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Ies trian gles, dans es queis cettes base est de compose par desdroites menee du potnt o totis se sommetS. Soli ait uia triangle , pyant poli base a somme deseotes adcb, qui soli gal a a somme de triangle A SAE. Sur e triangle I sol fuit une yramide L de meme hauteurque a yramide don te pie de a auteu sol sur e sommet de a base. I decoule in mediate ment u . 3'. quela face de a Pyramide , opposse a sa aute ur, est plus petite que a somme de faces de a Pyramide qui Ont potirbases es inoles a Sc . Soli ait u triangle vr, 3 ant our a se a somme desbases de triangles A, B, C, ou egal a leur somnie. Sur e triangle in soli fait une Pyramide M de me- me hauteur que a Pyramide don te pie de hi au- teu sol au sonam et de a base La face de la yramidem, opposse a sa auteur, sera plus petite que a sonam de faces,aussi Opposees a laiauteur, de Pyramides qui ont Our bases
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se trianglos plus forte' aison plus petite quela sonam des trois faces de a b ramide qui ont ourbases te cote a, b, c.
Soli ait de meme u triangle , gal a a somme destrian gles ayant poli base a sonam de leur bases Sur e triangle n soli a Pyramide N de meme hauteurque a yramide dans laquelle te pie de la auleur soliau sommet de a base La face oppose a la hau teli de a Pyramide N sera plus petite que a somme de faces oppo- sees a leur hauteu de Pyramides ayant our bases es trianglos beaucoia plus orce aison plus petiteque a sonam des quatre faces de a Pyramide P , qui nipoli bases se cotes a b c HSoit continue cette rediimion usqu au dernier triangi h de a base de la yramide ensorte que OUtecelle base sol reduite en ii seu triangle , sur eque sinit construit une Pyramide T de meme hautela que a Pyramide dans laquelle te pie de la auteu sol au sommet de a base. ar ne sui te de conclusion a fortiori, stites dans eliaque reduction, o de duira que a sursace de a face de la Pyramide T oppose a s hau leur, est plus petite questa som- me de faces de a Pyramide ou que si surface laterale. Les bases des eu Pyramides tant suppostes egales tant en surface isen contour: le triangle t est gal ala base de la yramide alias a base dii triangle t est
bas de a Pyramide . Don la auleur de a face de a Pyramide T opposie a la auleur de cette yramide est gale
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la auleur 'une des faces de a Pyramide P. Don aussi cette face de la Pyramide est gale a a furface laterale de a aqq. Mais cette face de a Pyramide T a te prou- e plus petite que a surface laterale de a Pyramide Ρ :don ausit a sur face laterale de a Pyramide est plus petite que a furface laterale de a Pyramide P.L'egalite u inegalite 'inclinaiso de ovies es saces d)une yramide au pla de si base est doncm propriete caraeteristique, 'apres laquelle on e ut juge si cette Pyramide jouit ou neci ouit a de a propriete dii Minimum de surface,
relativement a tout autre Pyramide, doni a base est gale ala sienne, tant en sur face qu'en contour L possibilite de cette egalite suppos I reunion de ces eu proprietes quant ala bas , qu elle sol circonscriptibi a n cercle, quant ala Ρyramide elle meme , que te pie de la auleur coincideave te centre de ce cercle.
En particulier; un cone roit a ne sursace plus petite qu'un cone oblique de meme bas de meme hauteur. f. a.
