장음표시 사용
161쪽
ESto parabola, cuius diameter ad . Concipiatur graue a hac
ratione destentare ex quiete per ad versus centrum H siue illud sit centrum commune grauium , siue particulare ; ut ici siti gulis aequalibus infinitesimis partibus temporis aequales velocitatis gradus acquirat versus ipsum centrum ae t assumptisque in ad duobus quibutuis pultistis ae, de re , ordinatim applicentur dε , pr b . Diuo impetum totalem aggregatum in ita tore ad impetum totalem aggregatum irin, ut ordis tim applicata de ad ordinain im applicatam n b. Intelligatur enim ad alias partes constituta talis eurua, ad quam protractis in ', &ι, ipsis cae, , n, ratio d ad n t aequetur rationi reciprocae ipsius πώ ad de . Erie d k ad ni, ut icifinite sima , per quam de excedit cain proxime ordinatam viei inniorem vertici, ad infinitesimam , perquam excedit proximEvniformiter ordinatam viciniorem vertiet. Atq; ita de caeteris ordiis natim applicatis ad praedictam eumam. Ponto autem parallela ipsi δε ducatur ax versus paries praedictae curuae; cui utique nunquam Oecurret, utcunque illa protrahi intelligatur. Quoniam igitur πώ
ordinatim applicata in parabola aequalis e st omnibus simul infini- esimis,per quas ordinati omnes applicat et in parabola inter punctas,ia n, remotior quidem is veriise excedit alaeram sibi proximam vicini - r. mari
162쪽
vieinio em vertici, quemadmodum figura x an Maggregata concipitur ex omnibus simul ad ipsam curuam xt ordinatim applicatis inter puncta a, den: quod quidem consimiliter valet de de ordinatim applicata in parabola, ac de figura x ad kxr consequitur plane ita esse figuram x ad x ad figuram x an ex , Ut ordinatia a applicata aec ad ordinatim applicatam a b. Quare,si graue a ita ex quiete descendere intelligatur per a d, ut in singulis aeqtialibus in is sinitesimis partibus ipsius a d acquirat impetus singulares proportionatos ordinatim applicatis ad praedictam curuam xk; ratio imis
petiis acquisiti in quadam parte spatij infinitesima d, ad impetum acquisitum in altera qualibet aequali parte spatij infinite sima n,
aequabitur rationi reciprocae ipsius figurae xant x ad figura in ox adhxs hoe est, rationi reciprocet impetus totalis aggregati in uad impetum totalem aggregatum in ae: siqui dein constat eas figuras proportionatas sore praedictis impetibus totalibus, cum ipsae ordinatim applicatae, ex quibus omnibus eae figurae aggregatae concipiuntur, proportionatae ponantur impetibus singularibus sucincessive a graui a in suo descensu acquisitis . Ut autem impetus totalis in n ad impetum totalem in ae ; ita reciproce mora ta infinite sima temporis in a ad moram infinite sim a m temporis in n.
Igitur impetus acquisitus in parte spatij infinite sima ae ita erit ad impetum acquisitum in altera aequali patie spatij infinitesima n. ut directe mora infinitesima temporis in d ad moram infinite simam temporis in n. Atqui ratio ista concipiendi nouos & notios suciscessive impetus proportionatos temporibus, eadem ipsa est, quam pro hypothesi itatutinus in titulo huius propositionis , quod nempe in singulis aequalibus temporibus equales velocitatis gradus a graui acquirantiar. Igitur citante hac hypothesi ratio impetus totalis aggregati in quolibet puncto ae, ad impetum aggregatum in quolibet altero puncto n, aequabitur rationi directae figurarum x ad kx, xant x, hoc est ipsarum d , n , ordinatarum in parabola. Quod erat &α
163쪽
ATque hic rursum locum habet obseruatio similis illi, quam potes, si placet, recolere in scholio post secundam huius . ADMONITIO.RAtionem praedictam augendi impetus deor in appellabimus
in polletu in hypothesin Galilaeanain.
