장음표시 사용
91쪽
circulari superficie conferenda est: nisi fortassis pars aliqua superficiei circulineae, possit comparari cum figura rectilinea sicut ostendi potest per meniscit Hip-
pocratis, qui pars est circuli, & talis meniscus necessario aequalis habetur triangulo cuida orthogonio: tota autem saperficies circuli non potest comparari cum tota superi ierectilinea Praeterea notadum est, quod co paratio ista a maiore ad minus, valde essicax sit aduersus epharmo in mechanicam, qua nonnulli per metrum cum diametro eiusdem circuli comparadam esse existimant: si enim epharmosis no potest definire quantitatem omnium linearum rectarum, qua inter se magis videtur comparabiles, multo minus definiet quantitatem lineae circularis & rectae, quae minus videntur comparabiles. Quod autem nulla epharmosis possit exprimere quantitatem lineae rectae irrationalis, id ex proprietate trianguli orthogonii satis constat: causa in eo cosistit,quod ut numeri non quadrati Radix certis partibus desinita assignari nequeat ta etiam in linea irrationali non possintvltimae partes inuestigarimam diuisio lineae irrationalis, perinde & diuisio Radicis non quadratae,in infinitum procedit: quod illi probe nouerul,qui tractatione numerorum Algebrae didicerunt. Huic corollario simile est illud, si triagulus rectangulus constituatur, cuius latera rectum anguluam plectentia habeant proportione duplam: tunc subtensae quadratum erit quintuplum quadrati, a minore
92쪽
CIRCULI, CAP. VII. ilatere descripti:& quadratum maioris lateris erit qua- druplii quadrati a minore latere descripti. Verbi gratia, maius latus circa angulum rectum sit octo parti. ci minus sit quatuor partium: subtensis igitur quadratu erit 8o. quod quintuplum est quadratiti, a minore latere descripti:& quadratum maioris lateris erit quadruplii quadrati r6. quod a minore latere describitur. Quartum corollarium est, in triangulo rectangulo .isoscete,quaecunq; figura ad hypotenusam describitur, dupla est figurae sinulis,& similiter descriptae, ad latus
alterutrum circa angulum rectum consistes. Hoc co
rollarium hic inserimus,ut ostendamus,quomodo lunula Hippocratis, aequalis sit triangulo rectanguloisosceli cuius hypotentisa est latus quadrati circulo maiori inscriptu: etsi enim Simplicius & Philoponus ex stiment,Hippocrate Chium ex propositione secunda libri duodecimi elementorum Euclidis inuenisse, lunulam aliqua aequari posse triagulo alicui rectangulo,
ego tamen censeo occasione huius inuenti limanasse
ex propositione penultima libri primi, &ex propositione si .libri sexti elemetorum Euclidis. Nam propositio penultima libri primi explicat, in omni triangulo rectangulo figuram quadratam ad latus subtens descriptam, aequalem esse duabus figuris quadratis, quae ad reliqua duo latera describuntur: unde etiam sequitur,sauram quadratam subtense trianguli rectanguli oscebs, duplam esse figurae quadratae, quae ad alteru-
93쪽
9 DE QUADRATvRAtrum latus describitur. Propositio aute trigesima prima libri sexti dicit, hoc in genere verum esse de qua- cunque specie figurarum, & rectilinearum & curvilinearum; si modo similes sint & similiter describantur, quemadmodum bene obseruauit Campanus: vult Gnim propositio ista,in triangulis omnibus rectangulis figuram quamcunq; ad latus subtensum angulo recto destriptam,aequalem esse duabus reliquis figuris similibus.& similiter descriptis ad reliqua latera. Vnde etiasequitur,figuram quamcunq; super hypotentisa trianguli rectanguli isoscelia descriptai duplam esse figuret similis.&similiter descript super latere alterutro.Verba propositionis liqc sunt, rimis v ογrisita τυγίοις,
αγρο φο x is, Quae autem figurae rectilineae sint similes,&quae similiter describantur, ostendit Euclides ini. definitione libri sexti elementorum: quando inquit,
gurae rectilineae sunt,quae & angulos singulos singulis
aequales habent, atque etiam latera circa aequales an ut
gulos,proportionalia. Idem etia dici potest de figuris curvilineismam harum quoq; aliquς & angulos si mules latera habent similiter atq; proportionaliter descripta:quemadmodum cernere licet in partibus duorum circulorum , duplam proportionem habentibus.
