in a et propterea Ga sequalis est tangenti 30 graduum. Coroll Recta Gi, quae ostensa est aequalis arcui BC aequalis quoque est rectae compositae ex Semidiametro circuli et tangente 30 graduum.
Item, At, quae divisa est bifariam arat, dividitur quoque bifariam a recta a et a sequalis est lateri BA. Item, manifestum est quod Ba Secans arcus 30 graduum transit per b. Producta enim eb ad BG
517쪽
in q, erit B aequalis Αe; et qb, - aequales et PROP. i. cum BG Ga BG sive BqΦqb, et ipsam sint continue proportionales, erit ut Mindi ita CG ad Ga Ducta ergo Bb incidet in punctum a.
Latus cubi aphaerae circumacripti, additum Lateri cubi in eadem phorea inscripti, rectam congiituunt inqualem semiperimere marimi in sphaera circuli. Cubus enim sphaerae circumscriptus habet pro latere G. Est autem BG aequalis diametro sphaerae cubo inscriptae, cujus latus est ipsa BG. Quadratum autem a BG triplum est quadrati a Ga latus ergo cubi sphaerae inscripti est ipsa a. Sed utrumque simul, latus cubi circumscripti et inscripti, nempe B et Ga ostensa sunt aequalia rectae Gr, quae recta ostensa est aequalis arcui C. Arcus autem BC aequalis est semiperimetro maximi circuli inscripti cubo cujus latus est BG.
Recta As, quae transit per intersectionem arcus C et rectaeae transit per caeteras omne intersectiones arcuum et rectarum similes et inter se aequalium ostensum enim est, aequales esse inter se arcum C et rectam Zc.
Μanifestum item est cubum a CG duplum esse cubi a Ze et cubum a Zc duplum esse cubi ab eb; et cubum ab e duplum esse cubi a kl, sive Ak.
518쪽
PROP. H. Constat item, si in recta GH, quae est dupla G, sumatur is quae sit dupla Ae cum in sit clupla Ze quatuor rectas GH, Gi, is, GC esse continue proportionales. Itaque posito cubum a GH esse 64 cubus a in erit 32 cubus ais 16 cubus, C8 cubus arae 4 cubus ab ebri cubus a kl, L . I.
Item sphaeram medio loco proportionalem esse inter cubum a sui ipsius diametro, et cubum a quadrante perimetri circuli sui maximi. Item, latera quinque figurarum regularium in hac figura ii distinguuntur sicut sequitur Si oentro Ρ, intervallo Y vel Q, describatur circulus, latus pentagoni circulo hinc inscripti erit latus i-s edri inscripti sphaerae cujus diameter est os, centrum l. am quadratum ab Uvellia aequale est quinque quadratis a quinta parte diametri ovel C. Cum enim quadratum a C aequale sit 25 quadratis a quinta sui parte, quadratum ab asequale erita quadratis a quinta parte ejusdem GC vel o Ergo quadratum ab ΥΡ vel PQ, nempe quarta pars quadrati ab Q, aequale est quinque quadratis a quinta parte diametri o. Quare per Eucl. xiii. 6 latus icos edri sphaerae inscripti cujus diamater est o aequale est lateri pentagoni inscripti circulo cujus diameter est Q. Latus cubi eidem sphaerae inscripti est recta GaVel ι, nempe tangens 30 graduum in circulo cujus semidiameter est BC. am BC, sive O triplum potest tangentis 30 graduum, ideoque per Eucl. xiii l 5 Ga est latus cubi inscripti eidem sphaerae.
Latus dodec edri in eadem sphaera inscriptI, est majus segmentum rectae Ga id est lateris cubi extrema et media ratione secti per Eucl. xiii 17).Latus tetrahedri aequale est rectae quae subtendit
519쪽
DUPLICATIO CUBI. 507 angulum rectum in triangulo cujus utrumque latus PROP. XII. Circa angulum rectum aequale est lateri cubi a.
Νam subtensa illa duplum potest rectae a Quare potentia diametrii potentiae illius subtensae est sesquialtera. Itaque subtensa illa est latus tere hedri in eadem sphaera inscriptisper Eucl. xiii I M. Postremo latus octahed eidem sphaerae inscripti, est Ac sive chorda quadrantis maximi in eadem sphaera circuli, cujus quadratum est dimidium quadrati ab Oo ideoque latus est octahedri in eadem sphaera inscripti per Eucl. xiii 143. CONTRA libellum hunc prodiit nuper geometriae in Academia Oxoniensi professoris publici typis Ac demicis, Academiae in prima pagina impressum
habens sigillum, confutatio nimirum, ut scirem certamen mihi fore contra geometriam Academi- eam. Scio atque etiam contra geometras hodiernos fere universos. Video adversariorum a num exercitum. Si non rationibus, sed fustibus decernendum esset, metuerem. Nunc non metuo. Hoc volui. Dignum habere adversarium, si non Virtute, saltem numero Volui. Volui etiam arithmeticam istam FeciOδam provocare, ut cum praestigias quas in geometria facere solita est, simul omnes publice ostentasset, totum illud artificium detectum a geometria in perpetuum ablegarem.
Confitetur professor Academicus; si QL,CYΡ sunt aequalia, totum triangulum AY aequale esse
520쪽
508 QUADRATURA CIRCULI, AD PROP. I. sectori ΑCL. Reprehendit quod non sit demonstratum. Ego ero demonstratione indigere apud logicae peritissimos non potui credere. Secundo, atta inquit ea ad confluationem re Haitionis me disjunctivae, quod non ait a me -- monstrata. Non enim ibi, dicit, incumbere probare falaam esse, sed mihi incumhere probares veram erae Vide, lector, ingenium hominis thematici, etiam extra geometriam. ihine incumbit demonstrare esse veram Quid istdemonstrare, praeterquam docere eum ergo est docere professorem publicum Ille me accusat falsi. Ad quem pertinet probatio : ad accusatum, an ad accusatorem Egone doceam professorem
hunc publicum Qua lege, quo merito hominis maledici Sed nunc faciam, puto, ut tum ille,
tum sequaces illius demonstrationes meas intelligant melius quam Vellent. rtio, ut probet triangulum AYO et sectorem ACL non esse aequalia, assumit, ut demonstratum ab Archimede, perimetrum circuli ad diametrum in minore ratione esse quam 22 ad 7. Id vero neque ab Archimede demonstratum est, neque illius methodo demonstrari potest. Procedit enim per extractionem radicum, assumitque radicem numeri quadratorum in quadrato majore contentorum, eme totius quadrati latus quod est manifeste falsum. Nam radix numeri quadratorum est numerus aliquis quadratorum, non aliter quam radix l00 lapidum est 10 lapides. Contra propositionis hujus corollaria nihil o jicit, praeterquam quod procedunt ex suppositione quodlia et YΡ sunt tum intor ae aequalia, tum simul sumat aequalis ΡΑV Bene est Quoniam