장음표시 사용
461쪽
Ducit numeram terminorum unitate auctum m quadratam maximi , prodacto adde quod* ex minimo insummam omnium,eompositi triem erilsumma quadratorv. camstat νιν septiniam huius μῶυαλε in ισαμ εο cia addeudoproducium exa incio ne re
Ducito numerum termiserum in pIanum sub maxima , s sub summa extremorum , o producto adde quod fit ex minimo in summam omnium, compos
Ducito numerum ferminorum In quadratum summa extremorum ista producto aufer qua Ut ex misim in summam omnium e si triens erit fumma quiararam. Consia pernana adiuuanteseptima, sic d a s. in ι adrasum isse a. sit a. via rauferas
Dueit quaisatum maximi in duplum numeri terminorum auctam ternari , se rarte nιι ιι a umis terminoram denomina ιa, producti sexram erit summa
quadratorum. Cosa perioraliarium induimasie ducendo ισα in is Aora. evius sextati est aao visura.
Dueis numerum terminorum in aggregatum ex quiarat summa extremorum, ex iam is mcximo Jub samma extremorum contento, prodaeia sexrans
Ducito maximum in aggregatum ex quadrato summa extremorum , se piano
462쪽
se maximo sis fumma extremorum, productam diuide per minimum auolsensis sextans erit summa quadratorum.
Constar per decimamqu-tam indagando quartum proportionalem , tribus cognitis. Si dueendo ιν in ab . sit ad a. p. cuis per a.' sao cuius sextans est asto utante.
'RO POSITIO DECIMA SEXTA. In hac progressione. Octuplum plani sub minimo, sub summa omnium adscito minimi quadrato arquatur quadrato compositi ex minimo, duplo maximi.
- . aerio v. Sint numeri qui prius,' sit summa omnium F. Die octu plum
plani ex A. in . adlumpto quadrato ipsius . aequari Quadrato compositi ex A.& duplo ipsius E. Etenim ' productus bis ex A. in .aequa ις hesuntur quadrato E. elim plano sub x Quare octu plum producti ex A. in F aequatur quadruplo quadrati E& quadruplo plani sub E Proinde s addatur utrimque quadratus A. utique oetu plum plani sub A . cum quadrato A aequabitur quadrato E quater, plano sub ME. quator, re quadrato R. semel Atqui quadruplum quadratis. aequatur quadrato dupli ipsius E & quadruplum plani sub E aequatur duplo plani sub A. Hi bduplo ipsius E. Rursus autem inuadrati ex A. ex duplo ipsius E eum duplo plani sub A. sub duplo ipsius E aequantur quadrato compoliti ex A. ex duplo E. Igitur hic quadratus aequatur octu plo plani sub Α F. Quod erat demonstrandum.
triangulus ex desimi ιο ne Etenim cum unitas non mutet numerum quem multiplic.it, qu.tdratus m
F. cu addendo quadratum ipsi us A. puta unιtatem se quadratus , cuius latη aeruabitur duplo apsius E est nitati. Itaque hane eandem propositionem iam tripliciter demonstrauimus. Primo ad quadruesimam eruitriam . pecula.tra demonstratιone. Secundo hia uniuersalius, prout hae proprietas conuem omni progressioni arithmetica, cuius mιnimus temιnus arualis est differentia. Tertio uniuersali me , ad octauam Diophanti de numeris multangutis, froprietatem hinc omni in uniuersum progressoni arithmetica applicantes vi theoremati I. eorum P a ad sextam demons rauimus. iHae ergo dixisse sufficiat de progresone quadratorum, quorum latera in hac progressisne Funι ordina ra. Agamus iam de omnium polygonorum in niuersum progressione.
