장음표시 사용
441쪽
Hinc autem innotescit desectus sextae propositionis ut concipitur a Diophanto, eam restringendo ad blam progressioneni 'arithmetieam quae incipit ab unitate sie enim per eam vix applicari potest
haec octaua propositio numeris triangulis Etenim requirit haec propositio ut a numero multitudinis angulorum uteratur quaternarius, ut residui quadratus additus octu plo producti ex polygono innumerum angulorum binario multatum , fiat quadratus. At numerus an Plorum trianguli intern rius, a quo lane auferri non potest quaternarius Euanel est autem hae difficultas si uniuersalius enun- cietur propositio sexta, ut a nobis praestitum est theoremate quinto. Nam per illud theorema octum plo produci ex pol gono in numerum angulorum binario multatum, addendus est quadratus intcrualli inter eundem numerum angulorum binario multatum in duplum minimi termini, hoc est binarium , qua re non resert utrum numerus angulorum binari multatus sit maior binario, ut
accidit in omnibus polygonis supra quadratum vel aequalis binario ut accidit in quadrato vel minor binario ovi accidit in triangulo Nam in primo casu a nummo angulorum binario multato au
feretur rursus binarius, seu ut vult Diophantusa numero angulorum auferetur quaternarius S re
sidui quadratus addetur oestuplo producit ex polygono in numerum angulorum binario multatum. in secundo casu etiam numero angulorum binario multato auseretur rursus binarius &quia nil supererit, nil addetur ad octuplum supradictum , sed huiusmodi octuplum erit numerus quadratus, eteni in anumero angulorum quadrati auferendo a superest a cuius octuplum est I6. quo ducto in quemlibet quadratum , patet fieri quadratum. In tertio denique casu numerus angulorum binario multatus auferetur a binario, ies dui qua isdratus addetur octu plo producti ex tiangulo in numerum angulorum binario multarum. Vnde quia numerus angulorum trianguli binario multatus est unitas, quam auferendo a binario superest rursus unitas, hinc demonstratur quod ait Diophantus propr. lib. q. omnis triangulus per octo multiplicatus, adsumens unitatem, facit quadratum. Caeterum animaduersione dignum est hane propositionem non eonuerti nisi in triangulis 4n quadratis. Quemadmodum enim ex hac propositione sequitur omnem quadratum ductum in 16. efficere quadratum, ut supra doeuimus, sic e conuerso omnis numerus qui ductus in Io. facit quadratum , quadratus est, ut manifestum est, & rursus quemadmodum hae propositione demonstrati m omnem triangulum per odio multiplicatum, Madsumentem 1 efficere quadratum; sic e eo uerio Omnis numerus euius octuplum adscita unitate facit quadratum, triangulus est, ut in promptu
i , ΗΛ c si si numerus A. cuius octusum B cui addita unitate fiat C. quadratus
si sis l xv o dico A. esse triangulum. Etenim quia . par est cum sit octonarii
o multiplex, erit C. impar, ae proindevi latus eius D. impar est, quare si sumaturae nitate minor quanti erit E par sit ergo illius semissis F. 4 latere P. fiat triangulus G. constat igitur innuptum ipsius G. adsumpta nitate facere quadratum , cuius latus superat unitate duplum ipsius F. tam ex demonstratis ad M. q. quam ex hac propositione triangulis applicata. Quare cum D superet unitate duplum ipsius F. ipsius D quadratus sit C. unde ablata unitate superest B. patet B esse octu plum trianguli G. sed idem B ex hypothesi est octuplum numeri A. ergo A. inaequalis triangulo G. Quod erat propositum.
In aliis autem polygonis non conuertitur haec propolitio, quod uno aut altero exemplo probasse. sufficiet. Quamuis enim vi huius propositionis omnis pentagonus ductus in 24. adsumens unitatem , faciat quadratum , tamen non omnis numerus qui ducius in a4. adsumensa faciat quadratum est pentagonus, etenim a ductus in et . adsumensa facit quadratum 49. tamen a non est pentagonus. Rursus quamuis omnis heptagonus, vi huius propositionis ductus in o.&adsumens s. faciat quadratum, tamen non omnis numerus qui ductus in M. & adsumensi facit quadratum. statim est heptagonus Etenim . ductus in M.& adsumens s. facit quadratum os.cum tamen 6.noi
sit heptagonus,4 sie de a ijs.
