장음표시 사용
491쪽
PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 479
Sed propter angulum Cy rectum divisum bisa APPENDix. riam ab Rν, recta Cis dupla est recta CR, id est, rectae DO.
G H. i. Quoniam DV est semissis lateris BC, et D semissis adjunctae L et ducta A transit ut supra ostensum est per X erit ratiora ad DX duplicata rationis ΑD ad DX. Quare ratio OV sive D semissis ipsius Βδ), ad DF semissem ipsius AD), duplicata erit rationis D ad DX, id est, eadem ratio quam habet DC ad DX. Ut ergo DC ad X, ita est OV sive Dh ad DF. Sunt ergo rursus DC, h, DF continue proportionales. mu ii. Jungatur gy, producaturque ad Cin . Quoniam ergo M dupla est Ag, erit quoque propter similitudinem triangulorum re, Ἀγγrecta C dupla γ. Itaque γ,im sunt aequales: et RV, quae est differentia inter C et V, aequalis differentiae inter dimidium lateris et tangentem 30
rou. iii. Dupla m aequalis est tangenti 30
graduum, nempe rectae o. am Moy sunt aequales. Coroll. v. Semissis circumferentiae circuli descripti a gr semiradio, aequalis est lateribus ambobus cuborum quorum unus circumscribitur, alter inscribitur eidem sphaerae in qua maximus circulus
est qui describitur radio gr semissi lateris AB; quod sic ostendo. Si in quadratorum eorum quae cubi bases sunt, uno quocunque ducatur diagonalis, erit quadratum ejus duplum quadrati a latere cubi. Rursus si in termino alterutro illius diagonalis erigatur perpendicularis aequalis cubi lateri, recta quae subtendit diagonalem, et latus illud cubi erectum,
492쪽
480 DE EDIIS APPENDix poterit triplum cubi latus. Erit autem illa sub
tendens maxima omnium rectarii qum intra Cu-bum duci possunt; et per consequens, diameter erit sphaerae cui cubus inscribitur. Νam diameter sphaerae triplum potest lateris cubi in illa sphaera inscripti. Centro , radio gr semisse lateris ΑΒ, describatur circulus η F, ducaturque V parallela et aequalis CD, secans diagonalem AC in μ. Quoniam ergo Vm aequalis est tangenti re, si jungatur μι, erit illa sequalis eidem Cre; cujus quadratum est μινλ Quoniam ergo latus D triplum potest reotin Cis, ut manifestum est ex eo quod sinus 60 duum triplum potest semiradii, et ut sinus 604-duum ad semiradium, ita radius ad tangentEm 30 graduum), erit cubus cujus quadratum est μιώλ,
inscriptus in sphaera cujus maximus circulus est U F. anifestum autem est cubum cujus unum quadratum est ABCD circumscriptum esse sphaerae eidem iii F; et ostensum est rectam compositam
ex latere AB cubi circumscripti, et u id est,milatere cubi inscripti, aequalem esse arcui quadrantis BD, id est semissi circuli 1 F.
Ρostremo, eadem haec comparemus eum numeriS;
et quia radix numeri non semper est numerusin quadrata ipsi in numeros convertemuS.
Ρroducatur BC in L ita uti possit decem quadrata a recta DV sive DF jungaturque Ah quae secabit DC in X quod sic ostendo. Quoniam B potest decem quadrata a DV et ΑΒ
potest quatuor quadrata ab eadem V erit quadratum a B l0, quorum quadratum ab A sive DC est sive quorum quadratum a B est 40,
493쪽
PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 48Ieorum quadratum a DC est 16 Est autem ut 40 APPRNnix.
Cumque Hostensa sit semissis totius Βδ, pote ,rit Dh decem quadrata a semisse ipsius V sive aquarta parte lateris C. Quadratum ergo a DC ad quadratum a D sivea Μ, est ut 6 ad 10. Rursus ut 16 ad 10, ita est 6 ad 4. Sed quadratum a DF est , quorum quadratum a DC est I6. Quare latus quadrat 16 est ad latus quadrati I 0, ut latus quadrati sic ad latus quadrati . Quare rectae DC, h, latus quadrati 6b, DF sunt proportionales.
Sed ostensum est esse ut DC ad Bh, ita DX ad DF latus ergo quadratile est ipsa DX.
Sequitur hinc, primo, rectam Messe mediam proportionalem inter DC et duas quintas ejusdem DC. Quadratum enim a DX, nempe DXH, est duae quintae quadrati a DC; quis 3 est quinta pars 16 et 6; duae quintae ejusdem quadrati a DC et Propterea sequale rectangulo sub DC et duabus quintis ejusdem DC. Sequitur secundo, quod ducta X et producta ad occursum BC productae iura, rectam B posse I 0 quadrata a DF. Sequitur tertio, rectam DE quae est media proportionalis inter DC et DF, mediam quoque esse inter Dh et DX. Cum enim quadratum a D sitI0, quorum quadratum a DC est 6, et quadratumam 8 si fiat ut 10 ad cita 8 ad tertium, erit illud tertium 6 P. Unde patet etiam hoc rationem DF ad D esse ad rationem DF ad DX, ut subtriplicata ad subduplicatam, ut illi loquuntur ego
494쪽
482 DE MEDIIS APPENDIT. Rutem malim dicere, ut tres rationes minoris ad
majus, ad duas rationes minoris item ad majus. Sequitur quarto, rectam B esse ad D ut 5 ad 2. Cum enim quadratum a B sit ad quadratum a DCut 40 ad l6, id est ut 5 ad 2 et ut quadratum a
B ad quadratum a DC, ita ipsa B quia quadrata sunt in duplicata ratione laterum ad DX, erit Baad D ut 5 ad 2 et quadratum a BDad quadratum a DF ut 25 ad 2, id est ut 10 ad I et ipsam Ba ad DF ut L 10 quadrata a l. l . tque hactenus quidem calculi geometricus et arithmeticus consentiunt inter se et cum Euclide.
