장음표시 사용
151쪽
Cylindriis in cubo in is scriptus sphaerani amisbiens conum in hemisphaerio habentem. conus in ea tem cum cylindro basi, altitudine iacens. Nota'ubd in innarior diagramma te m. quidem Πιultiplicationen , p. vero partitionem sanificat.
Diagramma cunctas, de qui biis Autor in hac propositione loquitur corporum,eorumque partium quantitates ostendens.
Coni in Phemisphi rio inscripti Ia era Basis ambitus ta basis area 78 Bassis area sis quatuor plana is Cyllindri. superficies sine basibus di s 'sexplana τοῦ Vpζrficies cuiasibus. 3ss f superficies a se
Basis ambitus Axis logitudo superficies
Dimidij cylindri seu hemisphaeri superficies. Superficies iid
Coni eandemcu cylindro basim xaltitudine habentis
152쪽
angulos autem rectos octo' 62uemadmodum angulus planus triplex est, rectusscilicet , acutus ac obtusus et ita etiam angulus solidus cum ex planis constituatur angulis P triplex erit,
nempe recfus, qui ex rectis acutus,qui ex acutis et obtusus , crure obtusisplanis anguses constat quamobrem angulos rectos octo in praesientia solidos, non aute planos esse intelligere debemus. quandoquidem irectos angulosplano quilibet cubus habet. Monam pacto diuinas rationes in cubo iuxta rectitudinem, aequalitatem , ac trinam dimensionem P rhagorei ostendant, longum esset in praesientia declarare e quomodo vero harmonicas in consonantia existentes rationes, in cubo indicent, cum ipsum harmoniam nuncupent,paucis explicabo. Cum itaque cubus lateribus duodecim,angulis octo lanis sex constet, dubioprocul omnes quinquepraecipuae consonantiarum harmonicae rationes in hi- si e tribus numeris. o. I. Ia reperiun ur nama quidem ad infe quitertiam habet rationem, in qua Diatessaron consonantia est Ia vero ad J si quialteram, in qua Diapente Ia autem ad c piam in qua Diapasson: Ia rursus ad excessum, quo duo denarius ocionarium superat,nempe ad L, Iripiam, in qua Diapason cum diapente S demum ad excessum, quo senarium octonarIus excedit scilicet ad a, quadruplam, in qua isdiapassen. Ouapropter cum harmonicae consonantiarum rationes in cubosint, non Immerito Pythagorei harmoniam ipsum nominarunt. Haec autem obiter a nobis dula sint , quoniam nonsunt praesentis contemstitionis. CJθοιο , 'haera conus,ac caetera solida corumquepar te ab Encti e ins mitionibus indecimi libri Lomentorum diu' gentis mc de niuntur quorum si e corporum arcam, seu capac ratem Autor solidum, ue soliditatem appellat. aeque altum hoc si cuius altitudo it aequalis altitudini ubi. in minimis,primis . numeris G c. J Dupliciter numeri primi dicuntur, aut per se, aut a inuicem co0i crati. O qui nam in numeri primi per se consederati docet Luclides in undecima des risitione septimi libri Elemeniorum qui vero sint pri ni adim
153쪽
uicem, duodecima definitione eis em ibi, fem non de primis per se sed deprimis adinvicem o ideratis Amor loquitur. quippe qui etiam minimi semper uni omnium eandem cum eis rationem habentium,ut idem Euclides in a propositione eiusdem septimi demonsrai di uomodo autem dasis quotcumque numeris minini omnium eandem cum eis rationem habentium reperiam rur demonserat Euclides ino, propositione libri eiusdem. notandum quod meisus es dicere, quod S ad FI habet rationem supertripartientem undecimas suesupeririund cimas cui M. ad si quam dicere quo continet eum ac eiuspar/em quartam, se quadragesimam quartam nam quemadmodum I continetis er eius P sic et S continet σιι es eius
Praeterea norandum qu od istud, quod ait utori quamobrem hemisphaerium cum iuxta superficiem , tum iuxta oliditatem duobus conis aequale repertum es sphaera ero,quatuor. J at me in ea pariet cum iuxta superficiem J quandoquidem super cies hemis hierj, quae es 232, non est ut ait utor aequatis duplo superficiei coni in hemisph.erio inscripti,quo estuat , sidue quialtera ipsius est . quamobrem nec etiam tot herica superis cies,quae es a si ad iotam iam dicti in hemi haerio conssinti om superficiem to exsentem quadrupla quemadmodum ais Auror sed reuera excula quidem erit. Cum enim cylindrisu