τω του γνο- νεωρο-ον, φιλ mult/xum, producto addemus binarium, quadratumque eius qui sic fit sumentes,
442쪽
auseremus ab eo quadratum numeri naui si Φεναδε ἐλαμονοῶ ς--ε-titudinis angulorum quaternario multati, se Fotinω. . ' μμ εο ὶ ον reliquumque diuidentes noctuplum nu- -ααν ις δια, ελα e Hic οὐ meta multitudinis angulorum binario mul Θ s --ν. , -- ωώδεον πιλο- tali, inueniemus quaesitum multangulum. γωνον δ' ἴ-I πολ- ω- . Θ-oe, hucius ipso multangulo dato, inueniemus ἀμ- ον-Φ- πλάσαν πο-λ-α- latus hac arte. Multiplicabimus cum per in. μ υωὸν ὸν ολ- πλατ- Goci uplum numeri multitudinis angulorum L --λHis binario multati, producto addemus qua με, αε- ὼγ PN, - 4-dratum numeri multitudinis angulorum oe G db: Ἀωειῶ m o,
dratum, si tamen datus est multangulus Q, in
nario multatum quotienti addemus uni s
talem summa semissem capientes,
IN NON A M. NVlla omnino hic est disseultas, solum moneo has duas regulas paulo aliter tradi in excerptis nondum editis Apostoditi, Bettubi Rubi architectonis, itemque in Hygini gromatico,
DATO LATERE INVENIRE POLYGONUM.
Sume quadratum dati lateris, hune ducito in numeram binario minorem uisitudine angulorum, a producto aufer quod sit ex dato lasere in numerum quate ario minorem multimine angusirum, residui semissis erat quassus polygonus. Verbi gratia dato latere Io si velis hexagonuni quadrario sit Ioo quem ducit in . binario minorem multitudine angulorum, fit Mo hine auferrio. qui sit ex latete datorio in a. numerum multitudinis angulorum quaternario multatum, telinquitura . cuius semissis I9o est hexago-
Datum pol gonum ducit in octviam numeri multitudinis angulor, binario mutiati, producto addeqi draιum numeri mutiιtudinis angulorum quaternario multati, summa cape latus, huic adde numerum quaternario minorem maiatitudine angulorum, summam Luide per duplum numeri angularum binario muliati , quotiens erit quasitum latus.
Ut sit datus hexagonus m. hunc ducito in ra. octuplum ipsius 4 binario minoris multitudine angillorum, fit so8o. adde . quadratum numeri anguloruin quaternario multati, fit 6o . cuius liri H IX. cui adde a numerum scilicet angulorum quaternario multatum, fit 8o quem divide per . duplum ipsius 4. numeri angulorum binario multati, ut per 8. fit quotiens Io. quaesitum latus. Nos etiam alias multas vi faciles regulas ad inueniendum polygonum dato latere trademus in Appendicis libro I. Caeterum quamuis ut monuimus ad praecedentem, neque regulae Diophanti, neque hae postoditi polsine proprie applicari triangulis, quandoquidein in his omnibus regulis oportet a numer angulorum auferre quaternarium , quod in triangulis proprie fieti nequiti Attamen improprie per numeros fictos quos vocane, etiam in triangulis hae omnes regulae iocum habent, quod exemplis fiet manifestum. Dato enim latere . quaeratur triangulus per regulam Apostoditi sumo quadratum ipsius 6 .puta 36 quem duco in numerum angulorum binario multatum puta in I fit 6 Tum sum numeruni angulorum multatum quaternario, puta a quem duco in datum latus, fit in quem aufero a 36. fit et euius seinissis etr est triangulus a latere 6. Rursus dato triangulo ar quaero eius latus et regulam Apostoditi. Duco I in octuplum
443쪽
numeK angulorum binario multati, puta in8. fit 68.&quia numerus angulorum multatus quates natio, est a cuius quadratus est . a. addo I. ad ioia ni quadratus os cuius latus I3 cui addo numerum angulorum quaternario multatum , puta a fit Ia quem diuido per duplum numeriangulorum binatio multati puta per a fit quaesitum latus . eademque ratio est de regulis a Diophanto traditis.
