장음표시 사용
141쪽
I3o NEO- STATI EAE sitis. Atqui ratio i sta concipiendi nouos &nouos Decessiue imis petus, eadem ipsa est, qua in ostendimus is competere naturaliis ter grauibus . Igitur, si graue a naturaliter ex quiete descendere intelligatur per a ae versus centrum commune ae; ratio impetus totalis aggregati in , , ad impetun . aggregatum in qualibet altera aequali infinitesima B, aequabitur rationi directae figurarum xab x, ix ah mx, hoc est , ipsarum in , Bν ordinatim applicatarum in circulo. Quod erat &α
COROLLARIUM I. QVod si eodem centro A, ac semiaxe da, fiat quadrans elis
lypseos Hst, in qua ordinatim applicentur be, Buri Constat utique ita adhuc fore impetum totalem aggregatum in b, ad impetum totalem aggregatum in B, ut ordinata be ad ordinatam Bu, cum istae ordinatae in eadem sat ratione, in qua ipsae , n,hr ordinatae in circulo.
RVrsum constat eandem rationem subsistere, etiamsi quoddam alterum punctum ae sit centrum commune grauium , ipsum vero punctum aesit centrum particulare. Nam graue AE in descensu per ad acquiret nihilominus in singulis musibus infini-tesimis spatij partibus singulares impetus subnascentes, quorum ratio
142쪽
ratio componetur ex ratione sa) directa distantiarum a centro pataticulari Α, &ex reciproca impetuum totalium in eisdem infinitesimis partibus aggregatorum versus idem centrum particulare A . Quare ratio impetuum totalium in duobus quibusvis punctis , , de is aggregatorum, equabitur consimiliter rationi directae ipsa rum , n, hr, aut be , Bu, nimirum ordinatarum in quadrante circuli, aut ellypseos .
SEd videri possumus commisisse fallaciam, apud Iogicos dictam Consequentis. Neque enim demonstrauimus conuertentem propositionis primae, quam tamen a nobis tacite supponi consideranti patebit. Nihilominus sconsule figuram proposit. I. huius in hae re frustra immorandum non suit .' quandoquidem , sese ad perpendiculum intersecantibus duabus aequalibus rectisad, Ag, fatis ex se constat determinatam esse figuram a din qua ni mirum ordinatim uni formiter applicatae a semiaxe ad ad curuain a g ea tali ratione se inuicem excedant; ac propterea eam figuram necessario esse quadrantem circuli. Quemadmodum etiam spropius ad rem presentem perspectum omnibus esse potest, determinatam esse rationem impetuum totalium consule figuram prop. praec. ubiuis in decursu aggregandorum , si graudia ita ex quiete sprout nempe naturaliter iit descendere ponatue per ad , ut in duabus quibuslibet aequalibus infinitesimis spatii partibus b, de B concipiat impetus singulares, quorum ratio com Ponatur ex ratione directa distantiae ad distantiam o A, de ex reciproca impetus totalis aggregati in is ad impetum totalem aggregatum in b. Quare; cum ratio ista demonstrata naturalis concipiendi nouos de nouos si celsiue impetus, illi alteri consonet, quς impetus totales ubiuis in decursu aggregatos propo tionales statuit ordinatim applicatis in quadrante circuli , aut ellypseos, prout iam demonstrauimus; haec enim vero posteriotratio admittenda etiam ipsa Omnino venit . .
