장음표시 사용
501쪽
Circulo dato quadratum invenire aequale. Si in fig. I circulus datus BCDE cujus centrum OP. Α, divisus quadrifariam a diametris BD, CE Circulo hinc circumscribatur quadratum FGHI, quod tangit circulum in punctis B, C, D, E. Ducantur diagonales GI, ΗF, secantes circulum in punctis Κ, L, Μ, Ν. Secetur semilatus CG bifariam in , ducaturque Ao secans circulum in . e punctum P ducatur recta QR parallela GH, secans AG, AH in Q et R. et C in Y compleaturque quR-dratum QRSΤ. Dico quadratum QRS aequale esse circulo BCDE dato. Quoniam enim recta CG secta est bifariam in , et triangulorum ΑCG, ΑY bases CG, Y sunt parallelae, etiam basis insecta est bifariam in P et proinde triangula ΑΥΡ, ΑΡΩ sunt aequalia. In arcu LC sumatur arcus LV aequalis arcui Ρ: ducaturque ΑV, secans Pin X.
502쪽
Quoniam ergo M sector additus sectoribus duobus ACV, ΑΡL, facit integrum sectorem ACL etiam duo trilinea addita sectoribus iisdem ACU AΡL, facient quantitatem aequalem sectori integro ACL. Iam trilineum GL additum sectori ΑΙ Ρ facit triangulum PQ. Et qui ΑΙ Ρ, CV, sectores sunt aequales, et triangula AYP, APQ aequalia trilineum idem PQ additum sectori AG facit triangulum MP. Si ergo PQL, CYΡ sunt aequalia, totum triangulum ΑY aequale erit sectori integro ACL. Sin ΡΩΙ sit majus vel minus quam CYΡ, triangulum
AY erit majus vel minus sectore ACL. Aut ergo in triangulo AC triangulum rectangulum cujus vertex sita, sequale sectori AC sumi nullum potest, aut iaL GP sunt aequalia. am si AC ΑΙ Ρ aequalibus, addatur dimidium sectoris utrinque fient duo triangula sectori ACL sequatia. Itaque quantum trianguli alterius erit intra circulum, tantum alterius erit extra. Quod fieri impossibile est praeterquam in concursu rectae Ao cum Ria et CL ad P. Alioqui enim aut triangulum aut qua titas Ρ non dividetur bifariam. Aliter directe. Sector AC superat sectorem AC quantitate AVΡ. Ergo ACris erat triangulum ΑΥΡ quantitate Ρ- P. Superat autem quantitate ipsa
CYΡ Sunt ergo AV CYΡ et GP aequalia. Addito utrinque CYΡ, erunt V et Coaequalia. Et quia AVRaequalis est ambobus spatiis PQ et YΡ, erunt PQ et YP aequalia.
503쪽
Aliter directe. Trilineo CVΡ ablato a sectore Ρ, restat trian PROP. I.
gulum Ρ. Ergo trilineo toto Y ablato ab eodem sector Ρ, restabit triangulam AYΡ. Ergo sector Crisuperat triangulum QRquantitate V CYΡ. Sed V CY est aequale ΡΩΙ . Itaque sector ΑCΡ superat AYΡ quantitate Ρ . Ergo G et QL sunt aequalia. Addito ergo utrinque CYΡ, erunt ΑVΡ et 2CYΡ aequalia. Et est ergo sector ΑVΡ duplus trilinei CYΡ. Cum igitur idem ΑVrsequalis sit ambobus trilineislQLet YR erunt ipsa PQ et YΡ inter se aequalia.
Quorum alterum PQL totum prominet extra sectorem ACL, alterum, nempe CYΡ, totum in eodem sectore ΑCL est immersum.