P Ropositionem pulcherrimam se mirabilem quam nos inuenimus bo in Iora sine demonstratione apponemus. In progressione naturali se ab unitate amit exordium, quilibet amerus in proxime maiorem facit duplum sui trianguli, in triangulum proxime maioris Dei triplum Da Iramidis in Tramidem proxime masoris facit quadruplum fui triangulotrianguli, μι uniformi es generati an in iram methodo. Nec existimo alchrius aut generalius in numeris posse dari theaurema caius demonserationem margini inserere nec vacat, nec licet.
,- - - in D loco autem illius qui fit qua
444쪽
quadruplo utriusque A B. Ba maior est quadruplo ipsius Aa hoc est quaterna Dori quaternari semissis est binarius G. reliquus utique G Κ maior erit binario G D. igitur si diuidatur D K bifariam in L. cadet L. inter G. X. itaque loco quadrati ex m. sumamus quadra-t m exrD cum producto ex DB in BD. quandoquidem R. secatur bifariam in L. additur ei DB ideoque producto ex B in BD cum quadrato es L Ita aequatur quadratus x L B. igitur quadratus ex L B. superat quadratum ex L D. producto ex m. in B D. quocirca quadratus ex ΖΗ aequalia st interuallo quadratorum L D. QquadratαDE. addatur utrimque quadratus DL igitur quadrati Z H. D L. aequales sunt quadratis BL DE cum autem duo numeri simul , duobus simul aequales sunt, sunt&permutando aequalia eorum interualla. igitur intervallum quadrarorum LD DE. aequale est interuallo quadratorum L B. ZM. quoniam ED. aequalis est D G. additur illis GL productus utique exE L. in L G. cum quadrato G D aequatur quadrato D L. quamobrem interuallum quadratorum L D. DGL seu qua .dratorum m. i. quod est productus ex E L. in L G aequale est interuallo quadratorum L B ZM. ponatu ipsi BL. aequalisa M. nam B L. maior est quam ZM. quoniam quadrati ZM. D L. ostensi sunt aequales quadrati AE L. Eo ea te v. παδος aλα αειε - πιναρτόν Mi in
est utriusque Aa B T. ac Κ bifariam secatur in L. erit utique D L. duplus triuique A B. T. atqui DG duplus est unitatis T. ergo reliquus L. duplus est duorum B T. igitur L quadruplus est ipsius T. AE T. est quarta pars ipsius GL sed in T. unitas est quarta pars quaternarii EG ergo totus AB. totius E L. quarta pars est, sed a B ostensus est esse quarta pars ipsus DG igitur productus ex AB. in B T. est sextadecima pars producti ex EL. in L G productus ergo ex L. in
445쪽
AB in ΒΤ aequatur interuallo quadraiatorum ML ZH. hoc est quadrato M H.&duplo procliicti eYTH. in HM quare qui fir sedecies ex AB. in B T. aequalis est quadrato H M: duplo prodiim ex H. in id M. quamobrem H M. par est. Secetur bifariam in N.
