장음표시 사용
151쪽
I O . NEO- STATI GAEbn ad ordinatam m. Quare,
si , talis fuerit portio infinitefama ipsius ad, qualis est ε ipsius h d; atque adeo infinite sima bita fuerit ad infinite sima in in , ut a d ad B d, hoc est existenatibus ad , Bd similiter diuisis in b,de εὶ ut ordinata bn ad ordinatam m, siue , ut impetus totalis in , ad impetum tota istem iv k: patet sane a quales fore moras infinitesimas temporis in b , de in . Atque ita de aliis infinites mis similibus , & cor-irespondentibus; quae quidem in utroque radio aequales multitudine sint, ipsosque radios omnino adaequant. Igitur tempus totale descensus ex quiete ex a in ae aequale est tempori totali descensus ex quiete ex binae. At distantiae a d, bd designatae sunt pro quibuslibet distant ijs; atque item punctum d sumptum est pro quouis centro grauitam, imo etiam venire potest tanquam duplex centrum distinctum . Itaque grauia a qualibet distantia aequali tempore ex quiete perueniunt ad centrum commune, di ad quod uis centrum particulare. Quod erat de in onstrandum.
tς , existente x centro communi grauium, &an- gulo bax tecto, si grauea pro ijciatur secundum a b, perinueniet supra planum a s ad sumin mam suam altitudinem, ut a b, et quali ipso tempore,quo ex qui te descenderet ex a in a. Nam empus, in quo ascendit ad sum-
152쪽
mam altitudinem a b, aequale est illi, in quo descenderet υ ex quiete ab eadem altitudine usque ad centrum a ; atque adeo per praecedentem illi etiam aequale, in quo descenderet ex quiete s
ΡRaeterea suinina ipsa altitudo a b ita erit ad ax, ut impetus proiectionis seeundum ab ad impetum ex quiete agglomerandum ex a in z. Nam impetus ille proiectionis secundum a b aequalis erit b; impetui ex quiete acquirendo ex b in s. Hic auistem impetus ex quiete aequirendus ex b in a ita se habet ad impetum ex quiete acquirendum ex a in a, ut o ab ad as . Igitur constat intentum.
HI ne tandem ; descriptis , centro a , &interuallIs ab, ax, quadrantibus circuli abc, a ah, designatisque arcubus similibus cn, a , atque ordinatis rer, ε δ s tempus ex a in raequale erit tempori eκ a in m. Nam tempus ex a in m ita est ad tempus ex a in g, ut d arcus a fi ad arcum a B. Similiter tempus ex a in r ita est ad tempus ex a in b, ut ce) arcus en ad arcum ς, . Quare tempora ex a in m , de ex ain r erunt similes portiones temporum totalium ex a in z, dc ex a in b. Sunt autem inter se aequalia tempora ista totalia f ex a in x, & ex ain b. Igitur aequalia etiam inter se sunt tempora praedicta ex a inm, di ex a in V. Quod erat propositum .
153쪽
Eaistente ae centro communi grauium, ct angulo baae recto ; A graue a obtinere ime Vara secundum a b impr. tum aequalem isii , qnem acquireret in descensu ex quirae pre a 2 inque adipsum centrum commune E t dico descriptum semper ab eo iri per infinitas reuotari
nes circumserentiam circui, , cuius centrum ae , radius ausem a Z.
