Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

41쪽

9 similiter ostendetur triangulum M aequa

COROLL. U. Hinc triangulo MUY, 2 huici

quali trapezio ZNGY , addito triangulo simili NTZ , erunt triangula MVY , 2 NTZ aequalia s1-mili triangulo GTY, adeoque etiam quadrata Uri& TZ aequantur quadrato TY: sicuti addito PFB triangulo ad triangulum MSΛ, vel ad huic aequa te trapezium FPGΛ , erunt duo similia triangula PFB, MSΛ aequalia simili triangulo GBA; unde& quadrata BF , SA aequantur quadrato BA r 2 similiter aliis homologis lateribus acceptis, erunt

quadrata MU s seu ΚΤ),2 NT aequalia quadrato GT; necnon quadrata PB, 2 MS seu ΚΒ aequalia quadrato GB , M sic de aliis.

COROLL. VI. Rursus , quoniam triangulum PLΗ aequatur NLRI, ablato communi NLHAE, fit triangulum PN E aequale ΛΞΗRI . additoque simili triangulo ΗRD, erunt triangula PNIE, HRDaequalia IEDI triangulo simili ι unde quadrata hormologorum laterum Nd , Ω ΗR aequantur qua drato IBI: item quadrata P E , ΗD aequalia erunt quadratoAED,quod cum aequale sit rectangulo F ΕΗ cum H D quadrato 6.II.Emn. ,erit Pae quadratum aequale FAEH rectangulo. Et similiter, ob triangulum lip L aequale NLRI, & addito utrinque NL, a , triangulum p N a aequale erit IR h a, unde adjecto triangulo b R d, erunt duo triangula p N ah R d aequalia simili triangulo ΑΙ d, adeoque quadrata homologorum laterum ab , ρ a erunt aequalia quadrato a d, seu rectangulos ab , cum qua drato d b, unde quadratum p a erit rectangulo fabaequale; 2 ap erit media proportionalis inter fa&aeb, sicut PAE media est proportionalis inter Fae,&AEH. COROLL. VII. Eadem ratione, quoniam qua

drata

42쪽

drata OR,LΗ aequantur quadrato LO ex Coroll. . seu rectangulo h OΗ cum quadrato LΗ, est quadratum OR aequale rectangulo b OΗ , 2 ideb est OR media proportionalis inter , O, 2 OΗ: similiterque, producta ordinata FB ad aliam Curvae partem in Φ, cum sint ouadrata SA, 2 FB aequalia quadrato BA sex Coroll. s.), hoc est rectangulo ΦΛF cum BF quadrato , erit rectangulum ΦAF aequale quadrato SΛ, ipsaque SΛ media proportionalis inter

ΦΛ secet aliam tangentem in Λ, erit rectangulum ex tota secante ΦΛ in partem externam ΛF, ad quadratum AN portionis interceptae ex tangente ΛM inter contactum , & secantem, ut quadratum parallelae tangentis NE ad quadratum reliquae tangentis EM: quippe NE quadratum ad quadratum EM quod aequatur EG quadrato est, ut quadratum SΛ seu rectangulum ΦΛFilli aequatri ad qua- .dratum AM . Sic etiam secantis ΙΞΗF parallelae tangenti ME rectangulum F ΕΗ, est ad quadratum aEN , ut quadratum PAE illi rectangulo aequale ex Coroll.6. ad quadratum AEN , sive ut GE, vel ei aequalis ΕM quadratum, ad quadratum EN.

PROPOSITIO XI.