Quam ut, propositionis huius demonstratio tam in eodice regio , quam in vaticano atque etiam in eo quem prae manibus habuit Xilander, sit imperfecta in multa desnt, qua diuinate meum non est, cum prauerea neque pie Diophanti scopus mihi satis per emis fit, tamen quaeeumque repete
niendis repurgata perfectae restitui auitati, ut ex apta syllogismorum . atque adeo verti rum omis
nium connexione aestimabit prudens lec4or si quae sivit autem quae prima fronte obscuriora videan tiit . ea sequens adnotatione fient perspicua. .ptimo quod ait Diotiuarmis duplum producti ex BD in D E cum quadrato ex B L aequati qua-3 secandi divit, ex Bo D E si prohat ut Duplum producti ex BD in DE ' aequat vi duplo producti ex Bain Eo 3e duplo quadratissim quare addendo utrimque quadratum ex BE erit dupluui producti ex BD in D E cum quadrato ex BE. aequale duplo producti ex B E in Em quadriobe. BE semes, & quadrato ex BD. bis,sed quadratis ipsorum B E Ei cum duplo produm ex B in ED, aequa- tui quadratus totius BD igitur duplo producti ex BD. in D E eum quadrato ea BE aeqvam quEdrati ex BD. DE. quod etat dentoria tranatam. ui
Z-- Η--N ui Iecurula quod ait productum et D in D B. im quadrato ex DR aequar ploducto ex ΚΒ in Em patet per tutam, Euclidis . Tertio qucus ait secto DX. bifariam in L addendo ei BD productum ex quadrato ex L D aequari quadrato totius L B. rate per . . Euclidi . 3 ex L D aequari quadrato totius La rite pae EuclQuartis quod ait ex eo quod quadrati Z H. D L. aequales sunt quadratis A L. D sequi quadra- eorum D L. . DE. idem eue interuallum, quod & quadratorum B L TH. id sie inserint, quia qua . ν i Asri drati bi ΖΗ aequales sunt quadratis BL DR sunt ira arithmeti a ptoporisonalitate quadrati
ν ν ita es sis ii BL Di, hi qua vi permutando sint arithmetiee,mportionati quadrati DL DE BL
umtob god ait secto Era hilariam in D. & addendo illio productum ex EL. ia G.
qua natos b. aquati quadrato Di nil aliud est quam cta Euclidis. Sexto, quod ait Bumaiorem euaquam Zm ita probatur, quoniam quadrati DL. ΖΗ ostensi 4 primi potita sim aequale quadratis B L. D E est in arithmetica proportionalitate quadratus D L. ad quadratum D E stetit quadratus B L. ad quadratum Z H. sed quadratus in maior est quadrato D E quia D L. m tot et quam ni eum contineat DG. aequalem ipsi TD., praeterea GL igitur de quadratus B L milio est quadrat TH ae proinde B L maior est quam Zm quod erat demonstrandum. Denique quod ait, ex eo quod productus sedecies ex AB in Ba aequatu quadrato H M. duplo producti ex VH in H M. hine sequi ipsum H M. esse numerum parem , sic probatur. Productum sedecies ex AB. in B T. binarius metitur, quandoquidem binarius metitur numerum I 6 quim titur eundeni productum, sed Midem binarius metitur duplum producti exEH in H M. ut euidens est ergo idem binatius metitur teliquum quadratum H M. ac proinde quadratus H M. par est, ac per eonsequeris & ipse H M. at est quod erat intentum. Hare ad librurn Diophanti de numeris polygonis adnotaue uinciat. Quoniam vero hie Iibet mutilus est,&alia multa stitu digna tum theoremata, tum problemata excogitari possunt de numeris polygonis, praesertim de eorum progressione, visum est ea duobus sequentibus libris prese. 4, quos idcire titulo Appendiei, ad libium de numeris polygonis insignire voluimus sedis praeterea, dealeemibri primi puleheltimi corollarij loco, Problematis huius Diophantaei dationem teliciter, ut peto, apponemus.
446쪽
AD LIBRUM DE NUMERIS POLYGONIS. LIBER PRIMVS
PROPOSITIO PRIMA. IN progressione arithmetica, quilibet terminorum post minimum, continet mini. mum semel, differentiam trinies, quotus quisque est a mini γ nimirum primus a minimo semel , secundus bis tertius ter ela ita deinceps. E. p . Gia in in Progyςmon Mithmetica A B O. sit differentia Meuiu, u - plum' ip ur sic deinceps, dico B continere Α. i. atque etiamo J 'in D eontinete A. ωG. Meuidens est ex sola definitione progressionis arithmetica .raliter per 3 Diophantii continet A. semel, differentiam E secundum numerum terminorum nitate multatum id est ter, eadem de ausa C. continet A. semel Q bis, rursus B continet Λ. ω semel eademque ratio si plures exponantur numeri. Ergo patet propositum.