PAEO POS ITI DECIMAS EPTIMA. Si numerus secetur in duas partes, tum intres , tum in quatuor, tum in quinque &sic deinceps in quaelibet pars unius sectionis comparetur , cuilibet ex Miis partibus eiusdem sectionis , continget hanc comparationem in prima sectione fieri semel, in secunda ter, in tertia sexies, in quarta decies, i continue per numeros triangulos alaendendo. Secetur AB. in duas partes DC. CB. & secetur DG. intres DE EF FG. D. s. . p secetur 'm in quatuor H K. L. M. MN.& sic deinceps compa-u T si retur quaelibet pars unius sectionis cuilibet ex alijs eiusdem sectionis, dico insectione numeri Assi hanc comparationem fieri semel, in sectionem G. etiter. insectione H N. fieri sexies,in sic continue per numeros triangulos ascendendo. Plinio enim in sectione Aa patet Λ C. tantuin comparari posse ipsi QB unde constat propo
Secundo insectione DG. quia DE. comparari potest singulis EF. FG. ipsae EF FG rursus inter se semel comparantur, patet tres hic fieri comparationes. Quod erat intentum. Tertio in seistione H N. quia Ha comparari potest sigillatim, tribus reliquis, unde tres oriuntur comparationes, rursus tres reliquae per proxime demonstrata, ter inter se comparantur Patet hic in uniuersum sex fieri comparationes , quod erat propositum. Denique si numerus secetur in quinque partes cum prima pars comparari pol si quatuo reliquis, di quatuorrcti quae per iam demonstrata, sexies inter se comparentur, fient omnino decem compa
463쪽
tionum aequabitur triangulo praecedentium comparationum adsciscenti suum latus unitate auctum, unde ne triangulus proxime maior ex definitione triangulorum. Quamobrem ex omni parte patet propositum.
PROPOS ITI DECIM AOC AUA. In hac progressione si polygonus quilibet minimi ducatur in triangulum numeri terminorum, producto addatur solidus contentus sub quadrato mininu, sub numero angulorum, binario multato, sub summa totidem triangulorum ab unitate quot suntipii numeri uno minus, fiet summa similium polygonorum singulis.
L, Sine in hac progressiones BC D. sit P. quilibet polygonus minimi, Π pux neptagonus, sitque intriangulus numeri terminorum, quo ducto . n M, in P. fiat x. sitque R. quadratus ipsius Α.&T. numerus angulorum biis: nario multatus,& V. summa totidem triangulorum ab unitate , quot
eL Da siant ipsi BCD. solidus sub ipsis T v. esto dico aggregatum
duorum XY. aequari summae similium polygonorum puta heptagon
P7 QN RUI V Q iuria singuli, ABCD. Quia enim Leontinetur in B bis, II ter.
70' in D, quater, resoluantur B CD in numeros aequale ipsi A. putat mEF. At Cin Gm K. aedemum D. in L MNO. Itaque per scholium in primi polygonus'. aequatur polygonis ipsorum DF., producto eam, in F, seu quadrato R. ducto in T. similiter polygonus C aequatur polygonis G Η Κ & productis exqualibet parte in quamlibet ex aliis, seu totidem qu dratis R. ductis in T. denique polygonus D aequatur polygonis ipsorum in O di productis ex quolibet in quemlibet ex alijs , seu totidem R. ductis in . quamobrem si his omnibus polygonis produstis addatur polygonas ipsius A. patet polygonos a singulis A BC D. continere polygonum ipsius A. seu ipsum P. semel, his, ter, quater, Iedeinceps, id est secundum,nit res trianguli in praeterea iesum R. ductum in T. lemel, ter sexies, sic deinceps seeundo metiangulos ab unitate, id est ieeundum unitates ipsius V per praecedentem. Quamobrem polygoni Isingulis ABCD aeqvantur producto ex n P. seu ipsi X. adsciscenti solidua sub R.T. . nempe ipsum . Quod demonstrandum erat.
Rhacpmgremone aggregatum productorum e minimo in maximum semel, In se eundum ab illo bis in tertium ter , in quartum quater, sic deinceps, aequatur Iroducto ex quadrato minimi in summam totidem triangulorum ab unitate, quotunt ipsi numeri. M' . ccc xςx, in A quater ic deinceps, aggregatum productorum aequarigi' , 'o producto ex A. in summam totidem triangulorum ab unitate Etenim luiso o mantur totidem numeri ab unitate secundum seriem naturalem disposts
' η' E FOG H. quibus superponantur totidem illis aequales ordine imaevis, purae-i X UM N. ω ex . lam fiat R. exi in G fiat in eam in F fiat P. eam in E Mei.