In Parabola AND , cujus basis AD, diameter M, .. latus rectum M, quaelibet recta diametro paraia tela ME. -sunt, ut rectangula partium basisAED, AGD 3 cy- etiam basi producta, si extra parabolam agantur parallela diametro em, gherum hae quoque, ut rectangula A e D, A g D. N Am ut quadratum BD aequatur rectangulo BNF , ita quadratum alterius ordinatae ΗPaVel

43쪽

vel b p aequatur rectangulo parametri NF in abscitisam N P , seu Np ; ergo differentia quadratorum BD, & PH, seu BG illi aequalis , quae est rectanguinium AGD, aequatur rectangulo ejusdem N F in dita ferentiam abscissarum N B, NP, quae est PB aequalis HG : I similiter differentia quadratorum BD, p b, sive illi aequalis B g , quae est rectangulum A g D , aequabitur rectangulo eiusdem N F in Βρ , seu g b , quae est differentia BN ab N p . Similiter ostendetur , rectangulum ABD aequari NF in ME ; 2 rectangulum Λe D aequari NF in me; ergo hae lineae Parallelae diametro, ME, HG, sunt ut rectangula ΛED, AGD, quia illae lineae in eandem para me trum N F ductae, illis rectangulis sunt aequales , ac similiter e m ad g h erunt, ut rectangula ipsis cor ris pondentia Λe D, Ag D. Quod erat,&C. COROLL. Producta HP ad alteram diametri partem in L , quae secat ME in I, rectangulum quoque AED ad LlΗ erit, ut recta ME ad MI: quippe eodem modo NF in ME .dat rectangulum aequale ΛED , Ω eadem N F in MI dabit rectangulum aequale LlH: Et similiter producta b p in i, se- Cante e m in i , rectangulum Λ e D aequale NF in e m , ad rectangulum i i b , quod pariter aequabitur rectangulo NF in in i , erit ut e m ad m i.

libet recta mper centrum C extensa, ad alteram partem occurrit sectioni in S ; atque in centro bifariam dividitur ; ex ejus terminis M, S cur vam tangentes m , SP sunt parallelae , ω

aquales.

ORdinata MX ad priorem diametrum N Q,

sumtaque CF aequali CT , ordinetur ad

44쪽

alteram eius diametri partem FS. Iuncta IC; qu niam differentia quadratorum NU, CK , idest re-ε angulum NKQ aequabitur disserentiae aliorum quadratorum Cia,CF illis respective aequalium, idest rectangulo NFins s. dr 6. H.Elem. 3 ipsarumque ordinatarum MK , SF quadrata sunt di- . Sis rectangulis proportionalia ex Prop. sar 6. , ergo haec quadrata pariter aequalia erunt: unde

quia MK aequatur FS , 2 CK aequatur CP , M anguli alterni parallelatum MKC , SFC sunt aequa. les, erit quoque CM basis trianguli CKM aequalis CS basi trianguli CFS, 2 angulus MCΚ erit aequa Iis SCP ; unde sicut ille cum angulo MCF duos

Tectos Complet, ita hic cum eodem idem essicit,

adeoque CS est in diteStiun ipsi MC, ob angulos SCF. MCF binis rectis aequales. Igitur ipsa MCProdueha incidit alteri parti sectionis in S , R ipsa

MCS bifariam divisa est in centro C. Quoniam veto ductis tangentibus MG, SP, rectangulum GCK aequatur quadrato semidiametri CN ex Corollam Prop. 9. , 2 similiter rectangulum PCFrequatur quadrato CQ ; sicut CN aequatur Cines

ita rectangulum GCK aequabitur PCF : estqueCK aequalis CF; ergo etiam CG aequatur CP, re Propter C M aequalem CS , M angulos aequales MCG, SCP, erunt horum triangulorum bases MG, SP aequales, atque etiam parallelae propter alternos angulos MGC , SPC pariter aequales. Quod erat &c., COROLL. I. Producta SF ad alteram semonis partem in E, erit FE aequalis FS , adeoque re aequalis ΚM sibi parallelae; unde juneia ME, Pa-τallela erit, aequalis ipsi KF. COROLL. II. Et ducta per centrum C ordinatis MK, EF parallela CH , bifariam secabit ipsam EM in B sia sic omnes alias huic parallelas , jungentes terminos aequalium ordinatarum