EM. quadrans circuia da e , ciatus centrum d . Sint etiam duasemiparaboia , quartim areis ad; una d a k , altera d a r. Porro d r m minor ipsa
duplum quadrarum isthus d c. Dico lineam par ahοώ-cam a k cadere 3otiam μι quadranstem circuli,sed non etiam ianeam parabolicam
ipsius d a , seu d c, o . quadratum ordinatae A i aequale erit duplo quadrato dc,sime vini recti, ulo da Matque adeo a B erit latus reisu i . . etiam Parabolae da . Iam
a quolibet puncto b ipsius a d ordinetur in eirculo ipsa b n s de be in parabola da h. Constat , t maiorem sere quam , ns siquidem quadratum bt aequale
164쪽
LIFER QVART VS. ryserit rectangulo b a h,cum quadratum , n aequale sit minori rectangulo a b h. Atque ita de qiubuluis alijs ordinatim applicatis ab eodem puncto axis a d . Igitur linea. parabolica a cadit tota extra quadrantem circuli. Quod erat priore loco demonstran
dum s. Iam vero, lineam alteram parabolicam a rnoth cadere totam a
extra quadrantem circuli, si punctum r incidad in punctum c , aut inter puncta o dcis, res est ex se satis perspicua. Itaque punctum r situm sit inter puncta e , de ρ. Latus autem rectum Parabolae da r sit quaedam a g, quae minor quidem erit ipsa a B, sed maior ipsa a d. Porro autem sumatur m ad quedam am aequalis ipsi gh; & ordinentur, in circulo quidem m x; Sc m I in parabola . Constat eandem ipsam rectam fore m x, dc m I. Nai in quadratum ipsius m x ordinatae in circulo aequatur rectanguloamhr quadratum autem ipsius m I ordinatae in parabola aequatur rectangulo mag, sue a m , , propter. aequalitatem ipsarum a m , g b. Igitur aequales inter se sunt ipse m x, mi. Sunt etiam ad angulos rectos ipsi a ae ab eodem puncto m excitatae . Quare eadem ipsa est recta m x, atque m I r, ac propterea linea parabolica da r non cadit tota extra quadrantem eircaei. Quod exae P
H Inc , stante commini axe a d, si fiat quaedam parabola is cuius Iatus rectum maius sit quam dupla ipsius
poterit a Ita quaedam Iinea parabolica, nil -uVisa a k, secure angultim contentum sub ea cur a parabo Iica a ti, de circuli circunserentia a s. Quemadmodum, data parabola dar , cuius latus rectum . minus est quam dupla ipsus inae, duci potest quaedam alia curua parabollea secans qβcunmientiam circuli inter puncta a, de x , atque adeo secans etiam auguIum contentum sub curua parabolica a r, & circuli circunserentia ae Quar is
solius parabolae da k , cuius latus rectum aequatus dulae ipsius V. radii
165쪽
NEO- STATII PEradii ad , proprium id est, ut itante eo communi axe ad, nulla alia linea parabolica secare possit angulum contentum sub ipsa linea parabolica ah, de circuli circunferentii a c.
HInc rursum fit, quod infinite sima ordinatim applicata in scireulci ab ipso vertice a, eadem ipsa ordinatim applicata intelligatur in parabola da L. Cuius rei ulterior adhuc , ac facilior ratio reddi potest ; quia nempe rectangulum, cui aequatur qua dratum infinitesimae ordinatae in cireulo ab ipso vertice a, deficit a rectangulo, cui aequatur quadratum infinitesimae ordinatae in parabola da k ab eodem vertice a , per quadratum communis sagit-tulae inter verticem a , & eas ordinatas interiectae . Hic autem desectus tanquam nullus habetur apud geometras . Itaque illae ordinatae haberi debent tanquam aequales , imo tanquam unica eademque ipsa ordinata. unod quidem non valere, si assumat uralia parabola, ius latus. rectum maius sit, aut minus quam
dupla ipsius radii ad , satis patebit consideranti.