Quare triangula ΑΥΡ, ΑΡ simul sumpta, id
est octava pars totius quadrati QRS aequalia sunt duobus sectoribus ΑΟΡ, ML simul sumptis, id est octavae parti totius circuli BCDE dati et totum quadratum QRSrsequale circulo integro BCDE. Aliter. Si triangulum rectangulum YQ sectori CL aequale non sit, supponatur triangulum aliud, primo, minus quam ΑΥ sed simile habens verticem in Α, latus Aq, et basim et aequale esse sectori A CL. Basis autem y secet arcum C in F, et rectas Α AG in et q. Quoniam igitur triangulum Ap aequale est, ut supponitur, sectori ΑCL, erunt trilinea Iis, Cypaequalia. Et quia supponitur L dimidium esse sectoris VP erit sector ACV una cum trilineo Cyp aequale sectori ΑΙ Ρ una cum inlineo qΙ ,
504쪽
492 QUADRATURA CIRCULI. PROP. i. idemque aequale triangulo A . Rursus, quia triangulum M aequale est sectori ACL, erunt inlinea is et Cy sequalia, et ambo simul aequalia sectori ΑVP. Et proinde ACU aequale dimidio sectori ACL, id est triangulo Ayr totum parti, quod est absurdum. Similiter, sector una cum trilineo is aequale erit triangulo A , id est, pars toti quod
Si Αν sumeretur supra triangulum ΑYQ, idem
Est ergo triangulum ipsum Y aequales sectori ACL id est, octava pars quadrati QRS duobus sectoribus ACΡ, ΑΡL simul sumptis, id est octavae parti totius circuli BCD dati et totum quadratum QRSrsequale circulo integro BCDE.
Inventum est ergo circulo dato quadratum aequale.
Coroz i. Si centro A, semidiametro Ab quae sit media proportionalis inter latus ΑC et ipsius dimidium, describatur arcus circuli secans AO in b, et V in e et AC inra, erit tum sectorculus Me, tum quadrilineum Ρbe, sequale trilineo CN.Ρraeterea, si a punctora ad latus AC ducatur empendicularis M, erit trilineum hibe dimidium trilinei CYP. Coroll. i. Sequitur etiam excessum quadrati ABG supra quadrantem ABC, esse ad excessum quadrantis ejusdem supra dimidium quadrati ABGC ut 2 ad 3. Ducta enim a puncto L ad latus AC perpendicu
505쪽
QUADRATURA CIRCULI. 493Jam triangulum AG ad triangulum Y est PROP. i. ut 5 ad 4. Ergo trapeetium CYQG est , quorum triangulum A GC est 5, et triangulum YQ , et triangulum AL l, Et quia triangulum YQ sectori A CLest aequale triangulum GC est , quorum sector ACL est . Ergo trilineum L estra, quorum secto A CL est idemque trilineum L aequale trapeetio CYm. Quoniam ergo triangulum AL est i , quorum trilineum L estra, et trilineum CLBG ipsius CL duplum 2 qui est excessus quadrati ABGCSupra quadrantem ABC: et trilineum CL dupli-
Catum, nemPe excessus quadrantis ABC supra ΑΙ Λ duplicatum, erit 3 quorum trilineum CLBG est 2. Est ergo excessus quadrati A BGC supra quadrantem ad excessum quadrantis supra dimidium quadrati ABGC ut 2 ad 3. Quod erat demonstran
Sphaerae cujua diameter aequalem inuenire
8 enim supposito quod planum quadrati FGHI sit in horigonte erigantur in punctis , Τ, Ρ, Q, R β, B, , T Κ, δ, E, π, , , , T, D, η, R, Μ, θ, Perpendiculares altitudine quanta est recta AC super horigontem planum ductum per illarum terminos
506쪽
PROP. i. erit quadrato FGm parallelum, et distinctium Pa tibus iisdem quibus distinguitur quadratum pSum FGHI in dictis punctis. Atque idem continget, Si eaedem perpendiculares productae sint in eandem altitudinem AC inis horiZontem. Similiter, si in punctis Q, Ρ, θ, R, i,T,S, , , T, γ,m in altitudinem A erigantur perpendicuInre SuPm horizontem, planum ductum per illarum terminos erit quadrato QRSPparellelum. Atque iclem Continget etiam infra horizontem eruntque moti duo cubi, quorum latera sunt GH et QR Super oentrum A constituatur quadratum sequiae d-bus tertiis totius quadrati ΗΙF. Quoniam ergo quadratum QRSPaequale est circulo BDCE, si ad
