Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

11쪽

Hiieferest i qua tamen versone opportunior erit hae Latina Expostio , quam iob hie imprimendam permittere restat; utpote quae plerisque Europae Geomestris magis percipi posis, quam Italica, De 'Hispaniea ,seu euis tr alterius regionis

i io te peculiari rescripto.

12쪽

CONICARU

DEFINITIONES PRI

Et fixum punctum A, extra. πω t planum circuli BED acceptum , transiens recta linea PBAF , utrinque indefinite producta, si per ejusdem circuli peripheriam circumducatur, illam perpetubradens, usque dum in eundem situm 1edeat , a quo moveri coepit: Utraque superficies, ex hoc lineae motu , hinc inde a fixo punito A re

sultans, Conica nuncupatur.

II. Et solida ex his superficiebus, ad circulum BED , vel huic oppositum , e ri terminatis, com prehensa, Coni appellantur. III. Tam superficiei Conicae, quam ipsius Coui Vertex dicitur fixum illud punctum Λ. IU. Eiusdem autem Coni Bagis est ipse circulus BED, ad quem terminatur. V. Linea, quae verticem Coni Λ eum centro C suae basis circularis conjuogit, Axis est Coni. VI. Qui axis, si perpendicularis fuerit ad pla- Fig. I. num basis, Conus ille vocabitur. VII. Si verb fuerit axis ad planum basis obli- Fig. a. que inclinatus, Conus ille Scalenus dicetur.

13쪽

x- Patet hinc, utramque illam Conicam superis scient, βΛD, d AF, ad communem verticem Acontrapositas , in insiuitum extendi posse , prod Ra utcumque linea illa genitrice harum superficie

rum.

a. Sumto quolibet puncto H in conica superinficie , recta linea illud conjungens cum vertice Λ, in eadem conica superficie jacebit: congruet enim ςum recta LA, quae superficiem illam, sua circum volutione describens , per quodvis eius punctum ransit, adeoque in idem punctum H impingit. Inde & quaelibet recta AH , iungens verti cem coni Λ cum aliquo puncto H ejus superficiei Conicae, producta in peripheriam basis, ad aliquod ejus pupRum E pertinget 4. At si duo puncta H, I in eadem Conica superficie accepta fuerint, recta Bl,si per verticem Aaron transierit, intra conum cadet: nam iunctis ad verticem Λ ristis ΛΗ, ΑΙ,& ad balis peripheriam productis, cui incident ad puncta L, B, ntique iunis Sa EB intra circulum cadet prop. a. lib. III. Elem. ergo planum Trianguli ΑΒΕ intra Conum immergitur, quia secat ejus basim; itaque recta HI in hoc plano existens , cum jungat duo puncta laterum talis trianguli, intra Conum k ipsa manebit sua illa portione dictis punctis interjecta; quamquam ii ultra hinc inde producatur , utique extra Coni- eam superficiem se extendet. s. Si Conus quolibet plano per verticem A transeunte secetur, sectio Triangulum erit: nam utram ue ipsarum linearum ΑΒ, Α Ε, aut ΑΒ, AD, qua uni communes sectiones superficiei Conicae, ut planorum ΛBE , vel Λ BD ipsam secantium , semper congruit cum ipsa recta mobili ΛΒ, transeunte per eadem puncta B, E, D, dum omicam geno

14쪽

rat superficiem . Et communis sectio plani secantis cum plano basis, est pariter recta EB , vel BD, ergo ABE, aut ABD sunt triansula rectilinea.