SI graue a descendere intestigatur ex quiete per a d usque ad ipsum centrum d ; prima quidem vice iuxta nostram θρο-
aequabitur rationi ordinatae in quadranre circuia d ac, cuiuscensrum d , ad ordinatam in
semipa solae d a k , eutas latin rectum queeur duplae Ussas rady ad, qai idem axis sit eiusdem parabola da . Assumpto
166쪽
circulo, de n r in parabola. Dieo ita esse impetum tota lem aggregatum in n in descensu ex quiete per a n iuxta nostram hypothesin, ad impetum totalem ibidem aggregatum in descenisse per an iuxta hypothesin Galilaeanam, ut ordinata n b ad oris dinatam n r . Nam impetus acquisitus in prima infinitesima a iuxta nostram hypothesin, est aequalis impetui acquisito in eadem prima infinite sima a iuxta hypothesin sa) Galilaeanam. Est etiam infinite sima ordinata in circulo ab ipso vertice a aequalis infinit eissimae s b) ordinatae in ea parabola da ε ab eodem vertice a . Igitur ordinatim applicatae in circulo, & in ea parobola da Φ ab ipso vertice a , proportionantur impetibus iuxta duplicem hypothesin acquisitis in prima infinite sima a . At vero, si infinitesima ordinata in circulo ab ipso vertice a repraesentare statuitur impetum acquisitum iuxta nostram hypothesin in ipsa prima infinitesi insa; et latran h ordinata sc in eodem circulo repraesentabit impetum totalem aggregatum in n in descensu ex quiete per a n iuxta nostram hypothesin . Similiter autem, si infinitesima ordinata in parabola
ab eodem vertice a repraesentare statuitur impetum acquisitum
iuxta hypothesin Galilaeanam in eadem prima in sinitesimi a ;etiam n ν ordinata id) in cadem parabola repraesentabit impetum totalem aggregatum in m in descensu ex quiete per an iuxta hypothesin Galilaeanain. Igitur, si nb repraesentare statuitur imp tum totalem aggregatum in v iuxta nostram hypothesin, similiter nr repraesentabit impetum totalem ibidem aggregatum iuxta hypothesin Galilaeanain. Quare ita erit impetus totalis aggregatus in m in descensu ex quiete per an iuxta nostram hypothesin , ad impetum totalem ibidem aggregatum in descensu ex quiete pera n iuκta hypothesin Galilaeanam , ut nb ordinata in circulo ad
n r ordinatam in ea Parabola d a ρ. inod erat demonstran
167쪽
r 36NEO. STATICAE COROLLARIUM.QVare impetus totalis aggregatus in centro d in descensu eκ
quiete per a d iuxta nostram hypothesin, ita erit ad impetum rotalem ibidem aggregatum in descensu ex quiete per ad iuxta hvpothesin Galilaeanam , ut d c ordinata in circulo ad Eordinatam in ea parabola da k, nimirum ut quaedam recta ad aliam potentem duplum eiusdein quadratum .
PROPOSIΤIO DECIMA SEXTA.FXHIente d centro aliquo grauium , ct angulo bad recto ;ι si graue quodpiam a desiendere intelligatrer ex quiete secun- m paraueras ipsi ad; prima quidem vice motu acceleraIo iuxta pothesin Galilaeanam; tiam etiam aisera vice motu accelera Ioiuxta nogram hypothesin; dum interim ipsum graue a quali in υι que, οιhesi, eoque semper aequabiti impe . tu sertur secundum parallelas 'si a b raescriber utiq; motu composito duas cum uas , ut a r iuxta h othesin Gaia ea nam, ct a in iuxta nostram ; ad quas
ρ ῶ duobus quibusvis punctis d , ct cipsius axis a d ordinentur d r ira, c t hDico ita sore inter se rectas d r, c t,d m , cli , quomodolibet comparatas, ut tempora correspondentia ex a in d, ct ex a in c iuxta hypothe- Galilaeanam ; atque irem ex a in d, ct ex a in e iuxta nostram opothesin. Rursum crema a r erit parabolica.ET prior quidem pars satis ex se manifesta videtur. Quoniam enim graue a aequali in utraque hypothesi , eoque semper aequabili impetu fertur secundum parallelas praedi me ab a conse-
168쪽
quomodolibet comparatae, proportionales sint temporibus, in quibus eae percurri intelliguntur, nimirum temporibus correspondentibus ex ain d, Sc ex a in ς iuxta hypothesin Galilaeanam ; . atque item ex a in A, & ex a in e iuxta nostram hypothesin. Quod erat priore loco propositum . Posterior autem pars ita evincitur. Nam impetus aggregati ex a in d, & ex a in c iuxta hypothesin Galilaeanam, proportio nates sunt temporibus correspondentibus, nimirum sex priore pat- te huius propositionis) ipsis rectis aer, c t. Illi autem sunt inter se, ut rectae ordinatae in parabola a punctis d, dc ς ipsius sa) axis ad . Igitur praedictae rectae dr, c ι sunt ordinatae in parabola, cuius nempe axis ad . Qii mobrem curua ar est parabolica. Quod erat posteriore loco demonstrandum .
