장음표시 사용
101쪽
si quiseptimam diametro. Archimedes autem probat cimcumferentiam continere ter diametrum, oe minud quam
decem septuagesimas, m plus quam dec ni septuagesimas
primas. Haec Archimedis demonstratio non est tyramnica nec ita inepta, Vt a quoqua eludi debeat. Ex prindictis igitur colligimus, hanc esse communem practu .coru rationem,Vt subtensa trianguli orthogonii cuius latus minus adiectum angulum sit diametrus, alteruvero latus sit triplum diametriὶ habeatur aequalis peri- metro: haec enim hypothesis occasione praebuit,ut per datam subtensam, quae aequalis videretur perimetro,& per diametrum,area circularis indagaretur,ut patet ex testimoniis praestantissimorum auctorum, quae supra attulimus. Quod ad longitudinem perimetri attunet, eam Indi paulo accuratius, qua practici vulgares definire voluerunt: proinde dixerunt, quadratu peri metri decuplu esse quadrati a diametro producti. Cuenim triangulum orthogonium ex communi practicorum sententia conitituissent, cuius minus latus ad angulum rectum esset diametrus, maius autem latus circa angulum rectum cotineret triplum diametri, ex
his duobus positis lateribus viderunt hypotenusam procreari, cuius quadratum decuplum esset respectu quadrati a diametro producti. Quia vero animaduerterunt, Radicem istius hypotentiis surdam esse, nec certo numero posse explicari, idcirco putarunt Indi consultius esse,si sola qualitas hypotenus ae acciperetur
102쪽
pro longitudine perimetri, quam si ex proximo quadrato Radix rationalis extraheretur,prout communiter practici facere selent. Hoc perspicue colligim us ex verbis Purbachii in loco citato exstantibus, ubi sic scribitur: Indi vero dicunt ,si quis iret Radices numerorum recta radice carentiu inuenire,igefaciliter inueniret, quata esset diameter re lectu circumferentiae. Et secudum eos, si diameter fuerit unitas erit circumferentia Radix de de cem : si duo, erit Radix de quadraginta: sit, L erit Radix de nonaginta, sic de aliis. Et est disserentia inter Indos practicos geometriae unum minutum, plus quaseptima pars unius minuti.Vult Purbachius dicere,quod Indi existiment perimetrum circuli esse aequalem hypo- tenus e trianguli orthogonii, cuius minus latus ad angulum rectum ponatur diameter, maius autem latus circa eundem angulum rectum sit triplum diametri :quia autem hypotentisa est Radix numeri recta radice carentis,hoc est, quia hypotenusa est Radix surda denumero non quadrato, haec utique certo pumero desiniri nequit :u quis igitur sciret extrahere Radicem surdam, laic certo quantitatem perimetri exprimeret.
Sed impossibile est, ut Radix surda desinito numero exprimatur:quare si perimetrus aequalis est Radici suo dae ipsius hypotenu recte illi facere videntur, qui pro longitudine perimetri capiunt selius subtensae quantiatatem. Deinde assirmat Purbachius, Indos existimare,
quod quadratum perimetri sit decuplum quadrati a
103쪽
diametro producti: proinde dicunt, si diametrus sit
unitas,perimetrum sere Radicem surdam de numerono quadrato,videlicet de denario: si autem diametrus cotineat duo, tunc quantitatem perimetri fore Radi- cem surdam de quadraginta,&c. quemadmodum ex sententia Archimedis & practicorum dicimus, si diametrus fuerit partium septem, tunc perimetrum esse Radicem surdam de numero non quadrato 9o Tandem indicat Purbachius, Indos videri accuratius exponere perimetrum,quam vulgo faciant practici geometriae volunt enim Indi perimetrum praecise aequale esse subtensis,& cum liqc subtensa sit Radix surda eam non esse numero inuestigandam, sed simpliciter qua- . itatem subtensae capiedam esse pro longitudine peri- - metri: practici autem satis esse existimant, si Radix extrahatur ex numero proxime quadrato, eaq;Pro qua- titate perimetri capiatur. Sic quidem olim senserunt Jndi, quorum opinionem nuper reuocauit Scaliger: sed error maximus est in hypothesi: non enim conce- dendum est,per rationis epharmosita perimetrii ςqualem fieri hypotenust dati trianguli orthogonii. Nota- dum igitur est demonstrationem hanc scientifica esse,. quae dicit,quadratum subtensae in triangulo orthogonio cuius latus minus circa rectum angulum sit partiuseptem,maius autem sit partium viginti & unius) decuplu esse quadrati, quod a minore latere describitur:
ac proinde si diametrus circuli aequalis sit lateri minori
104쪽
circa angulum rectum consisteti, sequetur quod quadratum hypotenusae etiam decuplu sit quadrati a diametro de ripti. Quod aute a Mechanicis assumitur, perimetrum circuli sic in rectum posse ex tedi, ut prorsus aequalis sit hypotenus e,id falsum est licet enim per extensionem mechanicam perimetrus aliquo modo fiat aequalis ipsi hypotentisς, non tame omnino a qualis fieri potest. Agnoscant ergo te eliores Mechanici, quod in ratiocinando plurimu fallantur: sic enim colligunt. Omnis hypotentisa a duobus lateribus rectum angulum amplectentibus,& triplam habentibus proportione genita, habet quadratum decuplu, respectu illius quadrati, quod a minore latere circa angulu rectum describitur: at omnis perimetrus circuli potest fieri talis hypotenusa, Ergo omnis perimetrus quoque habet quadratum decuplum respectu illius quadrati, quod a minore latere circa angulum rectum describitur,hoc est,respectu quadrati, quod a diametro describitur,quadoquidem minus latus circa angulum rectu ponitur aequale diametro. In hoc syllogismo maior est certissima. sed minor probatione eget: confugiunt autem Mechanici ad epharmosin rotationis,ut fidem aliquam faciant dubiae propositioni: at ne sic quidem
ad scopum optatum perueniunt, ut nos in ptaecedentibus abunde declarauimus.
