Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

31쪽

Si ex eo rim Cono ABD per plana invicem parallela Fig. MNG , SVR Parabolae , aut dua Hyperbola, a I. 3 vel duae Elluses aut etiam quovis numeroplures fecentur, earum Parametri , seu latera resta NF, . UT, erunt proportionalia distantiis NA , O suorum verticum N , V, a coni vertice A. NAm ex Coroll. a. Prop. . '' Coroll. Prop. s. ae 6. est NK ad KD, ut EN ad parametrum N F : ac similiter foret, ut VO ad OD, ita PV ad parametrum VT alterius sectionis priori parallelae; quare cum sit eadem ratio NK ad KD, kVO ad OD, ob rectas NX , VO parallelas, erit quoque ratio EN ad N F eadem , quae PV ad UT, ac permutando, erit NF ad UT, ut EN ad ΡV, sive ut NA ad UΛ . Quod erat demonstrandum. COROLL. In Hyperbolis , & Ellipsibus, quoniam pariter transversa latera QN , VL sunt, ut distantiae a Coni vertice NA , V Λ, erunt etiam rein Sa latera NF, UT proportionalia transversis QN, VL: M ideb hae sectiones parallelis planis ab e

dem Cono deductae itis dicuntur . Parabolae autem quaelibet semper similes sunt, quippe ob diametrum uni ex lateribus Coni aequi distantem , semper planis parallelis ex eodem Cono deduci possunt.

In emnisectione c8nica , si rectum latus NF positum Fig. ag. perpendiculare diametro, bifariam secetur in R ,ας. a s. ducia V, qua in Parabola aequissipet diametro , in reliquis autem sectionibus bifariam secet in Ctrans Gam diametrum LN: Dico quadratum

32쪽

cujuslibet ordinatae φ fure duplum quadrila teri NRTΚ sibi eorrespondenti, quod recta ΚPeidem NF parallela , cum dictis aliis lineis conis eludit .

Ducatur enim recta PB, in Parabola quidem

parallela diametro , in aliis verb Aetioni bus , cum alio termino intransversi lateris, terminum F lateris recti conjungens , unde in omni .

bus evadet ipsi RT parallela , ob in C , ac Ns in R ab ipsa bifariam sectas in Hyperbola , & Ellipii , dum utraque FB , RT in Parabola aequi diis

stat diametro; ac juncta NR ab eadem RT bifariam secabitur in S, ut NP ab ipsa bissecatur in R. Quare triangula NSR , SBT, cum habeant ad verticem S aequales angulos, Ω alios alternos paralle larum pariter aequales, cum aequalibus lateribus NS , SB , erunt invicem aequalia.& communi ad indito quadrilineo NSTΚ , frit triangulum NKia aequale quadrilatero NRΤΚ: sed ex geneti sectionum patet, ordinatae MK quadratum aequari rectangulo NKB, adeoque duplo trianguli NΚB; ergo idem quadratum ordinatae duplum est quadrilateri NRTΚ . Quod, Scc. Punctum illud C, quod in Hyperbolis, st Ellipsibus bifariam secat latus transversum QN, cen trum harum feetionum vocabitur. Recta verb QP, sive FB diroctrix ; Ω CR, sive RT setiam in Parabola) subdirectrix poterit appellari. COROLL. Excessus quadrati cuiuslibet ordinatae PV supra quadratum alterius ordinatae MX aequabitur duplo excessui quadrilateri NRXU, supra NRTX, idest duplo quadrilinei LUXTI 2 ille quadratorum excessus ducta MG diametra parallela) est rectangulum PGD s. II Elem. quare hoc rectangulum aequatur duplo LVXT.

33쪽

Datis euilibet coni sectioni tangentem ducere ad punctum in ejus perimetro datum.