PROPOSITIO SECUNDA. In progressione arithmetica , si differentia ducatur in triangulum rua meri terminorum, unitate multati, & producto addatur quod fit ex numero terminorum inminus extremum, fiet summa terminorum omnium. EA. Sinc BG D in progressione arithmetica, cuius differentiam die si Α. 3. B. s. C. m. D. o. tri ngulum lateris unitate minoris numero terminorum ducatu in . producto addatur quod fit ex ipso numero terminorum in A. fieri summam omnium ASC D. nam per praeced. Α. continetur semel in quolibet ipserum CG.4 praeterea B continet E semel; C his continet eundem E D. continet ter eundem E4 sic deinceps. Quare patet Econtineti in ipsis B CD.secundum unitates trianguli cuius latus est numerus ipsorum BCD. minor scilicet unitate quam numerus omnium ABCD quare Patet propositum.
PROPOSITIO TERTIA. Dato latere polygoni, si numerus angulorum binario multatus ducatur in datum latus unitate multatum, inui producitur, binario auctus ducatur in datum latus, fiet duplum polygoni. Η Sit p. datum latus polygoni, unde aMata unitate supersit G. 4 H.
αλ numerus angulorum binario multatus , quo ducto in fiat K. qui auctus R. Q ny3 bini io Aesit L quo di, ani fiat, dieo, esse duplum polygoni a
K. ' - Α' 'γψ' latetes exponantur te in ABCDE. in ptogressione arithmeticaeonstitutiva polygoni a lateres erit ergo summa omnlii ABCDE. aequalis polygono illi, Metit A. unitas, H dirrerentia, numerus terminorum ipse F ut eonstat ex demonstratis a Diophanto. Quoniam igitur interualIum extremorum A E. per tertiam Diophanti aequatur producto exvi in G. nempe ipsi K.& addendo interuallum numerorum duorum, duplo minoris, fit summa ipsorum; patet addito binario qui duplus est ipsis A. ad K. aggregatum L aequari summae ipsorum A EQuamobrem qui fiet ex numero terminorum F. in summam extremorum L. nimirum M. aequatur duplo summae omnium per quartam Diophanti, seu duplo polygonia latere F quod demonstrandum
447쪽
PROPOSITIO UARTA. Si latus polygoni ducatur in seipsum unitate multatum iroductis ducatur innumerum angulorum binario multatum, fiet numerusinia adsisto dupis lateris, aequabitur duplo polygoni.
Sit A latus polygoni a. unitate minor, M. numerus angulosum biis mitio multatus ducioque A in B. Mel quo ducto is C. t B. ει α ι ipsum addendo duplum lateris A fati dico D esse duplum polygoni a latere A ta. Eiem ducto B, C fiat . cui addito binatio fiatvi quo ducto in A. fiat G. eritque . per praeeta duplum polygoni a latere A quare probandum ipsos DG esse
aequales. Quoniam igitur idem B dumis in A. & in Q producit F.4 K. erit ut A. ad tale F ad K. quare ex Α. K. fiet idem E. qui fit ex C. in F. cum itaque H. contineat Κ. binarium, productus ex A. in re nempe G. aequatur productis ex A. in X. nempe ipsi E&ex A. in binarium, nempe duplo ipsius A. At eidem E.4 duplo R. aequaturi ex hypothesi ergo D G sunt aequales, di ideo D est duplus polygoni a laterea quod demonstrandum erat.