143쪽
IMpetur ex quiete agglomeratus ex a in centrum d ira se habet
ad impetum ex quiere agglomeratum ex quovis altero puncto his idem, aut alterum centrum grauium, ut victantia a d aά G-
Entro enim d deseribantur quadrantes circuli d a c,
dhx. Constat ex natura circuli, quod due ordinals a duobus quibusvis punctis,similiter diuidentibus radios a d, B d vi b n, /m proportionales sunt ipsis radiis ad, Bd. Iam vero, im petus singuIares concepti in a. ει ἡ,in squali parte infinites ma , temporis, proportionantur a eisdem radijs a Ah d. Quoniam autem verum semper id est in ipso fluxu talis infinite simae temporis , idcireo particulae infinite simae spatij a, & h in ea quacunque aequali infinitesima temporis ex quiete percursae, ita erunt inter se, b j ut ipsi radi j a A, BA, nimirum sex praedicta natura cirisculi, ut ordinatim applicatae in quadrantibus ab illis infinitesimisa, & o. Porro; si infinitesima ordinata in quadrante dae ab ea infinitesima a repraesentare statuitur impetum ex quiete agglomeratum in motu per ipsam infinitesimam a s etiam ordinata de reis praesentabit per praecedentem impetum totalem aggregatum in descensu ex quiete ex a in d. Pariformiter ι si infinitesima ordinata in quadrante dBx ab illa infinite sim a b repraesentare statui. tur impetum ex quiete agglomeratum in motu per ipsam infinite-smam B; etiam ordinata dx repraesentabit per praecedentem
144쪽
impetum totalem aggregatum in descensu ex quiete ex h in E. Igitur impetus ex quiete agglomeratus ex a in d ita se habet ad impetum ex quiete agglomeratum ex B in is , ut ordinata d ι ad ordinatam dx, nimirum ut distantia ad ad distantiam h d. Quod
COROLLARIUM.QVare, designatis ipsarum a ae, b d duabus quibuslibet poris
tionibus ab , θε; impetus ex quiete agglomeratus exa in , ita erit ad impetum ex quiete agglomeratum ex hin k, ut ordinata bn ad ordinatam fim. Nam impetus ex quiete agglomeratus ex a in , ita est ad impetum ex quiete sa) agglomeratum ex a in ae, ut ordinata bn ad ordinatam ae e , seu radium a ad: Est etiam impetus ex quiete agglomeratus ex a in d ad impetum ex quiete agglomeratum ex h in d, ut distantia ad ad distantiam h A: Tandem ita est impetus ex quiete agglomeratus eae se in d ad impetum ex quiete by agglomeratum ex h in ε , ut ordinata Ex, seu radius h ae ad ordinatam Em. Igitur, ex aequo, ita est impetiis ex quiete agglomeratus eκ a in , ad impetum eκ quiete agglomeratum ex B in B, ut ordinata b n ad ordinatam ε m.
LEMMA. andoquidem in motu per infinitesimam a , sueeessuὶ uniis
formiter concipiuntur a graui impetus proportionati diis stantiis a centro P, atque adeo temper aequales, cum shabeatur tanquam nulla imminutio interueniens distantiae ab
ipso centro d, utpote infinite parua ; quod idem valet in motu alisterius grauis per infinitesimam θ : consequens plane est, ut grauia, quae eodem ipse tempore moueri ex quiete intelliguntur per ipsas infinites mas a , dch, obtineant semper in motu impetus proportionatos distantijs a d, b d. Quare perinde se habebunς inter
145쪽
r34 NEO- STATICAE 'inter se, ac si illorum utrunque aequabiliter semper ferretur. Igiatur infinitesiinae a, de B in qualibet eadem, aut aequali infinitesi-ina temporis ex quiete percursae, ita erunt inter se, ut a γ ipsi ra
rit ex quiere ab a in quod bet punctum ii iratis ad , aliae inde re ruia inresistatur ranιo im τω vivo secundum lia,
ratus ex a in h secum dum a d : dico inuQ-ur recursurum ipsam h a quatibus ubi aerespective impetibus , nimirum proportionaia. bus ordinatim applicatis in ipso quadrante circuli da .
SI enim illud graue ita ascendere intelligatur ab bin a, ut semper obtineat impetus vivos feeitndiun haproportionatos ordia natim applicatis in eo quadrante circuli ι patet sane, quod in singulis aequalibus infinite simis ipsius Ba deperdet impetus propor tionatos infinite simis, per quas, ipsae uniformiter ordinatae in ei culo se inuicem excedunt, nimirum , sex demonstratis in secunda huius proportionatos ordinatim applicatis ad eam curuam x d,
atque adeo i designatis infinitesimis aequalibus , , de h) dicentes inter se rationem compositam ex ratione directa distantiae , d ad distantiam B d, de ex reciproca figurae xab mx ad figuram axab Ex, hoc est, impetus totalis vivi in B ad impetum totalem vivum in b. Atqui ratio ista deperdendi impetum sursum eadem
ipsa est , quae naturaliter competet praedicto graui proiecto su sum
146쪽
sum ab h versus a s quandoquidem in singulis aequalibus infinitesimis ipsius Ba concipiet impetus singulares oppositos versus centrum is, dicentes utique sa) inter se praedictam rationem compositam . Igitur vere graue illud recurret ipsam h a aequalibus ubique respectiuE impetibus , nimirum proportionalibus ordiu tim applicatis in ipso quadrante circuli da c. Quod erat dic.
