장음표시 사용
11쪽
- P. R Antc: c summa aeris illius alieni s 4 s subducenda sunt a 3 4,dispositis ordine nume/
dextrorsum, contra quam in additione:Tollo 2 de 3, manet i, 5c supernoto x doletis ι 5c 2. Deinde subducam 3 de Α, manet ι,6c supernoto a deletis 4 5c 3. dentaque subductis 4 5c s manet i,5 supernotabo i, deletis s le 4: unde inveniam reliquum esse ira,cum subduxero a s A a 3 6 . Inductio tota sic erit.
Hoc exemplum invenite duobus oblatis tertium , inducit per partes, easque tanquam lolitarias. Esto iam 5c exemplum reservati mente numeri,nempe cum sequens subduceda nota malor est, quam supra polita, tunI e reliquo praeceden/te, i mente reservabo, quod notam sequentem denario augeat: u i ii labducenada sint 3 4 s de 4 3 et,cum subducam 3 de A non supernotabo i,quia A sequens subducenda nota major est supraposita 3 , sed illud mente reservabo, ec sub/ductis 1 is manerent 9,quae nequaquam propter eandem caussam notabo, sed uno minus, g tantum supernotabo, dc a mente reser bo, quia sequens subdicenda nota major est. Itaque s subducstis a ia, reliqua I supernotabis: unde inve
Hate subducendi vera via est, εἰ majoribus deinde numerationibus necessaria, . nec omnino prius antecedens nota est subducenda, quam providero unde reati quae subduci possin L Si intercurrant circuli significantibus notis, cum similia hus tamen inscribendi,&eadem tenenda via est. Carolus magnus anno Christis o I coronatus est imperator: nunc autem annus est Christi is G 7. anni itaque
12쪽
Sit 5e alterum exemplum , ut subducantur a s σs; de 3 8 7 6 s 7. inducti
hi Vmeratio prima ejusmodi est,coniuncta sequitur,quae numeru cum num
ro totieS numerat,quoties proponitur. Numeratio coluncta est multiplica tio,aut diuisio: multiplicatio est, qua multipli cadus toties additur, quoties uni
tas in multiplicante cotinetur,& habetur factus: unitas auget adden do ut i 8c t sunt 2: i5e a sunt 3:i 5c 3 sunt 4: attamen nihil auget multiplicando. Nam semel 1.2. 3. sunt tantu i. a. 3. Item 2 sibi additus est 4, quot item efficit sui multiplicatione. Nam bis bina sunt item 4. Id in illis est proprium. At a se quilibet alius dein/ceps numerus quolibet loco caeteros numeros multipIicat . ut bis3 sunt s , hi esumo 3 bis,quoties nempe unitas in a multiplicante cotinetur Denique pro dato multiplicante multiplica diis additur. Numeri inter se multiplicati iaci ut euridem: ut quater quina sunt a o.& quinquies quaterna sunt ite et O. Meditatio au te de multiplicandis inter se notis tanto accuratius suscipie da est, quato majus est multiplicationis opus. Itaque puer perdiscat primo singulas notas per se mul/tiplicare: bis bina sunt 4: ter terna sunt f : quater quaterna sunt i σ: quinquies quina sunt as: sexies sena 3σ: septies septena Ast oeties octona sq: novies nomvena si . Tum singularum no tarum cum singulis multiplicatione sciat quid e fisficiatur: ut his 3 sunt σ: bis quaterna g: his quina io: bis sena 12:his septena ig: his octonais: bis novena i8 : 5c sic in reliquis nores: sed in majoribus maior est attentio: ut novies octona sunt 2: novies septena, sena,quina sunt σ3, 4, 6s: octieS septena, sena, quina sunt s. 48.4 o Hanc singularum notarum multipli/cationem assecutus discipulus, multiplicationem quamlibet facilem habebiti Hic Pythagoraeus multiplicationis abacus est. Atqui si rudibus malorum noatarum aliqua difficilior erit,licebit Sc hic per partes numerare ut octies novena,
13쪽
s R RAM si difficile sit numerare, addam primo quater s. deinde summam addam mea dimidium dimidio ut totum habeam,sic. s
ased Iam maioris ice pluribus notis constituti numeri multiplicatio propona. tur ξc Quaeratur quis aureorum numerus menstruo stipendio 4 s s militum. in sindulis 4 aurei attribuantur Id assequar Aso per A multiplicatis.Sinistror, sum ut in additione procedam: quia multiplicandi notae toties addendae, quoisties unitas in multiplicante continetur,εἰ majorem commodius superne collo. eabo Deinde multiplicantem per tres multiplicandi notas sigillatim ducam scitibus trium segmentorum multiplicationibus singularibus absolvam. Numetis igitur ita dispositis,lineaque ut in additione subscripta, sic incipiam.
