장음표시 사용
271쪽
et fractio nostra erit quae viatim continet
partem integram δ' ' -- ' hac mutem ablata rema-
ne adhuc ista fractio: quae laenuo continet
partem integram ι' ' h b- qua subtracta tandem rema-
nostra fractio se primo continebit partem integram ' ' - - ' 'λ, qua ablata remanet adhuc ista fractio:
----- quae per antecedentia continet adhuc duas
ablatis remanet tandem ista fractio genuina:
s. 8. Ex his casibus iam satis perspicitur, quomodo, si eXponens adhuc maior accipiatur, partes integrae in integrale ingredientes se sint habitura , quas idcirco hic coniunctim aspectui Xponamu S.I. Si III n--λ erit f es ludet:
272쪽
S. . His igitur cassibus, quibus hi felicissimo cum successu Xpeditis, totum negotium reducitur ad integrationem formulae via , pro casibus quibus est Kn quandoquidem ex modo allatis manifestum est, quomodo illi casus ad hos facillime reducuntur. Tum igitur ope nostrae substitutionis cos. p l. - sin. I peruenitur ad hanc formulam: in t n cuius ergo integrationem data opera instituamus.
273쪽
f. O. Hic ante omnia cuncti factores trinomiales nostri denominatoris ' - indagari debebunt, quorum singulorum forma ita exhiberi potest cos. - ubi angu- Ium i ita definiri oportet, ut posito Of. 6 ---t Osimul ipse denominator evanescat tum autem Xinde colligitur cos. Σ - sin ae, unde statim patet foret cos. II 6 - in m et cos. 4 - sin mae quamobrem noster denominatori reducetur in hanc formam: H in mae, qui ergo valor nihilo debet aequari. f. 11. Cum igitur debeat esse in m omnes D
e in genere L f, denotante i numerum integrum quemcunque Ilinc igitur pr omnibus factoribus nostri denominatoris Viden tu capi debere orum valorum; verum manifestum est, quot cunque tale soranulae ' et cos. in se inuicem Ultiplicentur, Vltimum terminum nunquam prodire possie ι '. At Ver hic memini j oportet, quae circa huiusmodi integra tiones in genere suci praecepta scilicet talem factorem trinomia lem it rat cos , -- I, casu quo duram, non factorem quadratum ι- r, sed tantum simplicem innui, quod idem quoque euenit si tam π, tum enim quoque non factor quadratus τ' ' I, sed tantum simple est sumendus, quare cum hi ipsi casu inter valores ipsius tu occurrant, mecem est Ut numerus
274쪽
horum actorum nitate augeatur. Hic autem commode usu venit , ut isti casus X aloribus et oriundi medio tollantur.
Tum autem manifestum est in hac stactione, ad quam sumus deducti, hoc casu tam numeratorem quam denominatorem in nihilum rabire undes iuxta regulam notissimam eorum loco sua scribamus differentialia atque ista fractio induet hanc formam:
275쪽
Quia sntem est in m zzz O semper erit et eos min: I, vel cos neu - , proVti, statuendo in genere in numerusi fuerit vel par, Vel impar, Ia Inuenta igitur thac fractione: - ' ea
in multiplicetur et integretur, sicque ad istam pertingimus formulam integralem: sin tu sin m. t xn cos. a. cos. ω - ι cuius quidem integrato nulla amplius laborat difficultate perduceret enim ad arcum circuli cuius tangens h N verum quia ipsa quantitas i iam est imaginaria, hinc parum lucraremur, quoniam neces sore istum arcum imaginarium ad quantitate reales reducere , siquidem constat, arcus imaginarios ad logarithmo reales reduci. f. 1 . Vt igitur hunc aborem vitemus, loco nostrae variabilis i ipsum angulum e rursus in calculum reuocemus et quia iam vidimus QM-I, tum vero H um et cos o , hisce aloribus substitutis formula integranda erit si Jη φ . --: quae formula per diuisa prae bet pariem ipsius integralis quaesti , ita ut sit