Quidsentiendumsit de ephamos eometrica, unde applicatio curui ad rectum lux se videtur. i s
105쪽
CAPYT VIII. OVi circulum quadrare cupiui, postulatum quod
dam mechanicum statuut, ex quo persuadere conatur lineam curuam posὰ applicari rectae, ita ut una alteri aequalis habeatur. Postulatum istud in hanc sententiam concipiunt. Circumferentia potent aequari lineae rectae Uraeparetur rota mobilis circulo aequalis, quae ab υ-nopuncto circumferentiae in planum iuxta lineam rectam exte latur, donec ad idem punestim redeat: hoc enim inter- uallam a rota mobili in sepesci planam exteyum,aequale est circumferentiae circuli. Vide Scaligerum in cyclometricis, pagina ao. Quod epharmosis istano abhorreata principiis geometriae,Mechanici hinc probare videtur: quia Euclides inter principia geometriae hoc refert,quod quς sibi mutuo applicentur,inter se squalia
habeatur: verba eius haec sunt, φαρ πταε λα,um. αμηλοις Verbi gratia,si quis lineam unam alteri superponat,ita ut nec excesssius nec defectus in longitudine conspiciatur, tunc ambae lineae dicuntur aequales,per applicationem suς per epharmosin Jtem siquis angulum angulo superponat, ut eade inclinatio appareat,tunc etiam ambo hi anguli inter se aequales erunt, per applicationem quandam externam. Idem dici potest de mutua applicatione superficieruἰ si enim triangulus triangulo superponatur, ut nec latera, nec anguli se inuicem exceclant,tunc triangulus triangulo aequalis censetur per epharmosin. Et si circulus circulo
106쪽
c I RcVLI, CAP. VIII. ro si perponatur, ut circumserentia unius non excedat circumferentiam alterius, tunc etiam circuli aequales aestimantur propter applicatione. Obseruandum auteest,Mechanicos putare,eadem esse rationem applicationis,sive lineae rectae beneficio regulae aut circini inter se applicentur,sue etiam curuς lineae per giratione& reuolutionem in planum extendatur: qua in re eos plurimum falli ostendemus.Non est dubium,quin epharmosis locum habeat in praxi geometrica: pleriq;
enim veterum propositionem quartam & octavam.
libri primi elementorum Euclidis, per applicationem
mutuam linearum angulorum & figurarun probare studuerunt. Hoc autem nulla cogente necessitate secerunt: si enim omnem intermisissent applicationem, nihilominus demonstrare potuissent linearum,angulorum,& figurarum qualitatem,Vt apparet ex recentiorum demonstrationib. in quibus nulla epharmosis adhibetur. In tyronum igitur rudiorum gratiam,Veteres geometrae voluerunt quartam & octauam propositionem libri primi Euclidis, demonstrare per epha mosin,siue inductionem quandam sensilem : ut sciret discipuli quasi sensibus edocti, duos triangulos omnino aequales esse,qui & latera aequalia & angulos inuicem haberent quales.Idcirco Proclus lib. 3.commentariorum in primum Euclidis scribit, epharmosin esse sensilem probationem. Verba eius hςc sunt, ηε-
107쪽
OO, iues αργους en λέφας, hoc est,applicatio enim,&quae per eam ostenditur aequalitas, omnino pendet a sensili & euidente opinione. Si autem natura demon strationis respiciamus,certum est, quod debeamus a Lhibere medium uniuersale: sic dicimus,lineas duas rectas aequales esse,quia iis de terminis finiuntur, & duos angulos rectilineos aequales esse. quia eandem habent linearum inclinationem: item dicimus duos triangulos aequales esse, quod habeat latera lateribus aequalia,& angulos angulis inuicem aequales. Sed ut recte percipiam iis,quatenus epharmosis probet aequalitatem,& quo usque se extendat: ante omnia sciendum est, in
epharmosi plurimos errores contingere posse, si lineae ad lineas, anguli ad angulos, & superficies ad superficies negligenter accommodentur. Quod si autem diligens & accurata applicatio fiat, probabitur quidem lineas, angulos,&superscies sibi inuicem stiperpositas aequales esse,sed mens nostra non acquiescet in illa externa applicatione, nisi causam uniuersalem aequalitatis intellexerit. Proinde dicimus, lineas aequales esse, quod aequalibus terminis comprehendantur,& angulos aequales esse, quod fiant ab aequali linearum indinatione:item superficies aequales esse,quod aequalibus lineis & angulis contineantur. Lineam quidem qqualitatem metimur per applicatione circini aut regulae, sed aequalitatem angulorum aestimamus a subtensis lateribus, sicut totam superficiem cum tota superficie per