94쪽
C I R C V L I, C 6 P. VII. 's tia eius attingat punctum A &B. Deinde diuidaturn 'latus subtensum A B bifaria in puncto D. & ex D centro circu
i j liis destribatur, cuius circumscretia attin-
l ' anguli isoscelis ABC. coniungatur etiam
Vnam rectam. & lari tera trianguli isost lis extendantur ad circumseretiam circuli, ut duae di metri conspiciantur,quq diuidunt totum circulum inquatuor aequales quadrantes. Iam dico, maiorem circulum duplum esse minoris, & semicirculum maiore
duplum esse semicirculi minoris: quod sic ostenditur: figura A EB ad hypotenusam deseripta, dupla est. sura B l C. similis & similiter descript ad latus alterii, per propositionem trigesimam primam lib. c. elem. Euclidis. Atqui figura A E B. est segmentum circuli maioris,& figura BI C. est segmentum circuli minoris : quare segmentum maius duplum est minoris: p tet etiam,si ambo segmenta minora, videlicet BI C. Veniamus igitur ad propositum: sit triagulus rectangulus & isos celes ABC cuius subtensa sit decem partium.& destribatur circulus ex centro C,ut circumse-
95쪽
DE QUADRATURA&ΑΚ C.coniungatur,ea sore aequalia maiori segme-to A E B. Vt autem se habent quadrata diametrorum,
ita se habent ipsi circuli, per propositionem secundam libri duodecimi Euclidis: atqui quadratum diametri circuli maioris duplum est quadrati diametri circuli
minoris, & contra, quadratu diametri circuli minoris dimidiu est quadrati diametri circuli maioris, per prO-pos penuit libri l. Euclidis. Posuimus enim hypotenusam trianguli rectanguli & isoscetis cotinere partes io: haec aut hypotentisa facta est diametrus circuli minoris: quare quadratu huius sub test, siue diametri A B. est icio:& eoae modo quadratu lineae AHestico: si tali cduo quadrata coniungatur, producitur quadratu sub- telet B H,siue diametri maioris circuli, atq; hoc cotinetaoo. Cum igitur manifestum sit, quadratum diametri in minore circulo esse ioo, & quadratum diametti in maiore circulo esse ducenta: sequitur quod circulus maior sit duplus minoris & sic qu libet aliae partes bi fariam diuisae in maiore circulo duplς sunt partiu bifariam diuisarum in minore circulo: quod de semicirculis &quadrantibus inprimis intelligendum est. Ex hoc constat quadrantem circuli maioris duplum esse quadrantis semicirculi minoris,ac proinde totum semici culum minorem aequale esse quadrati circuli maioris. Habemus igitur proximu medium,per quod demonstrandum crit, lunulam A F B E. aequalem esse triagulo rectagulo & isosceli ab initio proposito. Quod hac
96쪽
sit hac CIRCULI, CAP. VII. '7 methodo ostendedum est: ambo semicirculi in mino- re circulo sunt sibi inuicem aequales: si autem aequalia ab aequalibus utrinque auferantur, remanentia sunt aequalia,per commune animi conceptionem. Segna tum A EB. in semicirculo dextro, aequale est duobus segmentis in semicirculo sinistro descriptis, ut antea fuit demonstratum: auferamus igitur utrinq; aequalia, nimirum a semicirculo dextro demamus segmentum AEB. dea semicirculo sinistro subtrahamus duo segmenta BIC. M A Κ C. quae aequalia sinit segmento A E B. utiq; figurae quae relinquentur,inter se erunt ae quales: videlicet lunula A F B E. aequalis erit triangulo rectangulo isosceli ABC. quod ad demonstranaum erat propositum. Haec demonstratio a veteribus accepta resertur Hippocrati Chio, que Aristoteles scribit circulum quadrare voluisse per menticos: candem demonstrationem inuenimus apud Simplicium libro i. Physicorum, ad contextum n. & apud Philoponum libro primo Posteriorum,contextu 6 . Etsi aute Hippocrates inuenerit artificium maximum, non tamen per illud potuit circulum quadrare: hac enim ratione tolum quadratu circulo inscriptum, ostenditur aequale esse quatuor menticis,qui fiunt ex semicirculis in i teribus quadrati descriptis: reliqua autem quatuor stagmenta circulino 'ossunt ad huiusmodi meniseos rea duci,qui aequales sint triangulis. Immo si hexagonum aequilaterum circulo inscribatur,ostendi quide potest, N
97쪽
semicirculos descriptos ex lateribus hexagoni, dimi dios esse semicirculorum, qui a lateribus quadrati de A. scribuntur. Cuius rei indiciu est ex superiore schemate: na semicirculus B F A. dimidius est semicirculi B G H. quia ille describitur a latere AB trianguli rectanguliis oscetis A B H hic vero describitur ab eius hypoten saBH. Sic etiam semicirculus,qui describi potest a latere A C. vel B C.trianguli rectanguli istoscelis ABC. . dimidius est illius semicirculi, qui a sublesti A B. descri- bitur. Atqui costat linea A C.vel B C esse semidiametrii,siue latus hexagonicum:certu etia est,quod subte-sa A B. sit latus quadrati circulo inscripti: unde manifestum est, semicirculua latere hexagonico deseriptu, F dimidiu esse eius semicirculi, qui a latere quadrati d scribitur.Hoc enim uniuersaliter verum est qua cunq;
