장음표시 사용
431쪽
A. 4 4, iaci , h. ipsius A G. multiplex est secundum nume- ντ' rum unitate minorem multitudine ipsorum AB. G. BD. E. est autem AE. interuallum maximi&minimi, At AG est unum
interuallum ipsorum numerorum.
IN TERTIAM. Itid est hie diffieultatis. Nam demonstratio Diophanti brevis est,in dilucida.
α να-πρ e quo e superat A. erit summa duorum
l. λ μ κ...Θ multitudinis ipsorum A. B. C. D. E. F. Quod demonstrandum erat. A. B. C. D. E. F. H. L. Μ. -G
432쪽
Iudem positis sit muliitudo ipsorum A.
positorum numerorum. Quod oportebat
Hi quoque demonstrationes faciIes sent,is mean tantum propositionem constitimne ut euidens est, euius demonstratio pendet omnino a propolitione iuxta Ilibri primi porismatum, qua standi nua in medietate arithmetica summam extremorum atquari summae duorum quorum. libet ab extremi aequalitae distantium . atque etiam duplo medi , si multitudo terminorum fuerit impar. Eit his porro collige summam quotlibet numerorum progressionis arithmeticae , qualem esse produeta ex semine numeri terminorum in summam extremorum, vera conuerso producto ex semili summae extremorum, innumerum terminorum. Semper enim accidit alterutro horum modorum summam omnium numerorum haberi nullis intercedentibus stactionibus, si enim numerus terminorum sit pax eius dimidium sumi potest absque traestione, si autem multitudo terminois sum sie impar, semissis summae extremorum haberi potest absque stactione, quia tune summa erauernorum est munerus par, quandoquidem est dupla medi termini.
433쪽
ma omnium ducta in o stuplum interualli ipsorum, adsumens quadratum numeri qui binario minor est eodem interuallo, quadratus existit, cuius latus binario mutitatum multiplex est ad interuallum secundum quendam numerum, qui auctus unitate , duplus est numeri multitudinis expositorum numerorum,unitate in iis annumerata Sint enim ab unitate numeri aequali interuallo progredientes A B. GD EZ. dico fieri quod est propostum. Quot enim sunt expoliti numeri cum unitate, tot uni. talibus constet numerus Ha Et quoniam interuallum quo Ea superat unitatem, interualli quo Aa unitatem superat multiplex est secundum numerum unitate mi norem ipse ΗΤ. si ponamus unitati aequales singulos Ati EI. H M. habebimus Let ipsius K B. multiplicem secundum M T. Quamobrem Let aequalis est producto ex DB in a. Et si sumamus K N.
binarium, quaeremus an omnium summa
ducta in o Hiplum ipsius KB. quod est ipserum interuallum adsumens quadratum ipsius Ni qui binario deficit ab interuallo faciat quadratum , cuius latus binario multatum, faciat quendam numerum, qui interualli Κ B. multiplex sit, secundum compositum ex utroque T. T M. Et quia summa omnium est dimidium producti ex utroque TE EI.in F T. At productus ex utroque ZE EL. in Ha. diuiditur in productum ex L Z in Ha in eum qui fit bis ex EL. in UT hoc est iaduos ΗΤ. Rursum omnium summa est dimidium eius qui fit ex Let invi T. duorum Η T. At LZ est ostensus aequalis pro ducto ex DB in M T. Quare summa omnium est dimidium solidi sub KB M T. ΤΗ. contenti, duorum H T. si ergo se-cemus ΜT. bifariam in X. habebimus summam omnium aequalem solido sub KB. ΗT TX contento in ima. Quaeramus igitur an solidus sub KB.HT. X. conventu , cum vnoma multiplicatus in octorii. adsumens quadratum ipsius Ni faciat quadratum. Atqui solidus sub KB Ha TX contentus ductus in unum DB aequatur ei qui fit a producto ex HT. in ΤX in quadratum ipsius ΚB. Quare solidus sub KB., T. TX contentus,
