Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

252쪽

Nunc etiam angulos inter se coaequemus faciamusque

Occurrentes erunt: primo

253쪽

f. Inuentis igitur Valoribus litterarum Q et R, aialor integralis quem quaerimus pro casu erit

Sin autem Integrale quaeratur a termino Vsque ad x eiu Valor duplo maior euadet.

254쪽

OBSERVATIONES

in integrationem traditam.

I. Primum hic obseruo terminum medium in numeratore exhibitum nullo modo integrationem turbare, quoniam, si solus adesset, integratio nulla laboraret dissicultate tum enim is I-a reducitur ad hanc som

quae posito abit in hanc:

sin. cos. an sin. θdumis in cos. praebet illam ipsam partem hinc oriundam in sorma supra inuenta, quamobrem superstuum ore hunc terminum in calculo retinere 1 unde hanc sormam integralem

Tum Vero etiam inuenimus casu a alorem huius formulae esse m a P. II secundo loco probe notari oportet, exponentempnecessiario minorem esse debere quam eXponentem n quia alioquin fractio ore spuria, et variabilis x in numeratore tot vel plures dimensiones esset habitura quam in denominatore. Quoties autem hoc euenit, integrali praeter partes, quas Per reso lutio

255쪽

lutionem in fractiones partiales sumus nacti, quantita quaedam integra adiici debet, id quod in nostra soliuione non est factum, quamobrem tale casus hinc prorsus Xcludi conuenit. Ceterum quolibet casu has partes integras facile erit adiicere ad partes quas nobis nostra methodus suppeditabit. III. Ex ipsa solutione, quam dedimus, perspicuum est exponentem p nece Isario integrum statui debere, ibi alias operatione ibi exhibitae locum habere non possent Vnde eo magis mirum Videbitur, quod conclusiones inuendae subsistere queant, etiamsi iste exponun . fuerit numerus fractu quicunque, dummodo minor quam n , propterea quod hos casus semper ad exponentes integros reducere licet. Ad hoc ostendendum ponamus esse Ii AE atque forma nostra posito eth, redu- Θ a Iz in q

quae Xpresso cum superiore prorsus congruit. Atque hinc intelligitur, quominus etiam exponentio valores irrationales tribuantur, dumne superent exponentem n semper hoc euenire debere. IV. Hic iam quaestio oritur maXimi momenti, utrum etiam exponenti dare liceat valores imaginarios nec negHoc autem amrmandum videtur, quandoquidem imaginaria certe non sint maiora quam n unde concludimus, dummodo Valor

Ulixus p ita capiatur imaginarius, ut ipsa formula differentialis a mam

256쪽

maneat realis, tum etiam conclusiones nostra Veritati consentaneas esse mansuraS. Hoc autem euenit, si statuamus p qig 1; tum enim, cum in genere sit φ e cos. p, quia

nostro casu est v sub ipsa formula integralis erit xx et cos. 4,

Nunc igitur videamus quam nam sormam nostrum integrale casu sit recepturum, et quoniam sinus angulorum ima ginariorum sunt etiam imaginarii, quandoquidem ἡ- Ἀ-φέ- - sin p

Hinc igitur formemus sequens Theorema notatu dignissimum: Quodsi is formula integralis: Θ, cos quis r dx

257쪽

Hoc theorema Vtique eo maiorem attentionem meretur quod nulla ia patet, eius Veritatem directe demonstrandi. V. Revertamur autem ad formam integralem primo eXpositam, et quoniam numerator duabus constat partibus pet Vnde summa integralium pro x IIIo inuenta est ΣΞΡ, at pro cam duplo maior III et , hic maXime notatu dignum occurrit, quod pro termino Vtraque par numeratori eundem producat alorem I P. Semper enim erit, integrale a VIII O ad x III O Xtendendo,

Ad hoc ostendendum ponamus pro posteriore formula a III , eaque induet hanc sormam: da et p et py of Het 'quae cum sit priori formae prorsus similis, solo signo - excepto, eius alor a termino Sque ad zm , negative sumtus, primae formulae erit aequalis. Cum autem sit et IIII, isti termini integralis erunt ab v Trio Vsque ad ATIO, qui ergo in uertantur, etiam signum integralis erit mutandum, sicque ipsi priori formulae aequale euadet quare cum ambae sormulae coniunctae summam habeant triusque seorsim sumtae alor erit Ξ ΣΡ, Vnde deducitur sequens theorema notatu pariter dignissimum:

258쪽

Euidens autem est hanc aequalitatem pro casu et a neut, quam locum habere posse. VI. Quoniam nostra mormula differentiali tantum occurrit terminuM a cos. cuius alor idem manet, etiamsi pro e sumeremus et i r maxime hic mirum Videri debet, quod tum alor integralis maxime diuersus sit proditurus, sci- r in t si r)licet Vnde merito quaeritur, quisnam

horum valorum veritati sit conformis, ad quod certe nihil aliud responderi potest, nisi quod omnes Veritati aeque consentanei sint censendi, id quod eo minus mirum videri debet, quod omnes huiusmodi formulae integrales reuera sunt functiones multiformes, atque adeo infiniti formes , id quod ex hoc exemplo simplicissimo: intelligi potest . Cum enim

eius integrale exhibeat arcum circuli cuius tangens est x, Die autem arcus innumerabiles dentur, quorum eadem sit tangen α x, necesse est, ut omnes aeque i hac forma integrali contineantur. Quin etiam in nostro valore inuento P loco rquoque scribere licet π - et i r eiusque Valor nihilominus cum Veritate consistere poterit. Verum in huiusmodi integrationibus perpetuo valores minimi desiderari solent, hocque modo omnis dissicultas e medio est sublata.

VII. Deinde in Analysi supra adhibita supposuimus

omnes faetores denominatoris inter se esse inaequales , id quod utique semper euenit, nisi sit cos quippe quibus casibus denominator quadratum inuoluit fit enim is X f ex quo patet omnes factores bis occurrere debere. Hoc incommodum etiam innuitur per ipsam nostram formulam , quae

259쪽

quae casu valorem indicat in sinitum. Verum posito r singulare phaen orne non se olfert, dum formulae pro inuentae tam numerator quam denominator evanescunt, atque adeo fractio determinatum nancisci cur alorem Ponamus enim - . Xistente tu infinite paruo eritque n. in si πω; at i, in numeratores. habebimus in t

determinatus, nullum plane dubium superesse potest, qui cum veritate conspiret, Unde sequens nascitur Theorema maxime memorabile

Theorema.

si eius integrale a termino Usque ad x ET V extendatur, eius Calor semper erit --, sin autem sqlie ad terminum

Demonstratio huius Theorematis directa.

260쪽

is m

lilae per ' multiplicata hoc modo repraesentetur :

ubi iam Q ita ccipi debet, illa fra tio ad integrum reuocetur Facile autem patet, hoc seri statuendo

ita ut nunc habeamus x ta H R. Cum igitur sit

hincque colligitur . t. Xy' - - quocirca formula integrali proposita reducta est ad hanc formam

m 1 --Xy quod integrale ita est sumendum, ut evanescat Osit O. Nunc igitur statuamus mT, ac prior pars absoluta evanescit, formulae autem integralis valor, per ea quae dudum sunt inuenta,

in ea persecto congruit.