장음표시 사용
451쪽
e Ropos ITIO DUODECIMA. Si qllotlibet polygoni collaterales ordinate disponantur, j cum suo communi latere constituerit progressionem arithmeticam, cuius differentia erit triangulus ab
eodem latere unitate muliato. , Sit A datiim latus euius triangulus B quadratus C. pentagonus , D. hexagonus E, se doneeps sitque F minor unitate quamin. cuius tri ligulus G dico ipsos ABCDE constituere progressio. nem arithmetieam cuius differentia est G. etenim cum numeri a gulorum plorum B CD E sint numeri . . e. 6. se deinreps per additionem unitatis crescentes, si sumantur H ΚL M. numeriangulorum sinitio muliati erunt ni I. I. 3. . qui etiam per additionem miraticerescent. Itaque quoniam per . huius,G adsciscens A. maiorem unitate quam suum latus F. facite iangulum stlatet G. esse differentiam duorum ΑΣ. Rursus quia per praeced. singuli CDE. cimtinent tot triangulos quot sunt nitates singulis Κ. M. quorum unus est B. reliqui omnes aequales ipsi G. patet C. eontinerem. ipsum G semel, at D continere B.4 insuper G. his , atque etiam E. continerem. ipsum praeterea G.ter ωsie in infinitum quilibet altior polygonus continet B. d adhuc ipsum G semet amplius quam anteeedens polygonus. Constat igitur per primam huius G. esse differentiam per quam progrediuntur ipsi ABC, E quod demonstiandum erat.
Nine elisιtu Canon ad inuenieniam sumniam quotlibet polusnorum oliateralium ordinat dispositorum dato utere, ut amaratur se a Piadrati pentagoni, hexagoni, heptagomi octogonia fatere
Dueito triangulum teris unitate multati in numerum multitudinis polygonoraminitate multatum, producto adde duplum minimi polygons summam ducri in n. merum multitudisi, postgonorum4μι duplum quaesa summa.
452쪽
PROPOSITIM DECI MATERTIA. In progressione numerorum secundum seriem naturalem dispositorum ab unitate; polygonus maximi aequatur maximo terminorum, summae reliquorum sumptae se
cundum numerum angulorum binario multatum. H. G. Haec facile per . concluditur, cum qua idem sere est mutatis verbis. A, B, C, D 4. D pas 'i' F 'v'xu, numeri iecundum seriem naturalem nu
metorum ab unitate dispositi, maximi F. polygonus esto G numerus angulorum binario multatus sit id dico G aequari ipsi F. summae reliquorum Aa C D Erumptae secundum H Quia enim summa ipsorum ABCDE. est triangulus a latere . unitate minore ipso F. patet per . productum ex H. in illum triangulum adscitos aequari ipsi G. unde patet Propositum. ς re ROPOSITIO DECIMARUARTA. In progressione numerorum secundum seriem naturalem dispostorum aggregatum similium polygonorum a singulis, aequatur productis ex sic dispositis numeris in totidem numeros progressionis huiusmodi polygonorum coniti tua ivae, si videlicet maximus unius ordinis ducatur in minimum alterius ordinis. Tum primus a maximo ducatur in primum a minimo , secundus a maximo in secundum a minimo & ita deincvs.
x v. CD secundum seriem naturalem dispositiis
A r. a. C, D. seMm Polygonorum a singulis est V tum sumantur to. m. R .s4.T3. MI. N. 3. Pa. xi. Li. xidς xςxmini in progressione huiusmodi polysonorum Hlo. G . Ei nstitutiva, ordine inuerso dispositi ET G H. ductisque
re 3 in G C in F, in E. sit productorum summari uico A esse aequales, sit enim L differentia progressionis constitutivae, seu numeriis anguibium dinario muItatus patet per primam huius F.continere unitatem E. ωLsemel;G. eontinere unititem bis M. colitinere nitatem semel, ω ter. Dividantur ergo numeri H. G. F. in partes ex quibus componuntur,nimirum F. in unitatem Κ.4 in L. Ipse autem G. in unitatem M. Mi N. P. aequales ipsi L Denique ipse H resoluatur in unitatem in R.S.T. aequalas ipsi LPatet numeros qui fiunt ex A. in H. ex B. inta ex C. in F. ex D. in E simul iunctos nempe X aequari omnibus qui fiunt exin in Q R. S. T. ex . in in P. & ex C. in Κα& ex D in E. Quia igitur ex E in . fit ipse D. quia Eest unitas ducere L. in C. P in B. a. in A. idem est ac ducere L in summam omnium Ais productus autem ex L in summam omnium Α Β C. adscito D faeie polygonum ipsius D. per praecedentem Patet productos ex E in D ex in C. exi in B.- ex . in A. aequari polygono ipsius D. simili prorsus argumento ostendemus productos GK in Q exi in B. ex S.in A. aequari polygono ipsius C. rursus productos ex M. in B.4 ex R.in Α aequari --Iygono ipsius B.& denique constat ex in unitate in A. unitatem fieri polygonum ipsius A. Igitur euidens est omnia illa producta seu numerum Kaequari Polygonis a singulis ABCD seu numero V. quod demonstrandum erat.