C ' ad

45쪽

ad diametrum Nin . Nam evadet Bu aequalis CL , v BE aequalis CF, cum sint latera opposita Parallelostram morum , M posita iam fuerit CF aequalis CL . unde ipsa quoque CH erit diameter, cui ME, TU ordinari possunt parallelae priori diametro, & bifariam in B, R ab ipsa HC dividentur. Dicitur autem haec alia Diameter secundaria,& priori Conrugata. In Ellipsi quidem ab ipso ejus perimetro determinata ad puncta H, I, existen te cI aequali CH , cum k ipsa ordinetur diametro NQ. adeoque ab ipsa bifariam secetur in C. Et qui a s ex corou.6.prop.6. quadratum ordinatae EC ad rectangulum partium diametri QCN,adeoque ad quadratum CN , est ut latus tedium N U ad

transversum Nin, etiam quadruplicando termi nos , q0adratum HI ad Nia quadratum, erit ut NU ad N Q, Mideb HI secundaria diameter conis iugata est media proportionalis inter parame trum N U , 2 primariam diametrum transversam N In Hyperbola ver b determinanda pariter est media quaedam proportionalis Hi inter i tis re-etum N V , Ω transversum Nin, atque ita disponenda per centrum C aequidi itans ordinatis diametri Nin ut in ipso punSto C hilariam partita maneat: Et haec erit secundaria diameter priori NQ conjugata.

PROPOSITIO XIII.

In Ellipsi etiam ordinatarum ad secundariam dia metrum m quadrata EM, RT sunt, ut rectangula partium ou em diametri HRI, HRI, idest ut disserentia quadrati HC a quadrato BC. ad disserentiam ejusdem quadrati m ab V qua- arare. At in H perbola quadrata EM , RT ordinatarum adfecundariam diametrum ΗLsunt se

46쪽

l Rimum patet , quia ordinatis MK , ΤZ ad

priorem diametrum Na, cum sit rectanguintum N CQ , seu quadratum CN , ad rectangulum QKN , ut quadratum CH ad quadratum K M, sea CB ε permutando, totum quadratum CN ad totum quadratum CH, est ut rectangulum QKN, ex primo ablatum , ad quadratum CB, ex tecundo ablatum : quare & reliquum quadratum CR,sau BM ad reliquum rectangulum HBI . est ut totum quadratum CN ad totum quadratum CH I9, y eum. . Eodem modo pariter ostendetur, esse quadratum RT ad rectangulum ΗRI in eadem ratione quadrati CN ad CH quadratum , ergo quadrata ipsa BM,u RT sunt, ut rectangula partium secundariae diametri, HBI , Ω ΗRI , quae sunt differentiae quadratorum BC, RC ab eodem CH quadrato. Secundum autem ostenditur, quia in Hyperbola , cum sit reeiangulum QΚΝ ad quadratum MK , seu BC , ut transversum latus QN al re- Sum NU, sive ut quadratum Nia ad quadratum ΗI, quae media proportionalis est inter N A MNU, seu sumtis subquadruplis , ut quadracum CN ad CH quadratum, etiam summa anteceden tium ad summam eonsequentium , nempe QKN cum CN quadrato, quod est CK , seu BM quadratum , ad summam consequentium, idest ad quadratum BC cum CH quadrato , in eadem rati

ne erit unius antecedentis ad suum consequens,

nempe ut CN quadratum ad CH quadratum Ia. V. Elem. : 2 quia eodem modo . RT quadratum ad summam quadratorum RC , Ω CH in eadem ratione quadrati CN ad quadratum CH esse . proinhabitur , igitur quadrata BM, R T sunt, ut lum. Ina quadratorum BC, CH, ad summam quadratorum RC, R CH : quod erat demonstrandum.