V Et datum pun9um est in sectionis verticem

2 tunc duSa NE parallela ordinatis , erit tangens: si enim ex puncto N intra seetionem caderet , ab una tantum parte diametri chordam enficeret , unde diameter bifariam non secaret omnes parallelas ordinatis intra sectionem positas , quod est contra primam ex secundis definitioni istius , tangit ergo haec recta in dato puncto seetio

nem.

Vel datum punctum extra verticem in perime ero sectionis est, puta in M; Ω tunc ducta subdi-xectrice RT, ordinetur MK ad diametrum sectionis, & ΚT parallela iunipara metro NR , usque ad subdirectricem pertingens in T, atque ipsis KT , MK tertia proportionalis ΚG in diametro ponatur supra ordinatam ue Juncta GM tanget sectionem . Ducatur enim recta GT , 2 ordinetur ad diametrum alia quaevis HL , occurrens ipsi GM in P uenec non ducatur LV parallela ΚΤ, subdi rectricem secans in V, 2 rectam GT in D. Quoniam igitur sint tres proportionales ΚT, ΚM, & ΚG, rectangulum GKΤ aequatur quadrato MK , adeoque est duplum quadrilateri NRTΚ sex Propa. : Sed idem rectangulum est quoque duplum trianguli GKT ;ergo hoc triangulum dicto quadrilatero aequabitur . Et quia ut TΚ ad LG, ita DL ad LG , atque ut GK ad KM, ita GL ad LP quemadmodum pro- Portionales sunt ΤΚ, ΚM, KG, ita etiam DL, L P, LG erunt continue proportionales ἔ unde quadra tum LP aequabitur rectangulo GLD, seu duplum

erit trianguli GLD , uti quadratum ordinata: HL

34쪽

duplum est quadrilateri NLUR. Sed triangulum. GLD semper majus erit ipso quadrilatero NL UR. quia si LH est ordinata infra MK , triangulo GΚΤ additur trapezium KLDT maius quadrilatero ΚLUT , quod adjungitur NKTR; ii verb b Isit supra MK, triangulo GKT aufertur trapeetium I KT d minus quadrilatero l ΚΤ u, quod aufertur ab ipso NKTR, unde semper maius resultat triangulum GLD quadrilineo NLUR, aut triangulum G id quadrangulo N i u R . Itaque quadratum P majus est quadrato HL, & quadratum p I majus

quadrato b l, unde quasi bet puncta P, aut i , prae ter punctum M , reste G M sunt extra sectionem ;& ideb GM est ejus tangens . Quod erat, &C. Illa diametri portio ΚG, quae inter ordinatam ,& concursum tangentis intercipitur, subtangens

vocatur.

COROLL. I. Hinc patet, tangentem harum se

enonum in unico puncto cum earum cui a Cou venire.

COROLL. II. Producta ΚΤ ad directricem FRin B, quoniam ex natura harum sectionum, rein Sangulum NKB aequatur quadrato ord .natat MΚ ex Corol. I. Prop.4. p.= 6. , Μ hoc quadratum a qu

tur rectangulo GKT , erit NKB aequale GKT , αideli subtangens GK ad abscissam a vertice NΚerit, ut KB ad ΚT: unde tangens dati puncti Metiam determinabitur , si fiat, ut ΚΤ ad ΚΒ , ita EN ad ΚG , 2 ad M iuncta GM erit tangens. COROLL. III. Per conversionem rationis, erit ut KB ad ΒΤ, scilicet ad dimidium pana metris nam BT aequatur RF, sive N Ri , ita subtange p. XG ad GN , tangenti, & vertici curvae interin

ceptam .

COROLL. IV. Item dividendo ΚΤ ad TR aqualem semipara metro, erit, ut KN ad NG. COROLL. V. Item ii iungatur BR, quae Oc-B cur

35쪽

currat diametro in G, erit KG subtangens, cum sit EB ad N R , ut KG ad GN ex Coroll.3.)COROLL. VI. Hinc in Parabola semper sub- tangens ΚG dupla est EN abscisne per ordinatam 1

vertice, uti etiam dupla reliquae NG, inter verti-Cem , 2 tangentis occursum cum diametro et quia EB semper aequatur parametro NF , cum sit directrix FB parallela diametro , adeoque semper ΚΕ est dupla semiparametri NR , aut ΚΤ , unde & GK est dupla GN , aut NK.