I. Si de his quoque triangularibus conisectionibus , non de Curvis dumtaxat, eudum hic esset , oderanda forent Triangula, e plano per axem transeunte genita, ut A AD , AFE , quae semper invicem aqualia erunt in cono recto , ob aequales eorum bases, nempe diametros BD, FE circularis M. Drct aequalem altitudinem axis AC, perpendicula. ris plano , adeoque omnibus rectis per c transeuntibus : sive extra axem trajecto plano ad chordas EE , aut BL protense ex vertice A triangula ABE , a BL quae in eodem Cono recto In elia seminper erunt, ob latera omnia AB , AE , AL semper aqualia, quippe eorμm quadrata aquantur quadraro axis AC, θ' quadrato radii circularis CB , aut CE , vel CL ; sed in qualis magnitudinis , ob i quales bases BE, BL , qua cum aqualibus lateribus diu nM , anguloέ sibi ad vertieem trianguli vpsitos BAE, BAL inaequales efficiunt as. I.Elem. , quo rum snus recti EN . Lo pariter insquales erunt re ad communem basim AB relata triangula ABE, AB L i erunt ut eorum aisitudines inaequales EN,

per axem transeuntis rectus fuerit, aut acutus, 3 eliquorum triangulorum extra axem trajectorum anguli BAf, BAL subiηde minores flent, prout minori chordae ΕE , BL insistent : Ideoque omnium triangulorum maximum erit per axem transiens, D reliqua subinde miνora, prout magis ab axe recedeπt, minorem chordam pro basi habentia . Si verῖ anguintas verticalis per axem traducti trianuli obtusus

15쪽

fuerit, non erit hoc triangulum omnium maximum,

sed aliud ipso magus extra axem poterit determinari . Quadratum enim diametri BD, Oppositi angulo obto BAD, majus evir quadratis laterum AB,ADcia. II. Elem. , ergo aliqua chorda BL miuor diametro inveniri poterit , cujus quadratum aequale sit duobus quadratis laterum AB, O AL, ubi angulus FAL rectus evadet q8. I.Elem. , ideoque triangu Ium BAL extra Oxem majus erit altero per axem transeunte : accepto enim latere ΑΒ pro basi , eria trianguli BAL altitudo LA, qua aquatur AD , ω mmor es perpendiculari DM, qua esset altitudo aiarerius trianguli BAD per axem , nempe sinus remuonguli DAM, consequentis ad obtusum BAD: Et haematione triangulum BAL,cujus angulus rectus sit adverticem Coni, maius erit quolibet alio triangulo , sive per axem, sive extra 'sum transeunte , οἷ maximam omnium altitudinem . Quod si fiat extra axem triangulum BAE, cujus angulus in Λ fuerit oculus, aequalis DdM, consequenti ad illum obtusum trianguli per axem BAD , erit 'sum triangu- Inm RAE aquola BAD quia perpendicularis EN aequabitur alteri DM, c mst simus anguli aequalis, rom haec, quamΨlla. III. At s conus fuerit Scalenus, demi a ex veris ea Λ in planum basis perpendiculari Ast , traductoque plano per axem AC, O per Ast perpendieulam, quod ei iet triangulum per axem ABD, reis

Eium plano basis BED , patet, fore omnium Coni la-

rerum maximum AB, remotissmum a perpendiem D AO, O omnium minimum latus AD, eidem peris penddulari proximum'. aliorum autem laterum imiermediorum AF, AE, majus ese, quod es maximo propinquius , minus vero quod ab ipso remotius. Nam linearum ex puncto Myd per heriam circularem de Ziarum max/ma es QR per centrum iraucta , minima ver. vus portio OD: i is autem

16쪽

ΩΤ , stE maiores, ac minores sunt , prout maximae, aut minima propiores s7.2 8. IlI. Elem. : quare crimarum quadrata maxima, minima, ac majora, aut minora respectivi erunt: quemadmodum etiam duo quaelibet quadrata linearum QO , , a maxima st B,hinc inde aeque remotarum, adeoque inυice aquatium,aequalia erunt. Unde gulis addito quadrato perpendicularis AR, resultabit quadratum AB omnium mataimum, mAD omnium minimum', O AF, AE quadrata majora, aut minora, prout illi maximo propriora fuerint, aut remotiora : itemque AO, ΛΕ quadrata, attingentia terminos recta EHOad diametrum DB ordinatae , erunt aequalia . Patetigitur , majus omnibus Coni lateribi esse ΛΒ , ω minimum AD , ac reliqua majora , aut minora reis fultare, prout magis accesserint, aut receserint a

