장음표시 사용
111쪽
ila DE QUADRATURArissime dicitur ex rotunda linea nunquam essici recta Alii epharmosin rotationis multo ablurdiorem introduxerunt, quia non tantum rectam lineam cum circumferentia ratione longitudinis compararui, verum etiam lineam rectam in plano iacetem & quiescente, cum circumferentia in orbem volutata exaequarunt: atq; silc ex motu physico quantitatem continuam metiendam csse censuerunt. Notadum autem est,epharmosiin rotationis duobus modis fieri: vel enim linea irecta ponitur a cuius medio per filum aliquod utrinq;
reflectitur circumferentia, donec extremitates linearrectae attingat: potest etiam filum aeneum ad circumferentiam tota applicari, ut deinde fili una extremitas accommodetur ad unam extremitatem lineae rectar, idemq; filum reflectatur, donec eius altera extremitas perueniat ad alteram extremitatem lineae rectae: quod ubi factum sucrit putatur linea recta congruere ad ci
cumferentia. Hic modus perinde se habet, ac si regula aliqua siexibilis primo in rectum ex tederetur, & deinde in circumferentiam curuaretur, aut contra. Alter
modus rotationis est,quando accipitur orbis mobilis, qui in certo puncto applicatur ad extremitatem linearrectae,& tam diu reuoluitur, donec ad idem punctum redeat. Sane uterq; rotationis modus alienus est a geometriainum praesupponat, singula puncta circuserentiae aequari singulis punctis lineς rectς. Hoc aute pro sus falsuri est, quia minimum punctum circumseretiqin
112쪽
CHic Vir, c A P. VIII. in oculos incurrens, sua natura curuum est,ut ad punctum lineae rectae applicari nequeat. Ex his omnibus apparet, Mechanicos plurimu abuti epharmosi ge
metrica,quando lineam rectam rationalem cum iu tionali per applicationem unam& eandem comprehendi posse existimant. Nec minus decipiuntur mechaniciri uando lineam rectam cum curua comparare volunt:quocunq; enim modo applicationis utatur, in manifestas cotradictiones incidunt. Similiter aberrat mechanici,quando superficiem circularem cum rectilinea, per multiplicem spatiorum diuisionem aequare conantur: hi enim terminum diuisionis statuunt in
liquo puncto sensili, quod in infinitum diuidi potest.
Porro monedum est, haud parii decipi curiosos quosdam verborum magistros qui existimat selam epharmosin Antiphotis appellandam esse hoc est, dissectionem: cu in viai uersum omnis epharmosis per disiectionem & linearum & superficiei um proposito suo fidem facere velit. Ex Themissio lucidissimo philosepho discimus, nu θ' idem cssi quod in frusta se
113쪽
D D E QV ADRATUR Amune,neq; natura aliqua superior numero & magnitudine &tempore de qua possit hoc uniuerule exustodemostrari. Vniuer aliter quidem verum est, si aliqua proportionalia sint, etia permutatim proportionalia
erunt. Cum auic non habeant nomen commune de
snitu,quod voci Aliqua substituant, dissecant demostrationem, S existimant se uniuersaliter demonstrare de unoquoq; praedictorum, cum sic non demonstret. no enim qua numerus, neq; magnitudo, neq; tempus est utuntur ad demonstrationem. Vult dicere Tnemistius,non esse integram demonstrationem, si quis per partes demonstret,quod de toto genere reciproce, ut per causam uniuersale demostrandum erat: qui igitur
hac ratione se putant aliquid demonstrare, plurimum falluntur. Nam disiectionem ouandam sensilem, Mintroducunt,& perinde faciunt,ac li per m nutissimas diuisiones superficie circularem quadrare velin cum omnibus siti notissimul demonstratione esse generis alicuius definiri & reciproci. Obseruadum igitur est. Omnem epharmosim rectissime appellari Σα- hoc est, cocissionem & in frusta divisionem: q uotiescunq; enim quantitates per epharmosin squ
re volumus,diuisitone certarum partium Vt mur,&
stendimus ideo quantitates inter sie aequales esse, quoasingulae illarum partes ad se inuicem applicari possint. demonstrat:cum non suppeditet causam uniuersalem
114쪽
N proximam,per quam omnem demonstratione sieri necesse. Liquet igitur ex dictis, quid sit epharmosis, quado & ubi in geometria locu habeat, & quomodo ad Mechanicos sit translata. Aronstratur,quid de proportione recti ad curuum 'tiendum. Capuae IX.
