Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

21쪽

quadratum perpendicularis duetie ad diametrum

ex quolibet puncto circumserentiae, aequatur rein

ahgulo ex partibus diametri ab ipsa divisis, nempe HI quadratum aequatur rectangulo F lG in cirriculo GH F: Et vici 1sim si in aliqua figura ΚΗM ,

quadratum cuiusvis perpendicularis ex perimetro

ad hasim ductae HI sequatur rectangulo parti umhasis XIM . haec figura erit circulus, cuius diameter ipsa basis K M. COROLL. II. Si planum secans, neque sit pa

stallelum bali, neque subcontrarie positum triangulum abscindat simile triangulo per axem ad bais sim recto, sectio non erit circulus; quia ob inaequalitatem angulorum o triangula FKI, MGI non

erunt similia ι nec erit K1 ad IF , ut GI ad IM , unde rectangulum FIG , seu quadratum ΗΙ, non aequabitur rectangulo XIM ; 2 addito quadrato

Io, non evadet quadratum OH aequale OM, adeoque radii non erunt quales.

COROLL. III. Quoniam in eiusmodi sub miraria sectione triangula per axem ΛΚM , BAD sunt similia, ideoque DΛ ad AB est,ut ΛΚ ad ΛM; reaangula DΛM, BAK sunt aequalia , 2 circulus Per puncta B, Κ, M, D transire posset. Ducta verbBN eidem LM parallela , circulus triangulo DNBcircum scri plus, tangeretui a latere ΑΕ in B ; quia triangulorum ADB, Λ BN similitudo dat AD ad Ag, ut AB ad AN; ideoque AB quadratum rectan gulo DAN aequale fedditur , unde ΑΒ fit tangens circuli per B, N, D transeuntis .III. Elem.jCOROLL. IV. Et quia omnes sectiones ipsi citculo ΚΗM parallelis planis est esae pariter circuli et unt, iuncta ex Coni uertice Λ ad centrum O recta AO , per centra omnium circulorum ipsi aequi distantiunt than sibi e ; quippe omnes rectas x M. parallelas bifati aut secabiti ut ipsa secatur ino, A BN in S: unde erit alius axis hujus Coni r

22쪽

Sa AO, secans tamen inaequaliter diametrum Masis i a R. Ideo in Conis Scalenis erunt bini axes AC, AR, per circulorum suorum centra deducti: quando Coni tecti unicum hahant eiusmodi

COROLL. v. Secabitur autem as hoc axe seacundario diameter balis in R, ut sit BR ad RD , quemadmodum lateris ΛΒ quadratum ad quadratum AD, seu quadratum rectae AN ad quadratum latetis AB : axis ver. ptimarius AC secabit di metrum circuli subcontrarie positi , velut BN iti

ita ut sit BO ad QN , ut quadratum AB ad ΛN quadratum, ideoque BR ad RDerit, ut Naad Bin Nam ducta NPT parallela BD, erunt similia triangula BSR . NST . 2 ut BS aequatur SN, ita BR aequabitur NT ; ergo BR ad RD est ut NT ad RD, scilicet ut ΛN ad AD , quae sunt ut quadratum AB ad quadratum AD, quia ostensae sine AN,AB, AD continue proportionales ex Coroli δ.)z& similiter BQ Iad QN erit . ut BC ad NP ob si milia triangula BQC , PN , sive ut DC, quae aequatur BC, ad N P, idest ut DΛ ad ΛΝ, nempe uequadratum AB ad quadratum ΛN.

A cinus ABD triangula per axem transeunte sece- ,σμr o tum ex quovis puncto H Dperficiei conicis agatur recta HIL parallela cuidam EF, qua diametro fasis Coni BD se perpendicularis: dico rectam illam HIL occurrere plano 'star trianguli per axem, O inde ad alteram superficiei Conicae partem in t ita protendi , ut in dicto Oecursu Icum plano trianguli lifariam secta remaneas, nempe ut HI aquetur IL.

Iuncta enim ex vertice Coni A recta AH, producatur usque dum peripheriae basas occurrat in

23쪽

Ipsi EF, diametrum perpendiculariter secante, x ab ipso bifariam divisa in x , jungatur quoque re-eta AG, quae iacens in superficie Conica conveniet cum ipta HIL in L q. etenim ΗL, MG aequi distant. tes tertiae EF , sunt parallelae inter se , adeoque in eodem plano trianguli ΛMG 9.XI. Elem.), Se juncta AE erit communis sectio plani trianguli pee axem BAD, x plani alterius trianguli AGM, unde per punctum I transibit, utrique plano commune, Quia ergo erit MK ad HI, ut ΚΛ ad ΛI ,2 ut GKaci IL, estque MK aequalis G Κ-etie quoque HI aequalis lL Iq. . Elem. ,ergo HL ab ipso plano per axem bifariam secatur..iod erat,&c. COROLL. I. Hinc habetur, quod si Conus et - triangulo per axem sectus , alio plano per rectam

MG diametro balis perpendicularem transeunte siterum secetur , cujus Se alterius plani communi;

sectio fit recta NK , haec bifariam secabit omneu lineas, velut HL, in eadem semone ductas ipsi Moparallelas.