maximo, aut aequalia esse F aeauὸ dipent ab uso, uario, AE. Quibus aliisque similiter ad terminos alterius ordinatae ductis , efficitur Aquicrure trianguinium AOEr, catera vero Scalena semper re*ltabunt, vis forte contingat alicui habere basim uni ex lateri bus aequalem. IV. Si quis angulus verticalis triangali per axem in cono Scanno rectus fuerit omnes pariter anguli verticales recti strunt, adestque invicem aequaales . Nam semicirculus super diametro DB , in plano trianguli per axem descriptus , per serticem Atransiret , ob angulum rectum ibi a lateribus coma praebensum, adeoque axis AC semper esset aequalis radio basis CB : unde in quolibet alio triangulo EA per axem transeunte , semicirculus super Aiametro E F, in ejus trianguli plano descriptus , yer A transi ret , propter Ac aqualem radiis CF, CE, ideoque reactum a ulum late, a quoque Eri , F a continerent ri. III.Elem.) . Vertim si angulus B d D nouerus sit, vel obtusus , 1 eliqua per axem triangula inaequales

angulos adverticem A habebunt , nisi νοrum bases

17쪽

s S E c T. c o N I c. hinc inde aqualiter ad diametrum BD fuerint &elinata.

r. summae nihilominus quailratorum, ex late ribus euis is trianguli per axem , erunt semper aequales. Nam in quovis triangulo quagrata ἡ-rum latorum aquantur duplo qu=grati rectae a veritea ail dimissium basis ductae , tina eum duplo quadrati iesus semibasiis , ut in no fris Geometricis In situtionibus demonstravimus .ataque duo quadrata Ag, AD aequatur duplo quadrato axis Aci eum duplo quadrato radii ra : item duo quadrata AE, AFaquabuntur tapis quaisam ejusdem axis Ac . O pD quadrato radii CE , ipsi CE aqualis; ergo duo quadrata AE , AD AEquantur duobus quadratit AE, Ap.νI. mrum autem D;angulorum per axem, mia. γ n mum erit BAD rectum plano basis , transiens per. O ' perpendiculum.Θ' maximum erit EAF, cuius basis EFfit alteri diametro BD perpendicularis: aliorum autem PAL munitudo erit intermedia , it aut majora eυadant, quae maximo propiora fiant. Si enim super recta Cuo inter axem, perpendicuum , velut super diametro, circulus cista in plano basis coni, describatur , hic erit locus omnium per pendicularium , ex vertice A ad bases quorumlibet triangulorum per axem transeuntium, demisarum.

Nam Ere perpendicularis diametro DB , tanges circulum QSC in cem triangulum OF aquaria latera sabehit AE , AF ut num. q. ostensum es , ideoque Ac bifariam secans basim trianguli aequia eruris , et it ipsi per naicularis : ubi vero alia dia- merer PLyeat illum circulum in S, ducta ex veristico AI, erit ipsi PL pariter perpendicularis : quia juncta QS . erit quadratum 2C AEquale quadratis I , QS χ.III .st 4'. Elem.)t quare BC quaaratum, quod aequatur quadratis Aa, O ac s4 . I.Elem.),

erit aequale quadrans Aa,MS , Se: at quadratis

18쪽

tiam Ac aquatur quadratis AS, O SC, Meoque aningulus ASC rectus strix 48. I. Elem. . stina ergo rein Barum ex A ad peri-eriam circuli inc riotarum at da lateribur cori dictam M maxima erit Ac iminima duo θ' intermedia , mediocris magnitudinis , pro majori accessis ad maximam AC ereis sceniis ; ideo maximum eris relanulum OF , -- rus altitudo Ac, minimum RAD ι cujus nititudo Ast , intermedia Nerὼν magnitudinis ML , cujus altimis AS. VII. Triangula vero extra axem, licit tu cino recto , cuis1 axis aequalis, aut maior fit radis hoc uerim in quo verticalis anguluc trianguli per axem BAD ravius sit . -I acutus . minora Jemper ostense μή quovis triangulo per axem reasseeunter in cinota men Scaleno, me obtusussiesve rectaei, dis aeuineus iue angulias verticalis triaquil per axem BAD, aut EAF , vel PAL ; triangula ra-en extra axemisaberi possunt, tum quolibet illorum ruina a i tam quadam etiam maximo FAE majora, aut aqualia.