108쪽
CIRCULI, CAP. VIII. io' per applicationem aequalium laterum de angulorum comparamus. Quare recte scribit Proclus libro tertio commentariorum in primum elementum Euclidis, quod omnis linea recta ad rectam cogruat, quatenus utriusq; extremitates communi mens ira comprehedi possunt,quodque angulus rectili iacus cum angulo rectilineo de superficies rectilinea cum superficie rectitunea sit applicada: si enim quantitates diuersis ad se inuicem applicarentur, nulla posset inuestigari ratio aequalitatis. Verba eius haec sunt. II m
φερειας hoc est,om nis enim recta omni rectar congruit: quae autem sunt aequalia, eorum etiam secundum te minos fit applicatio. Sed angulus angulo aequalis dictitur,scilicet rectilineus rectilineo.&c. AEqualitatem a tem angulorum capiemus secundum applicationem
laterum, in rectilineis, &in aliis eiusde speciei figuris, vi in i unatibus,Xy stricis & utrinq; gibboss quoniam fieri potest,ut aequales sint anguli, nec tamc latera sibi inuicem congruant: etenim rectus angulus ςqualis est alicui lunari angulo: & seri non potest, ut circumferetiae congruant ad lineas rectas. Ex quibus verbis Procli
109쪽
nc, DE QUADRAΤvRA animaduertere licet,illa tantum admittere epharmosin geometricam,quae eiusdem sint speciei: sic linea recta cum recta,&curua cum curua, & superficies rectilin ea cum rectilinea applicatur: recta autem cum curua congruere nequit. Et paulo postidem Proclus loquens de demostratione per epharmosin quartae pro- possitionis libri primi Euclidis,sic scribit: 'Αροη ἰ metης
hoc est,AEqualitas igitur,quae in quatitatibus eiusdem speciei cospicitur,totius demostrationis causa exsistit. Duo enim hic sunt axiomata continentia totam methodii propositi theorematis: Unum quide est, quod quae sibi inuicem congruunt,aequalia nabeantur: idq;umpliciter verum est, neq; opus nabet ulla declaratione,quo utitur auctor elementorum,in basi,dc area, Ocreliquis angulis: haec enim inquit,quia sibi inuice congruunt, qualia sunt. Hoc autem non de omnibus verum est,sed de quantitatibus eiusdem speciei: eiusd emautem speciei hcc voco,ut est recta cum recta,circumferentia cum circumferentia eiusdem circuli,& anguli
110쪽
comprehensi a lateribus similibus similiter positis. Alterum est,quod data aequalia, sibi inuicem congruat. Hactenus Proclus, qui expresse fatetur, epharmosin geometricam tantum pertinere ad quantitates eiusdespeciei:sed obseruandum est, non semper in quantitatibus eiusdem speciei,per epharmosin probari aequalitatem,nisi quantitates illae etiam contineantur sub aliqua specie indiuidua, quae in plures species secari nequeat: quemadmodum colligitur ex libro . Physicae auscultationis,& ex propos penultima libri l. elemen. Euclidis. Quamobrem licet diametrus quadrati & l tus quadrati, si ni lineae rectae, non tame per epharmosin ullam possunt exaequari: idem dicendum est de reliquis lateribus rectis, quς sunt rationalia & irrationalia in triangulo rectangulo. Huc usq; ergo se extendit epharmosis geometrica in applicandis quatitatibus Giusdem speciei: sed Mechanici plures modos applicandi excogitarunt: quantitates enim diuersarum speci
rum,& naturis inter se maxime pugnantes, per epha mos ii conciliare voluerui. Hinc factum est, ut min
res portiones circumferenti pro rectis lineis putarent accipiendas:qui modus est, & ab omnibus Philosophis damnatus. Propterea scribit Simplicius,
α Οα αν- Δ hoc est impossibile esse, ut linea recta congruat ad circumseretiam. Cuius rei haec est ratio quia qu libet portio circumferentiς,etiam minima recta fieri nequit: & hac ratione ve-