434쪽
producto ex T. iii T X. in octo quadratos ΚΒ hoc ellei qui fit octies ex Id T. iii TX ducto in quadratum DB hoc est ei qui fit quater ex H T in M. ducto in quadratum DB ostendendum ergo quod qui fit quater ex H T in Μ ductus in quadratum K B. adsumens productum ex Ha in octo Κ B. adhuc quadratum Ni fit quadratus Diuiditur autem qui fit octies ex Ha in B in eum qui fit quater exm M. in ΚΣ.- in eum qui fit quater ex utroque Ha TN. in Κὶ quaerendum ergo an qui fit quater ex Ha in Τ M. ductus in quadratum ΚΒ. adsciscens eum qui fit quater ex Id M. in ΚΒ. eum qui fit quater ex utroque H T. T M. in B. adhuc quadratum N B. faciat quadratum. At qui fit quater exm M. in
B aequalis est ei qui fit bis e N K. in
B. Mixtus quadrato Ni iacit qua- .dratos ipsorum ΚΒ. ΚΝ. Quaeremus igitur an qui fit quater exΗT in TM ductus in quadratum l. adsumens eum qui fit quater ex utroquem T. m. in a.& adhuc quadratos R. m. fiat quadratus Rursus autem quadratus B Κ transit in eum qui fit ex quadrato Hra in quadratum B. mixtus hic ei qui fit quater ex FIT. in M. ducto in quadratum K B. facit numerum aequalem producto ex quadrato compositi ex utroque FIT. TM. in quadratum DB. Quaerendum ergo an quadratus compositi ex utroque Hra M. ductus in quadratum DB adsumens quadruplum producti ex utroque Η T TM. in ΚΒ. adhuc quadratum K N. fiat qGdr tus. Itaque si producto ex utroque HT.6. in i accipiamus aequalem numerum N R. erit productus ex quadrato utriusque H Τ Τ M. in quadratum DB aequalis quadrato, R. ut deinde ostendetur. Videndum igitur an quadratissim N K. cum
quadruplo producti ex utroque Ida T M. in Κi faciant quadratum. Atqui quadruplum producti ex utroque FIT. m. in ΚΒ. Ἀαδιρὼ ἡ κ. - - . aequale est quadruplo ipsius R. quan ae ιθαὸν Φὸ v. e me caφοχης ἀυπ του doquidem qui fit semel ex utroque ΗΤ Τν in ΚΒ aequalis postus est, R. Atqui
435쪽
I nonnulla sunt dilueidanda, quae Diophantae breuitas obseuriora reddit.
'tim,quod ait Lmmam omnium esse dimidium ploducti ex summa iptorum EZ.m inmet patet per . u. huius: Cum enim Ela si unitas, utique EZ. Ea simul conficiunt summam e εη- , remorum , qua ducta in Hac numerum terminorum , fit duplum summae omnium. Quia vero duia cete Eet in H idem est ae ducet sigillatim EL Let in eundem a rectE concludit seminmani omnium esse dimidium producti ex Let inma semel, iroducti ex EI. in ΗΤ bis,in cum E L. turritas, quae non immutat numerum quem multiplicat, bene inseri luinmam omnium esse dimidium producti ex L Z in Ia T. adsciscentis duplum ipsius I TSecundo, diuidentes a. bifariam in X. rem per lineas expressimus, quia ex hypothesi