UT quaestionem hac decidere possimus, an curui ad rectum sit aliqua proportio' Primu in genere quPda de proportione ex lib. 1. Euclicis repetemus,deinde ostendemus quomodo per distinctionem ad quaestionem propositam sit responde lum. Desinitione tertia libri 1. Euclidis sic explicat Campanus: Proportio est duarum luantaecunq; sint,eiusdem generis quantit
tum,certa alterius ad alteram habitudo. Proportio est habitudo duarum rerum eiusdem generis ad inuicem, in eo quod earum altera maior aut minor est reliqua, vel sibi aequalis. Non enim solum inquantitatibus re
peritur proportio,sed in ponderibus, potetiis & sonis. In ponderibus quidem & potentiis vult Plato in Tumaeo esse proξortionem,ubi elementorum numerum ostendit: in sonis autem esse proportionem liquet ex musica. Nam ut vult Boetius in quarto, si quilibet ne uus in duas inaequales partes diuidatur, erit ipsoru pa tium suorumlsonoru eadem couerso modo propor-Pχ
115쪽
inditur autem proportio in duas species, quae accipiu-tur in comparatione ad quantitates. Nam quantitatis quaedam sunt communicates siue commensurabiles: quaedam dicuntur incommunicantes siue incomine surabiles. Communicantes dicuntur illae,quibus est sena quantitas communis eas numerans. Dicitur autem
una quantitas numerare aliam, quae secundum alique numerum accepta producit ipsam,ut linea pedalis bipedalem vel tripedalem lineam. Sunt igitur quantit tes communicantes, sicut linea bipedalis & tripedalis, quas pedalis linea secundum binarium & ternarium
numerat. Quantitates vero, quibus non est una communis quantitas,eas numerans,dicuntur incommensurabiles,cuiusmodi sunt diameterquadrati,&eius t tus. Sunt igitur secundum hoc duae proportionu species,scilicet rationalis & irrationalis: proportio rationalis debetur quatitatibus comunicantibus,ipsa quoque est, quae numeris sola debetur. Irrationalis autem proportio qualitatibus incommesurabilibus debetur, numeris Vero nequaquam competit. Vnde manifestuest,quod ad geo metram pertinet proportionis consideratio: quia omnis proportio est magnitudinis, sed non omnis proportio est numeralis. Proportio igitur rationalis denominatur immediate ab aliquo num ro: omnium enim quantitatum communicantium oportet quod secundum aliquem numerum minor vel aliqua pars minoris maiorem numeret: propter quod
116쪽
dixit Euclides insta in quinta decimi, omnium duarsi
quantitatum communicatium est proportio alterius ad alteram,tanquam proportio numeri ad numerum. Et paulo post, Proportio autem irrationalis non no- mi natur sic immediate ab aliquo numero ab alia proportione numerali, quoniam non est possibile, visecundum aliquem numerum pars aliqua minoris maiorem numeret. Contingit tamen mediate denominari irrationale a numero,ut quod proportio diametri ad costa est medietas proportionis duplae: & ita capiutaliae species proportionis huius denominatione a n mero. Hactenus Pactolus. Ex quibus omnibus perspicuum est, proportione esse mutuum respectum duaruquantitatum eiusdem generis,propter quem respectu vel ambae quantitates sunt aequales,vel una earum mi nor est aut maior altera. Comparatur aut illa proprie, quae eiusdem sunt genetis & naturae specificae: ut linea recta rationalis confertur cum linea recta rationali: sed attendedum est si linea recta rationalis conseratur culinea recta irrationali,hanc comparationem ςquivoca
esse, & dici proportione irrationalem. exempli gratia, inter diametru latus quadrati, est determinata proportio, quae explicari potest per linea medio loco proportionale,ut docet propositio nona libri 6. Euclidis. Si igitur latius usurpemus vocabulum proportionis,Vt vult Campanus,& Pactolus,etia linea recta rationalis poterit comparari cu linea recta irrationali, non tame mediate
117쪽
CIRCU LI, CAP. IX. ii scita a nobis,nec etiam a natura. Nam proportio quaedam est discretorum,ut numerorum, quaedam autem continuorum. In numeris autem minor est pars aut partes maioris,ut demostratur in septimo: quare & in eis omnibus est habitudo certa & nota. A t vero in co-tinuis est proportio magis larga: est enim in eis ubi minor quantitas est pars aut partes maioris, & talium omnium mediantibus numeris est proportio nota,quq& rationalis dicitur. Dicunturq; omnes tales quantitates communicantes , quia eas una & eadem unitas neces latio metitur: unde & omnes numeri sunt communicantes,Omnes enim ipBs metitur unitas. Est etiaubi minor non est pars aut partes maioris,& in talibus no est nota proportio,nec nobis, nec natura. Dicitumque haec proportio irrationalis,&hae quantitates sunt incommunicantes:vnde fit, ut quaecunque proportio reperitur in numeris reperiatur in omni genere contunuorum,ut in lineis, superficiebus, corporib. & temporibus:no autem econuerso, infinitae enim sunt proportiones in continuis repertae, quas numerorum natura non sustinet. Sed quaecunque proportio reperitur in uno genere cotinuorum, eadem reperiturin omnibus aliis. Nam qualitercunq; se habet aliqua linea ad quamlibet aliam sic se habet quaelibet superficies ad aliquam aliam, & quodlibet corpus ad aliquod aliud, similiter & tempus: sed non sic quilibet numerus ad aliquem aljum; unde magis est larga proportio incoim