HIc etiam locus esse potest simili obseruationi saetie in scholio post secundam huius, ad quod lectorem remitto .
Constat autem idem valere, si loco puncti cuiusdam intctm dii h assumatur ipsum centrum E. Rursum constat, quod inuertice a elisus intelligetur totus impetus sursum.
Constat etiam, quod graue proiectum ab β secundum quandam directionem ha, ad eam usque altitudinem ascendet, unde si ex quiete descenderet ad ipsum usque punctum B, aequalem ibi obtineret agglomeratum impetum secundum oppositam directionem aB. Sic
autem eam altitudinem determinabis. In νrecta a B protracta centrum aliquod gravium sit d. Rursum impetus postus in osec::aelata is ita sit ad imoetum ex quiete acquirendum ab h in ae, ut qtiaedam h r, perpendicularis ipsi hae, ad eam distantiam Od. Iam, centro ae de interuallo ar, quadrans circuli fiat da c. Dico graue illud peruenturum usque adca cor. I. post 13. nossibi terri'.
147쪽
t 36 NEO- STATICAE ad verticem a . Nam impetiis ex quiete acquirendus ab a in Bita est ad impetum ex quiete sa st acquirendum ab a in ae, ut brad dc: impetus autem ex quiete acquirendus ab a in d, ita est ad impetum ex quiete aequirendum bὶ ab sin d , ut a d siue d c, ad hae. Igitur, ex aequo, impetus ex quiete aequirendus ab ain B, ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab O in , ut br ad B d. Itaque impetus ex quiete acquirendus ab a in oaequalis est illi, qui positus suit in B secundum directionem ha . Quare, per praecedentem, perueniet graue ab ovsque ad veristicem a. Quod si punctum b idem ipsum sit aliquod centrum grauium, satis utique patet intentum ex praedictis. Quare constat Pr postmo.
rigura reciproca quadrantis sireuia est dupla e res m. Sto quadrans circularis , cuius centrum c. IntelIigatur etiam coastituta talis curua ax; ad quam si a duobus quibus uis punctis ς, dc n arcus circularis a B ordinatim applicenis
148쪽
ad snum e m. Constat primo ita sere ordinatam cr ad ordina tam h x, ut reciproce simis totus h a ad sinum e m. Constat seoeundo, quod ax, a puncto a ordinata, semper quidem accedet, sed
nunquam tamen occurret praedictae cum ae ax. Itaque figuram ipsa ah, arcu circulari ha , asyinptoto ax, de ea curua zx comprehensam, quadrantis circularis reciprocam appellamus, d
planaque dicimus ipsius quadrantis κha.
Iungantur. Ic, ar. Quoniam igitur ita est c r ad h α , ut 6 α ad c me, rectangulum rcm aequale erit quadrato Ba seu cet, hoc est quadratis c m, m z. Est aruem rectanguIum re m aequale qua .drato cm, de rectangulo cmr: igitur,de inpio communi quadratoc m, rectangulum c mr aequale eris quadrato m a Quare angulus c zr est rectus; atque adeo tangens, a puncto ι excitata, parallela erit ipsi αr. Porro, a quodam puncto k tangentis σε ad partes puncti a convergentis, ducatur .u parallela ipsi cr,&occurrensa r protram in 'u. Erit parallelogram imma chur duplum tria guli ς εα, cam ea constituta sint super eadem basi σε,&intereandem parallelas c Φ, Eu, Manebit autem predicta ratio, etiamsi tangens c/, ipsique equalis ac parallela ru, infinitae paruitatis statuantur. Atque ita semper, si ab omnibiis punctis arcus circi Iaris a b excitari concipiantur e gentri infinitae paruitatis , si perque earum singulis, Se inter ea silam parallelas, constitui pram dicto modo sua parallelogramma , ac triangula. Porro constat, quod figura rhaxa aequabitur omnibus illis parallelogrammis , di quadrans circularis πha omnibus illis triangulis 3 nimirum propter infinitam par hiitatem excessivum ac defectuum Igitur
figura xha x a ita erit ad qtradrantem cireularem zθώ, ut unum' parallelogrammum ad unum triangulum correspondens , utini, sum erit eiusdem dupla. Quod erat demonstrandum.