PROPOSITIO EI IN TA. Si quadratus dati Iateris ducatur in numerum angulorum binario mutatum, a
prodiicto auferatur quod fit ex dato latere in numerum angulorum qirasellnarra in latatum, residuum est duplum polrgoni a dato latere. K dit NA, Sis tum larus, di B. unitat minor, sit C. numerus anguI 'o rum binario multatus, idem numerus angulorum muliatuso γ' '3' quaremisis, seu nun- hinatio minor ipsis Cis sit E. quadratus αελ F ri ipsi A. - ducto iii C. Mi P. rede seremis G qu fit . in A. supersit H. dico H. esse hi phim lygonia latere A. et rem ducto B in A. fiae X. quo inusto in C. fiat L cui addendo M. duplum ipsas A. me N. tonstat exime . plum N esse duplum poly goni a latere A. Probandum ergo N. H. aequales esse. Quoniam itaque A. excediti unitate qui fit ex A. in A. nempe E aequatur iis qui fiunt ex A. in B. nempe ipsi Min exis in unitatem, nempe ipsi A. cum ergo A. aequentur E qui fit ex C. in E. nempe'. aequatur iis qui fiunt exta in K. nempe L. is Q in Α, sed quoniam Q superato binario, productus ex C. min. aequatur G. producto ex D in A.4 duplo ipsius A nempe ipsi M. igitur F. aequatur tribus numeris L. M. G. Quamobrem auferendo utrimque eundem G. remallent aequales hine quidem Η. inde vero LM. seu illis aequalis . ouare eum N. ostensus sit duplus polygom a latere A. erit &Η. eiusdem polygonita plus Q d demonstrandum erat
PROPOSITIO SEXTA. Dato latere polygoni, si triangulus a dato latere unitate multato ducatur in numerum angulorum binario multatum, fit numerus qui adscito dato Iatere aequat
ci vi 4i ixd xum 3tu. A. numerus unitate minori. sit Q numerus angulorum, binario multatus, triangulus autem a laterea est D. quo ducto in Q fiatiri dia i ..i R eui addendo datum latus' fiati dico F. esse polygonum a latere A. ete
uam Diophanti ipsum .esse duplum trianguli latere B nempe ipsius D. quare eum ex eodem αin ipsos, cim fiant Hae erit&m duplus ipsius E. Itaque eum ad Η addetur duplum ipsius Ain ad E addetue A. unde fit F. eth H. eum duplo A. duplus ipsius F. Atqui . eum duplo A est duplus polygoni a latere A. per quartam huius. Ergo F. et huiusmodi polygonus. Quod erat ostendendum.
PROPOsITIO SEPTIMA. Si quilibet polygonus adiciscat suum Iatus secundum numerum angulorum binario multatum, praeterea unitatem, fiet pobgonus similis proxime maior.
448쪽
esse polygonum proxime maiorem ipso D seu a latet B. Etenim exponatur progressio arithmetica conititutiva huiusmodi polygonorum, sumamur mea tot termini G. H .L.M. N. quot sunt in B. unitates. Igitur per octauam Dispham ditterentia progrellionis est C. summa omnium est polygonus a latere B. At summa ipsorum G. H. K. L. M. est polygonus D. Polygomas ergo latere B.excedit ipsum D.numero N. Atqui per tertiam Diophati . continet unitatem G. productum ex disterentia C. in A. unitate minorem numero terminorum, productus C. in A. unitate auctus est . Igitur E aequatur ipsi N. eum ergo ut ostensum est compositus ex M. aequetur polygono a latere B utique compositus ex ED. nempe F. erit huius-m vi polygonus quod erat propositum.
PROPOSITIO OCTAVA. triangulus collateralis polygono ducatur innumerum angulorurn binario mul- fatum, Ea pro ctrcto auferatur,introd fit ex latere polygoni in numerum angulorum ternario multatum, residuum aequabitur ipsi polygono.
Esto polygonus Κ. euius latus A.&numerus angulorum binario multatus B. Vnde ablata unitate lupersit C. ternario minor numero angulorum, sitque D. triansulus a latere A quo ducto in B. fiat
D. 11. E. r. p. io ' ρος C A- fata dico si F. auferatur exin relinqui polygonum Κ.Α. s. B.4. C. a. qnim sui naxur . triangulus a latere unitate minore ipso A. ductoque B in G. io. H. in. Κ., H Vndem istam huius additissimul A.&M. fiet K. Qitia igitur pet, praece L si ad G addatur unitas,in suum latus fiet D unitas autem clarescio. Dus G aequantur Α. erit D. 2Φisis ducibus AG simul quamobrem qui fit ex B in D nemperi aequanir iis qui filmtexa in A. ex s. in G. qui est H. Productus autem ex B. hi A. quandoqui. dem S. superat unitate ipsum C. aequatur producto exae in A. nempe F. praeterea ipsi A. Igitur
Ex multis harum propositionum, ad inueniendum polygonum dato latere eoliis eanones elegante v quiae' ratiores re compeniuosiores eo auem tradit Dι ophantus propositione nona.