Ouater c sunt 24: notabo 4,& ro reservabo pro a loci sequentis: talis reserua. tio fuit in additione, Sc hic tanto crebrior, uato numeratio malor est: quater ssunt 1 o 5 a reservata, sunt 22: notabo 2, reservabo iterum et o in locum proxis nisi is, se a reservata sunt is, quae notabo in t
mum Pro et , quaterquaterna ligra Inductionis summa sic erit.
14쪽
ARITHMETIcAE LIB. t. unde inveniam 466 per 4 multiplicatis fieri iga . Hic videmus inventio ne,
tertii inductionem partium, notarum solitudinem&reservationem. Idem net, per partes utriusque numeri tum multiplicandi tum multiplicantis. Propona tur igitur exemplum paulo plenius, Sc quidem per partes multiplicantis simili bus multiplicandi partibus resp5dentes, ut ro o per ro 4 multiplicentur. Sin gulatis inductio partium componet tandem 4 et aago hoc modo. 2o 7
Quo in exemplo, sicut in caeteris omnibus circulus per circulum, aut per signi ficantem notam nihil ericit. Circulus tamen pro inventione talis multiplica tionis notabitur in principio ad sequentes notas augendum. At si sit in me di multiplicantis loco, nihil est necesse: compendio autem numeros in circulum desinentes multiplicare possumus detra istis ultimis circulis: deinde iisdem faecto postpositis : ut si multiplicentur roo per o, omissis circulis illic duoebus, hic uno, multiplicabo 72 per A s, & facto ι 2 4o, postponam tres circulo Shoc modo, asso oo o. His perceptis nulla multiplicationis numeratio proponi poterit difficilis vel obscura, quam libet ea magna sit: ut si multiplicandus siti a 34 6739 pcr 789 factus erit 936o74o 6 2 .c A P. V. DE Di UISIONE. ira luillo est, qua divisor subducitur 1 dividendo quoties in eo continetur, de habetur quotus: unitas minuit numerum subducendo, ut tollo i de t,dea, de 3,ctaneto,r,2: non minuit tamen dividedo. Nam i 2 divisis per i , quotus estia,id est ia unitates quales sunt in dividendo. 5c hic divisus"us est idem. Divisis ta per i a quotus est i , id est pars duodecima:& hic quotus est dividendi Pars quota cognominis diviso ii: ut secunda si divisor sit a: terna, si s a quarta, si - , &sic deinceps. Atque ut in additione numerus totus, in subductione reli/RUUS, in multiplicatione si ius, sic in divisione quotus cognominis divisori quaeritur, id est si per a dividatur, quid valhat una secunda dividendi, si per 3, quid tertia ,si per Α, quid quarta. Diuisio igitur multiplicationi respondet: sed nnalopia inversa : ut enim in multiplicatione unitas est ad multiplicantem, sic mu triplicandus est ad lactium. contra vero in divisione: ut dividendus ad di visiorem, sic quotus ad unitatem. Tres autem diuisionis termini notan tur, diuidendus supra, divisor infra, quomtus ad
15쪽
s P. RAMItus ad latus, ut diuisis r 2 per η, quotus 3 erit hoc modo. Atque meditatio illa, quae in additionis subductionis, multiplicationis num ratione commendata est, est hic imprimis commendanda, ut discipulus sciat quem numerum quaelibet nota singularis,& per quem dividat . Sciet autem per comparationem multiplicationis. Nam si numerus faciat numerum per alia quem, factum dividet per eundem. Unitas vero facit omnem numerum per ipsum,&omnis numerus seipsum dividit per unitate: Ergo unitas