47쪽

Fusii het ordinatae B M ad rectangulum partium suae diametri secundariae ΗBI esie , ut transveris fom QN ad rectum N V , cum sit, ut quadratum CN ad quadratum CH, vel NQ quadratum adHI quadratum , quae sunt in eadem ratione.

COROLL. II. Unde posita ΗX quarta proin sortionali ad NU , ΗΙ, QN , erit ipsa HX latus

stinum coniugatae diametr3 ΙΗ : nam permutando HX ad Ηl erit, ut QN ad NU, adeoque ordi-matae BM quadratum ad rectangulum ΗBI, k quais dratum alterius ordinatae TR ad rectangulum HRI4 est, ut haec parameter, seu rectum latus HX, ad transversum HI. COROLL. III. In Hyperbola verb MB qu dratum ad summam quadratorum BC , ΗC est , Ni NC quadratum ad ΗC quadratum , sive ut QN ad N V, seu pariter sumta ΗX quarta propor

adeoque ipsa HX erit latus rectum , seu parameter diametri illius secundariae ΗΙ: quae pertin ret ad binas alias Hyperbolas, diametro transverissa HI descriptas, velut Ii , Ω ΗAh : quae duae Hyperbolae prioribus NM, QS Conjugatae appel-

1antur.

COROLL. IU. Et quia ordinata ΛR , intratinam ex his conjugatis Hyperbolis, ad diame. trum ΗΙ, habet quadratum suum AR ad rectania Gulum IR Η . ut latus rectum ΗX ad transversum HI ; erit ergo quadratum TR , aut LR ad summam quadratorum RC, CH , ut quadratum AR ad rectangulum IRΗ, cum utraque ratio sit, eadem , quae ΗX ad ΗΙ. COROLL. U. Et permutando LR quadratum ad quadratum AR , ut summa quadratorum RC , εt CH ad rectangulum IR Η, quod est ipsorum di serentia , ac dividendo, LR quadratum , demtor: R quadrato , idest rectangulum TAL, ad qua dratum

48쪽

dratum AR, erit ut quadratum ΗC , cum qua drato CR , demto IRH rectangulo idest cum quadrato eodem ΗCj, adeoque ut duplum quadrati HC, ad ipsum IRH rectangulum: atque ite. rum permutando, TAL rectangulum ad duplum quadrati ΗC, ut quadratum AR ad I RH , sive ut HX ad HI, nempe ut CN quadratum ad CH quadratum, sive ut duplum quadrati CN ad duplum, quadrati HC , ideoque illud rectangulum TALaequatur semper duplo quadrato CN , unde ubique est ejusdem quantitatis, ἰCOROLL. UI. Hinc ex termino H diametri ΗΙ, ducta ad ipsam ordinata HY, secante unian ex prioribus Hyperbolis, velut EQS in Y, erit quadratum iptius HY duplum quadrati CN: ut etiam hinc constat, quia esset ordinatae HY quadratum , ad summam quadratorum HC , & CH, ut MB quadratum ad summam quadratorum BC, CH, ideli ad duplum CH quadrati, ut quadra- . tum CN ad CH quadratum sex Coroll. r. adeoquα ut duplum CN quadrati ad duplum CH 3 ideoquo HY quadratum arquatur duplo quadrati CN.

Quacunoue alia recta m in Esi si, O oppositis m- perbosis, per centrum C ducta , es diameter , bifariam secans quaslibet M , HF ipsi applicatas parallelas tangenti GM. ΡΕr verticem N prioris datae diametri Nagatur tangens NΙ , secans ipsam CV In I, Oetangentem MG in E , illasque applicatas HS . b

In Rinae , alteram supra NZ duetam ex vertico alteram infra ipsam . Ducantur quoque ad Priorem diametrum ordinatae MK . 2 ZT, HL,