Dueito datum latus unitate maltatum in numerum angulorum binario multatum Iem producitum binario auctum ducit in datam latus, set duplum pol οηi constat
per tertiam huius. V dato latere . si cluaeratur eius pentagonus Liatus,nitate multatum est 6 numerus angulorum Frnara multatus 3 quo ducta inis sis Pban rio misi so quo ducto in .sior o cuius emi sa 7o. est quaesitus pentagonus.
Ducito datum titas in numerum nitate minorem, productum utito innumerum angulorum binario multatam producto adde duplum titeris, et duplam polygoni per quartam huius. Ut dato eodem pentagoni latere 7. dueit 7. in s.f. o. is ducto is, fictast tuis addas duplum inimirum ι . 'vi prius semis o est a' tu tem omi.
Dueito quadratum dati titeris D numerum angalortim bina D multatum , a producto aufer quod tra dato latere in numerum angalorum quaternar ι multatum, residuum erit duplum oluoni per quintam huius.
Vt dato eodem mmagoni latera duello p. in s. si r 7. hinc ausir productula ex . s r. 7. r siduum est vi prius, o cuius semissis o est quastu pentagonus.
449쪽
Sume triangulum a latere dat-nitate multato , qaemias ei st in numerum an
gulorum binario mulιarum , producto adde datum latus, et quastra polygonus
Same riangulum . dato utere, quem daeit innumeram angulorum binario malista tam , . producto aufer quodsi ex utere dato in numeram angulorum multatum ternario, residuum eri quotus polrgonus per octauam huius.
in scholior ROUO SITIO NONA. Si numerus secetur in duas partes, triangulus totius aequalis est triangulis partium& plano sub partibus comprehenso.
E in Numerus A C. secetur in Ara. C. dico triangulum totius A C. aequari triangu-'n 'i is partium A B. G. plano sub ΑΣ. B C. sumatur D E aequalis ipsi AB., ei 'o' '' natui DF aequalis BC.& adiiciatur ei unitas FG. constat ergo D G. superare βδ' C. unitate, sicut, EG superat B C. unitate Ducto insuper Λ C. in D G fiat X patet ergo per octauam Diophanti vel tertiam huius,ipsum; esse duplum trianguli a latere A C. quia vero dueetes C in D G.idem est atque ducere sigillatim ΑΒ in D REI FG QBC in D EUG. erit K. aequalis productis illis omnibus. Λ dueere Aa in DE sibi aequalem in unitatem FG idem est atque ducere A B in numerum unitate maiorem seipso, unde fit duplum trianguli ipsius A B ducere autem Assi in E R idem est atque dueerea B in B C. igitur patet ex ductu ΑΣ. g totum D G fieti duplum trianguli A B.4 planum sub A B. C. similiter productus ex B C. in E aequatur plano sub Α B. B C. productus ex DC in E G. qui unitate maior est, aequatur duplo trianguli ipsius B C igitur productus ex BC in totum D G aequatur duplo trianguli ipsius B C.& plano sub A B. BC quamobrem compositum ex productis exin B in D G.4 ex DC in D G. nempe productus ex AC in DG nimiraim ipse aequalis est duplo triangulorum A B. BC., duplo plani sub A B. B C. igitur dimidium ipsius K nempe triangulus C aequatur triangulis AB.B C.&plano sub A B. B C. quod demonstrandum e.
PROPOSITIO DECIMA. Si numerus secetur in duas partes, polygonus totius aequalis est smilibus polygonis partium, itano sub partibus comprehense , sumpto secundum numerum angulorum binatio multatum.