i. hiau,. Patet , contineri in A. seeundum . in B. secundum . in . secundum es in D. te. eundum . Quare cum . st unitas , si A. ducatur semel in D. productus continebit quais dratum ipsius Α. toties, quoties productus ex K. in . puta R. continet unitatem. Similiter quia L est binarius , si A. ducatur bis in Q productus continebit quadratum A. toties quoties pro- duetus ex L. in G. puta meontinet unitatem. Eodem argumento probabitur productum ex A. iaB ter toties continere quadratum A. quoties P. continet unitatem, rursus productum ex A. in A. quater toties continere quadratum A. quoties O eontinet unitatem. Quamobrem producti omnes ex A. in D semel, in C. bis, in B ter, in A. quater, toties continent quadritum . mo sunt clam appen. unitates in summa ipsorum o PQR. sed summa ipsorum P aequatur summa triangulor , Ipsi E. F. G.M. igitur producti omnes ex A. In D semel in C. bis in B. ter, in A. quater toties continent quadratum A. quot sunt unitates in summa totidem uiangulorum ab unistate. Quod demonstranaum erat.
in hae progressione , si numerus terminorum unitate auctus, ducatur in polygonum maximi, waproducto auferatur solidus contentus sub quadrato minimi lub
464쪽
numero angestorum binario multato Sc sub summa totidem triangulorum ab unitate, quot sunt ipsi numeri uno minus, re fiduum aequatur duplo polygonorum a singulis.
Κ.8. H. 6. G. . F., si i in .probrςson. DE. numerus angulorum binario mulis a B a. s. U8. Eio x xu. estos Dico si numerus terminorvin unitate auctus dueatu inmisti lygonum ipsius E. ω, eroducto auferatu solidus contentus sub qua arato A. numero Lis iumma totidem triangulorum ab unitate, quot sim ipsi A BC D. residuum aequari duplo polygonorum a singulie BCDE Etenim superponantur ipsis totidem illis aequales ordine inuerso G HI. Tune ex deinonstratione septiniae huius patet, binos H G. T. aequati sigillatim μα quare si sumantar lygoni harum summa rum, praeterea polygonus ipsius E. bis, horum aggregatum aequabitur producto ex numero ter noriim unitate aucto in polygonum ipsius . Atqui polygoni summae binorum ΑΚ. M. G. F. aequantur polygonis omnium H. G. Di seu duplo polygonorum a singulis A BC D. M praeterea roductis ex A. in . ex B in re ex C. in G. eam in F ductis in L. Igitur productus et nummo terminorum unitate aucto in polygo-
' in E quater xaequantur productis exin in D semel in C. bis in B. ter in A. quarer, ae proinde per praete&ntem iidem producti aeqtrantur producto ex quadrato Α, in rummam tot triangulorum ab unitate quot sunt ipsi A B CD. Igitur produc,us ex numero te minorum umerre aucto mi olygonum E aequatur duplo polygonorum a fingulis, mpto ducto ex quadrata Α, in summam tot triangulGrum ab νnitate quot lunt pix C D ducto in L. qua relisolidus sub quadrato A, numero is summa tot triangulorum auraitate quotiunt ipsis BCD. auteret a prωIuctis ex nomero te morum tritate aucto in polygonuini, residuum erit dupluuipolygonorum a singulis Alco E quod demonstrare oportuit.
p κοροsITIO UIGES IMA PRIMAE In me progressione, qui fit ex polygono minimi in triangulum numeri termin rem , adscito producto ex numero terminorum unitate aucto in polygonum maximi, aequatur triplo polygonorum a stigulis. c. eis, sint in hac progrestione Aac D ti qui fit ex polygono minimi A in trian-
o gulum numeri terminorum esto E qui fit autem ex numero terminorum,niis tale aucto In polygonum maximieno F dico aggregatum duocunt El. aequa ri triplo polygonorum a singulis, etenim sumatu Κ, selidus sub quadrato A. sub numero angulorum binario multato sub summa tot triangulorum ab unitate quot sunt ipsi ABC igitur peria ambo E K. simul aequantur summae polygonorum singulis ABC D. sed per praecedentem , detradio Κ, ex F. manet duplum polygonorum ingulis, Igitur si ad F. multa tum numero Κ concipiamus addi i priss ΕΚ nerupe summam polygonorum a singulis fiet utique summa ipsorum EF aequalis triplo polygonorum a singulis, quod demonstrandum erat.
