Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

261쪽

valore autem iam ante Vidimus ore

Theorema.

a termino CSque extendatur, cis semper aequabitur Irs huic formulae Cuius autem Theorematis de-n )monstratio ex principiis iam cognitis vix elici posse videtur. IX. raeterea etiam perspicuum est, methodum, qua si sumus ad nostram formulam integrandam , subsistere non posse, nisi terminus medius denominatoris binario sit minor, quam ob caussam eum hac forma et cos 4 Xprellimus. Quamobrem hinc oritur quaestio maximi momenti virum nostrae conclusione etiamnunc valeant, si terminus ille medius binario maior acciperetur, iue si angulus e foret imaginarius, necne 8 Verum etiam hoc casu nullum dubium superesse potest, qui formula nostra finalis etiamnunc veritati consentanea sit futura. Ante omnia autem hic est obseruandum, illi termino medio et of valorem negativum tribui conuenire, quia alioquin ipse denominator in nihilum abiret, dum quantitas nostra variabilis x a termino O Vsque ad I augetur. Hanc ob rem statuamus angulum - , et alor noster integralis erit

262쪽

n Q sin. Ζπ Statuamus autem hic breuitatis gratia ut sit '' I, atque nostra formula integrali sequentem induet sormam:

id quod tanquam Theorema omni attentione dignum spectari potest ubi per se intelligitur, Valorem eiusdem integralis, Vsque eXtensum, Ore duplo maiorem. quod iam in hac sorma etiam exponenti ValO- rem imaginarium tribuamus, pariter nullo modo dubitari poterit

263쪽

ribus substitutis sequens nanciscimur

Theorema.

XI. Deinde iam pridem obseruaui, omnia huiusmodi integralia satis commode per series infinitas exprimi posse. Cum enim ista fracilio:

intetrale istud: termino To

a tensa

264쪽

tens 1 semper aequabitur huic serie infinitae geminatae

quae binis homologis coniungendis contrahitur in hanc seriem:

XII. Hinc iam manifesto pro casu, quo ponitur ' Tq3 - 1, ista series infinita exoritur:

quae ergo eXprimit alorem huius formulae integralis: Θ, cos ii,

scilicet ab ad x eYtensae, ita ut istius seriei summa finito modo expressa sit etiam

sin etiam facile intelligitur hic quoque angulum imaginarium inccipi tota Vidimus inim posito fore

ries illa satis concinnam formam accipiet. XII.

265쪽

XII. Denique operationes, quibus in integratione Ostrae sormula sumus si consistere nequeunt, nisi exponen nfuerit numerus,integer Interim tamen valor integralis, quem inuenimus pro casu vel x a vel x III oci Veritati conformis deprehenditur, non olum quando proo numerus fractus quicunque sed etiam adeo imaginarius accipitur, quorum priuS facile ostenditur Sit enim a ponatur QTTI , at ile Ob orietur haec sorma inte riuis exponentibus inte-

tem nulli amplius iubio uelinquitur, qui Veritas laees subs, 1tat, etiamsi in tuerita numerus cimaginarius Tonamus igitur I; et formula integralis reducetur ad hanc sormam: is apse X p

sin D m in videbitur istum valorem semper esse imaginarium, licet ipsa formula differentialis, dum Variabilis es a terr in ociusque ad terminum ni maneat realiS id quod merito maxime videtur Paradoxum. Interim tamen non desunt casus, quibus valor integralis Ormulae differentialis reali manifesto euadit imaginarius, id quod in ista formula simplicior ostendi e

266쪽

sum ciet, quae lique, dum ad I augetur, constanter manet realis Ad hanc ergo Ormulam integrandam statuamus lx et, ubi notetur, dum in O Vsque ad 1 progreditur, tum quantitatem ab G usque ad O decrescere. Nunc igitur formula nostra

quod integrale manifesto evanescit pro termino et Tm, dum autem ab hoc termino quantitas et in infinitum Vsque augetur, infinities tangens huius anguli et negativa, eiusque logarithmus propterea imaginarius, Vnde non amplius mirabimur, quod formulae differentialis realis integrale euadere possit certi casibus imaginarium. XΙΙΙ. . Hoc igitur modo eui diram est sormulae nostrae dis