perficies quaesuperficiei sthaer. in ipso inscriptae aequalis ostensa
s,iripia superficiei coni eandem cum ipso basem, σaecqualem altitudinem habetis demonstratasti,qui conus opis est per Io propositonem duodecimi elementorum coni in hemisthaerio Grip i nemini dubium quo haerae superficies ad inscripsi in hemis h. rio coni superficiem sexculpam rationem habebit non est igitur uerum quod ait, utor, quod cilicet hemis erium iuxtinsuper ciem duobus,shaera uero quatuor conis eo=ῆ, qui in hemishaerio inscribuntur, qualis repertasti,sed iuxta soliditatem dumtaxat hoc verum SolidiIa etenim=haerae quae se I s soliditatis
iam dicti coni in hemish rio condituit, quae es δ qum
154쪽
drupla dubio proculexi u . autergo lex us corrupte legi urbam
N duphoiter conum Autor definit prim desinitioue formali de nde Euclidis definitione,quae ab e scienti causa desumitur. Eollonius autem Pergieus aliter se exquet itus conum eius partes ari ecies definiuit in definitionibus primi libri conicorum, vi nos alibi satis superci declarauimus f Reperitur autem c. J hanc proposuionem demon rauit Euclides in decimo theoremare duodecimi libri Elementorum uinetiam Pri a sec. haec propossitio es corollarium septim. propo itionis iam dicZi duodecimi, quod demonstrauit a mnus in suis additionibus super octauampropositionem eiusdem libri verum quidnam si Pri na,atquepyramis in nepropositorionis declarat Autor iuxta doc rina duodecimae, es serti eae im
definitio is ndecimi omentora Euclidis . Parallelepiped aurestsigurasolida parallelisplanis c olenta,quaeprimatis secies es. Centrum grauitatis duplex es , alterum planorum , alterum solidorum quidnam it autem centrum grauitatis planorum patet exo rchimedis libro de centris grauitatis planorum , in quo de iam dictis centris exacti imam docyrinam tradita dit quid sit vero centrum grauitatis solidorum elegantissime declarauit edericus Commandinus Mathematicarum eruditi imus in prima definitione seu opusinis de centro grauitatis solido rum, in quo docIrinam hanc hactenus in tenebris latentem docti firme dilucidauit. .ec autem , quae hic ab Autore de centris grauitatis cylindri, prismatis,coni, pyramidis dicuntur ipsi Commandinus in ocIaui, o vigesimasicunda propositionibus iam icti sui opusculi diligenti ime demonstrauit. Verumtamen animaduersitone dignum es, quod postquam excubi lateribus si erficies, o aream solidam eius inuenire docuit: comparans eum cum ais corporibus,eora et supersicies,ac soliditates reperire docet. nde septempulcherrimas GeomeIricas proso tiones, ac unum corostarium proponit , asi demonstrationibus Ar Ihmeticis demonstrat sunt autem hae qu. ordinatim sequuntur, quemadmodum etiam ab Autore proponuntur. Proposi-
155쪽
omnis ubi basi, ad cylindri in ipse inscripi ba mos eius
dem cubi plana ad eiusdem cylindri superficiem una cum duabus cylindri basibus,necnon quatuor cubi plana adeandem cylindriiuperficie ne duabus cylindri a bus, ac demum ubi soliditas ad cylindri soliditatem rationem eamquam numerus ad
Secunda. Omnis cylindri superficies sine basibus superficieis ara in ipso inscriptae aequalis es. Tertia. Omnis cylindrus, aerae in ipso inscriptae tu iuxta superficiem a cum basibus, tum iuxta soliditatem se uirile es Corostarium.
Vnde constat quod omnis haera tum iuxta superficiem, tum iuxta soliditatem duaetertiae partes ea circumambientis ipsam aeque alti cylindri.
uuarta. Omnis shaerica superficies areae quidem sui maximi circuli
quadrupla esse iam dicti vero circuli ambitum tot vicibus continet, quot in eius axe iuxta longitudinem unitates sunt.