118쪽
immediate per certum numerum , sed per quatitatem medio loco proportionale, aut per quadrata linearii, quae certam inter se habent proportionem: sic dicimus quadratum diametri in figura quadrata duplum esse respectu quadrati quod a latere uno deseribitur. Quomodocunq; autem consideretur proportio tam rationalis quam irrationalis, primo locu habet in lineis r ctis & fgutis rectilineis: deinde propter comparatione linearii rectarum accommodari potest ad figuras curvilineas: sic dicimus duos circulos habere duplam proportionem,quia quadrata diametrorum in nis circulis descripta inter se duplam habet proportionem,ut docet propositio secunda libri 11. Euclidis. Praeterea locuhabet proportio aequalitatis inter figuras dissimiles rectilineas & curvilineas: nam triangulum potest qquari parallelogrammo altera parte logiori, & lunula Hippocratis aequalis e st: alicui triangulo rectangulo:huiusimodi autem proportio aequalitatis per certam dem stratione colligitur. Quacio igitur quaeritur, an curui ad rectu sit aliqua proportio Θ respondendu est,tineam
curuacu recta nulla habere proportione, nec rationale nec irrationalem: nam linea recta est breuissima ext sio inter duo puncta ex trema ita ut minima portio lineae rectae natura habeat totius, & non immerito portio recta appellari possit: curua autem linea, S potiss-mu circularis non extenditur breuissime& aequaliter inter duo puncta extrema, ac proinde etiam minimu
119쪽
DE QUADRATURA punctum a rectitudine declinans,curuum censendum
est. Quod aute ad superficies curvilineas & rectilineas attinet, non est dubium,quin sepenumero in illis poLsit certa proportio declarari: sic meniscus Hippocratis
proportionem habet aequalitatis cum triagulo ortho
gonio iso scele cuius hypotenula est latus quadrati ci culo inscripti.
Epilogus tractationu de quadratura circuli.
CAPUT X. H Actonus in genere omnia cxposuimus , ex quibus
Quadraturam circuli aestimare licet: non enim fieri po test, ut spatium circularc exactisti me aequetur figurae rectilineae, sed nihil impcdit,quo minus proxima aequatio i ueniatur. Quam sententia confirmat Ioannes Regio montanus,de quadratura circuli aduersus Nicolaum Cusanum di sputans ubi pagina 13 sic scribit: Prope igitur ad incla accessi vir ille, quamuis modio frueretur facili in o. no tamen idcirco satisfecit intellectui, veritatem magis qua propinquitatem inuestiganti. Nam si ad meta ipsam propinquius etiam quam Archimedes veniendi fuerit libido, viam in promtu habemus, ab A rchimede sumtam, quiqucadmodum proportionem circumferentiae ad diametru conclusit inter duas, scilicet triplam sesquiseptima, & triplam superparticicin decem septuagesimas primas: ita inter duas
proportiones multo inter se viciniores eandem constitue re poterimus circumferentiae ad diametru proportionem. Sed in hoc no quiescit animus, cum recta aequaliS circum- serentiae circuli non sit data: atquc idcirco spes omnis circulum quadrandi ademta.Si qui ergo siue modernorii siue posteroru huius rei gloriam venari velint, curvae lineae re
120쪽
CIRCULI, CAP. X. 12yctificandae vel circuli quadrandi problema sibi nouiter obiectum habent, quam uis plurimi quidem vetustissimi Philosophi id aggressi sint, iacmo autem Archimedem in hoc philosephandi genere usque ad hodiernu diem superauerit. admiradus profecto cilci, qui tantum tamque inexplicabile curui & rccti discrime rumperet: alicrumque inalterum commutandi facultatem traderet: is enim maiores nostros uniuersos ingenio suo, praesertim in Geometricis exercitiis,longe anicvcnire crederetur. Hactenus Regio
montanus. Adda hic testimoniti Clarissimi viri, D Adri ni Romani,in Academia murtZeburgensi Professoris mea
dicinae primaru : qui in Methodo polygonorii a se edita fatetur,se diligenter omnium,qui de quadratura circuli scripserunt, doctrina cxaminasse,crroresque deprehensos an-n o lasse, ac tandem no nisi proximam perimetri ad diametrii proportione inuenisse, ex eaque arcam circuli, figurae rectilineae proxime congruentem,explicasse. Quinimmo nobis affirmauit,se hanc sentctiam concepisse, quod a n mine mortaliu exactissima quadratura inuestigari possit,
repropterea nugas & imposturas sephisticas esse, quibus non ulli rudioribus persuadere conetur, interperimetrum& diametrum circuli dari perfectissima dc absolutissimam
proportione, ex qua circulus omnino scientisce quadrari possit. Haec ideo commemoro,ut intelligamus,non deesse etiam hoc tempore viros cordatos ecprudentes, qui temerariam audaciam scioloru retundere ,& veritate ab omni
bus iniuriis vindicare queant. Non ita pridem ab amico literas accepi,ubi inter alia haec scributura Scaluer tum de quadratura edidit bisum sisum de quo meum ex oectes iudicium, o sed Geometria tyrones i OU29. Si in Chronograph alta egest, non mirar se, qui cum oppugnare sint ausi. Quis nescit palmam in medio positam esse t si aequum esse cc se inus, ut illa publici iuris faciamus, quae a nobis intra priuatos parietes sunt exarata.