SVn pta enim a b aequali ipsa an, fiat
centro a , Se interuallo a b quadrans circuli ab e . Sit etiam radius κώ ad angulos rectos ipsi a et, & limgatvr ιδ. D nique, assumpto in ab quolibet puncto Gordinatim applicetur se, quae Protracta occurrat arcui a B in Φ, unde ad ax ordinatim applicetur m. Iam sic . Constat primo, quod graue a, aequali ipso tWmpore descensus ex quiete ab a in x,
ex vi solius naturalis agglomerati imPerus versus centrum comis
mune a , persee isset 'in ipsam ab ex vi praedicti impetus secundum a b, dum scilicet planum a b eius descensui restitisset. Co sat secundo, aequaIes scire di similas arcus c π, σε. Quare, aequali ipso tempore descensus ab G in m , perfecisset M graue a 'ipsam a r. Igitur, aequali ipso tempore descensus ab a in m peria uenisset graue ex vi motus compositi, in ipse in unctum ρ. Aia sumptum est autem punctum r pro quoIibet putiato ipsius a b . Igitur graue π, ex vi motus compositi, describet arcum a B. Pe ueniet autem in punctum is aequali ipso tempore descensus ab ala x, siue ascensus ab a in b . Atqui in puncto b elisus ce)omnino fuisset impetus secundum ab , nimirum Per agglomeratas sub-
154쪽
subnascentes impetus versus centrum particulare a . Itaque in puncto B solus aderit vivus impetus secundum a x, seu b is ipsi parallelam, aequalis nempe illi, quem graue a acquisiuisset in descensu ex quiete ab a in x, siue illi, quem acquireret in descensu ex quiete ab is in ipsum centrum commune a . Quare, simili ratione, describet a pilncto B alterum quadrantem eiusdem circumferentiae r atque ita successiuε, donec redeat ad ipsum pii ctum a s unde scilicet eiusdem circumferentiae descriptionem rein sumet Z Itaque describetur semper a graui a per infinitas reuolu eiones circumserentia circuli, cuius centrum n, radius autem ax. Quod erat demonstrandum.
DDo autem quali semper impetu trocessurum V ue a Ad scriprione praedicta circunferensia, quantus nempe es impetus ab initio positus secundum ab .REsumpta enim eadem figura, protrahatur nε ad ab in x ἐ& iungatur et Φ. Erit n ν aequalis ipsi in M. Si ergo impetus secundum ab ponatur ab initio, ut ca, erit impetus acquisitus in descensu ex quiete ab a in a , ut a B. Porro in r impetus vivus seeundum ab erit M vi nr, hoc est fixr impetus autem ex qui te. acquisitus ab a in m erit sc)vt-Itaque graue a obtineis
hit in impetum m k seeundum directionem k x parallelam ipsi a x, de impetum kx secundum directionem m h parallelam ipsia, . Quare impetus compositus erit ωJ ut xv, hoc est x B, siue ea, aequalis nempe impetui, qui ab initio positus fuit secundum ab . Atqui punctum k sumptum est pro quolibet puncto arcus a B. Igitur arcus aB, atque adeo tota praedicti circuli circunserentia , describitur aequali semper impetu a graui a , quantus nempe est
155쪽
CV m dicimus impetum compositum esse ut a , aduerte exprimi dumtaxat eius quantitatem, non vero directionem , quae sumenda est secundum tangentem , ductam ex puncto k versus p rtex B , ut constat ex ipsa demonstratione.
In vero impratis ab initio positus sm cundum a b ita sit ad impetum ex qtitere acquirendum ab a in E , τι ab maior , aut minor quam a Z, ad ipsama E e iaco descriptum semper iri . grauia per infinitas reuolutiones perimetrumeto eos, cuius unus semiaxis sit E a , ct alter ρι a h aqualis ipsi a b . CEntris enim a , & a , describantur qua is
drantes circuli ab c , a a g . AsBmpto autem in ab quolibet puncto r, ordina intim applicetur rn , quae protracta occurrat in k euidam in altero quadrante ordinatae me, quae utique abscindat arcum at simialem arcui cn . Denique iungat Ar , , , d mittaturque ad c a perpendicularis rix. Iam
sic . Constat primo,quod graue o,aequali ipso tempore des ensita ex quiete ab a m n, persecisset sa) iptam a b . Quare, aequali ipso tempore descensus ex quiete ab a in x, perii niet graue a, ex vi motus compositi, in punctum B. Constat secundo , quod, aequali ipso tempore descentus ex quiete ab a in m , perfecisset b) graue a ipsam a r. Quare,aequali ipso tempore desce sus
156쪽
sus ex quiete ab a in m, perueniet graue a, ex vi motus compositi, in punctum E. Constat tertio ita fore spropter similitudinem is arcuum J a g ad m ι , ut a b ad nat, seu ab ad m/r atque ita semper, ubiuis sumptum suerit punctum k in Iliaea, ex vi motus compositi, descripta. Igitur, cum semiaxis nis ita sit semper ad ordinatam m , ut, in quadrante circuli et ag, radius zg ad ordinatam mi; erit linea a εh,ex vi motus compositi descripta, quadrans curvae et lypticae, cuius unus semiaxis est ipsa za, & alter semiaxis est x h. Atqui in puncto b elisus sa) omnino fuisset imis petus secundum a b , nimirum per agglomeratos subnascentes impetus versus centrum particularea. Itaque in puncto θ solus aderit vivus impetus secundum a n, aut bΘ ipsi parallelam, aequalis nempe illi, quem graue a acquisiuisset in descensu ex quiete ab a in x ; qui propterea ita se habebit ad impetum ab initio positum secundum ab , siue ad impetum ex quiete acquirendum ab h in x, ut a n, bin ad ab, seu bo ad Ba. Quare , simili ratione, describee graue a alterum quadrantem curuar eIlypticae, cuius nempe unus semiaxis sit ipsa a B, & alter sit zd aequalis ipsibb. Porro autem satis constat, qubd quadrantes ellyptici α ha, α hae pertinent ad eandem ellypsin. Rursum a mincto A prosequetur gratie ast in eandem raetionem, descriptionem eiusdem curuae ellypticae, donee redeat ad ipsum punctum a , unde scilicet eiusdem perimetri deseriptionem resun et . Itaque describetur semper a graui a per infinitas reuolutiones perimeter ellypseos , cuius unus semiaxis sita a, di alter sit et haequalis ipsi a b. Q goderat demonstrandum, .
