장음표시 사용
81쪽
p is hoc est, vel per additionem, vel per subtractio nem: si enim dentur duo latera rectum angulum amplectentia ex additione duorum quadratorum, colligitur tertii lateris quadratum: si autem detur hypote- nusa cum proxime adiacente latere,ex subtractione nius quadrati ab altero,inuestigatur quadratum tertii lateris. Colligitur praeterea,non omne quadratum habere Radicem rationalemmisi enim quadratu numero vere quadrato exprimatur, non potest habere Radicem rationalem, quae certo numero definiri possit: huiusmodi autem Radix, quae nullo numero explicari potest, licitur irrationalis,liue surda: talis est Radix de quadrato 'o & de quadrato 71.hi enim numeri nonsu ni quadrati, ut ex iis certa & rationalis Radix extrahi queat. Quamobrem in geometriam peccat, qui ex numeris non quadratis extrahunt Radicem aliquam proximam, vel integris, vel fractis numeris explicata: nuiusmodi enim numeri non quadrati, Radices ratio nates admittere nequeunt. E contrario si dentur numeri vere quadrati,facilinae ex iis Radix rationalis, α certo numero explicabilis, extrahi potest: sic ex quadrato ioo .Radix quadrata est decem, & ex quadratoc . Radix quadrata est octo. Obseruadum autem est,
quod hic per rationale & irrationale, intelligamus illud,quod secundum longitudinem tale est. Nam Euclides in libro decimo, gradus quosdam con isti tui t rationalium ci irrationalium: tu dam enim sola poten
82쪽
cist cui I CAP. VI I. 8stia,quaedam longitudine & potetia sunt rationalia dcirrationalia: nos autem de posteriorib. hic loquimur. Secundum corollarium est,quod diametrus uadrati et cum latere eiusdem quadrati sit incommensurabilis, sicut Euclides demostrat ad propositionem ultimam libri decimi elementorum geometricorum: & Campanus id ostedit per propositionem septimam libri io. quidam etia putant hoc demostrati posse per propos 8. libri octaui elem. Euclidis. Ego vero existimo, hoc corollarium sine magno labore etiam probari posse per propositionem penultimam libri primi Euclidis:
cum enim diametrus secet totum quadratum in duos triangulos orthogonios,& aequales, necesse est ut diametrus quadrati ponatur irrationalis, quando duo latera angulum rectum amplectentia sunt rationalia: si autem quacitas diametri rationalis statuatur, oportet reliqua duo latera esse irrationalia. Vtrumvis igitur ex hypothesi statuatur,semper diametrus erit inconam surabilis cum latere quadrati: ut si diametrus sit Radix irrationalis, necesse est latus quadrati esse rationale, si autem diametrus ponatur rationalis, necessario latus quadrati erit irrationale. Quod ut rectius intelliga mus sciendum est, quadratum diametri duplum esse quadrati,quod ex latere uno describitur:& cotra, quadratum lateris unius, dimidium est quadrati diametri: sicut idem a Luca Pactolo demonstratur ad prop0s penultimam libri primi Euclidis. Vt si quadratu dia L et
83쪽
84. DE QUADRA TURA metri silaoo. quadratum lateris unius erit ioo: ac froinde Radix quadrata de ioc,videlicet denarius numerus,definiet quantitatem lateris.Contra si quadratum lateris sit ico.quadratum diametri erit roo : cum auteex hoc numero Radix quadrata extrahi nequeat, di metrus non poterit certo numero definiri, ideoq; diametrus dicetur esse Radix surda de ano, numero minime quadrato. lam videamus, an verum sit quod diximus , diametrum quadrati esse irrationalem, si latera quadrati statuantur rationalia: aut cotra, diametrum quadrati esse rationalem, si latera quadrati ponantur irrationalia. Ponamus quadratum aliquod esse cetum
pedum,ut latus unum longitudinem habeat dece pedum: si hoc quadratu per diametrum secemus in duos triangulos orthogonios sibi inuicem aequales, diametruserit irrationalis: cum enim latus unum ponatur
rationale,scilicet pedum decem, quadratum illius erit centum,&diametri longitudo erit Radix de ducetis: at Radix illa surda est & irrationalis. item si statuamus quadratum aliquod continere pedes quinquaginta: latus erit irrationale scilicet Radix surda de ueo,numero non quadrato:iam diuidamus quadratum hoc bifarii
per diametrum,& erit diametrus rationalis, constans
decem pedibus. Diximus enim quadratum lateris esse so hoc autem dimidium est quadrati, quod a diam tro describitur:ergo quadratum diametri estico.cuius Radix quadrata,nimirum decem, constituit quanti
84쪽
irati: quod non incommo e demonstrari potest per propos penultimam libri primi Euclidis: ipse tamen
Euclides hoc demostrare voluit ad finem libri decimi, quod ista proprietas sine comparatione linearum rationalium d irrationalium, te quibus egerat libro decimo , & quod sine tractatione numerorii, de quibus dictum fuit libro .8. plene cognosci non posset. Histe duobus corollariis ex propositione penultima libri primi Euclidis confirmatis, restat ut ostendamus, in linea recta rationali & irrationali non dari aliquam