Remarque 1 q. 'ai suppos dans I f precedent, quedans chaque reduction 'une partie 'une Pyramide oblique propo se , en une Pyramide triangulaire , de a maniere donii est developpe dans e , on olivoli tirer ne conclusiona fortiori fur a petitesse de la face de cette derniere 'ramide oppose a s hauteur. Cette conclusio devient ne conclusio simple, Orsque a hautela de a parti de a basere duite en ii se ut triangle doni a base est gale ali centre de ceti partie se troiive gale a Ia auteti dii triangle sui-vant de a base Cette differen ce ne change rien dans la conclusion finale Dailleur On e ut tot ours 'eviter, en uix ant a dans
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dans a redultio de trian gles de a base 'ord re de gran- deur de leurs aute Urs, a commencer par a plus petite, fini par a plus grande, reciproque ment. Remarque aqq. La hau te ur 'un triangle doni I baseest gale a a somme de bases 'un nombre uelconque de trian gles pro posses doni a furface est gale a a somnie de leur fur faces, est a sonam de to utes es quatrie me prΟ- portionia elles a la sonam de leur bases , a la baseis a laliauteti de hac un 'eu X. Remarque a m . a sursace laterale d'une Pyramide droite de hau teu donnee, depen seu lenient dii conto ur de a base de a aute ur 'une de a faces Partant outes le Pyramides roites de meme aute ur, doni es bases soni gales,
tant en sursace Fen conto ur, on ausi des fur faces laterales egale S. En particulier, es ursaces ne dependent ni de la figure de a base, ni dii nona bre de se cotes. O le nombre de figures gales , tant en sur face u en conto uro circonscriptibles a n cercle , est illimite, tant que 'une de ces figures 'est pas u cercle: don aussi, te nona bre de Pyramides de figures differentes, jouissant de a propriete duminimum de sursace est illimite Cependant on ne auroit enconclure que ce st et donne lieu a ne infinite de Minima egau enlr'eu X, uisque outes ces Pyramides ne different en-tr'elles que par es differentes transpositions 'un Minimum
unique, ins qu)il est evident par te procede developpe ansle . precedent. Remarque I suit en particulier u . Iam que, Iorsque a base 'une yramide est ne figure reguliere, e te Pyramide a cla plus petite suri ac laterale, lor qu elle est droite
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men ducis. 2- ' comm ii suit. 1 Cas. Que a base sinit ne figure reguliere 'unnombre air de cotes. La omine de sursu ces de deii faces, de crites fur de uxcotes oppos es, est proportionia elle a a somni des aute ur deces eu faces Mais ces eu hau te ur soni te deii cotes 'un triangle doni a aute ur est donnee, savol la hau-teu de a Pyramide, dolat a b is est austi donnee, a voiria distanc de ces detix cotes , oum diametre u cercle in- scri st a base Donc, a sonam de ces eu hau te urs est a plus petite, orsqtfelles sint gales don ausit, a somme de deu faces opposees quelconques 'une Pyramide a base reguliere 'un nombre air de ores, est a plus petite, orsque ces eu faces orat des aute urg egales. Dono a fur facetotale de a Pyramide est a plus petite, orsque toti te les face on des hautevrs gales, partant, orsque a Pyramide est droite. on de montre de meme que, orsque a base 'une Pyramide a uia centre de figure , te pie deis hau teli dolico incider Vec e centre, poli que a fur face soli a plus petite. Et cela 'applique en particulier aux Pyramides qui nipou base in parallelogram me.
et q. Cas. Quem base soli ne figure reguliere 'un
ue a sursace 'une des faces reste a meme partant, que a distance dii pie de la auleur a n des cotes de
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I base reste a meme Ce pie sera situ sur ne droite donne de position parallele a ce cote Il est tres ais de mon-trer, que a sonam de deu triangle , yant e pie potirsonam et, poti bases eu cotes quelconques galementeloignes dii premier de partis 'autre de ui est tot our lamenae. Don 1 somme de hau leur de ces eu triangles est ausi donne c. Mais a somnae de ces eu hauteur petitetre pri se potir a base 'un triangle yant poli hauteu lalia uteu donne de a Pyramide donicies cotes seroti leghauleur de faces de crites fur es de ii cotes de a base. Don la sonam de hau te ur de ces eu faces est a plus petite, orsque ce hau te ur soni gales. Don ausit, a som- me de ces eu faces qui est proportion elle a a sonam deces aut eurs est, plus petite, orsqu'elles sontigales. Donc,
une face restant a meme la omine de to utes es faces restantes est a plus petite, orsque deii faces galement eloigne es de la I on des aute urs gales; 'est-a-dire torsque te pie de la auteti est galement eloigne de deu cotes queiconia ques, situ es a ne meme distanc de a base de cette 1 face; c est-a-dire torsque e pie est sur la droite perpendiculaire a ce co-
te passant par son milieu, ou sur a roite qui oin te milieu de ce cote ave te ominet Oppos de a figure. asetant, our que a furface totale soli a plus petite, te pie deIa aute ur doli se troiive sur hac uiae de droites, qui Oignent les milieu de hac uia de cotes de a basi ave te son me oppos partant ii centre de ceti base. On monti e de meme que , Orsque a base 'une yramide de hauteu donne a uia axe de figures te pie de ah auteti doli tre situ sur et axe poli que a surface de a Pyramide sol la tu petite.