dividit o manem numerum: Bis quaterna sunt 3: ergo a dividit S per Α & 4 dividit eundemper 2. Quater s sunt zo: ergo diVidit et o per s, Sc s dividit et o per 4. Septies ssunt f s: Ergo dividit sσ per 3, 6c s dividit sσ per 7. Octies V sunt a: Ergo sdividit 72 per 9, 5 9 dividit Ia per S , omninoque numerus dividitur per eos numeros per quos factus est: qui multos factores habet, habet etiam multos diui fores : Hic igitur Pythagorieus diuisionis abacus est. Sit exemplum ubi in . cluetione sit utendum, de quidem dextrorsum , ut in subductione. Exemplum erit primu de divisore toto εἰ integro: dividantur 74 76 pers,notabo piimum dividendum supra,divisorem infra, Sc ad latus sinistrum, ut immobilis semper appareat, quamuis singulis in locis, deleaturi secus in prolixa divisione confussio quaedam per errorem memoriae creari possit.
ε possum subducere 6 semel, εἰ manet 1: notabo igitur 1 pro quoto, 5c deletis dividendo,& G divisore, superscribam i . Prima induetio sic erit.
secundo producam c divisorem in proximum locum. Jam s pomum subduce re his 1 14 nec amplius,5 bis senis subductis a r restant a. Hanc igitur meditatam multiplicem subductionem animo reseruans ad noto primum a post i pro quoto. Deinde ne forte lapsus memoriae intercidat, aut aliquid aliud offensum sit, repeto ab animo depositum separatim per multiplicationem, εἰ subductio. nem,sc multiplico primo a quotum per σ divisorem, & reservatum ac iam reis. istum subscribo sub i , deleoque o. Secundo subducoia atq,ec manent 2, quae deletis ia dci Α, superscribo. Secunda inductio sic erit.
16쪽
Tertio producam s divisorem in proximum locum Σ , unde possum subduce/re quater sena,id est 2 q, ut 3 maneant. At factum 5c reliquum servans animo adnotabo in post i et pro quoto: Deinde factum repetam eadem multiplicatione sper η, de subscribam a 4 deletis G, tum subducam factu 24 a 27,5c superscribam 3 reliquum,deletis 24 6c 27.Tertia inductio sic eriti
Post mo producam σ in reliquum locum 3 s, unde possum omnino subduce/re sexies sena,id est 36, ut nihil maneat. At in memoria deponens scpadnotabos post 12 4 pro quoto: Deinde repeto depositum, multiplicando G per is,lc stabolicio 3 6.Postremo subductis deletisque utrinque notis,tota inductio sic eritiae μη
hatur. Divisionis igitur opus primo contexitur meditatione multiplicis sub/ductionis,&adnotatione quo i, ubi iam peracta divisio est, sed peracta tantum in meritis abaco, ut memoria tanto major hic requiratur, quam antea: Deinde velut ad memoriam & fidem meditationis probandum retexitu exemptu oculis subjecto, repetita tum multiplicatione per quotum se divisorem, tanquam pignora depositi: tum facti a dividendo subductione. Atqui si plures sint notae divisoris,omnes simul velut una considerantur, Se subducuntur aequaliter. Cua Iusmocii exemplum sit de divisore multiplici, qui per partes suas aequaliter subducendus sita suprapositis dividendi notas, quoties nempe , continetur. Et hic subductionis vera via, quam docui. plane cernitur, cum subducere incispiamus dextrorsum singulas subducendi notas ante meditando, quam quisquam de quoto statuatur. Dividantur igitur I 44 per i 2, positis ordine num iis hoc modo.