PROPOSITIO VIGESIMA SECUNDA.in hac progressione si productus ex polygono minimi in numerum terminorum adstiscat duplum polygoni maximi, aggregatum ducatur in numerum terminorum unitate auctum. fiet sextuplum polygonorum a singulis. c. Sint in hac progressione ABCD.&eolmonui minimi esto Enumerullti' vero terminorum R&illo unitate maior esto G ductoque E in F fiat H. VI τὰ ό Μaximi vero polygoniis est L euius duplum M. quo addit ad . fiat 'o L 3 ductoque P. in G. sat o .dico o.esse sextuplum polygonorum a singu'm iis lenies ducto G in 'so, H. M. fiant K N eum ergo ex eodem G in P. dimam eorundem v M. factus sit o. erit .aequalis ambobus K N. Quia vero ex E in F,fit H. ex . i. porici a fit Κ, est K. solidus sub tribus EFG proinde idem Κ, fiet ducto F in .is producto in Ε, sed e F. in G fit duplum trianguli ipsius F. pet octauam Diophanti. Ergo X, fit ductora, in du-llum trianguli F similiter . factus est ex G, in M, duplum polygoni L. ergo summa duorum M.
euo componitur ex ductu E. in duplum trianguli ex p, 8 ex ductum in duplum polysoni ex P. sed horum semissis, nempe productus ex E, in triangulum ex F. una eum producto ex G. in polygo 'num ex D aequatur triplo polygonorum a fingulis per praecedentem. Igitur ι aequatur extuplo polygonorum. Eod ostendendum susceperam.
465쪽
ax his duabus propositionabus si Hiei Usun Camnes ad inueniendαm summam e otlibet iliam volvonorum, quorum Iase in hac progressione Asponantur, sed quia j camne ab ipsi propositionitas non disserunt, illos adscribere superuacaneum duxi. Iraque Oacten ta pol gonommrogressione dictum esto: Restatur agamus de eisorum progressione, sed Pr uc reconsigne 3ltorum Pr prιerater deis monstrabimur, qua ad illorum progressionem HsPatenus spectant.
PROPOSITIO VIGESI MATERTIA. Si disponantur omnes numeri impares ab unitate, ex illorum ordinata e continua
additione quadrati omnes procreabuntur. Putabit sorte quispiam nos huic propositioni superledere debuisse, quandoquidem ex polygon rum definitione quadrati, applicata, hoe ipsum manitestum fit. Verum quoniam antiqua detinitio quadratoruin ab Euclide pri lcisque omnibus in ab ipso Diophanto libro primo arithmeticorum tradita, diuersa est, quatenus definiuntur quadrati, numeri qui fiunt ex alio quopiam in seipsummulii plieato,operaepretium visum est, ostendere utramque definitionem iisdem numeris eonuenire, ne una supersit hae de re dubitatio. Etenim posset aliquis iure ambigere, an quadratus cui conueis nit polygoni definitio,&qui fit ex imparium aggregatione, idem sit qui producitur latere in sella sim ducto, quandoquidem neque triangulus neque pentagonus, nec hexagonus . neque alius quispiam polygonus praeter solum quadratum , respondet figura Geometricae angulorum4 laterum aequalium eiusdemque nominis. i , Sui nil te inpares A BCD. dico ex eorum ordinata aggregatione fieris, Omnes quadratos etenim eum Vnuas A sit primus quadratus, dico sum-Fi G, H, duorum AB. secundum quadratum seu quadratum binarii, &summam illumini C. esse quadratum ternarii, summam quatuor num rorum i Cm ein quadratum quaternari j,4 sic in infinitum, sumantur numeri ab unitate secundum seriem naturalem, FGH & sint eorum dupli LMm, patet igitur ipsos L MN esse numeros pares ordinate dispositos me proinde si singulis addatur unitas, neri omnes impares, hoc est L. cum unitate aequatur ipsi B. at M. eum unitate aequatur ipsi Qae demum N. cum unitate aequaturis i. potic pli DN sic deinceps. Itaque ' quoniam si quadrato unitatis F. hoc est ipsi unitati A,addatur duplum lateris illius &ita terea unitas, ni quadratus proxime maior, hoc est quadratus binarij,cum iasit du. plus ipfius F, B, excedata, unitate,patet addito B.ad unitatem Α, fieri quadratum binarii. Rursus quia quadrato bina in G addendo duplum ipsius G. Munitatem, hoe est numerum C. fit quadratus ternarij, eum A G. simul faciant quadratum binari j ut ostensum est, facient te AB C. simul quadratum ternarii. Et eodem argumento ostendetur quatuor ABCD aequari quadrato quaternarii, &se in infinitum. Igitur constat propositum.