ΡArr ratione ostendetur, quod portio rea xr dupla est secto, ris a ς a , ubiIibet in arcu circulari a h sumptum fuerit ip-S sum
149쪽
r38 NEO-sT ATIGAE sum punctiim c. inare ita erit integra figura aeba x x ad portionem rcax r, Ut quadrans circularis κε a ad sectorem aeca, siue ut arcus a B ad arcum a c. Similiter, iuncta an, ita erit portio Ina x I ad portionem rea xr, ut arcus a n ad arcum a C. Simiab serra ratiocinio demon atum id leges . P. D. Guidone Grando , geometra praesiantis mo , in seis Hugenianis .
TEmpora rotalia descensus grauium ex iniere versus centr umproportionalia seunt arcubus quadrantis circuli , cuius stemiaxis sit recta itingens ipsum centrum cum piancto ilis sΡέθ, unde ex quirae coepit graue defendere. ΜΑnente figura praecedentis propositionis , sit a centrum aliquod grauium, ad quod per a a descendere ex quiete intelligatur quoddam graue a. Designentur in radio a n duo quἴ- libet puncta ι, & m , unde ad arcum circularem a b ordinatae sunt ipsae ιn, m c. Dico ita esse inter se tempora totalia ex quiete ab ea in a, ab a in t , ab a in nr, ut areus circulares correspondentes s b, an, a c. Quoniam enim impetus totalis in t ita est ad impetum a totalem iam, ut sinus an ad sinum m se si partes infiniresimae spatij ι, & m fuerint inter se aequales . ita erit mora singularis in t ad moram tb singularem in m , ut reciprocE sinus
150쪽
MBER QUARTUS. Istme ad sinum tus nimirum, ex natura curvae ax, ut directe oris dinata n I ad ordinatam cr. Atque ita semper, ubiuis in radio a a sumpta fuerint ipsa puncta ι de mi g mr ordinatim applica istae ab arcu circulari a B ad eam curuam xx repraesentant moras singulares in singulis aequalibus infinitesimis partibus radi j ax, in quas nempe occurrunt ipsae ordinatae. Quare integra figura a B a- xx, & portiones in a XI, rcax repraesentabunt tempori t talia ex quiete ab a in x, ab a in t obae in m 3 quae propterea ita erunt inter se, ut praedicta integra figura , eiusque portiones, nimirum ut arcus ca) circulares a 6, an, a c. Quod erat &c.
Constat autem eandem rationem subsistere, si graue aliquod
proijci intelligatiir a centro et secundum aliquam directionem za, tanto videlicet impetu, quantus est aequirendus ex quiete ab a in x secundum directionem ax. Ostensum b enim iam est, quod recta xa aequalibus ubique respectiuε impetibus recuris retur, nimirum proportionalibus ordinatim applicatis in ipso quadrante circuli a Ba. Igitur aequali itidem tempore se recurretur, seu tota xa, seri quaelibet eius designabilis portio; atque adeo tempora totalia ascensus sursum repraesentabuntur similiter ab arcubus circularibus correspondentibus.
Grauia a qualibet distantiae aquaia rempore perueniunt ex siere ad centrum commune, ct ad quodvis centrum pariticulare .REsumpta figura propositionis tertiae; constat ex eius eorolis lario, quod impetus ex quiete aggregatus ex a m , ita est ad impetum ex quiete aggregatum ex o in Ordinata