p Ropos ITIO DECIMARVINTI. Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dilositi, aggregatum productorum ex numero angulorum binario multato in primum a maximo semen in secundum bis; in tertiui ter, sic deinceps adscita namina numerorum aequatur aggregato polygonorum a singulis.
Repetatur enim piaecedens figura. Dico Aggregatum produ torurn ex L in Q semel in B. bi, in
rer,&sic deinceps. si addatut summa omnium ABCD. fit v. aggregaxum polygonorum 1 sin ulis Quod demonstrandum erat. ' ΥS in ungulis.
453쪽
PROPOSITIO DECIMA SEXTA. Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, in merus angulorum binario multatus ducatur in aggregatum triangulorum singulis relicto maximo in producto addatur triangulus maximi, fiet aggregatum Polygonorum a singulis.
Sint iidem qui supra ABCD dico si L. dueatu in aggregatum triangui di tum a singulis Assi C. & producto addatur triangulus ipsius D. fieri .aνδε 'V 3'U Α' negatum polygonorum a singulis. Nam triangulus Q aequatur summae ir3' sorum Aa C. triangulus B aequatur summae ipsorum Α Β ωtriangulus Maequatur ipsi A. sumere autem Aa C. tumini tum A. idem est atque sumere C lemel, B bis,Λ. ter. sic deinceps, ergo aggregatum triangulorum a singulis Ric aequatur ipsi C. semel, i. his, A. ter. Quare ducere L in aggregatum illud triangulorum , idem est ae ducere L in C. semel, in B. bis, in A. ter. At productis ex L. in C. semeiani bis,in Λ ter, si addatur summa omnium ABCD. seu triangulus D fit V per praeced. Isitur si, producto ex L. in aggregatum triangulorum a singulis Assi Q addatur triangulus D fiet idem V aggregatum polygonorum a singulis. Quod demo
P ROPOSITI DECIMAS EPTIMA. Si fuerint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem numerorum dispositi, productus ex numero terminorum unitate aucto in polygonum maximi, adscita summa numerorum, vel adscito triangulo maximi, a quatur triplo similium polygonorum a singulis. v sint ABCDEF. numeri ab unitate seeundum seriem naturalem
3- dispositi dieo si polygonus maximia ducatur in numerum ter H. I. u. a. . 3. v. v . x minorum vestite producto addatur summa ipsorum 3 ABCDEF. seu quod idem est triangulus ipsius F. summam aequatit iplo polygonorum similium singulis. Sit enim N numerus angulorum binario multaeus, .supet ipsos A BCD E disponantur totidem illis aequales ordine inuerso G H. E L M. ita ut G sit unitas. H. binarius Κ ternarius Te de eeps. Tune patet ambos G E aequari ipsi F. ωsimiliter ambosa in sed, ob medietatem arithmetieam summa duorum Λ E aequalis est summae duorum B D. atque etiam duplo ipsius C. Igitur cum ambo ME. aequentur ipsi .in summa duorum B D. sit eadem quae duorum B L, eadem quae duorum D Η.&K sit aequalis ipsi C. patet singulas Quam a binorum in L B. C. HD GAE aequari ipsi F. Quare si harum summarum polygoni sumantur in praetere polygonus ipsus F. his, aequabuntur hi omnes polygoni simul
producto ex polygono ipsius F. in numerum terminorum unitate auctum. Itaque cum Polygonus
summae M A. per decimam huius sit aequalis polygonis ipsorum M. αλ plano sub M A. ducto in N. Item polygonus summae L B sit aequalis polygonis X. i. ωB.Λ plano sub L B ducto in N. Item polygonus summae DC sit aequalis polygonis K. C. plano sub K C. ducto in N. Itemgue polygoni summarum H D. GH sint aequales polygonis ipsorum H D.G. Ein planis sub H D. E ducus in N polygoni aurem ipsorum G Η Κ L. M. sint aequales polygonis ipsorum ABCDE. si his addatur duplum polygoni F. equitur duplum polygonorum a singulis ΑΒ C DET una eum planis M'. sub L B sub C. sub Α D sub G E ductis in . aequari producto ex polygono ipsius
F. in numerum terminorum unitate auctum. Quare si adiiciatur utrimque summa omnium
AR C DEF. erunt summae utrimque aequales. Quia vero G. est unitas Η. binarius. . ternarius desie desneeps patet productum ex ta in P aequari ipsi E. productum ex Η in D aequati duplo D de productum ex K in C aequari C. ter,in productum ex L. in B aequaria quater productum ex M. 1 A. aequari'. quinquies&sic deinceps Igitur ducere N. in omnia illa producta, idem est atque cere N. in E .lemel, in D. bis, in C. ter, in B. quater, in Aquinquies Use deinceps. Quare petis huius qui fit ex N. in omnia illa producta, adscita summa ipsorum xRCO EF aequatur polygonis a singulis. Quamobrem qui fit ex polygono F in numerum terminorum unitate auctum adsis cita summa omnium, aequatur triplo polygonorum a singulis. Quod erat ostendendum.