Videbo premum i ab i semel subduci, Ac toties a I 4, 6e a restabunt: adnotabo b igitur
17쪽
1o P. RAMI igitur x pro quoto, 6c deletis r4 & ia superscribam a. Inductio prima sic erit:
Secundo producam divisorem in proximum locu 24: ac videbo 1 a a bis sui duci posse,& aa 4 toties, neque quidquam resta Inductio tota sic erit.
piant Aoo coronatos: at reliqui ς milites clamabiit iniquam partitionem elle, neque partem sibi aequalem relinqui,quia 9 1 4 toties subduci non possit: ponsum etiam a ter subducere ab g, sed a reliquis et non possum toties subduceare 9: subducam igitur, ut aequalitas subductionis in partibus divisolis obsti tur,2 ab 8 tantum bis,&' a reliquis 4 4 toties subducam 9,fc manebunt 2 s. Ita que seruans mente his 2 9,id et is S,adnotabo a pro quoto, Sc per eum multipli/cato divisore, recolligam quod ista multiplicis subductionis aequatione com prehenderam,& restituam s8, quae deleto divisore subscribam di indendo.& ab eo subducam, manchuntas,quae subducendo S, dc supraposito SA deletis su/pei scribentur. Inductio prima sic erit. α σ
Secundo producam divisorem in reliquum dividendi locum asi. Hic possuma subducere tredecies a supraposito dividendo 26: Verum ab uno reliquo non possum
18쪽
possum subducere s toties. Nec omnino fieri potest, ut nota divisoris ulla plusis quam novies hac inductionis via subducatur: quia maior numerus qua 9, uni/ca nota comprehendi nU potest. Cum Vero a a 26 novilla subduxero, , reliquis si potero subducere s toties. Depositis igitur in animo ast adnotabo s pro quoto, Spereu multiplicato divisore, repetam a Gi, quae deleto divisore supera scribam diridendo, ab eoque subducam delens infra supraque, numeris tum subductis,tum, unde facta subductio est, nihil restabit.Tota inductio sic erit.
ut si dividam a s a per Aa, non pollum tollere 4r 5 as: promovebo igitur divi sorem in secundum locum,& reperiam s quotum. Si contingat aliquo post primum Ioco divisorem majorem esse dividendo,circulus in quoto adnotetur. Sic divisis sosyla per 3o quotus est roos. Quod si in relictis in medio spatio vacuus locus offendatur,circulus videlicet ascribendus erit, quod accidet, si divi dantur 364 in et ubi quotus erit i .iam dividatur quamlibet magnus nume/rus, ars exposita sufficiet: ut si divida illum ante fastum numeru 974o74o6 at per alterum factorem 7 39,alter factor quotus erit i 23 s 6739. Hoc exemplum de similia majorum notarum mathematicam 5c Platonis μιτατρον '5 Aristotealis ἀφαίr imprimis declarabui. IPes bonus, oculus honus ait Myronibus lans stat mens bona, memoria hona, manus bona dicat hic arithmeticus discipulo:
Varietas enim tam multiplicis in una numeratione numerationis erectam mentem Sc constantem memoriam, fidelemque manum maxime omnium requirit.