OmnisJhaera iuxta soliditatem est quadrupla coni basim L dem habentis maximum ipsi us harae circulum,altitudinem vero aequalem dimidio axis eiusdemi uerae dupla autem coni bus quidem habentis maximum ipsius 'haerae circulum, altitudinem veris totum ei dem sph era axem. Sexta. Omnis cylindrus triplus es coni eandem si ipso basim se . qum lem altitudinem habentis tum iuxta superficie ne basibus, πω iuxta soliditatem.
Septima. Omne prsem para elepipedum diramidis eandem, a sem
156쪽
frutio sem aequalem altitudinem habentis Irq,m ex sit. Garumhnidem propositionum geometrice demo rationes partim apud Euclidem iam diciis in locis, partim apud rchimedem in suis de phicra, cylindro libris habentur. rirhmeticae et ero earundem demonstrationes ab Autore breuiter enarraiae, In figura, ac diagrammate in sine praesentis septimae propositio nis a nobis appositis a quouis explicarii acile possunt. Nec etiatro diluci atione propositionis huiusce dicenda nobis erant. Propositio Octalla. Ρus itaque sit in parallelogrammo, altera partelongior aedificio vel humoris receptaculo milis figurae , ut in Aetia cisterna soliditatis mcnsurationem manifestares: facilius au--tem in piscina propter dimensionum circa basim exiuientium aequalitatem lateritia figura ipsa existente. Later autem est figura solida a se planis colenta aequalam basis longitudinem, ac latitudinem habens, minorem vero altitudinem si enim aequalis iuxta altitudinem etiam existeret cubus qui deni esset si autem maior, trabs figuraretur. Trabs enim est oluae altitudinem longitudine basis ac latitudine maiore habet. Supponatur igitur basis ipsius piscinae, seu cisternae iuxta longitudinem patrii una o latitudinem similiter candem habens 4 altitudinem passuu 12. aero igitur inuenire quot passtium cst cisterna soliditas," amphoras humoris capere potest . Multiplicans ipsos o longitudinis in eosdem latitudinis pas u Ahabeo planum iuxta basim existens passuum 'oo hos itaque rursus
in ip saltitudinis, ira passus multiplico, fiuntque 388oo. At quoniam ea, qua longitudine qua prupla sunt, potentia sexdecuplaeXistunc, soliditate Vero se Xagincupla quadru- pla passus autem est digitorum 6, cubitus vero a : quadruplus ergo passius ipsus cubiti iuxta longitudinem est: basis longitudo cubitorum 28 existit ex his autem halienietur plant 78 OO etcn in I in q9o faciunt 8 oo.
157쪽
s d 88o faciunt. At quoniam rursum ea, ouae longitudine sex cupla sunt, potentia trigincuplas excupla ostenduntur, soliditate vero ducentuplaseYdecupla erunt est enim pesi quoad longitudinem digitorum sexta pasTu pars eXistens unde rursus longitudo iuxta basim iacens,pedu rosit: planum vero, 76 oo totaq; bliditas pedu aio. 8OOna 36 in q9ooficiunt 176 oo,dca16in 388oo 7 27OO8OO. Et quoniam solidus pes , qui secundum Mechanicorum constitutione ab ipsis 16 longitudinis digitis cubatur, O96 reperitur ipsi autem 16 digiti per se sequatuor aquae Vi cias fere suscipiunt, digiti vero si, ipsam duodecim Vniciarum italicarum libram continebunt: ipsi autem a s ipsius plani digiti, libras quinque necnon ipsius soliditatis diagiti os 6, librascio Reperitur itaque solidus pes humoristi capax quoad mensuram amphoroe librarum talicarum So. Quamobrem quot pedum solidorum ipsum humoris receptaculum computatum est, tot etiam amphorarum humoris est capax. Similiter autem ad quamlibet etia profundi tatis partem signum adnotantes,aquae molem connumerabimus Culindri vero figura eX iste te, circuli aream ut iam diximus accipere oportet Meos, qui iuxta ipsam basim reperiuntur pedes in altitudinem multiplicare eum autem, qui fit numerum, in ipso quidem humoris receptaculo, de ipsa aquae mole pronuntiares in similis autem figurae aedilicio sine superimposito tecto triticum, lordeum, legumina, ac demum quotcumque e disreta quantitatis for i. mis iuxta medimnos,& modios,ac semodios,simpliciorcsque mensuras considerantur, ad pondus, magnitudinem
ex eo, qui construitur solido pcde, respicientes supputare. Cisterna
158쪽
Passus Cubiti Pedes Cisterna seu pitana lateris sauram habens. Late
Lateris longitudinis basis cisternae, Leteris latitudinis eiusdem.j-Are basis cisterna'. ltitudinis cisternae. Soliditatis cisternae. Lateris longitudinis basis cisternae. Lateris latitudinis basis cisternae. t Arcae basis cisternae. ltitudinis cisternae.