P ROPOSITIO DECIM AO CT AU A. Siriuerint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem numerorum
dispositi, in idem latus unitate auctum, a quatur sextuplo similium polygonorum a singulis. Dissiligo by Orale
454쪽
A, B, C, Da intini Cossi ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, Maiati G,bus xs imi E. polygonus esto F cuius duplum G quo addito ad ipsum E fiat M, io L. H 'u ducto in K. unitate maiorein ipso E fiat L dico L. esse sextuplum
similium polygonorum singulis ABCDE. Etenim ex K. in F fiat M. Patet ergo per precessi si ad M. addatur summa omnium ABCDiu fieri triplum polygonorum a singulis. Quia vero productus ex K. in H. nempe L aequatur productis ex K. in G.44 E. ex quibus re componitur. Productus autem ex K. in G. est duplus ad M. quia G. duplus est ipsius P proe ductus ex K. in E. est duplus summae omnium Α BCD E. per . Diophanti sequitur L. continere duplum ipsius M.& summae omnium ABCDE. id est duplum tripli polygonorum singulis. Igitur L in sextuplum huiusmodi polygonorum. Quod demonstrandum erat.
Ex his duab propositionib. elietes amnes ad inueniendum summam quotlibet polygonorum ilium ab unitare orianat. Upositorum.
CANO N. I. Cape maximam polygonorum quem daciis in suum tiιus unitate auctum, producto adde triangulum ipsius lateris , summa triens erit aggregatum polygonorum
per II. Vasi quaeratur summa f. pentagonorum ab unitate cape pentaconum V s. nempe s 3 in o. βι ιo cui adde triangulum Uus 1 nempe'r,fiet aas cmus triens s. et quaesita summa.
Duplo maximi polygoni adde latas illius, summam duello in idem Lias,nitate auctum , producti Iextans eri aggregatum poluonorum peruae.
rectonis, quam tamen a nemine hactenus demonstratam id . Quanιam vero regula generale de polus is ad triangulos t ροι simpliciore applicata sunt - timorerctfaeiItorei, fetforte Canon facilior applicando huius ad ιriangulos O mplorando amxilium /6. hac arte.
Cape triangulam maximi lateris nitare multati , quem Deu in idem tus ni- rate auctum producti rape trientem , quem ducito in numerum angulorum binario multatum, producto adde triangulum maximi lateris,set aggregatum polygonorum.
Visi queratu aggregatum 7 pentagonorum ab unitate capra . triangulum ipsus 6. Pem ducit is r.' ιιι missisiens so auo ducto in s. si ιεν cui si adda a . At ιρε aggregatum quasilum. Oniam ero in hunc Iocum reiecimus explicationem visi propositiona Diophanti. misit amet minita est apud ipsum, rana promis με o exoluamus, en quidem insistentes vestud Diophanii, sed aliam morsa amplectentes νι-.
P ROPOSIT IO IO PIO BLEM A Proposito quolibet numero in uestigare quot modis polygonus dici possit.