ctenus,quomodo superficies curvilinea menisti qua- ri possit triangulo rectilineo: sed id quadratoribus ci culi nihil patrocinatur. Revertamur igitur ad recctiores mechanicos,qui existimant,quadratum perimetri decuplum esse quadrati a diametro descripti: de videamus : qualem proportionem inter diametrum & circumserentiam circuli explicent. Volunt noui mechanici, accipiendam esse diametrum cuiuscunq; circuli, ex ea quadratum describendit: deinde hoc quadratu
98쪽
cthcvii, c Ap. VII. 99 decuplandum, eiusq; Radicem siue latus esse aequalefierimetro eiusdem circuli. Verbi gratia,si detur circu-us,habens diametrum quatuor partium, quadratum illius erit ic.quod si decupletur,suggerit quadratu ico. cuius latus putant aequale esse perimetro. Item si circulus proponatur, qui habet diametrum 16. partium, quadratum illius eritas , . sicut ex tabula tetragonica Ioanis Antonii Magini sine ullo labore eruitur: id autem quadratum si decupletu per Nullam, ut vocant, in fine adiectam, exhibet quadratum 216o. cuius Radicem dicut aequalem esse perimetro. Quia vero ope- rosum est, quadratum diametri decuplatum in figura
geometrica ostendere,excogitarunt Mechanici compendium, quod obseruari volunt. Dicunt autem di metrum circuli diuidendam esse in partes ic. aequales,& triangulum orthogoniti constituendii, cuius maius latus ad angulum rectum cotineat partes n. diametri, latus autem minus ad angulum rectum complectatur partes quatuor diametri: ex his enim duobus lateribus sublesam fore Radicem de quadrato ico. atque huius
subtens, longitudinem quater contineri in longitudine perimetri. Cur autem huiusmodi triaguli orthogonii subtensa quadrupla accipi debeat pro longitudia
ne perimetri,causa haec est: quia quadratum diametri, in sedecim partes aequales diuise,est 116. quod si decupletur,est 21 6o.at in hoc quadrato a diametro producto & decuplato continetur sedecies quadratum sub-
99쪽
too DE QUADRATURA tentat , o .cum igitur Radix de ti, sint quatuor, opor
tebit subtensam quadruplam accipere,pro longitudine perimetri. Idem compendium in minimis terminis sic potest explicari: diuisatur diametrus circuli in qua
tuor partes aequales,& fiat triangulum orthogonium in circulo vel extra circulum, cuius maius latus ad angulum rectum cotineat tres partes diametri, & minuulatus circa angulum rectum coplectatur partem Vna:
ex his igitur datis duobus lateribus subtenta erit Radix
de quadrato i c . huius autem subtensae longitudo quadrupla erit accipieda pro longitudine perimetri. Nam quadratu diametri, in quatuor aequales partes diuisae est 16.quod si decupletur, si ico. atqui quadratu subtenta, scilicetio.sedecies continetur in quadrato dia' -
metri decuplato: quare subtense quantitas quadrupla accipienda erit pro longitudine perimetri. Vide Scalia gerum in cyclometricis,pagina 38. & 39. In hisce com pendiis nihil aliud,quam vanum nouitatis studiu conspicio. Itane doctissimi Geometrae,delitiae humani generis,antiquitate & splendore familiae nobilitati, sentiendum esse existimatisὶ quociique vos vertitis, sem- per aliquid nouum sciscitis,unde captus vester in geo'. metricis cognosti possit. Non est opus vllis ambagib. si communem practicorum sententiam,quam Archia medi adscribunt,sequi velimus. Archimedes itaq; tradidit nobis facilinati modum, in quo acquiescere pOC sumus: si enim habeamus diametrum circuli, ex ea f.
100쪽
cin CIRCULI, CAP. VII. roicimus latus minus circa angulum rectum ex triplo autem diametri componimus maius latus circa angulurectu in triagulo orthogonio: & quae hinc producitur subtensa,eam dicimus proxime respondere perimetro circulari. Etsi autem fere omnes practici inter Arabes, Latinos, 5c Graecos,modum Archimedis sic declarare voluerint,quemadmodum testatur Georgius Purba-chius in principio compositionis tabularum sinuum, '& nos hoc ipsum auctoritateAverrois, Alfi agani,Procli Philoponi,&Theonis confirmauimus: sciendum . tamen est,quod practicorum sententia castigationem aliquam admittat.Non enim A rchimedes voluit, circumferentiam in rectum extensam esse praecise tripla cum una septima diametri, sed dixit,veram perimetri quantitatem esse minorem quam maiorem vero quam 32 respectu diametri unius partis,idque demo strauit Archimedes per duas figuras s6. angulorum, quarum circumscripta minor est quam 3 ξ. inscripta vero maior quam 3 . sicut mihi coram exposuit Clarissimus vir,D. Adrianus Romanus,quando huc se co- tulit, ut Pi ofessores Academic nostrς salutaret id quod factu ea inter sella natalitia noui & veteris calendarii, labente anno Domini ι19 .Purbachius idem testatur hisce verbis, Magistri geometriae non potuerunt perfecta ratione comprehedere quanta es t diameter circuli reste AZ uae circumferentiae,eo quod recti adcuruum no estproportio.Practici tament' uerant circumferentiam triplam