mensiuram communem, qua utriusque quantitatem definire possimus. Quae enim mesuram communem admittunt, licuntur commensurabilia: talia sunt,quae constant partibus certo numero definitis: quae igitur non habent partes certo numero explicabiles,incon inc iurabilia nominatur. Verbi gratia, si duo latera tri- . anguli rectaguli explicentur Radice quadrata dictitur habere cande mensura, quς unitate definitur: est enim
unitas communis mensura Omnium numerorum cona unicanti iam, ut Campanus scribit ad definitionem tertiam libri quinti Euclidis. Si autem in triangulo rectangulo latus unum sit commensurabile,quod certis partibus & unitatibus definiatur, alterum autem sit incommensurabile quod certis partibus & unitatibus definiri nequoat, hoc est, sit Radix surda de numero
85쪽
8G DE ADRATUR A non quadrato: tunc haec latera inter se compararin queunt,quia nec habent partes easdem, nec eadem v-nitate diuidi possunt. Hinς est,quod Michael Stifelius
lib. L. Arithmeticae,cap. i. Radices surdas,sive numeros surdos,dicat tota natura differre a numeris veris & r
tionalibus:veri enim numeri, siue integri sint siue fracti, certis constant partibus, Radices autem surdae in infinitum diuiduntur,neque possunt appellari numeri integri aut fracti. Satis opinor intelligimus, quare in triangulo orthogonio aliquando latus unum irrationale statuatur, & nullis partibus comprehendi possit:
unde colligitur vanum esse studium Mechanicorum, qui lineam irrationalem cum rationali comparare au-cent. Si enim latus aliquod in triangulo rectangulo ex sua natura sit incommensurabile, Mechanici nihilo minus illud dicunt esse commensurabile, quatenus id per epharmosin in iisdem partibus metiuntur. Nec dissicilis est huiusmodi mechanica applicatio lineae rectae irrationalis ad rectam rationalem: ex teditur enim linea rationalis secudum suas partes in directum, quousque libet deinde circino excipitur interuallum lineς irrationalis,&applicatur ad lineam rectam rationale: partes autem interceptae,siue sint integrae, siue fractae, accipititur pro mesura lineae irrationalis. Vt si in triangulo rectangulo hypotenti a sit io. partiti, Ac proximulatus sit quinq; partium, tertium latus minus erit hy-yptenusa: si igitur circino comprehendatur interuallutertii
86쪽
tertii lateris, & ad hypotenusam diligentis sine applicetur, apparebit interuallum illud intercipere partes integras octo cum semisse unius partis & paulo amplius. Sed hcc applicatio, etiamsi diligentillima & exactissima habeatur, tauquam satisfacit subtilitati geometrica: : quae per certam demonstrationem euincit,
tertium latus esse Radicem surdam de s,numero non
quadrato,ac proinde Radicem illam surda nullis ira tibus explicari posse. Eodem modo absurdum erit, si
quis diametrum quadrati cum latere per eandem me-suram comprehedere conetur: luinimmo si quadratualiquod proxime ad numerum quadratum accedere videatur,non tame Radix illius quadrati numero definiri potest. Sit enim triangulus orthogonius, cuius maius latus ad angulum rectum sit octo partiis,minus autem sit quatuor:erit igitur quadratum hypotenus e 8o. quod sola viai tate differt a numero quadrato: si autem quadratum hypotenusae esset 8i. tunc utiq; Radix illius quadrata esset nouem, atq; sic hypotenusa constaret nouem partibus. Si quis igitur per epharmos in praedictae hypotenuis, cuius quadratu est 8o. alligna- ret partes noue,quae assignanaae erant Radici de quadrato 8 i. in geometria grauissime peccaret. Quacunq; igitur mensura latus irrationale definiant Mechanici, necessie est eos in infinitas contradictiones' incidere. Tertium corollarium est, si triangulum orthogonium
proponatur, cuius duo latera rectum angulum am-
87쪽
plectentia,habeat proportionem triplam, quadratum subtensae decuplum est quadrati quod a minore latere circa angulum rectum aescribitur: & quadratum maioris lateris circa angulum rectum non uillum est quadrati A minore latere circa angulum rectum descripti. Inspiciamus figuram superiorem: datur duo latera re etiam angulum amplectentia, D F. 5: F E. minus latus ter cotinetur in maiore: nam D Fest septem partium, cuius quadratum est sed F E habet partes M, cuius quadratum est i. est ergo inter haec latera recisi angulum ambientia tripla proportio. Quadratum sub