Sit propositus numerus Iro. Primo quidem constat ex definitione Diophanti, eum esse polyg num a latere a totque angulorum, quot ipse continet unitates,in sic dicetur heeaconticosigonalis. Deinde inuenietur triangulus esse a latere is quia eius inullum unitate auctum, quadratum sor. efficit, cuius latus 33 unde ablata unitate superest 3o. cuius lemissi sis. est latus trigoni DO ut coninstat ex Diophanto. Denique ut sciamus an alijs modis idem rio. possit esse polygonus Exponantur ab unitate omnes in inlinitum ordinatim numeri , puta I. a. 3. q. s. 6. 7. 8 Uissis subiiciantur ab unitate triangulares omnes ordinate dispositi puta I. 3. 6. Io. Is ai. 28. vi factum vides in apposita tabella, quae
455쪽
potest in infinitum extendi. Tum propositus numerus rao diuidatur sigillatim per numeros triangulos oti obteruetur, quoties residuum ex diuisione aequale erit lateri proxime maioris trianguli, toties enim numerus Iao polygonus erit, cuius latus erit ipsum residuum diuisionis. At quotiens ostendet disterentiam progressionis huiusmodi polygonorum constitutivae , seu quod idem est, idem quotiens binario auctus , numerum angustorum indicabiti Hac arte si diuidas Iao per triangulum . ita ut residuum sit 3 fiet quotiens 3o indieans no. esse polygonum angulorum I. seu tessaracontrahenagonalem, duum 3. latus illius denotat, ita si inmmas progressionem trium terminorum quorum differentia sit 39 fient hi I. o. 79. ex his polygoni angulorum M. f. a buntur i. 4 I. leto. Rursus si diuidas Iao per triangulum 28. ita ut residuum sit 8 fiet quotiens Piciis dicans ino. esse hexagonum , at residuum 8 radicem illius desgnat. Ita si instituas progressionem octo terminorum quorum differentia sit A. erunt hi I. F. G. 3. I7.2I. 23. 29 quorum summa utique est no Quia veto leto per nullum alium triangulum diuidi potest, ita ut residuum si aequale latera proxime maioris trianguli, ideo pronunciamus propositum eundem numerum, pluribus alijs modis esse non posse polygonum quam quatuor; cum sit ut ostensum est triangulus hexagonus, tess raconi enagonus, hecatoninicosigonus. Huius rei demonstratiosaeilis est, quod uno exemplo fiet manifestum. Quia 28 diuidens no dat quotientem 4. cic residuum L patet Ia . aeqirari quadruplo ipsius 28.vi numerossi atqui per septimam huius triangulus 28 eum 8 qui unitate maior est quam latus ipsius facit triangulum 6 proxime maiorem, igitur iungendo 28. semel cum residuo 8. semel, erit Iao. aequalis triangulo G. ter, c triangulo sequent 36. semel, quamobrem per demonstrata inseholio ii nutus rati est polygonus collateralis ipsi Gi hoc est a latere8.4 habens tot angulos, quot triangulis ipse eonstat elus duobus hoc est o . quod erat demonstrandum. Et euidens est si diuisio
tentata sit pe omnes triangulos, donec deuentum sit ad aequalem vel maiorem ipsorio eundem Iao non posse esse polygonum aliter quam modis sic inuentis, etenim quomodocunque dicatur esse polygonus, oportebit per II huius, componatur ex tot triangulis quot ipse angulos habet mi. nus duobus, quorum unus erit illi collateralis, alii a latere unitate minore, quare si collateralis tria gulus resoluatur in suum latus, in proxime minorem triangulum, qui bus aequatur, iam propositus numerus continebit aliquoties minorem triangulum, & praeterea latus maioris triangulis mel, & ideo propostus numerus ex demonstratis ostendetur esse polygonus uno inuentorum modorum, vel inseretur omnes diuisiones non esse tentatas. Quorum primum negabatur. alterum in
rebatur,vnde manifesta sequitur contradictio, igitur ex omni parte proposito est satisfactum. Aduerte autem compendii gratia, non omnino tentandam esse diuisonem donec peruenias ad triangulum aequalem vel maiorem proposito numerori sufficit enim si deuenias ad triangulum qui semestantum in proposito numero contineatur istim enim ex huiusmodi diuisione quotiens non possit esse nisi r qui aurius binatio esseitynumerum angulorum trianguli, patet per hanc diuisio. nem propositum numerui non posse esse nisi triangulum , si sorte triangulus per quem fit diuisio. cum latere sequentis tum tus, effetat ipsum sequentem triangulum. Quare cum per regulam Di phinti iani expertus sis an propositus numerus sit mangulus,superfluum erit id amplius inquirere, se in data hypothesi numeri reto eum perueneris ad triangulum 66. qui semel tantum continetur in Iro iam desistere poteris ab examine, cum per id nil amplius tibi posse innotescere nisi leto esse triangulum cum divides scilicet eum per iii angulum roe sed id iam tibi eonstat. Rursus si propositus numerus si par, trustra tentabitur diuisio per triangulum parem eum latus sequentis est impar, quia enim euiussi bra trianguli paris multiplex quilibet est par eo detracto aptoposito numero pari impossibile est relinqui imparem ut constat ex Euclide. Hae de causa propolito numero rao frustra tentabitur diuisio per triangulos Io, 46. quia latera sequentium, sunt
Eadem de causa si propositus numerus sit impar, frustra tentabitur diuisio per triangulum parem quando sequentis latus est etiam par. etenim trianguli paris multiplex quilibet, par est quo detracto a numere proposito impari, impossibile est residuum esse par. Itaque in hoc eas non ten itur diuisio per triangulos 6. 28 66 qui latera sequentium sunt 8. n. numeri pares, & sic de
alijs. Denique possunt Malia compendia obseruati, quibus iam prouecta diuisione antequam penitus absoluatur, dignosci possit an utilis sit sutura necne, quae studioso lectori indaganda relinquo.