Patet ergo quemlibet quadratum tot imparibus eonstare, quot unitate Leoqtinet latus quadrati.
PROPOSITIO UIGESIMAM ARTA. In progressione arithmetica ab unitate incipiente , per unitatem crescente, cubus maximi aequatur quadrato maximi , producto ex maximo in duplum antecedentium.
A, g, c. D L It 'hu quotlibet numeri deinceps B CD pet unitatis augmentum crescentes , sitque E duplum ipsorum Λ B C. Dieo cubum maximi D aequati
quadrato ipsius D. producto ex D in E etenim productus ex D in Stertia i eum quadrato ipsius D. ' aequatur producto ex D E simul in D. atram simul aequantur quadrato ipsius D. pereorollarium huius. Igitur productus ex E in D cum quadrato ex D aequatur producto ex quadrato ipsius D in D. hoe est eub ipsius D. Quod erat ostendendum.
PROPOsITI O VIGES IM ARVINTA. Quotlibet cuborum ab unitate secundum seriem naturalem dispositorum summa quadratus est, cuius latus componitur ex cuborum ipsorum lateribus limul additis.
466쪽
EFG H. ineo summam duorum P Itemque trium EFG itemque quatuor EFG H. esse qua-
t, cuius latus est summa duorum Aa vel trium xB C. vel quatuor ABCD. At B, C; D 'μ dx-xv sumin duoruinini, aequatur quadratis ipsorum tum MEL P σ1ν. 44 T VH pr dum At quadiatus unitatis A aequatur cubo ipsius unitatis E quadratus autem ex B cum dupla producti ex B in Λaequatur cubo F per praecedentem. IgitM quadratus summae duorum AB. aequatur cubis EF simul, quod erat propositum Deinde quadratus summae trium Α DC. aequatur quadrato senimae vivorum 'u de quadrato ipsius C. duplo prodin trem di simul in C. sed quadrato summae duorum A B.
summae trium AJ C. hoc est ubi ERG.&qpadrato ipsius D. eum duplo producri ex D. in summam trium AJ hoe est cubo H. per praeced. Igitur quadratus summae ipsorum A BCD aequatur cubi mul. Q lod erat demonstrandum, eademque est demonstrationis ratio in pluribus, ut patet, quamobrem abunde constat propositum.
Hine se itur siminam quoilibet cuborum ab unitate, facere quadraturn cuius latus est numerus trianguliis, qui aenim A BCD. est progremo naturalis numerorum ab unitate, patet ex defi-
r angin latus, ple Cudor in mimerus , ut etiam Perspicuum est:
C. hoc est ipsi Α, producto ex B C in D sit hoc est ipsi BC eum CD. sit unitas. Ergo duplum trianguli e B C aequatur quadrato xcviu se latere B C. quod erat demonstrandum.
Unitas primum cubum duo sequentes impares coniuncti, secundum cubumi tres sequentes tertium cubum, quatuor succedentes, quartum, semperque uno plures sequentem deinceps in infinituin cubum aggregati in pares constituunt.
AI. Disponantur ab unitate A. numeri imeares BCDEFGHKL die quod BC. smulseeundum ab unitate euhum Boium, at DEF. faciunt Lemum cubum , ae demum
R8. Uri L quartum cubum conitituunt, sic deinceps, sit enim R. summa duo- tum sit T. unum mini EF sitque, summa ipsorum quatuor G HAE L. etenim quoniam ABCDEFGKL sunt impares ordinate dispositi ab unitate, summa, seu sumn ipsorum 'a V. est quadratus, cuius latus tot constat s
E . , , bus, quo iunt numeri ABCDEFG ΗΚ L. Quoniam vero ex ipss unus sumitur;tum
L I9. tot continet unitates, quot fiunt propolitorem numerorum sumptiones, hoc est , quot sunt ipsi AR TN. Cim itaque lumina ipsorum ARTU. sit quadratus cuius latus est triangulum , erit eadem summa cataregatum totidem cuborum ab unitate quo C*Nd vs sunt unitates in latere trianguli, hoc est quot sunt ipsi A Ras, puta quatuor eu ,' 'hμηφrum, simum pronus argumento ostendeinus aggregatum ipsorum A Ra esset summam trium uborum ab unitate. Quare relinquetur . esse quartum cubum, eademque ratione ostendemus A R. simul esse summam duorum cuborum ab unitate, ae proinde relinquetur T, tertius cubus, eritque R. secundus, cini fit unieas. Quare patet propolitum.