tensi lateris,scilicet D E,est dio. dico,quod huius subtensae quadratum,sit decuplum illius quadrati,quod a latere D F destribitur id quod ex diuisione liquet: si enim quadratum i. diuidatur per quadratum 'O .reperiemus decem in quotiente. Sic etiam constat, quadratu lateris FE , esse nonuplum quadrati lateris D F: illius enim quadratum est i.huius vero 49. minus igitur quadratum, in maiore novies continetur. Hoc corollarium male detorsit Scaliger ad perimetrum&diametrum circuli: nam contedit per giratione quandam &reuolutionem orbis mobilis,hypotentis; possedari aequalem circumseretiam: ac proinde quadratum perimetri circularis in rectam lineam extensis, decies continerI in quadrato lateris minoris circa angulum
rectum,hoc est, in quadrato diametri. Id significauit verbis istis,ad paginam ai. Quadratum ab ambitu circub
88쪽
decuplum est quadrati a diametro hoc est,si ambitus ci culi fiat aequalis subtensa ,& diametrus eiusdem circuli fiat latus minus circa angulum rectum, ita ut tertium latus cotineat triplum diametri, tunc quadratum subtensae,siue perimetri, fore decuplum quadrati diametri, siue lateris minoris circa angulum rectum. Vetus haec est & admirabilis phantasia geometrica cum mechanicis in unum chaos permiscens. Quid enim aliud olim sibi voluerunt indi, qui dixeriit, si diameter fuerit unitas,circumferentiam sore radicem de quadrato
decem Sed de hac Indorum opinione plura dicemus sub finem capitis. Vt nihil dissimulem, apparet Scaligerum praeceptionum apodicticarum parum memorem esse:demonstratio enim constat ex iis, quae eiusdesunt generis & naturae, neq; licet demostratori ab uno genere in aliud transire, sicut prolixe docet A ristotcles in posterioribus Analyticis. Quid commercii habet
perimetrus circuli cum hypotenti a trianguli orthogoniis no equidem video, quomodo per epharmosin rotationis fieri possint aequalia quae ex sua natura nullam obtinent aequalitatis mesuram. Notum enim est, lineam orbicularem cum recta non posse comparari:
quia hae lineae non continentur sub una aliqua specie indiuidua seu non admittunt proportionem, quae in una specie indiuidua consistit, ut patet ex desinitione proportionis, quam Luclides affert libro quinto elementorum: luemadmodum neque motus circularis,
89쪽
yo DE QUADRATUR Anem motus rectus comprehenditur sub aliqua specie indiuidua,ut euideter declarat Aristoteles lib. septimo Physicae auscultationis. Quare dici no potest , circumferentiam esse aequalem rectae lineae, aut ea minorem, aut maiorem: neq; etiam dici potest, motum circulare esse aequalem motui recto,aut eo minorem,aut maiorem. Quod si aute nobis sic placeret loqui, nemo profecto est et,qui non intelligeret, hanc impropriam esse locutionem: & linea de circumserentia & recta aequi- uoce praedicari:item motu de circulari & recta latione non nisi aequivoce enuntiari: quq auic sunt aequivoca, illa inter se comparari nequeunt,teste Aristotele,libro . Physicorum, contextu et .vbi sic inquit, αμ' - μήο
ρ- -,αποπτα συμ γ quae Simplicius in comment
rio periphrasi quadam explanat, dicens, λέγει,
ουουμο --Mechanici igitur animaduertere debebant,
peri metrum cum hypotenusa trianguli orthogonii non simplicite sed ex hypothesi conferri: si enim si tuatur,perimetrum in rectum extendi posse, ut aequetur subtens, triaguli orthogonii, cuius duo latera angulum rectum amplectentia habent proportionem triplam, tuc quadratum perimetri decuplum est quadrati diametri quae minori lateri circa angulum rectu consistenti, aequalis est. Sed hanc hypothesin nos negamm,quet dicit,perimetrum posse heri qualem subicia e
90쪽
CIRCvri, CAP. VII, sitcnta: etsi enim epharmosis rotationis testetur de qualitate aliqua, haec tamen epharmosis Geometris non satisfacit. Et licet ipse quoque Archimedes talem epharmosin comprobasse videatur: eam tamen pro principio geometrico nunquam habuit. In eodem co- textu 2 lib. .Physicorum argumentatur Aristoteles a maiore ad minus: si linea recta &circumseretia, quae maiorem habent assinitatem,non tame possimi comparari, multo minus comparabitur tardum & velox cum alteratione & latione . nam recta linea & circumferentia sunt in eodem praedicamento quantitatis, &sunt ambo quanta continua,& sunt ambo lineae, alteratio autem & latio etiam praedicamentis disserunt: nam alteratio pertinet ad Qualitatem, latio aute refertur ad Vbi. Simili comparatione nos possumus uti, si linea recta rationalis, & linea recta irrationalis, quae maiorem habent cognationem, non tamen possunt inter se comparati multo minus linea curua circumferentiς, potest comparari cum linea recta,cum hae inter se minus sint cognatae: nam rationalis & irrationalis continetur sub genere proximo, scilicet sub recta, sed curuum seu orbiculare,&rectum, continetur sub genere remotiore scilicet sub linea. Quod aute delinea dictum est,hoc etiam de superficie intelligendum estivi enim non omnes lineae inter se stant comparabiles, ita neq; omnes superficies: nam rectilinea superficies cum rectilivea superficie, & circularis superficies cum