456쪽
AD LIBRUM DE NUMERIS POLYGONIS.
AC et V est superiore libro de progressione polygonorum, quorum latera secundum seriem naturesem numerorum in unitate disposita lunt. Hoc vero semus de illorum progrςssione quorum latera reperiuntur in qualibet medietate arillimetica ontinua , cuius d erentia sequatur minimo termino. Et primum quidem insignes aliquot huius medietatis proprietates persequemur. Deinde peculiares de quadraturum progressione trademus regulas , tum generales de omnibus polygonis, demum singularia quaedam de cubis deque eorum progressione proferemus. PROPOSITIO PRIMA. In medietate arithmetica, in qua differentia minimo termio est sequalia, pro is fluctu is numero terminorum in minimum , aequatur maximo. . i. citi sint in mediet te arithmetica Am C .is differentia plogressionis sit .h aequalis ipsi A. It F. numerus terminorum,dico productum ex A. in F aequari maximo D etenim AE. eontinet A semel, differentiam E semel, at C. r. A. semel differentiam Ebis, ae denique D continet A semel de diffitentiam Erier, Ieui F. producituri quod demonstrandum erat.
I ine patet seeundum a minimo eontinere minimum bis, tertium quisque est inserie progressionis , toties continet minimum.
PROPOSITIO SECUNDA. In hae progressione productus ex numero terminorum unitate multato inimidium, duplus est summae reliquorum.
- Sintia hae progetensiones BCD sitque G. numerus terminorum, cf. ia unitate minor, dico productum ex H. in E duplum esse summae telis quorum Α BCD quia enim H est numerus terminorum CD pr ductus ex H. in summam extremorum A D. aequatur duplo summae ipsorum AB M per quartam Diophanti, at summa extremorum A D. aequatur ipsi E. quandoquidem A. aequalis est diffIgitur exΗ in L fit duplum summae antecedentium ABCD. quod mPROPOSITIO TERTIA. In hac progressione. Quadratus maximi aequatur producto exu umero terminorum in planum sub extremis. sint numeri qui supra &planus sub extre misino T. dico quadratum x , G imissi aequari producto ex G. snia Etenim ex A. in G fit ipse E. hv v
' ' Quare sumendo tres numeros A.c. E. idem producetur numerus 3. I. P0risin. ducendo A. in E.&producatum K. In G. qui fiet ducendo R. in G.is producium E in E hoe est quadratus ipsius E. Quare patet propositum.
457쪽
Saadratus maximi qua tu producto ex quolibet extremo , in planum se na-
mero terminorum, es alιero extremo. Eadem enini ratione ostendetur quadratum ex E aequari producto ex A. in planum sub G.
E vel producto exa in planum sub G WΛ. PROPOSITIO UARTA. In hae progressione, quadratus maximi aequatur produci ex minimo in compositum ex maximo summa reliquorum dupla.
Sint numeri qui surra, duplum summae ipsoriam Α Β CD in M. L. o. iusto quadratum ipsius E aequari producto ex A. in aggregatum ipso- A. I. B. q. C. O D. 8 EIo Est enim H. Vnitate deficiens a G., ducto G in E fiat L. G. .H- 44 Quia igitur ex H. in E fit M.&ex G. in eundein E fit Leum G H. differant, unitate patet L. aequari utrique M. E. simul At ex A. in L fit quadratus ipsius Eiet eomllarium praeedentis. Igitur ex Λ in utrumquem simul, fit idem quadratus. Quod erat osten
In progressione qua ab unitate incipit, quadratus maximi aequatur duplo fam
ma antecedentium ad mente ipsum maximum. Etenim si ponatu A unitas, differentia etiam progressionis nitis, ' ' '3'U' elit pet hane quartam propositionem quadratus E aequalis producto ex A. in E.&in duplum ipsorum ABCD. Quia ergo A. est unitas quae non mutat numeros quos multiplicae, patet quadratum E aequari ipsi in duplo summae ipsorum ABCD quod erat
PROPOSITIO UINTA. In hae progressione aggregatum quadratorum a singulis , arquatur productis ex
minimo in maximum semel, in secundum ab illo ter Win tertium quinquies,&in quartum septies, se continue per numeros impares ascendendo. r C s. Da Titi. Sint in proPessio ne numeri AB CO E dico asgregatum quadrat
' rum a singulis aequari productis ex A. in E semel in D ter, in Q quinquies,ini septies, ina novies in sic deinceps per numeros impares ascendendo. Etenim per praecedentem quadratus ex E aequatur producto ex A. in E semel, in reliquos bis Rursus quadratus ex D aequatur producto ex A. in D semel, & in antecedentes bis. Quare quadrati ex E. ωD aequantur productis ex A. in E semel, in D ter, in reliquos quater. At rursus'iiadratus ex C. aequatur producto ex A. in . semel desin antecedentes bis Igitur quadrati ex ED aequantur productis ex A. in E semel in D ter, in C. quinquies,4 in reliquos sexies Rursus denique quadratus ex Raequatur producto ex A. in B semel, in A. bis. Igitur quadrati ex EMG B aequantur productis ex A. in E semel, in D tet, in C. quinquies, in B. septies, cinin octies, quare addito quadrato exin fiunt quadrati omnium A B COEaequales productis ex A. in E semel in D ter, in C. quinis quies, in B septies, in Λ novies. Quod demonstrandum erat.