I assignatur a termino m usque ad x semper' cum Veritate consistere, quicunque valores ternis litteris et ρ, tribuantur, siue integri, siue fracti, siue etiam imaginarii. Interim tamen dantur casus iam initio indicati, quibus isti alores integrale a Veritate raberrabunt, ' quippe quod semper si Venire debet, quoties exponens p maior est exponente i , quam ob caussam sedulo excludere debemus omnes casus, quibu. Ormula euadit realis et positiva viis autem eXcepti Variae formulae, ad quas hic sumus perducti, ita sunt comparatae, Ut maXima attentione dignae videantur, simulque non contemnenda incrementa cientiae analyticae promittant.

267쪽

DE SUMMO AES V

Auctore

Conuent exhib. d. ac Mart. 6.l uuanta incrementa Calculo maginariorum per Universam Analysin accepta sint reserenda, nunc quidem amplius nemo dubitabit. Nuper equidem conatus sum integrationem Ormularum rationalium a Calculo Imaginariorum penitus liberare; eruntamen hoc negotium in casibus, ubi denominator plures habet factores inter se aequales, minus feliciter successit. Quinetiam non ita pridem in tales formulas integrales incidi, quae quomodo sine subsidio Imaginariorum tractari queant, nullo adhuc modo perspicio. Cum enim ' ostendissem, huius formulae r Θ, ω ci pintegralis: l . , alorem a termino x od , cos. θ - sin L Vsque ad x I extensum esse , denotante r periphensin. sua. Te

riam circuli cuius diameter In I. inde facile deducitur haec conclusio Maxime memorabilis quod huius dormulae . integralis

' Vid. Dissertationem praecedentem pag. o.

Nova Acta Acad. IN M. T. III. D

268쪽

gralis

vbi scilicet quantitas p tanquam Variabilis spectatur, et integrale ita capitur, ut evanescat Osit Quodsi ergo nunc faciamus integrari oportet huiusmodi formulam differentialem Quemadmodiun igitur ista inte ratio auxilio Ιmaginariorum tractari debeat, hic sum ostensurus.

sin ipf. . Ante omnia hanc Ormulam ad quantitates algebraicas ordinarias reuocari conuenit, id quod commodiusquam percimaginaria praestari nequit. Hunc in finem statuamus breuitatis gratia , cos. φ -- H- sin o et III cos o - 1 sin Q ita ut si I tum ero erit

f. i. His mutem Tormulis constitutis, ex elementis Calculi magiliariorum constat esse

269쪽

unde ergo colligitur H sin λ , ideoque

quocirca, si integrale quaesitum littera S designemus, sit '' ficta substitutione nunc habebimus

uia autem est 4 t C ' formula proposita ad speciem consuetam solam Variabilem inuoluentem, est rediusta, cum sit

cuius formulae inde, integralis ciam Iamin euoluta reperitur. Hic autem probe meminisJe pollet, ipsam quantitatem t non esse realem, cum sit cos. O sin. p. f. a. anifestum hic est ambos numeros meta semis per tanquam integros spectari posse, cum iis ratio indicetur, quam ambo anguli et inter se tenent. Hic igitur ante omnia dispiciendum erit, Vtrum Xponens m maior minorue sit eXponente n quandoquidem notum est, si fuerit m n, fractionem nostram es e spuriam, atque parte integra ante ex ea elici debere quam integratio suscipiatur. Hos ergo casus hic primum aeuolui conueniet. Sit igitur primo, n-Hλ,

ita tamen ut sit Un, ac facile patebit, fractionem

continere partem integram in t h, qua ab ista fractione sub- a lata

270쪽

lata remanet quae fractio non amplius est spu-

s in autem fuerit m an sue m an tum

-- , quae iam est genuina ob Kn At vero ex parte integra ducta in f, oritur integrando

cuius valom est 's hin qui per diuisus praebet partem integralis hinc natam α δε - Π λὶ p. f. s. Simili modo si fuerit et an ac ponatur m

an ' λ, fractio nostra erit quae continebit

partem integram ' . - hac autem ablata remanebit

adhuc fractio ------ν quae etiamnunc est spuria et

continet partem integram' --t qua ablata demum rema-