ESto sig*ra curua d ar, quam tangat in quolibet punin rquadam r t, occurrens Vs d a protracta in t . Sis etiam reis
169쪽
18 NEO- STATICA sociandum d r , siue ipsi parallelas , acceleraris , aut retardaris
in decursu , siue utroque , siue uno rantum s prour nimirum pati poteris ipsius rapinra curua natura. Dico primo . erum comis ρομι- in r sore secundum conrangentem t r. Dico sectando ita sene in r impetum vivum componentem sectinaeum d r, ad impetum ω-um componeniem secundum a d, ut ordinata d r ad ipsam d e interiectam nempe inteream orisnatam d r, ct contingentem l r . At ne ira quidem, etiamsi descriptio ii Fus curua procedere inrmiagatur a prenso r veraust ρvinctum a, inare sd nimirum pradicto rum impetuam Hrectione.
CLaritatis gratia, considerabimns inuerso modo deseriptione
Praedi curii , nimirum a punctor versus punctuim a . Iam vero, si fieri potest, motus compositus in r non sit secundam eo tingentem ri, sed secundum quandam secantem rh. Constat primo angulum mistilineum fra diuisibilem sore per quandam aliam rectam n r, quae & ipsa secans sit praedicti tu ruς. Constat secundo, quod, si graue quodpiam habere ponatur impetum aliquem secundum rh, non inibit alteram viam, ut ru, nisi alius impetus secum dum quandam altam directionem adiunctus intelligatur, qui vinque rationem habeat non infinith paruam ad eum impetum sient dum νώ. Potest autem manifestum id ege ex propositione a F. --
170쪽
stri libri primi. Constρt tertio, quod impetus iste nouus adiuniactus esse debebit maior dum tamen eadem directio retineatur si maior fuerit ipse angulus hyn: Excitata quippe propositione id
etiam colligi facise potest. Quare, cum angulus mistit meus Aramaior sit angulo rectilineo brn, fieri nequibit , ut graue citatum impetu quodam secundum rh ineat viam ipsius curuae ra, nisi praedicto impetui secundum r h adiungi inibi liuelligatur impetus alius secundum quandam aliam directionem , qui rationem habeat non in sinite paruam ad eum impetum secundum rh. Igitur talis impetus adiungi deberet in casia nostro . Hoc autem absurdum est: Tunc enim motus compositus non seret secundum rh, ut erat hypothesis, sed secundum quandam aliam directionem facientem cum curua ra angulum minorem ij hra. Quoniam igitur motus compositus intelligimus de adaequato)nequit esse secundum ullam secantem, is erit omnino secundum a contingentem ri, quae utique essicit cum curua ra angulum minorem quolibet angulo rectilineo. Quod autem ibi in r alius quidam impetus secundum quandam aliam directionem adiungi in istelligatur, negotium facere non potest ; quoniam is impetus rati nem infinite paruam dicet ad praedictum impetum secundum con tingentem ri. Porro autem, quod posteriore loco demonstrauiadaina nobis est, facila utique constat ex corollario propositionis a s. nostri primi, adiuncta obseruatione facta in definitione posti . eiusdem libri . Constat etia in liaec valere, seu descriptio illius curuar procedat a puncto r versus a, siue incipiat a puncto a verissus r, dum scilicet inuertatur impetuum directio. Itaque con stant proposita.
Vod si impetus vivus componens in ν seeundum rae ita se habeat ad impetum vivum componentem secundum quanis da n ε parallelam & a qualem ipsi de , ut νδ ad ν s constabit e conuerso iunetam νι fore contingentem. Nam motus com