PRO FOSITIO SEXTA. In hac progressione, qui fit ex numero terminorum in summam extremorum, aequa
tu producto ex numero terminorum unitate aucto in maximum. Sim numeri qui prius, It numerus terminorum G. cui addendo uni in 1 B a C is Da miti fiat Η & sit summa extremorum'. dico ex . in . eundemo; μου ' produci numerum qui ex in . etenim ' E continet A. seeundum '' unitates numeri a quare eum addito Α ada fiat K. ac proinde K. eontineat A semel amplius quam E patet Κ eontinere A secundum numerum H qui unitate superati . . . quamobrem eum ex eodem A. in H. in G. fiant Κ.& erit K. ad EsicutΗ. ad G.ae proinde 19. . ' ex .in G producetur numerus aequalis producto ex E. in B quod erat demonstrandum.
458쪽
PROPOSITIO SEPTIMA. In hac progressione productus ex numero terminorum unitate aucto in quadratum maxuni, una cum producto ex minimo in summam omnium, aequatur triplo regregati quadratorum a singulis. P in mae est deeima propositio Arehimedis de lineis spiralibus, quae
sie ostenditur. Sint in nae progressione AB. D. EF. H. a. . m. dico quadratum exim sumptum secundum unitates num meri terminorum unitate aucti, una cum producto ex AB in sum- mam omnium aequati triplo summae quadratorum a singulis El.
. nim adiiciatu ipsi, L. numerus X K. aequalis ipsi Ai ipsi quo- . que G H. addaturo G. aequalis ipsi Ci., ipsi E . addatur. E. eidem Ea aequalis. At ipsi Cm addatut o aequalis ipsi Gm .demum ipsi A B. addatur Pis aequalis ipsi K L. Tunc patet totos B. Q. D. H. L. aequales esse ipsi MN. Quia enim Α'. est aequalis differentiae, eo addito ad a. N ad inii fiunt L. B. qui singuli aequantur ipsi, N. ' sed ob medieta . . iaci . tem arithmeticam summae ductum ΑΒ. L aequalis est summa duo . . . . rum C D. H. itemque duplum ipsius EF igitur eonstat, totos NAED. F. TH aequales esse singulos singulis a X L seu ipsi MN. quamobrem si sumantur quadrati ipsorum P B. M RF. H. XL MN. adhue semelinu dratus ipsius m. sumetur utique quadratus m. secundum unitates numeri terminorum unitate aucti ostendendum ergo hos quadratos, una eum producto ex AB in summ1 omnium AB.CO EF. G H. a. m. efiicere triplum quadratorum a singulis. Itaque ' quadratus ex m. aequatur quadratis ex A. WAB..plano bis sub Pin. ΑΒ contento. Item quadratus ex D. aequatur quadratis ex C. D.& plano bis subo C. CD contento. Et similiter quadrati rei quorum aequantur quadratis partium,in plano bis sub partibus eontento at quadrati ex Λ B C D. EF G H. L aequales sunt quadratis ex X K. G. RE. F. P A quate si his addas duplum, quadrati MN patet iam haberi duplum quadratorum singulis. Restat ergo probandum dupla planorum subpartibus contentorum una cum producto ex AB.ia AB CD. EF. GH KLM aequari adhuc luminae quadratorum a singulis. Quoniam itaque quod fit bis ex X K. in KL aequatur ei quod fit bis ex At in KL at quod fit bis exara in au aequatur et quod fit quater exin Rin G H. 3 quia Tu duplus est ipsius A B. similitet quod fit bis ex R E in EF aequatur ei quod fit sexies is AB in E F. quia RE. triplus est ipsius A B. eadem de eausa quae bis sub alijs partihus continentur, aequantur producto exin B in alios numeros seeundum numeros pares continentet ascendendo multiplicatos, omnia utique plana illa simul sumpta eum producto ex ΑΒ. in omnes Ra CD EF G H. x M N aequabuntur productis ex AB in M N. semel, in Καter, in G H. quinquies, in E F. septies,in sic per numeros impares ascendendo. His autem productia aequantui quadrati a singulis per quintam huius, ergo eonstat propositum.