COROLL. II. Et si eadem recta MG, perquam

planum GNM deducitur , nedum sit perpendicu Iaris diametro BD, sed etiam plano trianguli per axem quod evenit, ubi triangulum per axem es hrectum ad planum basis , tunc rectae illae M G, HL

non solum bifariam , sed etiam ad rectos angulos secabuntur ab illa communi sectione ΚΝ: quippe non tantum angulus MKD rectus erit, sed etiam

non fuerit perpendicularis plano trianguli petinem , seu nisi triangulum per axem sit rectum plano basis, transeundo perrectam ex vertice Coni Λ ductam basi perpendicularem ; tunc NK bifariam quidem secabit rectas illas parallelas HI, MG, sed ad angulos obliquos, non autem rectos , juxta inclinationem lineae MK ad ipsam KN. DE

24쪽

I. Ipsa linea NK, bifariam secans omnes re- Ras ΗL eidem MG parallelas, in qualibet sectione GNM ductas, ejus sectionis Diameter vocabitur. 34'II. Et diametri terminus N s. vel etiam si terminus alius in ipsi oppositus fuerit, etiam Q Verrex seetionis dicetur. III. Ipsae autem sectae ΗL, MG vel etiam ea rum medietates HI, MK Ordinatae ad ipsam diametrum NK appellantur. IV. Quod si nedum bifariam , sed etiam per

pendiculariter secentur ordinatae a Diametro,pra inter generale Diametri vocabulum, speciale nomen Axis eidem Diametro tribuetur.

Aliis Definitiones in sequentibus aliquibus pr positionibus, Θ earum corollariis quibusdam defi-guabuntur.

Si cinus ADMB plano per axem sectus , alio plano, Amsecetur , per rectam H diametro eirculi 'hasis perpendicularem , a qua bifariam secaturi a in L , O per rectam EN, uni ex lateribus ΑΕ trianguli per axem parallelam, deducto, erunt an ejusmodi sectione quadrata ordinatarum MΚ , DI , proportionalia abscisis a vertice sectionis N portionibus diametri ΛΚ , M. Dcetur autem

eiusmodisectio Parabola. 'Ex quodlibet punctum I communis semonis KN, cui est ordinata ΗIL, ducta PIU parallela diametro hasis BD, si agatur per ipsas VP, HL planum PHV , quod erit parallelum bali, per BD,

MG illis aequi distantes transeunti, adeoque circu tum essiciet, unde resultabit quadratum HI aequale

25쪽

rectangulo PIV , ut quadratum MK aequatur reis ctangulo BKD coli. Iere .a.),ergo quadratum MKad quadratum Ηι est , ut rectangulum BKD ad reis Pangulum Piu, set Iicet ut KD ad IV ; nam ΕΚ aequatur PI, cum sit BPIL parallelogrammum lineis oppositis aequidistantibus comprehensum: Est autem KD ad IU , ut KN ad IN, ob similia triangula NKD, NIVέ ergo quadrata ordinatarum ΜΚ,

HI, sunt ut partes diametri a vertice abscissae NK, NI . Quod erat demonstrandum . Nomen autem hujus leetionis, hanc proprietatem habentis, est Parabola,

COROLL. I. Hinc habetur, quod si fiat, ut NK ad KM, ita ΚM ad aliam NF, vertici N diameis

tri NK perpendiculariter applicatam ἔ ut quadratum M K erit aequale rectangulo KN F, ita cujusvis alterius ordinatae ΗI quadratum erit aequale r Fangulo INF t quia haec rectangula eandem altitudinem N F habentia sunt, ut abscissae KN , IN, deoque ut ordinatarum quadrata MK, HI illis Proportionalia. Et haec constans linea NF ab Antiquis Latus rectum, Recentioribus Parameter Pa rabolae appellatur,

