장음표시 사용
81쪽
Jus ut heibnit ius cit. loco . Idemque proportionaliter Circulo , 9 Ellipsi applicabitur. Debet igitur necessario tua ingeniosa iumentio cum iis , D. Leibnit ius ostendit, eo incidere, amplius dubium erit , mestrum utriusque mentem sim assequius ,
.n Veritatem uuanimiter conspirare tandem deo prehendi. Te Vir Cl. . NOTAE IN PRAECEDENΤEM EpISTOLAM .
NE iterum cogamur fractiones repetere cum nimio Typographi incommodo, illas subinde significabimus per asterismos adnexos, ita ut quilibet asterismus cum numero coniuncto denotet, vel seriem, vel simplicem fractionem , quae immediate Drε- cedit similem asterismum in Epistolae rex tu.
82쪽
'i Quoniam videlicet series haec duacta in i producit seipsam, ducta vero in
κ dat . . ab xy dx ab xue a b ae &c. /ubi Omnes termini elidunt singulos prioris seriei , integro solUm remanente dabxta numeratore fractionis illius, cui haec series in Epistola aequalis asseritur. Vide nosera Hugeniana Theoremata cap. I O. v. I.
'Σ Differentia enim cujusvis potestatis indeterminatae x est eadem potestas ducta in suum exponentem, & una ejus dimensione differentiata , quantitatibus constantibus, quibus afficitur, invariatis , quippe quarum nulla est differentia , itaque
differentiando hanc seriem prodit illa praecedens ab aede s ah xxά ab x3 δε &c. J Sit enim integra diameter transverinia A C H, & tangens G D producta occurrat HL tangenti oppositae Hyperbolae ilia L , erit per a 2. 3. Conic. T A in HLm quartae parti figurq, seu quadrato secundε semidiametri CF , nempe za i ; unde cum AT sit m M, erit H L Te t divisae per x ue itaque t . x x erit H L in AT minus A Tquadrato,seu HL AT in AT, & 1 f κ κ eiit
83쪽
DC etiam differentiae sunt proportionaleS, erit ER . DG CH .HE a. quod inlli tuta divisione per a , & multi
ratione A D. DE sit AT seux ad E Gerit hic α fractioni propositς. 1 Cujusvis enim fractionis differentia est factum ex denominatore in differentiam numeratoris, minias facto ex numeratore in differentiam denominatoris, utroque diviso per denominatoris quadra-
itaque differentia ipsius 4 ) aggregato 2 ιlX a x xt 4 x xta s nempe a dx fa x x J diviso per quadratum residui ex 1 - κκ ut denotat fractio hic assignata:
84쪽
quemadmodum & supra ipsius t a J diffe
'6 Quadratum enim fractionis postqin Epistola paulo post eta 16 uaxxta
diviso per quadratum ipsus i f.ΥΑ et xx,& quadratum alterius fractionis quae in .
Epistola adducitur paulo post est tri-
propterea erit, ut hic noratur.
85쪽
2 a xx divisus per a G. κκ, unde tota DE sit summa ex ra xx diviso per x xt i , &ex eodem diviso per I xx, quod relinquit Ela x x di visum per I - x' Jam, ut
differentia C E m fractioni, quae in Epistola subjungitur post f 3J ad Cgra a c Adiviso per quadratum ipsius I xx , ita DEra fractioni nuper inventae ad D G α 'ς , ut proponitur. 'io J ob proportionales GD . DK : Gg . g M fit ) ad rax . raxi divis,
86쪽
Pro rectangulo duplum propositς fractionis, cujus adeo dimidium triangulum Mementare C Gg eidem fractioni ad quatur. 'ii J H creductio in infinitam seriem trianguli elementaris, eiusque integratio pro ualore sectoris Hyperbolici patet ex jam rotatis in s mili ad num. I. 9 2. .hare manifesta sunt omnia Viri Clarissimi Pronunciata: Quae tamen nolim pro Viris in Geometriae adyta jam admissis, sed pro Tyronibus tantum notata esse; itaquestus satis bac nomit, ne δι dicta putet: Quamquam adhuc longh pluribus dicendum esse vereor: Qui neque sic capiunt, non μι dicta putent.
Ini eadem, quae in primo I. Ingeniostio sim Epistolae superius adducis , nisi quod supponendus est C A sectionis
87쪽
gme, AL verb, aut AI tantantis portiove itici & asymptotis interposita quae &
sequatur semiaxi conjugato wr I. 2. coutc. Jeito Ta I, adeoque A E non jam pro unita
te computetur , sed sit m a s uti & CE itali in hoc casu aequalis J fiet jam b V α
nearum proportionalitate patet J itaque
grale , nempe spatium AM H G α bes fae &c. ut habet quadratura
a nobis superius tradita . Verum ob proportionales IC . CA ::IA . AF propter triangulum C AI rectangulum simile ipsi C AF est ra .c :I .b za e diviso per a a, quo valore loco , substituto in quantitate Jh designante, ex dictis, spatiolum , & multi-
88쪽
minatorem per et, mox denominatori ad dendo xx κκ quod non variat valorem , cum sit zz o J fiet
Cum sit autem hL parallela G A. per g . g. Conis. ut L A ad A O, ita EG ad GO, vel I Q ad QO, & summa antecedentium L A t I Q ad summam consequentium A., seu ob paralicias, LM t CH ad HM,
nempe 2 x. x : L A, idest i , ad AOra quam Vocemus D, ergo ipsius t diffe-
spatiolo G HV, quod resol Vendo de more in serieii, infinitam, prodit e discit defetΑ dis etsi di&c. cujus integrale jam erit
89쪽
simus Leibnitetius determinavit, qquale spatio A M H G, sive sectori hyperbolico ACG, cui illud aequatur , ob triangula CH G,
C M A aequalia , & commune ablatum Η R C, ac utrinque additum spatium ARG. Patet igitur nostrarum speculationum con- sensus cum profundissimis Summi illius,&Incomparabilis Geometrae cogitatiS, quamquam haud putarim per tot ambages ipsum processisse , sed longe simpliciori demonstratione I illi forte assini, quam pro Circulari , & Elliptico sectore prop. 9. jam deindimus j in veritatis hujus cognitionem Venisse.
ABsolutam vides, Mi Lector, Hyper.
bolς per infinitas parabolas Quadraturam , & extra cujuslibet dubii discrimen jam positam , ostenso ejus cum Leibnitzianis speculationibus consensu, Ad methoditamen confirmationem subdere placet aliquot aliunde nota ad Hyperbolet mensu Iam pertinentia, quae ea nostris hisce Pro
90쪽
positionibus sponte sua profluunt. Exempli causa.
Hyperbola, cta,mptoto infinite productis intersedium , est magnitudinis absolute in ita. Q Uia enim in hoc casu idem parallelogrammum M A D C circumscribitur,& triangulo CAD, &trilineis parabolicis C H A D, CI AD &c. erit, juxta prop. I . spatium Hyperbolicum in titulo designatum aequale inscripto parallelogramino semel integre accepto, un, cum ejus
&c. ejusdem. Verum omnes hae fractiones, quibus unitas per singulos numeros denominatur , aequales sunt infinitis uni natibus f nam irci primς superant unitate, novem sequentes adhuc aliam unitatem excedunt, & 2 . deinceps altera unitate rursus sunt majores, & 8 I. succedentes si- F mili-