Sit numerus A C. sectus in A B. G. .siri numerus angulorum binatio multatus, unitate minor dico potvgonum totius Λ C aequari polygonisA---B-- similibus partium AB ditavi producis ex D in planum sub AB. BC com-ri II, Q prehensurn. Etenim sumantur F. G. trianguli ipsorum A B. B C., si RX- L-r in Q plisos sub AB. BC. Tum ducto D. in ipsos F. G. H. Ullatim fiant X. L. M. N. O P η ducto Equi est nuntietus angulorum ternario multatus in B. BQ fiant R. F. - quibus detractis ab ipsis D relinquantur R. s. quorum summa inqua addita ad M. fiat T. Patet itaque ex sola constructioneis per octauam huius numeros R. S. esse polygonos ipsorum AB. BC quorum summa Q. addita ad M. qui fit ex D in Fl planum subpartibus 2 fiet utique T. eontinens polygonos partium, itanum sub partibus sumptum feeundum
450쪽
numerum angulorum binario multatum. Restat evi probandum ipsum T. esse polygonum similam totius A C. Quoniam ergo FG sunt uianguli paritim in B. B C. H. planus sub partibus erit aggregatum ipsorum F. G. H. aequale triangulo totius A C. Per praeced. Quare cum ex D in id s.c. H. fiant K retit aggregamin ipsorum N. L. M aequale producto ex D. 'la triangulum 1 litis A C. Quarectum etiam N. P. aequentur producto ex E in sublatis de aggregato ipse rum . L. M. supersint R. S. . seu T. patet T. esse id quod restat si productus ex Hi Λ C. autetain tura produeto ex D. in trianguluin eius imu ergoam est polrgonus. Nivs Ata per octauam huius. Quod erat ostendenduin
Odpeculiariter de trianguli ostensiun est in praecedenti, ct ab Euclide de quadrati quartasecundia. Hie niuersaliter ostenditurae omnibus polygonas νι merato intereiacherrima propositιones hac censeri deleat quam prι- σmnium quod 'iam hego demonstraui. Et Memadmodum quartamseeuia extenἀmur ad se honem nnmera in quorun Parre1. Sic σVI
de numerus secetur in quo Iιbet parte , polygonus rotιus a ualis si similibus po- Iu ris partium , se productis ex qualibet parre in quamlibet aliam 'ties sumptis
uod de diuisione in trι ast usum es, o si in infinitum. Ergo paret propUt m. PROPOSITIO U Ni EC LM A. Qili libet polygonus componitur ex tot uiangulis, quot unitates continet nume. Tu angulorum binario multatus. his autem unus et collaterasis ipsi polygono, reliqui vero a latere proxime minori.
. Estorii illibet polystonus A. cuius latus B quod unitate multaturis sit C. de nu--αι C metrua angulorum binario multatus esto P dico polygonum A. componi ex tot ' triangulis quot sunt in D. unitates, quorum unus est ab ipso latere . reliqui a latere C. Etenim per lextam huius polygonus A. aequatur producto ex D in triangulum abs adscito laterem sed si uni iti angulorum abs C. concipiatur addit fiet triangulum ab ipso B per septimam huius quia B continet Q&praeterea nitatemhPate ergo polygonii A. componi ex tot triangulis quot sunt in D. unitates quotistu unus est a latere B reliqui a latere C. quod de
Hinc etiam elicietur canon ad inueniendum pol gonum dato latere. Nam Paratur pentrionum a Iater d. quia numerus angulorum binario inutiatus est 3 eonfiat quasitum pentagonum compon ex tribus triangulis quorum,nus ena latere o reliqui duo a Iater s.flergo sumas huiusmoda triangulas a/. F. s. horumsumma erit si quesitu pentagonio. Mia vero si datum latus dacaturins Uum nitate aut ιιm sit duplum trianguli a dato latere is sidaem latus ducatur in seipsum nitate multarum,si Δη- pilim trianguli proxime minori/,formari poterit Canon omnium elegant simus, experitissimus.
Dat lateri diuitate aucto adde ipsum me lata sonitate multatum toties , quot sunt nitates in numero angulorum multato ternarii, fummam dueiι in datam