467쪽
ΗΑης proposituηem ira constita magis uniuersalem. Diras primam columnam in quacumque polygonorum retrusione eonparui s duo sequentes timeri mutit it primo Gangulo toties sumpto quot sunt anguli postgoni quaternario multati, tandam columnam tres sequente, malιati secundo triangulo toties sumpto quo puni angui polygoni quaternario multati, tertiam columnam, o sic eodem in infinitam progressu. PROPOSITIO VIGESIMA OCTAVA.
Cubus quilibet adlumpto sextuplo trianguli collateralis unitate aucto facit cubum
proxime maiorem. . . - - Sit cubus Acuius latus D. &ab eodem latere triangulus esto; cuius sextu-
A. 27 3 36 C dA plum B additoque B vnitate aucto ad Afiat C. dico C esse cubum proximeto. . . . D ' β' maiorem Sumatur F. superans unitate ipsum D. Igitur cubus ex F. aequalis est eubo ipsus D. Munitati,in triplo tum quadrati ipsius D. tum ipsius D. At quadratus ipsius D. 16. huius cum suo latere aequabitur duplo trianguli Quare triplum quadrati ex D cum triplo ipsius D. aequatur sextuplo ipsius Choc est ipsi B. Igitur adcubum ipsius D. hoe est ad A. addendo B. vniatatem , qui fit puta C est cubus ipsius F. Quod demonstrandum erat. H. a. pori Aliter interuallum cuborum ab ipsi DF. aequatur cubo interualli, hoc est iurati, mulsopi uicti ex D in F. At ex D in p. ni duplum trianguli E. per octauam Diophanti, a proinde triplum producti ex D in F aequatur sextuplo ipsius E hoe est ipsi B. Igitur interuallum eu tum ab ipsis Da aequatur ipsi B. Munitati. Quod erat propositum.
pROPOSITIO VIGESIMA NON A. In progressione arithmetica, in qua minimus terminus aequatur differentiae, pro ductus ex minimo in quadratum numeri terminorum arquatur producto ex maximo
in numerum terminorum. Sint in ae progreusione x COS. sit numerus terminorum'. die. a B Α- - - - Q 4mductum est A. in quadratum ipsius . aequari producto ex E in R . huius. Quia enim ' ex A. in F fies utique ploductus ex F. in Metit solidus . . pori contentus subitibus numeris A. EF. Quare idem solidus fiet si F. ducatur in E&productus hoc est quadratus ipsius F. ducatur in A. Quod erat demonstrandum.
p RopoesITIO TRIGESIMA. In hac progressione , productus ex minimo in triangulum humeri terminorum,
aequatur summa omnium. in sint numeri qui prius,&sit summa omnium G dico G aequari prois R. a. B. E. O D. 8-α Guyota A. in triangulum ipsius F. Etenim ductos in summam extrς-F G morum , hoe est in ipsos A. Efit duplum ipsius G per quartam Diophanti. At productus ex F. in E aequatur producto ex quadrato ipsius F. in A. per praecedentem, i tur duplum ipsius G. aequatur productis ex A. in F. ex A in quadratum Rio est producto ei in F auctum suo quadrato. Quare cum . eum suo quadrato sit duplus trianguli ex . erit duplum ipsius G aequale producto ex A. in duplum trianguli ex F. ac proinde ipse G. aequabitur producto eat A. in triangulum ipsius F. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO TRIGESI MAPRIMA. In hac progressione, productus ex cubo minimi in quadratum trianguli numeri terminorum, quatur aggregat cuborum a singulis.