Diophantaea sequitur T. esse ternarium, qui bifariam per integros secati non potest, hoe autem nil tacit ad demonstrationem. Tettio, quod ait solidum sub KB. T. X. eontentum ductum in B aeqvari ei qui fit 1 producto ex Ha ina X. in quadratum ipsius K B patet ex eo quod quatuor numeri quoquo modor potis &ordine inter se multiplicentur, ' eundem semper Numerum procreant. Quarto , quod ait numerum qui fit bis ex X N. ΚΒ adsumpto quadrato ipsius I. aequati tertiari quadratis ipsorum DB. N. sic probatur. Qui lit ex ΚΒ in KN. bis. aequatur producto ex K N. in Na. bis, duplo quadrati ipsusAEN. Igitur si addatur utrimque quadratus ex N B erit productus ex K B in Κ N. bis, eum quadrato ex Ni aequalis eroducto ex m. in Ni bis in quadrato ex KN bis &quadrato ex B semel At quadrati ipsorum K N. N B cum duplo producti x ex K N. in NI ' aequantur quadrato totius a Uitur productus ex Κ N. in KB bis eum quadrato ipsius a. aequatur quadratis ipsorum DB. m. Quod erat demonstrandum. Quinto, quod ait productum ex quadrato ipsius B in quadruplum producti ex Da in Wrvn. cum producto ex eodem quadrato ΚΒ in quadratum m aequari producto ex quadrato B in quadratum ompositi ex ipsis Ha M T id sie insertur. Quoniam datis duobus numeris Η T. Ma quorum interuallum H M. quod fit quater ex Fla in Ma addito'iladiato ipsius ubint porico aequatur quadrato compositi ex ipsis Η T. T. patet ducere qiiadratum X B in quadruplum producti exm T in M T.&in quadratum M. idem esse atque ducere eundem quadratum, B in quadratum compositi ex ipsisHT. T. Quoniam veto demonstratio Diophanti ob illius prolixitatem, tyronibus Artasse videbitue obscurior, operae pretium duxi, propositionem istam aliter demonstrare. In quo praetervinam quod Deilius&magis dilueidὸ rem expediemiis, id etiam nobis nobis lucri aecedet, quod in uniue sum de omni progressione Arithmetica ostendemus, quod demonstrauit Diophantus de sola progressione euius minimus terminus est unitas. Itaque more nostro, quinque vel sex Theorematis
THEOREM A PRIMUM. Datis guobus numeris, quadratus primi cum quadrato semissis secundi, aequatur
producto ex mutua datorum multiplicatione , una cum quadrato interualli inter primum Gemissem secundi.
Sint dati A. Rin ipsius s. semissis esto C. Ipsorum autem A C. interuallum esto D. dico quadratos ipsorum A. C. simul aequari producto ex A. in Runaeum quadrato ip-δελφε Φ siu, D. Etenim quadrati ipsorum A C. ,qι potita sius D. Etenim quadrati ipsorum aequantur duplo producti ex A. in C., quadrato ipsius D. sed duplo producti ex A. in C aequatur productus ex A. in B. quia F. duplus
Sy 'AEx uipistium δε C. aequantur producto ex A. in B.& quadrato ipsius D. quod
436쪽
. π ut m A:si -- vel minor quam B vel quam C. sest eodem prorsus Moumeri mxς semissem ipsius Λ. aequati quadratis tum ex B tum semisi ipsius A. otii, ' Η'' 'THEOREM SECUNDUM.
.. l. i h ς lςδ p ductus ex differentia progressionis in maximum,
tacui quadrato interualli inter minimum semissem dithrentiae, aequatur qua
nuo sunt termini progressionis no dempto.