COROLL. VII. At in Hyperbola, 2 Ellipsi est QK ad CK, ut BK ad KT ob parallelas CT , QB

adeoque etiam, ut GK ad KN ex Coroll. a.): Unde si fiat, ut distantia ordinatae a centro CK ad ejus distantiam a remotiore termino transversi QK, ita distantia a vertice proximiori ΚN ad aliam GK , erit haec subtangens quaesita.

COROLL.UlII. Unde rectangulum QKN aequabitur resangulo CKG, propter QK ad CK , ut GK ad KN. COROLL. IX. Erit quoque per conversionem rationis , QK ad Cin, seu ad CN dimidium transverst teris , ut subtangens GK ad GN interceptam vertice, k tangente.

COROLL. X. Et quia , ob parallelas QR, CR, est QG ad GC , ut BG ad GR, quae sunt ut GK ad GN ob parallelas ΚΒ , NR , ideb erit QG ad GC,

ut QR ad Cia vel CN , cum istar ex Coroll.9. sint in eadem ra tione ipsius GK ad GN. COROLL. XI. Dividendo erit QC ad CG, ut CK ad CQ, vel CN; Unde erunt Continue prCPOrtionales CK , CQ, CG, sive CK, CN , CG έ & rectangulum ΚCG aequabitur quadrato semitrantia Verii lateris CN , vel CQ : Unde tangens invenietur , sumta ipsis CK , CN tertia proportionali CG,& jungendo ad punctum M rectam C M.

COROLL. XII. Quoniam QK ad CQ est, ut GΚ

36쪽

cum utraque harum rationum squetur RB ad BG ; ergo ex aequo perturbate QK ad Gia est, ut KN ad GV permutando, QK ad KN , ut in Ga ad GN : Unde est harmonice secta diameter Hrperbolae, & Ellipsis per terminos trant vetii lateris , concursum ordinatae, M tangentis , adeoque tangens determinatur, faciendo ejusmodi se&ionem harmonicam, nempe ut QK ad KN, ita pun- tum G statuendo, ut sit GQ ad GN in eadem ra

tione .

COROLL. XIII. Hinc alia eruitur generalis constitutio, pro tangente cujusvis sectionis Conicae ad datum punctum M . Ducta enim ordinata MK, k ex vertice N huic parallela NI, quae erit tangens verticalis , si ex M ducatur in Parabola MI parallela diametro , in Ellipsi verb Ω Ηyperbola jungatur ad alium transversi lateris terminum Q recta MQ, secans verticalem illam tangentem in I , si ubique secetur bifariam NI in E , juncta ME erit tangens. Nam si haec ad diametrum producatur in G, patet fore in Parabola GK duplam GN, ut MK

aequalis NI, est dupla EN , 2 ideli sper Coroll.6. CM est tangens. In Hyperbola veth, M Ellipsi, da Ra etiam QO parallela ipsi NE , quae a recta M producta secabitur in O , erit QO ad NE, ut QSad GN 3 sed in eadem ratione est etiam QO ad I E utpote aequalem ipsi NE), quae est ut ad MI, vel ut QR ad KN , ergo QG ad GN est, ut QK ad