puncta Q, R, S, erigantur rectae perpendictu armquRrum unaquaeque aequalis sit diametro CE, et solidum rectangulum aequale cylindro constituto in eadem altitudine. Hujus cylindri duae tertiae sequales sunt per Archimedem sphaerae a diametro CE: nempe, Pa allelipipedum rectangulum cujus altitudo est Og, et duae dimensiones reliquae sunt Ret QR aequale erit sphaerae. Inter latus Q et altitudinem regsumatur media proportionalis kn, compleaturque quadratum Limn Quoniam ergo latera Q. , sunt continue proportionalia, erit quadratum klmnaequale rectangulo sub Q ag Quare quadratum ktan ductum in suum latus is aequale erit solido sub ΤΩ - - Quoniam ergo ratio quadrati astu ad quadratum ab ag duplicata est rationis quam
habet altitudo k ad ag et altitudo Τ ad altitudinem a duplicatam habet rationem ejus quam habet altitudo Q ad altitudinem is erunt bases solidorum suba δ' ag et altitudines eorundem
507쪽
CUBATIO SPHAERAE. 495 solidorum reciprocae. Quare per Euclid. Elem. i. PROP. H.
prop. 34hcubus a kn, et solidum suba et quadrato ab ag sunt aequalia. Sed solidum suba et quadrato ab ag aequale est sphaerae cujus diameter est CE. Quare cubus ara sequalis est sphaerae eidem.
Inventus ergo est cubus sphaerae aequalis. PROPOSITIO III. Invenire rectam equalem arcui L.
Repetatur in figura secunda pars figurae primae, in qua quadratum QRSPaequale est circulo BCDE. Centro Α, intervallois describatur arcus circuli secans Αο in Q et AG in b et per punctum, ducatur recina parallela GC secans AC in die AG
Dico rectam Z aequalem esse arcui L. Νam G, YQ, Ze sunt continue proportionaleS. Et per Archimedem de Dimensione Circuli triangulum rectangulum, cujus latus unum circa angulum rectum aequale est perimetro circuli, et latus alterum aequale semidiametro, aequale est totius circuli areae. Ergo rectangulum sub semiperimetro et radio, aequale est areae ejusdem circuli. Ergo rectangulum sub parte quarta perimetri et radio, aequale est areae semicirculi BCD. Ergo rectangulum sub octava parte perimetri et radio, id est rectangulum sub C et arcu CL, aequale est areae quadrantis ACB. Ergo quadratum a media proportionali inter AC et arcum CL aequale est areae quadrantis ejusdem
508쪽
496 UBATIO SPHAERAE. PROP. ui Sed quadratum abaci aequale est areae quadran-
Ergoa est media proportionalis intct AC vel CG, et arcum L. Sedaia est media proportionalis inter C et M. Ergo Ze aequalis est arcu CL sive octavae Partitotius perimetri BCDE, id est semissi arcus CB.
Si in latere C producto umatur Gi Ula rectoe Zac, jungaturque Bi aeeana AC in e serit -- eus quadranti degeripti radio Ae equalis lateri GC. Cum enim rectara sequalis sit arcu CL erit recta Gi aequalis arcui BC. Sunt autem triangula BGi, BA similia. Quare ut G ad BG, ita BA, id est BG, ad M. Sed G aequalis est arcui quadrantis descripti radio BG. Quare latus B aequale est arcu quadrantis descripti radio Ae. Sequitur hinc arcum es, secantema ini et Aoin g, aequalem esse semissi lateris AC, et esse ad rectam Z ut radius ad quadrantem suae perimetri.