ties sumpto, quot sunt ipsi antecedentes. Gα G, G, lox img ssion arithmetira Λ BCD., sit G differentia progres. A, B C, D. 11. φη diς qu d tum maximii aequari producto bis ex G. in omnes an-n 'Mmς quadrato ipsius Λ semel, inuadrato ipsius G totiesi 'd'CI ii 'nim G Q simul componum D. erit quadratus ipsius D. aequa-ra. α'P 'G duplo pim ii S Q eadem de causa quadratus ipsius C aequatur qua
ur iis piorum G B. duplo planisub G B.Λ rursus quadratus ipsius B aequatur quadratis ipsorum
In progressione arithmetica, quadratus maximi aucti dimidio disterentiae, aequata duplo plani sub summa omnium δε sub differentia contenti, una cum quadrato interualli inter minimum .semissem disserentiae. H. E a G i sint ABCD. in arithmetica progressione euius differentia E. euius semissis
Α. .B. .C.9.D.ti interv llum inter Α.&; esto H. Ipsorum autem DG summa est K. K. ii. crsici quadratum ipsius K. aequari numero qui fit bis ex E in summam omnium, 'na eum quadrato ipsius Η. Etenim quadratus ipsius X. ' aequatur quadratis Η .Ea. G t. Κia ipsorum D G. duplo producti ex G. in D seu producto exa in D c quan-Λ1. B . s. Dii doquidem S duplus est ad G in quadratus ipsius D. per praecedentem, aequatur duplo producti ex E in ipsos B una eum quadrato ipsius A. semel, quadrato ipsius si toties sumpto quot sunt ipsi AEC igitur Muadratus ex K. aequatur numero qui fit bis ex E in Ai C. Temel in D eum quadratis eris. ωG. semel sumptis, quadrato exi toties sumpto quo sunt ipsi ABC. At perseeundum theor. quadrati ex A.4 G. una cum quadrato ex H toties sumpto quot sunt ipsi AB aequantur producto exa in D. una eum quadrato ex H. igitur quadrarus ex Κ aequatur duplo productio, in omnes ABCD una cum quadrato exi quod demonstrandum erat.
THEO REMA RUINTUM. In omni progressione arithmetica, numerus qui fit octies ex differentia insummam omnium, una cum quadrato interualli inter duplum minimi disserentiae, arcuatur quadrato, cuius latus componitur ex duplo maximi.&ex differentia.
437쪽
Sint BCD in progressione arithmetica, cuius differentia E eurus Ain, semissis G. interuallum inter Α. esto interuallum autem interi 9 et duplum ipsius A. E.esto L. dico quod fit octies exta in summam omnium
' BCD. cum quadrato plius L. aequari quadrato compositi ex duplo ipsius D. ex E. sit enim K. summa plorum D G. quia igitur octu plum producti exE.in omnes BCD. cum quadruplo quadrati ex H est quadruplum producti qui tithis ex E in eosdem x Ci.4 qu diati ex H. At productus ex E inini Cm bis, quadratus ex . aequatur quadrato ex K. per praecedens theor.patet ociuplum producti ex E.in ΑΒ CD cum quadruplo quadrati ex H. aequari quadruplo quadrati ex Κ. at quadruplum quadrati ex K. est quadratus, cuius latus duplus est ad . Meum K componatur ex D. Sex G. duplum illius componitur ex duplo ipsius D. &ex duplo ipsius G. seu exa igitur octu plum productilexa in Alco eum quadruplo quadrati ex . quadratus est, cuius latus componitur ex duplo ipsius D&ex E. Quia vero interuallum ipsorum ΑG. est H. utique du- florum interuallum, puta L. duplum est ad H. ac proinde quadratus ex L quadruplus est quadrati ex L quamobrem octuplum producti ex E in omnes Aac D cum quadrato ex L aequatur quadrato cuius latus componitur ex E. ex duplo ipsius D. quod erat demonstrandum. Sane hoc theoremate in uniuersum de omni progressione arithmetica demonstrauimus, quod Diophantus restringit ad solam progressionem quae incipit ab unitate. Nam illius propositionem ab hoe theoremate minime differte uilibet rem attentius consideranti, statim innotescet si hoe applicetur arithmeticae progressioni ab unitate incipienti. Quod tamen ut fiat commodissime, tale adhuc
THEOREM A SEXTUM. In progressione arithmetica quae incipit ab unitate, productus ex duplo numeri
terminorum unitate multato in differentia progressionis, adsumpto binario, aequatur. composito ex differentia, ex duplo maximi termini. λ Sint A B CD in arithmetica progressione , cuius differentia E. sit
--, in unitas, numerus terminorum H cuius duplum Κ. sit L. nitate mi-
A Dorcipi m. curias duplum v. cui addita unitate nat G. eratque G. unitate minor quam . cum enim HL unitate differant, erit duplorum KF in- lj teruallum binarius, quare G. excedens F. unitate , deficiet unitate ab ipso' ' Κ dico itaque productum ex G. in E adsumpto binario, aequari compo-sto ex duplo ipsius D. ex E. Nam productus ex L. in E aequatur interuallo extremorum A. per tertiam huius. Quare si producto ex L. in E add tu unitas A. et numerus D. ac
, D py0m ipsi producto ex F. in E addatur binarius, fiet duplum ipsius D.