KN: unde harmonice lecta est diameter in G, atque in terminis transversi lateris, 2 occursu ordinatae, ergo MG est tangens ex Coroll. I a. COROLL. XIV. Quaelibet Hyperbolae tangens MG semper infra centrum C, Hi pra verticem Ncum diametro concurrit: nam QR major est KN,

ergo & QG est major GN, cum sint hae rectar pro

37쪽

COROLL. XU. Ducta ex centro C Ellipsis, uHyperbolae recta CX parallela NE, Conveniente cum MQ in X, patet fore CX medietatemὼN ut CQ medietas est QΝ , adeoque aequari NEMisIE, ac iunctis CE, XE , fieri parallelogramma CXEN, CXIE, EC . Quare ad ducendam

tangentem ex dato puncto M , sussiciet iungere aflremotiorem diametri terminum Q rectam MQ,& ex centro dueta CX parallela ordinatis, facto- Que uno ex dictis parallelogrammis , iuncta ex Mad angulum E s sive ducta XE dumtaxat, paralleisia , & aequali semidiametro CN , junctaque ex Mad punctum E), ipsa recta ME tangens erit. COROLL. XVI. Denique, si diametet NK in qualibet sectione sit ejus axis, posita in ipso ΚS aequali ΚΤ, ad partem subtangenti oppositam, juncta SM erit perpendicularis Curvae. Nam cum tangente GM rectum angulum efficiet SMG ; nam cum sit ΤΚ, sive ΚS illi aequalis , ad ΚM , ut KMad ΚG, quadratum MK aequabitur SΚG rectangulo, & ideli cum sit MΚ perpendicularis axi GS,

erit SMG triangulum rectangulum, Cuius normalis MX est media inter segmenta basis SE , EG 8.yl.Elem. . Dicetur autem ipsa ES sub normalis, quae in Parabola semper erit aequali semipara metro NR , cui aequatur ET : in Hyperbola verb , χEllipsi erit ad semiparametrum, ut distantia ordinatae a centro CK ad semiaxem transversum CN , ita enim est & ET ad NR : sive eadem subnormais iis RS aequalis ET est ad distantiam ordinatae 1 Centro CX , ut rectum latus N F ad transversum

nem.

38쪽

In Parabola qualibet recta MD, parallela ejus diametro NK, es pariter ω ipsa diameter , bifa- Fg g .riam secans omnes illi ordinatas BF, NZ, paraia telas tangenti MG; O quadrata pariter ejus ordinatarum BD, NX, sunt ut abscissa MD., MX o vertice M talis diametri.

EX vertice N diametri NK, unde genita est Parabola , ducta tangente NE, quae occurrae ipsi MD in I, ducatur quoque NAZ parallela tangenti MG, quae ipsi MD occurrat in X, & Curvae in alio puncto χ : ducantur quoque ordinatae ad diametrum NK rectae MK, Ω ΣΤ, secans MD in V. Erit quadratum ML ad quadratum ZT , ut NKad TN, ex natura Parabolae sProp. . , sive ut parablelogrammum NEMI ad aliud aeque altum N TUI: at simi Ita triangula GKM, NTZ sunt pariter, ut quadrata homologorum laterum MΚ , ZT I9. VI. Elem. δε ergo haec triangula sunt ut dicta parallelogramma et sed triangulum GEM ae uatur NKMI, ob esus hasim GK duplam hasis hujus NX sci-νoll.6.Prop. 9. .ge parem utriusque altitudinem; ergo etiam triangulum NTZ aequabitur NTUI: Rablato communi NXUT erit triangulum XVae aequale simili triangulo XIN ; quare Sc horum latera homologa XZ, XN erunt aequalia et igitur rein

Ra MD bifariam dividit in X ipsam NZ tangenti MG parallelam . Similiter ducta qualibet alia parallela ΗDF supra NZ, quae secet NK in P, A NI in AE, & ordinatis ad priorem diametrum ΝΚ,ΗL, PB, secanshus ipsam MD in R , Sue cum sit triangulum PLΗ ad GKM sibi simile , ut L Η quadratum ad quadratum LM, idest, ut NL ad NX, sive ut NL RI ad NAMI, quemadmodum GLM aequa