Soliditatis cisterna ateris longitudinis basis cisternati, a ateris latitudinis basis cisternae. scae basis cisternae. Altitudinis cisternae. Soliditatis ciusdem.'
159쪽
P etia' hoc est Dptiaca, iuxta formam sicilicet, eg
'iacarum cisternarum fabricata nam Aeria dicta est AE tus in quodam Indo Aeto orianus adnotauis. Melior autem lactio est Teiia,hoc spluniosa. Pea,quae longitudine quadrupla orc. J ipse scilicet re meae, qVae longitudine quadrupuinter se rationem habent potentia, videlicet iuxta earum quadrata, si decuplam rationem siemant: soliditate vero,nempe iuxta solida ex ipsis producta exdecuplam rationem sortitae sunt. Haec autem regula vera, uniuersa ises demonstrarique geometrichpotes per quintam desinitionem sexti essecundam nem vigessimaepropsitionis eiusdem, σὴ cimam desinitionem quinti Elementorum Euclidis.
passus autem es digitorum i ct ypaeum ἰ non simplicem,sed geometricum intelligere debemus,quem se pedes iuxta gracorum sententiam continere superius diximus cum autem se quidem quatuorpalmis, palmus vero quatuor digitis constet: nemo es, qui non fateatur iam dictum passum ι digitis compori. Similiter etiam cubitus cum se palmos contineat ubi procul a. digitis conseat inde etiam passus ipse cubiti iuxta long rudinem quadruplus es ' ea, quae longitudine siexcupla sunto c. Haec etiam reguia vera es uniuersalis es am dictis geometricis rationibus demonstrari potest. f cubare' graece κυβίοιν, verbum hoc licet apud latinos alias
habeat significationes, tamen apud Mathematicos nil aliud significat, nisi numerum cubum ex aliquo numero producere,vel guram cubicam ex aliqua recIa linea designare t notandum πιι m est quod omnes mensurae geometricae tripliciter conseidcrari psynt vel quatenus tinearum longitudinem vel quatera si perficierum aream,vel quatenus corporum soliditatem es rar-mVr te cuiuscumque generis mensura geometrica tum tu'nearis vel recita, vel circularis, e ex hisce mista tum supersti claus vel plana, vel sphaerica,υelmista tum etiam solida veth is vel illius formae iuxta corporum diuersitatem appella/ipors. atque
160쪽
atque talis est solidi pes, de quo Auror in praesentia loquitur.
f quatuor aquae uncias fere Iunciam hic non pro geometrica
illa mensura suscipienda est, quam iribus constare igitis se se
rius diximus se pro duodecima ipsi us asiis iue librae parte.qVoniam autem quilibet humoris libra , digitis constat,non in me rito quatuor fere unctas qu e si cui ait Autor digiti fabent cum enim quatuor uncia, ni tertia obrae pars libra vero , -- digitis con et, dubioproculdigiti ies tertiapars unius quintae digeti partis uncias quatuor continet quare digiti fere quatho uncias habent,ut Auior inquit. italicarum cum talorum Grae a libris graecorum iuxta quantitatem discrepent, non immerito unciae quoque diuersae sunt quo-njaem autem italica libra es digitorum , , idcirco unciarum, ac librarum italicarum Antor dixit. Ah bora est Autore Ludeo mensura congios quidem ocZo sex- arros vero continens sextarius enim es sexta congi' pars h cautem Amphoram Iutorpro vase sicilli libras Io italicas humoris, uepedem num oti tam recipientes cipere videtur. ME Imnus, 'me ura capies quinos motos secundum sic Lim me uram,vel nos sicundum Atticam aut Romanam Iese
deo bro quinto G H.SIn puciores mensuras h c intelligere debemus mod j paries se
res bo minores, ex Amus modius componiIur,ta in quas resolui-
qude non rationibus Arithmetuis sen nrur. Propositio Nona. cibi is montium aqua superab ululans, violenti iri cliditur: siccitati-