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De outes e Pyramides roites de meme auteti donila base est doniae de grandeur don Ie Ombre de cotes de a base est donne, celle qui a poti base ne figure reguliere, a la plus petit furface. La demonstration est tres sensiblement cla meme quecelle qui est contenue dans e f. q. En effet. Solent eu Pyramides droites de meme auteur, doni es bases soni gales Won des nombres egau de cotes. Que a base de la 1 Ρyramide sol reguliere, Qque a base de la ag ne te sol pas. Partant f. 2Α, P.);le contour de a base de la est plus petit que e contourde a base de a aqq; don au contraire, te ab on dia cercle inscrit ama 1 base est plus grand que eoayon cercle inscrit a la β' Solent e rayons X et X solent designes par C. B les contour de deii bases Soli' la auleur commune des eu Pyramides; Tab. III. seront les hauteur de faces .les ursaces laterales de es Fig 3. Pyramides seron enlr'elles comm LX, C. Bis C. B .
Or a sursace aterale 'une yramide droite a base reguliere est plus petite que a furface laterale 'une yramide droite abas irreguliere de meme auteur, de meme capacite dumenae nombre de faces.
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f. s. De deii Pyramides droites de meme hau teu a bases regulieres gale S, celle doni te nona bre des faces est leplus grand a a plus petite surface. La demonstration est a meme que celle duri precedent, en partant di a dii f. 24.
1'. De outes le Pyramides doni es bases soni gales tant en sur face u en conto ur donicies ursaces laterales soni gales, celle qui est droite a a plus grande hau te ur usolidite. 2'. De oute les yramides roites, doni es bases soni gales, doni es ursaces laterales sint gales, doni lenombre des faces est e meme celle doni a base est reguliere, a la plus grande hauteur u solidite. 4'. De
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a'. De deii Pyramides roite a bases regulieres gales, dontra sur face laterale est a meme celle doni la basea e plus grand Ombre de cotes, a la tu grande hau te uro solidite. q. Un cone droit a ne aute ur u capacite plus grande qu'auculae Pyramide doni a base est gale a la sienne doni a fur face laterale est e gale acla sursace Ourbela cono.
les tant en sur face ii 'en conto ur. Que a I ' sol droite cla Α' oblique, que leur sui faces laterales solent gales. Lahaia teur de la I est plus grande que a hau te ur de la aqq. Soit ne Pyramide droite de meme bas que 1 Ρyramide V, 3 de meme haut eur que a Pyramide Partantia sur fice laterale de V est plus petite que a sur face laterale de f. a. ou supp.). Mais es contour de bases de Pyramides roites sint gauX. Dorico hau leurd uno face de la yramide V est plus petite que a hau leurd 'une face de Ia yramide ; don ausii l hau tela de a sex amidei iv Ρ est plus petite que lainuteu de la Pyramidei. Je passe a a determination de De spe ce 'un cone roit
d une Pyramide droite doni a base est donnee 'e spe ce , po Ur Ue, a capacite tant a menae, a sursace totale soli lapius petite, reciproquement.
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f. I 8. Lemme Sol un cone roti Q it ne Ρyramide droite circonstri te a ce cone. I a sui face, sol totale sol co urbe ducone roti est a la furface sol totale soli laterale de la yramide, comine a solidite du cone est a la solidite de a Pyramide. De mons Les ursaces de bases du coneis de a Pyramide sint enlr'elles comine leur conto urS. Le coe d cone est gal a la hau te ur 'une des faces de la yramide don caussi, a surface courbe dii coneis a sursace laterale de a Pyramide son enlr'elles comme e conto ur de leur bases. En sin e cone S a Pyramide 3 an meme hau te ur, iis sont
ilernieres. Don , es solidites dii coneis de a Pyramide leur sursaces totales, leur sursaces courbe, laterale, soni enlr'elles dans uia meme appori, elui des conto ur de bases. f. 19. Corollaire Solent de ux Ρyramides roites, a bases sem-blabies, circonscrites in des cones rotis de meme haut eur: essursaces les solidites de ces deu Pyramides soni in tr elles comine es sur faces les solidites de ce deu cones.
De uous es cones rotis de meme capacite, elui donile cote est triple dii rayon de a base, a a plus petite surfice totale Et recipro quem ent, e cone a a plus grande olidite ave la meme sursace totale.