39쪽

tur NKVI, etiam PLΗ erit aequale NLRI; Se aliud simile triangulum PFB aequabitur NBSI, cum sit ad GKM pariter, ut quadratum FB ad quadratum MΚ , nempe ut BN ad NK , sive ut NBSI ad NXMI: quare differentia triangulorum PFB, PLΗ, idest quadrilineum LΗFB, aequabitur differentiae

Parallelogrammorum ipsis triangulis aequalium

& ablato communi spatio LBSDΗ, remanebunt triangula DSF, DHR aequalia; unde cum similia sint, erunt homologa latera DP, DΗ pariter aequalia. Similiter ducta infra NZ rerei h f parallela

tangenti MG, quae secet ΝΚ in ρ,NI in e,atque ordinatis b L ,fb ad diametrum NK, secantibus ipsam MD in R, si ostendetur triangulum h p L aequari NLRI ; unde utrinque addito L h s R, erit bpbrR aequale ipsi N b r I parallelogrammo , quod erit aequale triangulo p bf ob eandem rationem in li- milibus litteris supra adductam : quare cum PrO- veniat bpb s R aequale ρ bri, ablato communi pbsd, resultabit triangulum , d R simile , 2 aequale rati

ideoque 2 homologa latera b d , d qualia erunt. Igitur recta MD secat bifariam quaslibet parallelas tangenti GM; unde respectu harum ordinatarum, est quoque MD diameter. Quia verb propter GN aequalem NI , a ualem IM, triangula similia GEN , IEM aequantur, addito utrinque NEMX,parallelogrammum GNXMaequatur triangulo INX: pariterque iisdem trianiagulis GEN,IEM, addito NEMSB , quadrilineum

C MSB aequatur parallelogrammo INBS, cui ostenissum est aequale triangulum PBF; ergo ex hoc triangulo, & ex GMSB, ablato trapeEio PDSB , erit triangulum DSF aequale parallelogrammo GPDM; quare triangulum INX, sive illi aequale XUZ ad triangulum DSF eidem simile, adeoque 2 quadratum XE ad quadratum DF , Eve quadratum N X

40쪽

ad quadratum ΗD, erit ut parallelogrammum

erat demonstrandum.

COROLL. I. Hinc quaecunque respectu diametri primigenii NX , ejusque ordinatarum , dicta sunt, ad quamlibet aliam diametrum MD referri possunt, circa tangentem, velut NI, cujus subtaningens XI pariter dupla erit abscissae MX , 2 circa parametrum , seu latus rectum huic alteri diameistro MD determinandum , quod erit tertia proportionalis post quamlibet abscissam MD , Ω ejus or. dinatam DF , ut quadratum cujuslibet ordinatae aequetur rectangulo suae abscissae in idem latus re- Sum huic diametro pertinens. COROLL. II. Notetur autem, quae is triangula super ordinatis , suae diametro adiacentia , cum subtenso latere parallelo tangenti , velut PLH ,

PBF , NTZ , aequari parallelogrammis sibi correis spondentibus N LRI, NBSI, NTUI, &c. Uti etiam IX N aequatur MXNG, RDΗ aequatur m DFG, Ass aequatur M d p G; & fac de aliis.

COROLL. III. Item notetur, triangulum NEGostensum aequale IEM : ob triangulum DΗRaequale M DFG, ablato communi MDHO , triangulum ORM aequatur OH PG, unde idem triangulum ORM , cum simili PLΗ aequatur triangulo CLO: pariterque obhL aequalem LΗ, quia trian

iequale GLO ; unde & quadrata OR, HL, aut OR , , L aequantur quadrato OL , aut sumtis aliis lateribus homologis, quadrata MR seu KL , 2 LP aut L p quadrato LG aequantur. COROLL. IV. Similiter ob triangulum XV Zaequale MXNG , extensa tangente GM , ut secet ordinatas TZ in Y, atque BF in Λ, juncto MXZY, evadit triangulum MVY aequale TNGY: sicuti ob triangulum DFS aequale MDPG , addito utrinque