COROLL. II. Ducta quoque NE diametro ha-ss Coni parallela , lateribus trianguli per axem terminata, si fiat ut NK ad KD, vel ut AE ad EN, ita EN ad N F ; erit eadem N F Latus lectum , seu Parameter ipsius Parabolae. Nam ΒΚ aequalis EN

dratum MΚ, aequabitur rectangulo ΚΝF. COROLL. III, Idem parameter NF reperitur s fiat, ut rectangulum laterum trianguli per ax mBAD ad quadratum hasis BD, ita ΛN ad N F. Nam rectangulum BAD ad BD quadratum est, ut rectan

sulum EAN ad qWadratum EN, propter has lineas

26쪽

illis proportionales e sed quadratum EN aectuatur rectangul' ΕΛ in NF parametrum ex Corolis c. cum sint lineae EA, EN, NF continue proportita, nates ; ergo BΛD rectangulum ad BD quadratum est, ut EAN reetangulum ad ΕΛ in N F, adeoque ut AN ad NF , ob communem horum rectangulo-τum altitudinem ΕΛ. s

Isdem pstis, ut in praecedenti propositionis titula , sed eommuni sectione rrianguli per axem, O ρω- nisecantis per rectam HG diametro basis perpendicularem traducti, non jam aquid ante um 'laterum trianguli per axem , verum ita inclinara, ut eum uno latere AD infra verticem A coniad punctum N, ct cum altera latere AB supra verticem A conveniat ad punctum Q ordinat rum sectionis Min quadrata is , HI erunt, usrectangula MN , iuri diametri partibus intenea em ordinatas, O utrumque terminum N, Datametri 'fius interfectis eo rahensa. Eodem quo plano ad alteram oppositam superjiciem Coni eam prοδελ , ilissectu i i h inae resultabit,

cujus ordinatarum quadrata, ve invicem ,susteum quadratis ora natarum infrioris sectionis . M- comparata, erunt partur, ut rectanstula

diametri partibus, in er imas, O utrumque ver ricem st: Npsiis, comprehensa. Vocentur autem ambae Sectiones opposita, &Straque ipsarum Huperbola , ac diametri portio Nas utrique Vertici interjecta , Latus

transversum nuncupetur.

Ducta per punHum I. ubi quaelibet ordinata HI ad diametrum NK sectionis hujus applica tur , recta PIU diametro hasis BD parallela 3 utique planum per ipsar VP, HIL traductum, utpota

basi

27쪽

hasii DMB aequidistans, essiciet circulum HVP ue adeonue qu dratum MK ad quadratum HI erit, ut rectangulum BKD ad rectangulum PIV , quorum ratio componitur ex ratione BK ad PI squae eadem est KQ ad I),MMeratione DK ad UI quae eadem .st KN ad NI) , quemadmodum Se ratio rectangulχ ΚN ad rectangulum QIN ex iisdem rationibus tomponitur 23. FI.Elem. : qmo est quadratum

nue probabitur de ordinatis superioris oppositae lectionis I Qb: Unde constat propositum. Vocatur autem quaelibet ex hisce oppolitis sectionibus misperbola, & diametri portio QN Latus tran ersum

nuncupatur. .

COROLL. I. Si fiat NK ad KM , ut KM ad

ad punctuixi K diam ctro NK perpendicular Iter applicanda, & junSa Z , ad ipsam producantur rectae N F, IS parallela: ΚΖ , ipsa NF ex vertice N ducta Latus rectum , live Parameter hyperbo,ae erit: cui haec proprietas convenit, quod ut quadra tum M K mediae proportionalis inter NK , Ω ΕΤ, aequatur rectangulo NKZ, quod parametro NF a plicatur , sed cum excessu rectanguli FYZ similis QNF rectangulo, ex latere transverso QN, 2 rect NF comprehenso: ae limiliter quadratum culus Isalterius ordinatae ΗΙ aequabitur recta noulo NIS , eidem parametro NF applicato, sed dubia BKae parallesta NK, secante Ib, ΚΣ in R, T cum excesse sit rectanguli FRS,pariter similis dicto rectangulo

ONF. Nam quia ΚZ ad IS est ut KQ ad Qt, rati ne ΚN ad Ni utrinque adjecta , erit rectati gulum 2ΚN ad rectangulum NIS, ut rectangulum QKN ad QtN , sive ut MK quadratum ad Hi quadra tum , unde, ut MK quadratum aequatur ZλN , ita HI quadratum aequatur NIS. COROLL. II. Item si fiat, ut NK ad I B, ita KD ad ΕΖ, juncta, ut supra, in, cui occurrat in

28쪽

F recta NF ipsi ΚΖ parallela, erit NF eadem para- meter : nam ZΚN rectangulum aequabitur BKl , adeoque & ΚM quadrato ut in Coroll. praeced. , unde etiam SIN aequabitur quadrato ΗΙ. COROLL. III. Similiter ducta NE parallela DB, si fiat ut NK ad KD , ita NE ad N F, erit haec parameter : nam iuncta QF, ac Produeta , ut secet rectas IS, ΚΖ eidem N P parallelas in S , 2 E , erit tam BK ad NE, quam KL ad N F in eadem ratione

KQ ad QN, unde BK ad ΚΖ, ut NE ad NF , sive ut NK ad KD ; 2 ideb rectangulum B quod idem est cum quadrato MK aequabitur NKL,

ut supra.