A L κου inii amo oremu . unitate maior quam Educatur in eundemi.&producto' addatur binarius fiet utique numerus continens bis ipsum D. semel ip- I '' sum E quod erat demonstrandum. Hi ne porro manifeste insertur propositio Diophanti .sint enim AB CD.
ἰn arithmetica medietate, &sit Α unitas, disserentia progressionis E quae binario multata relinquat G. duplum numeri terminorum esto Κ. unde ablata unitate, supersita dico si E ducatur octies in summam omnium ABCD .producto addatur quadratus ipsius G. fieri quadratum, cuius latus binario multatum, continet Stoties, quot sunt unitates in L. quia enim a dii tereluia E. auserendo duplum minimi termini A. puta binarium, relinquitur G utique pers theorema nume-o rus qui fit octies ex E in summam omnium Ai Cm eum quadrato ex G.
. c. c o qu xv qu drato cuius latus componitur ex E.& ex duplo ipsius D. tkPL' '8 per extum ineor ipsi E.&duplo ipsius D. aequatur productus ex L. in E.
7 aiictus binatio. Igitur qui fit octies ex E in summam omnium in D. adsumens quadratum est G aequatur quadrato, cui iis latus aequale est producto ex L. in E adsumenti binarium Patet ergo si a latere huius quadrati auferatur binarius , relinqui productum ex L. in E. seu numerum qui toties continet E quot sunt in L. unitates, quod demonstrandum erat.
438쪽
dratum B. producit quadratum ipsus G. ἔ, Z g. δPonantur ipsis A i. aequales in reetili ne Di Ea . . describantur ab ipsis quadrati A. B. G. λΚDT EL. perficiatur complementum Τ Z. Itaque erit, D E ad EI. Ita quadratus Da ad complementum TZ ut autem T E ad Eri sic complamentum T L. ad quadratum E L quare complementum TZ. est medium proportionale inter quadratos T. Κ. Productus igitur ex quadrato ex D . in quadratum Z K. aequalis est quadrato ex TZ.&est D T. aequalis quadrato compositi ex utroque H T. T M. At ΖΚ est aeqtialis quadrato Κ B. complementum TZ aequale est NR. Quamobreminim fit ex quadrato' utriusquem T. M. in quadratum K B. aequale est quadrato N. R. A. B. G.
Quod demonstrat hic Diophantus per lineas, longe breuius facilius per muneros ostendemus, Mipsam propositionem c concipiemus.
Produltus ex mutua duorum quadratorum multiplicatione, quatur quadrato producti ex iit o. laterum ductu.