PROPOSITIO OCTAVA. In hae progressione productus ex maximo in summam extremorum, aequatur producto ex minimo in duplum summae omnium. Sint in hac progresso a B CD E., sit summa extremorum F. Dieci t productum ex Lin F aequari producto ex A. in duplam summae om- u nium, etenim eum F componatur ex duobus A.& productus ex E. in
aequatur quadrato ipsius Evi producto ec in E ac quadratus ex E. aequatur producto exin in E. semel, in anteeedentes bis igitur addito producto ex A. in P hula iter m o lim ex R in P aequari producto ex A. in duplum summae Omnium , quod Hiranstrari-
Hinc sequitur evidenter productum ex minimo in summam omnium aequari producto ex maximo in semissem summae exilemorum, vel producto ex summa extremorum in semissem maximi
PROPOSITIO NONA. In hac progressione productus ex numero terminorum in quadratum summae extre
459쪽
morum, aequatur producto ex eodem numero terminorum unitate aucto , in quadratum maximi, una cum producto ex minimo in duplum summa omnium. Sint numeri qui lupta.& sit C. numerus terminorum, unitate maior sit H.dico productum ex G. in quadratum ipsius H aequari productis ex H. in quadratum E di ex A. in duplum summae omnium, qviuta, ςDm quadratu F. aquatur quadratis partium ΑΕ. duplo plani iub A. in quare procudius ex G. in quadratum F. aequatur productis ex G. in quadratos Assi di in duplum plani tu, E.&4 3 huius eo producti ex G. in planum tu, E semel, sumendo illi aequalem quadratum ipsius E erit proinductus ex G. in quadratum F. aequalis productis ex G. in planum sub Al. in quadrato A L. Mipsi quadrato E. quia vero H. superat G unitate, productus ex H. in quadratum E aequatur producto ex G. in quadratum E S ipsi quadrato E. Igitur productus ex G. in quadratum F. aequatur productis ex G. in planum sub Α E. in quadratum A. ex H. in quadratum E. atqui cum . aequetur psis ς - E. planus sub ME eum quadrato A aequatur producto ex R in A. ac proinde producti ex . in planum sub A E. in quadratum A. aequantur producto ex G. in planum sub in igitur productus ex G. in quadrarum F. aequatur productis ex G. in planum sub PΑ. ex in quadratum E quiala L poris vero sumptis tribus numeris F. A. G. fit idem numerus si F ducatur in A.4 productus in G. qui fit 4 Diopham si G ducatur in F. productus. nempe duplum summae omnium ducatur in A. patet productum ex G. in quadratum F. aequari productis ex H. in quadratum F. ex A. in duplum summa omnium. Quod erat denioristrandum.
Ex hae&ex praeeedente collige tro numerosaequeses esse, nimirum. Productum ex numero terminorum, in planum sub minimo, &sub summa extremorum. Productum ex minimo in
PROPO SITIO DECIMA. In hac progressione productus ex minimo in duplum summa naenium, aequatur quadrato maximi, itano sub extremis. A, B L CLDDEi in num e trilli sit pici dic uinii ad ratum maximi R. eum plano sub AE' aequati producto ex A. in duplum summae omnium, etenim quadratus E. aequatur produceto ex A. in ipsos ABCD. bis min, semel , quare si eidem quadraro addatur runus productus exi in E semel erit utique quadratus E eum plano sub x aequalis producto exis in omnes A BC DE. bis quod erat ostendendum.
Hinc rursus collige quadratum maximi eum plano sub extremis , aequati cuillibet trium illorum productorum , de quibus in eorollario praecedentis.