Sunt autem rectae D sive Μ DX, D sive
DV continue proportionales, propter semicirculum MXV. Quare etiam earundem quadrata Sunt continue proportionalia. tqui si reducantur ad numeros, numeri illi proportionales non erunt. Est enim quadratum a D4 10, quorum quadratum a DXestia, et quadratum a DF 4. Qui numeri non sunt proportionales. Reducantur enim ad numeros integros, quod fiet multiplicando singulos per 5. Facti autem erunt 50, 32, 20 qui proportionales non sunt. Sunt enim 50, 32, 20 2 continue proportionales quorum minimus est justo major. Continue item proportionales sunt DC DR DX, quibus respondent numeri I 6, 10, 6e; qui propo tionales non sunt. am reducti ad integros fient 80, 50, 32 qui proportionales non sunt. mpo tionales enim sunt 80, 50, 3H, quorum minimus est justo minor. Unde autem nascitur haec geometriae et arithmeticae dissenties Ab eo quod subtendens trianguli
rectanguli non semper potest latera duo angulo
495쪽
PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 483 recto adjacentia, cum subtendens illa non sit linea, APPENDix.
sed minutum triangulum cujus si punctum ver 'ticale computetur pro nihilo terminus alter erit trianguli minuti basis. Cum enim duae rectae BA, BC punctum habent communem quantitate carens; si ab eodem puncto B ducatur tertia recta faciens angulum quemcunque cum B vel BC, illa tertia propior erit utrivis duarum Α, C, quam altera earum alteri; et propterea habebit tertia illa cum utravis priorum
plus quam punctum commune, id est communem partem. Quare tres illae rectae una eademque erunt rectat. Item propter eandem causam, totum circuli planum erit linea recta. Quod satis est absurdum. Recta ergo subtendens pro linea haberi non potest, nisi quae sit diagonesis quadrati. Illa enim dividit angulum rectum bifariam id quod non facit diagonalis rectanguli non quadrati. Unde
necesse est numerantibus quadrata, quia minutissimi trianguli basis, quantulacunque ea Sit, quantitas tamen est), unam et eandem quantitatem
Si denique cubos ipsos per numeros investigare volumus, impossibile olumus; quia quadratum multiplicatum per numerum facit semper quadrata, quorum nulla multitudo faciet cubum. Causa ergo quare problemata illa, metiendi circulum, duplicandi cubum, dividendi angulum, dividendi rationem, et alia multa inventa hactenus non fuerint, nulla assignari potest praeter has V. Quod ad ea invenienda abusi sunt arithmetica: ' Quod errores antiquorum recentiores nimium Venerati sunt. I'. Quod qui errores illos conati sunt dete-
496쪽
484 DE MEDIIM PROPORTIONALIBUS, ETC. APPENDIT. gere, eos imperiti homines ne sua inscitia simul o tegeretur convitiis abstemierunt. Quibus tamen omnibus propter rei dissicultatem, et antiquitatis reverentiam, ignosci potest, praeterquam ultimis illis convitiatoribus, non geometris, Sed insulsis, indignis geometriae procis.
499쪽
QUO tempore ΜAGNE RINCEPs, celsitudo tua cum dignitate sua summa et populi universi plausu Anglorum terram, urbes, scientiarumque domicilia illustrabat recentem a praelo opellam hanc celsitudini tuae, humanitatis suae radiis etiam ad me penetrantibus excitatus, cupiebam dedicare. Sed antequam id facerem, aemulorum meorum reprehensiones expectandas esse censui: certus, nisi refellerent, non indignum fore quantocunque patrocinio hoc munusculum. Prodiit autem nuperrime refutatio ex Academia xoniensi typis Academicis; authore, geometriae publico Professore argumentis arithmeticis. Illius ergo meisque collatis rationibus, quae in titulo operis pollicitus sum confirmare debeo et facio accurate in libello hoc quem tibi nunc offero; breVem, ut occupato tibi, ut certaminum hujusmodi incorrupto, nec imperit judici. Scio philosophiam
seriam unicam esse, quae Versatur circa pacem et o ' Sic edit. I 669.
500쪽
tunas civium, principalem caeteras nihil esse praeter ludum audimus enim otiosi in nominibus Grammatici,
in syllogismis Logici in sonis usici, in numeris Arithmetici, in motu Physici, in figuris Geometrae clum otium nostrum negotia tuentur Principum. eo tamen nihil agere videmur nobismet ipsis Praedia sunt geometris Problemata, possidentque ea plerique quasi jure seudasi ab antiquis geometriae dominis Euclide, Mohimede, aliisque, per servitudinem et pertinaciam. Schola illis
Praetorium est, ubi verum constituunt suo irbitrio. Iure occupationis inventum novum non loquiritur:
nimirum, quod quisque ingenii sui proprium opus Sejudicavit, si parum festinanti praeripiat alter, injuria est. Legem hanc supercilio damnari iniquam non Patior. Ratio, si asperatur, vincat. Sed lectori neque intellectum
neque patientiam praestare debeo. Itaque provoco ad exteros, atque etiam ad posteros, sub tuo, MAGΝsΡRINCEPS, nomine, cui quae cupis omnia Deus comprobet, et quae agi Secundet. Serenissimae celsitudinis tuae Servorum humillimus ΤΗΟMAS HOBBRS.