Sint quadrati A. C. quorum latera D. E.&ex D in E fiat B. 1co pro-H. y v as' 49 duetum e quadrato A in quadratum C aequari quadrato ipsius B ete- nim ut constat ex demonstratione undecima 8 Euclidis B. et medius proportionalis inter Α.&C. quare productus ex A. in C. aequatur quadrato ipsius B. Quod erat de io seqti. monstrandum. Orc. α. κ..ν... - I- p .λ
439쪽
o σύα- MMuενων λυγωνος lus primus ab unitate inuandaqrudem ἰσογωπος τῆος ερον γινια ἔ-ύεαc, σος Ara est unitas, secundus autem post eam .hvias Aάδὲ τῆοκ uti με--οχης - numerus est A Bh eius latus est bina. --e 6 λα ρα εχ ει ηθ. v τὸ -- rius , sequitur summam omnium prodier rari, di m νη- αδ λα α 3 tessionis terminorum esse multangulum G φη G ου' ψικλογῆ ερω γο-ν, aequiangulum ipsi B. habentem toton αν σιν eths ria, e D angulos , quot unitates habet numerus θοχ ο σωουν -αμ-- ώ- ο superans binario A. inter uulum B. χης, ο νώμα τριγο e, baub δη est eius latus HT. numerus multitudi--ραγουσος, νειαδε δεχτε-ο -ο 1 γε- nis expositorum numerorum cum vnit .g τὸ πλῆθος γ γινιων- δυαδ με se te. Et demonstratum est quod ab Hypsi- να, χαίρου, - αὐ- εο ανχῖ cle in definitione dicitur. Quod si fuerint ει rariora συν Φῆ ι άδ. gh ὲπε quotlibet numeri ab unitate aequali inter, uallo progredientes , si interuallum sit unitas, summa omnium est. M gillus, sibi natauis, quadratus , si ternarius, quinquangulus Exprimitur autem multitudo angulo A per numerum binario maiorem differentia latera vero primat mimul it di di terminorum cum unitate. Itaque quo niam trianguli sunt cum intema huiLestatara , Astera ipsorum erunt maximi ter-
440쪽
minorum, productus ex mammo tet ἰγωνοι Φάδο em --γbινται, minorum in unitate maiorem ipso, duplus est ipsius trianguli. Et quia a multau gulus est in illius tot uuit anguli, quot in ipso nitates ductus octies annumerum binario nunorem ipse, hoc est in B., adlumen quadratum numeri
qui ab ipsomet, quaternario deficit hoc
est quadratum N B iacui quadratum, talis erit multangulorum definitio Omnis multangulus multiplicatus octies is merum vinario morem eo qui exprimit multitudinem angulorum in adsumens quadratum numeri quaternario minoris multitudine angulorum , iacit quadratum Simul ergo dem strata Hypsiclis definitione, morum multangulorum, liquum est ut ostendamus, quomodo dato Iaxere is qui requiritu multangulus inueniatur. Nam alicuius multanguli latus hahentes IIT. habentes mulcitudinem angulorum eius , habebimus, datum
Kn. Quare habebimis productum ex utroquem T. M. in m. qui aequalis est ipsi N R. Quarem datum habebimus ipsum R. quoniam biniarias est, Quamobrem datum habebimus ipsius KR. quadratum. A quo auferendo qua .dratum ipsius, B qui apse datus est, habebimus reliquum datum, qui quaesita multanguli multiplex est secundum cru- pluin ipsius. B. Ergo inuentus est quaris
litus multangulus. Sitniliter ela danti milia tangulo, uenremus latus eius FIT. Quod demonstrandum erati
His e propositio ista nobis restituta est, parum habet diiseultatis, pendet Ius demonstra tio a superioribus, praesera a sola, secunda,in primi, huius, quas idcite suis locis in
Quod ait Diophantus de numeris triangulis, nimi tum, si latus euiuslibet trifinguli ducatur in nu- metum unitate maiorem seipso , fit duplim ipsius trianguli id si infertur. Quoniam omnis mangulucem definitione , est summa progressio iis Mitisseticae quae incipie ab unitate, Meuius dis
serentia est unitas, patet numer m termittoeum, in ruso in latus trianguli aequari maximo termino. Etiande si latet addatur vilitas, seu mirum terminus, fiet summa extremorum. Quamobrem cum lati, trianguli seu numexus terminorum, dueetur in numerum unitate maiorem seipso, hoc
est in summam extremorum, fiet duplum summae Ommium terminorum per . Mius, hoe est duplum