Ac lana nemo sibi arithmeticae discipulus videatur, nisi singulis asithmetici stu/dii diebus divisionem vel quam maximam poterit, efficiat. Compendia sunt etiam quaedam in dividendo. Si divisoris prima nota sit i ,reliquae circuli,detra cti S c dividendo ab ultima notis, quot circuli fuerint in divisore, peracta divisio erit: sic diuisis soo per io vel ico, quotus erit o. .c Ap. VI. DE NUMERO PARIO impari. v clirisione oritur numesi differentia, imparis A paris, primi 5e compostre. Impar est numerus a binario individuus, ut 3. s. 7. Par est num et' dividuus
12. II. 1 . Is,alii sunt pares,alii impares, quod erat Eratosthenis cribrii. Par est pariter par vel impatiter par. Pariter par est par tantu di Uiduus a pari Per pure: ut b a η tantum
19쪽
II P. R A M lq tantum dividitur a a pari per a parem. ut 3 tantum dividitur a 2 pari per Aparem: tales sunt omnes a binario duplicati: ut 4. 8.16.3 2.σ4. Aelianu S cap. g. de re militari au hunc numerum militiae caussa excogitatum esse ad acies com modius permutadum. Itaque phalangis n umerus 1 Tacticis exoptatur 16384.
Par impariter par est, par diuiduus etiam ab impati per parem, ut G dividitur a 3 impari per a parem: sicia dividitur a 3 impari per A parem: sic so dividitur a s impari per o parem. A P. VII. DE NUMERO PRIMOer compositio. Α Tque haec numeri prima est differen tia e divisione secunda est primi Sc cominpositi. Numerus primus est numerus individuus ab alio multitudinis nuis
mero. ut I. 2.3. s. 7: dividitur autumias per unitatem solum, reliqui etiam per se: at per alium multitudinis numerii sunt individuidhimus etiam dicitur in comis politus, id est a nullo alio multitudinis numero tactus. Numerus compositus est numerus dividuus ab alio multitudinis numero, ut 4 a 2 per 2 dividuus est, ut i 2 a s per A. Sic in Eratosthenas cribro l. 2.3. q. s. s. 7. 8. 9. considerato primos esse I. a. 3. s. 7. compositos 4 S. v. Numerus aute multas modis compositus, pro/ptereaque etiam dividuus saepe singulares usus habet, ubi quaerun fur numere, qui plurimas exactas divisiones capiant. Sic ς 6 Archimedes elegit in circuli di
mensione, cuius quotae partes duodecim sunt I. a. s. q. 6.8. 2. I 6. Zq. 32.6s. 9α
sic astrologi so partiendis caelestium rerum momentis assumpserunt,cujus diavisores sunt item duodecim, I. 2.3. s. s. Io. 12.is. 2 o. 3o .co. Itaque ad invenien
dum quot numeris numerus sit diuiduus,theorema tale inventum est. Diviso/res omnes dati cuiuscunet numeri sunt ab unitate per se primi,dividentes quo Des possunt, Sc datum 5c dati quotum,& quoti deinceps quotum quemlibet, deinde compositi a primorum ultimo per ultimum, de a sequenti per utrunque Scab utroque Dictum, denique a reliquis similiter per superiores omnes: ut, Esto 682,cujus oporteat omnes divisores invenire. Primo i nihil mutat, secundo a numerus primus dividet, & quotus erit ast, qui divisus per 3 deinceps primu divisorem dabit , qui eua per 7. primum divisorem divisus habebit in quo/to M. Hic habes t. 2.3.7. ii divisores dati primos,e quibus inter se multiplicatis efficituniam ad compositos divisores accedo,& multiplico penultimum 7, per ultimum ii,facio 77. Hic primus ordo sic est. I in 77. Secundo multiplico hos tres numeros per 3,θc facio hunc secundum ordinem.
Tertio multiplico primum lc secundum ordinem per a , lacioque hunc tertium
20쪽
Diuisores itaque dati numeri si sunt addita unitate numero sedecim, I. 2.3. C7. i. q. 2 . 22. 3. 42.σσ.77. I sq. 23r. 462. Hac via numeri civium fosso a Plautone Quinto legum quaesiti ad multiplices publicorum munerum functiones dividendum divisores omnes reperientur undesexaginta, praeter eum ipsum, ut Plato etiasti illic admoneti Materies autem exercendi ingenii non mediocris hic eriti Exemplum primum divisores primos tantum semel accepit, hoc acci Piet, Quo ues poterunt, primi sic erunti