- Sint in hae progressones BC DI. ipsius A. eubus esto F. suman-Α. 2. B. . . 6. D. M u. rii, tot de ab unitate continue dispositi numeri GH LM.
quorum summam patet ergo N. esse triangulum numeri termino- . . . . F. 3 - ε .s Quare sit eius quadratus P dieo productum ex F. in P aequari s aggregato euborum a singulis ARGO E. Quia enim sicut A conti- , in C. tet, in D quater, in E quinquies, fi etiam G. continetur ini bis in .
468쪽
ter, in L quater in M. quinquies, patet ipsos Am CD E esse in iisdem rationibus, in quibus4 ipsi
GH LM. Quamobrem occubi illorum sunt in iisdem rationibus, in quibus ει cubi istorum,cum sit ergo cubus Λ adcubum G. sicut cubus B. adcubum H. st cubus Clade ubum & cubus D adcubum L. & cubus E ad cubum M. erunt & Omnes antecedentes hoc est aggregatum cuborum a singulis Aa CO E ad conlequentes simul,hoc est ad agglegatum cuborum a singulis G HKL Maicut Fad cubum ipsius hoc est ad unitatem, sed aggregatum cuborum singulis GH LM aequatur ipsi P per s. huius, ergo est aggregatum cuborum a singulis A B CO E ad P. sicut , ad unitatem proinde ex definitione multiplieationis,ducto F in P.fiet aggregatum cuborum a singulis 'B CORQu' erat demonstrandum.
Ine sequitur ubum maximi toties sumptum quot sunt numeri terminorum ad aggregatum cuborum habere minorem rationem quam quadruplam. pa OpOSITIO TRIGESI MA SECUN D A. In hae progressione productus ex minimo in quadratum summae omnium arquatur aggregato cuborum a singulis. e: hi in hie proselsones B CD E. quorum summa F. cuius quadratus
l. L. produeantur Κ G est A ad L. ut cad G. Vae proinde ex At G et idem numerus, quo K in L. sed ex K. in L. fit aggregatum cuborum a singulis per praecedentem. Igitur ex in G fit idem aggregatum cuborum, quod erat ostendendum.
PROPOSITIO RIGE sIMA TERTIA. Si fuerint quatuor mimeri proportionales, inuilibet extremorum ducatur in quadratum alterius extremi quilibet autem mediorum ducatur in quadratum alterius medii fient quatuor solidi in eadem ratione proportionalς - . - Sit A ad B ut C ad D. In ipsorum A BG D quadrati ' M. du-
PROPOSITIO TRIGESIMAψARTA.' an hac prostressione est ut minimus ad maximum, ita solidus sub maximo,&subquadrato summae extremorum, ad quadruplum aggregati cuborum a singulis. Sint in hae progressiones BCD E. summa extremorum F. dico esse F DE seue talidus sub Evi quadrato ipsius . ad quadruplum gyς Α Σ' 4. 4. I. Ero, eubo uma singuli, sumatur H summa omnium cuius duplum uxH30 K 60 Κ&sit numetu terminorum L. quia ergo ducto Lin F fit per si phanti . , ducto eodem Linin ficta erit A ad E sicut Fad X. quare per prae den
I E eut productus ex Sin quadratum ipsius F. ad productum ex se quadratum psiu Κ, sed cproductu e I in quadratum ipsius Η aequatur aggregat cuborum' singulis, nigra
a orestati euborum a singulis. Igitur est A ad Z sicut productus ex Em quadratum ipsius' ad quadruplum aggregati eubotum a singulis, quod demonstrandum erati
469쪽
Sume triangulum numeri terminorum, Meias quadratum daeit in cubam minimi se aggregatum cuboram . singulis.
Constat per si vo mo numers, orsit minimis a sume triavulum ipsius A puta sin eius quadratum as ducit in l. cubum ipsius o aggregatum cuborum a gulis ιιον.
Dueito minimam in quadratam summa omsium fiet aggregatum cuborum a singulis. Constat re sic in dat supra exemplo, ducit et is, . quadratum μα- omnium 3o si a
Duetro quadratum maximi in quadratum fumma extremoνum, productum Haide per quadruplum minimi, orietur aggregatam uborum a sngu ιι s.
eiu infertur ex is sic in dato exemplo Auito rota quadratum maximi, in ι quadrat--mma extremorum, ' 4 o. r.em Amis per quadruplum minimici puta per . si ινον auretarum cia
Ducito maximum in semissem fummae extremorum, vel summam extremorum insemissem maximi, prodacti quadratam diuide per minimum, orietur aggregatum uborum Ingulis.