COROLL. IU. Ducta verb ex vertico Coni Ain plano trianguli per axem recta ΛΟ parallela NK; cum sit ut in Orou raced.; FN ad NE, ut KD ad NK, sive ut Do ad OA , itemque NE ad Nd, ut OB ad OA ; erit FN ad N Q in ratione compodita ex DO ad OA , 2 ex BO ad OA , videlicet ut re- Sangulum DOB ad quadratum OA : unde si fiat ut quadratum OA ad reetangulum DO B, ita latus transversum ad N F, erit haec latus rectum ,

sive Parameter.

COROLL. V. Imb etiam ducta ΛT ex Conivertice parallela diametro basis DB, 2 convenien . te cum transverso latere N Q in T, erit rectangulum QTN ad quadratum Λ r , ut transversum latus Nia ad reetum N F: quippe cum sit NT ad TΛ, ut NK ad KD, sive ut AO ad OD , nec non QT ad TΛ, ut AD ad OB , erit rectangulum QTN ad

quadratum ΛΤ, ut quadratum Λο ad DOB rectangulum , adeoque ut QN ad N F ex Coroll. praced. . COROLL. VI. Denique cuiuslibet ordinata MK quadratum ad rectangulum QKN, Vel quadratum HI ad QIN rectangulum erit, ut reetum latus N F ad tra niversum Nia: nam etiam rectangu-

29쪽

,8 S E c T. C O N I talum ZΚN , quod aequatur quadrato ML , ad QRNest, ut ZΚ ad QK ob eandem altitudinem NK), MSIN , quod aequatur quadrato HI, est ad QIN , ut M ad Qt: verum hae rationes ZΚ ad QK, aut SI ad QI sunt eaedem, ac ratio lateris recti NF ad N

transversum ergo quadrata ordinatarum , Ω re Sangula ex diametri partibus labi correspondentihus etiant, ut parameter, seu latus rectum , ad latus transversum.

Fis. Io. plani secantis , per rectam MLG diametro basis BD , vel alterius aquidistantis circuli diametro

ordinatam , transeuntis , conveniat cum utroque

latere infra verticεm Λ, ad puncta N, Q : erunthmussectionis Q HN Ordinatarum ML , HI quadrata , ut rectaseula partium diametri , interutrumque terminum N ab ipsis ordinatis secti, nempe ut QKN ad Q N . Et ejusmodi sectios si nec basi parallela sit, nec ipsisubcontrariὸ ρο-

sta, adeoque circulus non fuerit) speciali nomine Ellipsis nuncupabitur, cujus pariter Latus transeversum erit ipse ΩΝ. EAdem demonstratione , qua superior propossisti O, haec quoque probatur: unde non interea hic illam iterare , sed huic figurae ipsa est a Lectoribus applicanda.

COROLL. I. Si sat NK ad KM, ut K M ad ΕΖ, diametro QN in puncto K perpendiculariter applicatam , & iuncta QZ secet in F rectam NF ipsi

NZ parallelam, cui etiam aequi distans ducatur IS, cuilibet alteri ordinatae HI correspondens; erit ΝFLatus rectum, seu Parameter hujus sectionis: M. uarumlibet ordinatarum quadrata MΚ, ΗΙ erunt respe.

30쪽

respective aequalia rectangulis ΣΚN , SIN, quae sunt applicata Parametro N F, sed cum defectu rectangulorum ducta FRY parcitela Net, secante ipsas ΚΖ, IS in Y, R ZYF, SRF similium rectangulo QNF sub transverso latere QN , Ω sub tecto NFcomprehenso. Idque probatur sui in CorolLI.Prop. praeced. permutato in defectum illo excessu recta gulorum applicatorum parametro, aequalium qua oratis ordinatarum Hyperbolae, a dicto excessu sic 'nuncupatae . uti ab hoc defectu nomen Ellipsis dein . ducitur.

terminabit parametrum, cui in coroll. a. Prop. praeced.

COROLL. III. Item si siat NK ad KD, ita NE, parallela BD, ad N F,erit haec latus rectum fur co

COROLL. IV. Ducta quoque Ao parallela NQ, erit ut AO quadratu ad rectangulum DOB, ita latus transversum QN ad rectum NF s ut OrolLq.Prop.praeced.)COROLL. V. Et similiter ducta AT parallela BD , conveniente cum QN in T , erit rectangulum QTN ad ΛT quadratum , ut transversum latus QN ad rectum NF ut in corolLs. Prop. p ced.)COROLL. VI. Quodlibet autem quadratum ordinatae ad rectangulum suti diametri partibus,