A puncti ducatur recta L parallela lateri GC, ecana AC mi et e parallela eidem lateri GC, Mansis in Met AC in e Dico jam tres recta Zc hL, eb, sive M.Ah, e, eo continue proportionale8. Cum enim Gi, AC, e sint continue proportionales, item AG, AC, EL continue proportionales, et AC utrobique media erit ut G ad G ita recti
proce L ad eb. Quare ut G ad AG, id est G
509쪽
semissis ipsius Gi, ad si semissem ipsius AG), ita PROP. V. EL ad eb. Sunt ergo Ze, EL, eb, sive AZ, continue
proportionaleS. Constat hinc rectam A aequalem esse duplae eb. Constat praeterea arcuman, ductum a radio A Zet terminatum in As et rectam LM secare rectam AO in uno et eodem puncto. Alioqui non essent Zo, hL, emcontinue proportionales.
Ut latus CG uel AC, ad Zoene AZ, ita estae ad aemiagem lateris CG se AC. Secetur enim e bifariam in k, ducaturque lparallela CG, secans AG in I. Quoniam ostensum est Gi, CG, A esse continue proportionales, erit ut GC ad semissem in ita Ae ad semissem lateris G,
id est, ut C vel CG ad Ze vel AZ, ita Ae vel ebad Ak vel κ
Quadratum ab M uel Z aequale ea decem quadrati a quarta parte lateria C. Quadratum enim ab AO aequale est quinque quadratis a semiradio O, id est, viginti quadratis aquarta parte C. Sed AO, Ac sunt aequales. Quare quadratum ab Aeraequale est viginti quadratis a quarta parte AC. Sed quadratum ab Ac duplum est quadrati ab M vel Ze. Ergo quadratum vela sequale est decem quadrati a quarta parte lateris AC. Corol Quadratum a G quadruplum est quadrati ab AZ, et proinde quadratum a Gi aequale est quadraginta quadratis a quarta parte lateris ΑC.
510쪽
498 UBATIO SPHAERAE. PROPOSITIO VIII.
PROP. Viii. Viginti quinque quadrata a quinta pares arcuδBC uel rectae in aequalia tin decem qua alia agem radio Ο.Νam viginti quinque quadrata a quinta arte arcus BC, aequalia sunt quadrato ab ipso arcu BC sive a recta GI, id est per praecedentem decem quadratis a semi-radio O vel, quod idem est, quadraginta quadratis a quarta parte lateria AC. Coroll. i. Decem quadrata a quinta parte Meus B sunt aequalia quatuor quadratis a semi-radio O,
id est, ipsi quadrato ab AC quia est ut 25 ad Io, ita I 0 ad 4. Comu it. Item, quadratum a duabus quintis arcus BC aequale est quadrato ab Ae: quia ea ut 25 ad 10, ita 10 ad 4 et sunt arcus BC, radius AC,
et recta A e continue proportiona es. mu iii. Item, arcus quadrantis descripti a sui semi-diametro, aequalis est quintuplo semi-radio CO. Quadratum enim ab A C ad quadratum ab arcu B est ut 4 ad 10, ratio autem 4 ad 10 semissis est subduplicata rationis 4 ad 25. Quare arcus descriptus a in erit latus quadrati quod est aequale viginti quinque quadratis a semi-radio m quia quadratum ab AC, et quadratum a G, et quadratum a quintupla CO sunt continue proportionales. Corosi iv. Item, quintupla CO rectami, recta CG, recinae, et e radii AC, sunt continue propo tionales. Quorum enim in potest 25, eorundem AC potest I0. Quorum ergo AC potest 25 eomn-dem Ae potest 10. Est ergo A media proporti
natis inter C et duas quintas ejusdem Ergo quintupla CO recta G, etc.