PROPOSITIO UNDECUMAE In hac progressione productus ex duplo numeri terminorum ternario aucto in quadratum maximi, una cum plano sub extremis, aequatur sextiiplo aggregati quadratorum a singulis. Α: B. CLDDEib. in numeri qui prius, rat . numerus terminorum unitatexti H si in ior, di Κ- duplum ipsius G. ternario auctum, dico producetum ex . in,' ' quadratum ipsius E eum plano sub AS aequari eatuplo quadratorum a singulis etenim quIam superat G unitate, duplum ipsius Η. superat binario duplum ipfius Gac proinde eum K superet ternatio duplum ipsius G. idem x superat unitate duplum ipsius Η. Iaa. . que quia triplum quadratorum a singulis, aequatur productis exi in quadratum Eme A. in summam omnium utique sextuplum quadratorum 1 singulis aequatur productis ex duplo H. in quadratum 4 ex A. in duplum summa omnium is productus ex A. in duplum summae omnium, ' 'MM aequatur quadrato E.& plano sub ΑΚ igitur sextuplum quadratorum asinSulis,aequam producto ex duplo H. in quadratum E ipsi quadrato E.4 plano sub AT quia vero Κ iuperat unitate duplum H ut ostensum est, patet productum ex in quadratum E aequari producto ex duplo H. in quadratum E., ipsi quadrato E igitur sextuplum quadratorum a singulis, aequatur producto ex K. quadratum R, plano sub AE. quod erat demoastrandum.
460쪽
lassi multiplex est ad A seeundum ipsum G perptimam huius, patet ducto A. in E produci partem quam ipsius Edenominatam a G. quare si ipsi K. addatur pars unitatis ab ipso G denomi nata, 'umma ducatur in quadratum E fiet sextuplum aggregati quadratotum a singulis, ait eui-
P ROPOSITIO DUODECIM A. In hac progressione productus ex numero terminorum in planum sub maximo racsub sumtria extremorum, aequatur producto ex numero terminorum unitate aucto, in tradratum maximi. Sint numeri qui supra in summa extremorum est F. dico prodiiccium A, B L Ccos Ε, G in planum tibiae aequari producio ex H. in quadratu in ipsius Huc etenim quia . ex ipsis A E componitur planus sub aequatur qua r. ' drato ipsi ii x. E.&il aliis sub ME. Quare productus ex G. in lamina sub E. aequatur productis ex G. in quadruum E A in planum sub AE. sed produetus ex G. in planum sub ME ' aequatur quadrato ipsius E. Igitur productus ex G. in planum lub E aequatur producto huius. ex G. inriti adratum E. ipsi quadrato E. hoe est producto ex H. in quadratum E quod erat de
PROPOSIT IO DECIM A TERTIA. In hae progressione producti ex numero terminorum in quadratum summa extremorum, ocin planum lub summa extremorum. sub maximo comprehensum, aequatur textuplo quadratorum a singulis.
Sint numeri qui prius. Dico productos ex G. in quadratii F. Min pla- Α- C sit. Eio i)v- conteuxum , aequari sextuplo quadratorum a singulis. Namus noductiis ex G. incnaadratum F. aequatur prodii Elisex H. in quadratum T. Me A. in duplum summae omnium. At producitus ex G. in planum sub RE.' aequariir producto ex H. in quadratum E. Igitur producti ex G. in quadratum . in planum si FE. aequxntur productis ex H. in quadratum E bis, de ex A. in summam omnium bis Uerum producti ex H. in quadratum E de ει A. in summam omnium , aequantur triplo quadratorum a sin ha putis. Igitur iidem producti bis seu illis aequales producti ex G. in quadratum F.&in planum sub FE aequantur sextuplo quadratorum a singulis mod demonstrandum fuit.
PROPOSITIO DECIMAM ARTA. In hac progressione est ut minimus ad maximum, ita quadratus summae extremorum, cum plano sub eadem summa, sub maximo comprehenso, ad sextuplum aggregati quadratorum a lingulis.
Sint numeri qui supra, dico esse A. ada sicut quadratum . eum plano sub FE ad sextuplum quadratorum a lingulis. Nam ' eum ex At m G fiat E est A ad E. ut unitas ad G sed etiam ' quia ex G. in quadratum F. in planum sub RE. fit sextuplum quadratorum a singulis, est unita ad G. ficu quadratus F. eum plano sub DE. ad sextuplum quadratorum a singulis. Ergo est A ad E sicut quadratus F. eum plano sub PE ad sextuplum quadratorum a singulis. Quod demonstrandum erat.
PROPOSITI DEC LM Adi UIN A. In hae progressione, productus ex maximo in dimidium numeri terminoruni
unitate austi, vel exuuinero terminorum unitate aucto in dimidium maximi, aequatur summa omnium. Sint numeri qui prius. Dieo productum ex E in semissem ipsius revel ex H. in dimidium E aequari summae omnium Etenim produeius ex G. in . aequatur duplo summa omnitim per . Diophanti at producto ex G. in F ' arctuatur productus ex Id in E. Igitur cum exis in E fiat dupluni summae omnium , sane ex E ih dii nidium H vel exm in dimidium E fiet ipsa sumi Quod erat ostendendum.