Rursus infertur ex s . vel etiam ex praeedente Evita,' dueendacio. in .veLra in D st. cuius quadratus, a. Quo diuiso per minimum a.At aggregatum eisorum asuis , visura ι ορ. FINIS.
Ne vacarent paginae sequentes, placuit has Epistolas adjicere variis resertas D. P. de PER MAT in quosdam Graecos authores obseruationibus, quarum nonnullae ad Mathematicas pertinent disciplinas.
470쪽
Polyaenum tibi tuum, Vir Clarissime, mitto sed obseruanda in eo quaedam suppeditat codex manu scriptus optimae notae auctorum rei militaris hactenus ine-ditorum quem penes me habeo;apud eum collectionem quamdam praeceptorum monitorum militarium inueni sub nomine mαρεκβολων, cuius auctorem licet manu Dcriptus non detegat, colligo tamen ex glossario Graecobarbaro Me ursi, eum ess Heronem, non illum quidem Alexandrinum cuius spiritalia, alia quaedam opuscula extant, qui antiquo, hoc est, optimo aeuo Graece scripsit, sed alium postcrioris aeui, quod pleraque ipsius vocabula Graecobarbara satis innuunt utrumque aetatem nempe&nomen auctoris confirmat Meursius in voce κοντωβερτιον ubi citantur sequentia Heronis verba in παρεκβολαω , α πειλε γῆν ἡ νυκνὸ ω νοῦ ἄπληκτα ἀυτων τὰ κιννουβέρνια, haec enim verba cum in meo manu scripto desint, supplendum in eo nomen auctoris ex manu scripto eursii tempus vero quo haec scribebanturin quo voces oηκτον ήκοντουmερνιον in usu erant vltra septingento plus minus annos non videtur excurrere Lin hoc autem παρεκβολων tractatu, pleraque Polyami strat gemata suppress authoris nomine aliis saepe verbis reseruntur, quandoque Gisdem, unde ampla emergit emendationum notarum criticarum penuses celebriores aliquot tibi, vel si mauis doctis omnibus tuo nomine iure representationis libenter exhibeo. Cleomenis stratagema narratur libro et Polyami pag. 2o editionis Tornaesiana sequentibus verbis, Κλεο- η Λακεδαμοσίων βα/λιυς, ργειοι ἐπλερε es s ἀντ προτοττε
νων ερς ο μααχύνταν ὲ ελευσε - Eλλm καταγράφειν επὶ τ τειχους, μύνδρει, α νες δικαια χπιῶτε τρατευονrae νου παγέ e νύ νώναγινωσκομεναν Mon, αυ- του ἐπιήσατο, corrigendum ex manuscripto ἐλογιιπετο, quam esse veram lectionem innuit sensus.
Agesilai stratagema occurrit lib. ao pag. 86. Αγησι lae, altille, ον κορωνῶ Αθ-se ἐνικη- ηγιειλε τις , οἱ πλειώοι φευγε - εις ωὸν νεὼν της Αωας, ο δε προσέναξεν ἐαν,οτουeens ch, λοι)το ἀπιέναι. ιχ αεα η σφαλερὸν συμ-μεσθα mie πονοια μαχμενοις, ibi loco vocis Αθηνάας reponendum ex manuscripto Θηβαιους. Aliud Agesilai stratagema refert Polyaenus eodem libro pag. Io3 Αγησιλαγή, -ῖς ἡ πνεο εμα -τ λεμιων σου μάλιο δεναγους περιπεσεα ωμὸς ἀυτὸ οῖς διαλεξοαι περὶ νω - συμφερον πων. -Le ἐπὶ ra ita συο λόαυρe κοιν ω εσίας ae; πονδων, ταχατολι- ς ν νε- σι ει ὰ Φων-λλυν λοφας Vulteius hoc modo interpretatur, Agesilaus in legationibus petebat ab hostibus ut maxime potentes ad se mitterent; cum quibus de communi utilitate sermones conferret,cum his plurimum habens consuetudinis, Sc communicans focum ac cineres , seditiones in urbibus excitabat propter vulgi aspiciones. Videtur interpres loco verbi σανδων quod est in textu Graeco Dissiligo by Orale