so uidem angulo, successu omnes suos Valores tribuamus; ibi per se manifestum est, in hac integratione angulum c esse constantem solumque t variabilam. f. s. Ex coessiciente huius formulae statim patet, quod iam supra innuimus, ex valoribus ipsius ae primo et e tremo scilicet et si Tor, partes integrali sponte e T. e
276쪽
di tolli, ita ut nunc sufficiat loco successive substitui hos
valores et ..... ''V. Vbi recordandum, dum
statuitur quoties i fuerit numeru par sore cos. ν -- 1; sin autem sit et numerus impar, tum fore cos. - - . Quibus obseruatis totum negotium reductum est ad integrati
ne huius formulae satis memorabilis Q . ra
s. 16. Facile quidem foret istam sormulam ad quantitates reales consueta reuocare interim tamen sequenti modo haec integratio facilius et elegantius absolui potest. Onamus enim breuitatis arati is et secundum cal-
culum angulorum iam satis Vulgatum nouimus esse
ubi statim patet sumi debere Imri, tum enim summa harum
fractionum Prodit L E et siti. Vndς - Ρ-Jrita ' inς autem erit
277쪽
f. r. Inuento iam hoc integrali, in quo cardo totius inuestigationis versabatur, quilibet factori denominatoris in v lorem integralem quaesitum S ductus suppeditat istam partem: sin. sin.
n os siti. 'r' ubi tantum opus est ut loco anguli, successive omnes eius alores debiti substituantur, tum enim aggregarum mnulm harum , formularum praebebit Verum alorem integralis Si MN, M. f. 18. Quo autem totum integrale succinctius repraesentare valeamus, ponamus breuitari gratia at, ita vivatores ipsius ta futuri sint et , α σα, . . . . a X - Ελα;
tum vero si l/, atque sormulae integralis '
donec horum membrorum numerus si n-T. Haec autem sommula tantum valet quando Mnes si enim fuerit m n. iam ante ostendimus, cuiusmodi termini insuper de boant adiungi. f. s. Hic obseruandum est haec integralia ita erasumta, Ut evanescant posito pras, quoniam hoc usu omnes a logγ
278쪽
Iogarithmi ad unitatem reseruntur. Deinde etiam euidens est, angulus V augeatur usque ad , tum integrale iam in ii
finitum Xcrescere Unde patet hunc angulum non vltra istum terminum augeri conuenire. Verum etiam casus initio memoratus, qui ad hanc formulam integralem ducit, non postulat ut iste angulus Vltra hunc terminum augeatur, quamobrem operae pretium erit integrationem inuentam ad hunc ipsum casum accommodare.
Valorem sius formulae integralis:
f. et O. Quoniam istum valorem quaesitum reduxi ad hanc formulam integralem: primum tenen
dum est, eum inite exprimi non potie, nisi angulus Dadis habeat rationem rationalem. onamus ergo hanc rationem Iee: r TFL: ν, ita V l L et V sint numeri integri quamobrem pro formula ante tractata statuamus nde se angulus et Ira. Ponamus hic breuitati gratia Z r, ut habeamus et alor, quem quaerimUS, O p nr, erit Id quare cum hinc fiat l) - , formula su-
pra tractata Mim abibit in hanc: ' β'
sit valorem ipsius S pro hoc casu euolue e.
279쪽
quae parte ductae in praebent ipsum alorem quem nostrum problema postulat, qui ergo erit
quae membra O Sque continuari debent, donec eorUm numerus at Vbi pro nostro problemate tantum notetur esse existente m siue '- , ita
Vt . sit numerus integer. Cum igitur in formula proposita exponens p nece Isario minor sit quam n eri r nitate minor, ideoque omnes istae sormulae finitae. f. et et Forma igitur generalis omnium partium, e quibus hoc integrale constat est qum' es ubi signum su-
perius F Valet, quoties i fuerit numerus impar, inferius Vero