B, Lb , I b , concurrentes cuid CH ad puncta

49쪽

V,R,S,s, 2 cum tangente MG in punctis Y O, A,a. Quoniam CK ad CN est , ut CN ad CG Orona t. Prop. 9 ,erit quadratum m ad quadratum CN, seu triangulum CR M ad simile CNI, ut CK ad CG,quae sunt, ut CKM triangulum ad CGM triangulum , tuae sunt aeque alia 3 quare triangula CNI, CGHunt aequalia horum alterutro sublato a triangulo CKM,erit trapezium NKMI squale triangulo GK Meest autem hoc triangulum ad alia similia NTZ,PLΗ, PBP, p L h, p b A, ut quadratum LM ad quadrata homologorum laterum TZ, LΗ, BF, Lb, b Ahoc est ex natura Ellipsis , & Hyperbolae Prop. s. η' 6. ut rectangulum QKN,ad reAangula illis coris

nempe ut differentia quadrati CN a quadrato CK, ad disserentiam eiusdem quadrati CN a quadratis CT, CL, CB, CL , C b, live ob analogiam trian gulorum similium, cum quadratis laterum homologorum , ut differentia trianguli CNI 1 ttiangulo CXM, ad differentias ejus dlm CNI a trian

tera triangula caeteris trapeziis aequabuntur. Itaque

ex NΤZ, δε aequali spatio NTUI, ablato NTVX, remanebit XVZ aequale triangulo sibi limili XIN, quorum latera homo toga XZ , & XN erunt aequa- Iia. Similiter differentia triangulorum PBF, PLΗ, nempe Trapezium LBFΗ, aequalis cum sit differentiae trapeZiorum illis aequalium N BSI, NI RI, idest trapegio LBSR , si ex his duobus trapeziis L BFΗ ,& LESR , auferatur commune spatium LBSDH , Temanebunt aequalia similia triangula SDF, RDH, quorum homologa latera DF , DΗ aequalia erunt .

Diuiti

50쪽

addito Lbs R, evadet spatium s p I s R aequale N h s I, id est triangulo b I huic traperio aequali, Se

ablato communi spatio ν , s d, remanebit triangulum b R d aequatuod sibi simili, unde χ eorum homo toga latera b d. dferunt aequalia. Igitur CH est diameter bifariam secans omnes ipsi applicatasNE , H P, bstangenti MG parallelas . Quod erat

demonstrandum.

Porro in Ellipsi fieri potest,ut ordinatara ad prio . . ,

rem diametrum NQ, cadat ultra centrum C, ersus a 2 tunc dueta alia verticali tangente Qi,cOnveniente cum M C in i ,erit quoque triangulump bfaequale trapegio Q b r i quod ad trapezium NKMI, . ς' ut rectangulum Q b N ad QKN,sive ut quadratu mfb ad ML, aut ut triangulum puer ad simi laGΚM , quod vidimus aequari NX MI , additoquit utrinque s b C,erit spatium p C r aequale triangulo QCi, seu CNI huic aequali ; ιχ ablato C de , triangulum d sfaequabitur Np', quod aequa tued R b triangulo , propter pL b aequale N LRI , κCommune spatium L p d R utrinque appolitum , ergo aequalium Sc similium triangulorum dry Id R h homologa latera I 2, 3e d h pariter sunt aequalia . Quod erat, 2 c. COROLL. I. uti ostensum est triangulum , L s ' M aequale C NI, ablato communi quadrilineo iCGEI in Hyperbola, 2 CMEN in Ellipti, rema net triangulum IEM aequale GEN , Ω utrique addito NEMX, fit triangulum IXN aequale trapezio MXNG. COROLL. II. Pariter iisdem triangulis IEM , GEN addito spatio NEMSB, resultat GMSB aequa te NASI, cui ostensum fuit aequale triangulum P BP ; hoc igitur erit aequale GMSB ; Se utrinque ablato PDSΗ , resultat triangulum DSF vel huiuaequale DHR aequale trapezio MDPG. silmillietaque iisdem ttiangulis IEM, GEN, addito Nirur,