AEquicrure erit . eiusque perpendicularis eυarie rein

maximiam omnium per axem dc transeuntium.

19쪽

PROPOSITIO I.

. . conus ABD, aut illi ad verticem o positus, seste tur plano basi BED parallela , sectio FHG , aut f g n Circulus erit.

DUcatur axis AC, occurrens plano secanti in puncto L, 2 per axem idem conus secetur plano triangulari ABD, cujus & prioris plani secantis communis semo FG parallela erit diametro hasis BD 16.XI. Elem. J , ac sumto quolibet puncto H in perimetro sectionis, iuncta ad verticem ΑΗ, protrahatur ad peripheriam balis in Ε, ac jungantur EC , HL: nam sunt communes sectiones plani trianguli ACE cum illis parallelis planis BED , FHG , id ed similia erunt triangula ΛCE ,ΑLΗ: itemque similia CBA , LFΛ ἔ propterea erit

radius CE aequatur radio BC , ergo & LH aequatur ipsi FL. Et eodem modo ostendetur , quamlibet aliam rectam iungentem quodvis punctum peria, metri hujus sectionis cum puncto L, aequari eidem FL; ergo haec sectio circulus erit,cujus centrum L, quippe omnes reλe hinc ad perimetrum sectionis ductae, ostenduntur aequales. Quod erat,stc. COROLL. Hinc axis Coni AC transit per cenistra quaelibet L, omnium Circulorum, quibus aequi distanter basi Conus secatur ; idque etiam in alio

opposito Cono Λ es contingit. PROPOSITIO II.

Si Conus Seatenus ABED secetur plano per axemg.IO. transeunte, ad basim recto ABD , mox altero plano THM ad illud planum ABD recto iterum sece turper rectam SM, quae triangulum TAM G-ciat

20쪽

ela sinite ipsi AB D, sedsubcontrari 'situm, uenempe sit angulus AXM aequalis ADB , unde

alius A MK erit alteri ABD aequalis , ob annis Itim A utrique triangulo communem : haec quoaque sectio circulus erit.

Ucta ex quolibet puncto A perimetri hujus

seSionis recta HI, quae sit perpendicularis plano ABD, atque in communem planorum sectionem K M incidet 9. XI. Elem. , agatur per I re Eta FIG parallela diametro balis BD ; ac per ipsas FG, Hi ducatur planum FHG, quod erit paralle Ism plano basis transeunti per BD, A per ER huigPerpendicularem , quae erunt ipsis FG, HI parata telae sis.xl.Elem.): inare sectio FHG erit circuislus sProp.ρraced.), cujus centrum L in axe, ubi se cat ejus diametrum FG : 2 hilariam pariter secta ΚM in O, jungantur H L, HO , erit quadratum HL aequale quadrato alterius radii GL , idest rectangulo FIG cum quadrato LI s. H. Elem. t sed idem quadratum HL aequatur quadratis HI, 2 LI; ergo quadratum HI aequatur rectangulo FIG . Sefiob angulum ΑΚ M aro uale ADB, adeoque etiam angulo externo parallelarum MGI, 2 angulos adverticem I aequales KIF, GIM, similia sunt trian

4.M. Elem.)adeoque rectangulum FIG aequatur rectangulo ΚΙM I6. VI. Elem. ergo quadratum HI aequatur etiam rectangulo XIM: M addito quadrato Io, erunt quadrata HI, 36 IO, aequalia reis

Sangulo XIM cum quadrato IO ; idest quadratum GH aequabitur quadrato OM; est igitur recta OH aequalis OM; 2 de qualibet recta ex alio puncto p ximetri XHM ad idem punctum O ducta idem demonstrabitur ; ergo haec quoque sectio est circulus, cuius centrum O . Quod erat, Sec. COROLL. I. Hinc habetur, quod in circulo