COROLLARIUM.HInc habes primo, quod tempus integrae descriptionis peris
metri eirculi, aut et lypseos, est quadruplum illius, quo omnia grauia a quacunque distantia peruenire intelliguntur ad ce triuin commune, aut particulare ipserum grauium. Habes seo
157쪽
tur, aequalem semper impetum coinpositum obtinet graue in punctis aeque distantibus a centro: maximum quidem in vertice axis minoris; minimum vero in vertice axis maioris: caeteros autem impetus in punctis intermediis ι minores quidem de minores avertice axis minoris usque ad verticem axis maioris ἡ maiores autem & maiores a uertice axis maioris usque ad verticem axis
minoris . Quae omnia facili ratiocinio colligi possum ex praedictis .
EX cnte autem et centro communi grauium, ct angulo la E curo, vel obtres ; si graue a obtinere inlevigatur imp rum secundum a l . si ita sit ad impetum ex quirae acquirendum M a in E , ut qualibet a I ad 0-om a Σ : dico Aescriptum semper ab eo
iri per in iras resolutiones perime trum etdi eos infra reponenda.
Esto enim ellypsis αε b, ad cuius seis
miaxem n perpendiculatis sit ε , aequalis alteri semiaxi ab . Sint etiam, centris B,&z, quadrantes circuli Ebe, a fig. Rursum per a ordinetur m t in quadrante x ε g, & rn in quadrant a be . Denique in ma, & na protra. ctis sumantur ad &ax aequales ipsis rn, m t. Si ergo posita a I tangat ellypsin in a, sitque diameter rectanguli ipsis a d, axeontenti: dico a B quadrantem esse
illius ellypseos, cuius perimeter describetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso graui a. Si enim praedictum graue constituis tum ab initio intelligatur in cum impetu secundum ε b, qui ita
158쪽
ka fit ad impetum ex quiete acquirendum a P in a, ut Φ , ad k a, seu e . ad xg: constat utique descriptum ta) semper ab eo iri per infinitas reuolutiones Perimetrum ellypseos, cuius unus semiaxis sit ala, & alter is αδ aequalis ipsi h b. Dum autein gratie pervenisset a k ici a , obtineret ibi ib) secundum ma impetiim ut νπ, sue a da & secundum n a impetum o ut m ι, siue a x. Quare impetus compositus erit ut at secundum ipsam contingentem a LItaque obtinebit ibi secundum eandem directionem a I aequalem ipsum impetum, qui positus fiur pro hypothesthnitis propositionis . Nam impetus sesundum σι, quem obtinet graue in a pos deseriptionem curvae et lypticae ε ita est ad impetum ex quiete aequirendum a in x, via Iad εα, vi satis constat ex dictis e impetus autem ea quiete acquirendus a ε in Δ, ita eli ad impetum ex quiete acquirendum ab a in x, ut εα ad an . Igitur, ex aequo, impetus ille secundum at ita est ad impetum ex quiete acquirendum ab a in x, ut a ad G a : quod utiqtie pro hypothesi huius propositionis positum fuerat. Porro inanisestum est, quod graue acum eo impetu secundum a Ieandem curuain describet, siue punctu m a statuatur initium motus, siue non. Igitur praedicta curua ellyptica describetur semper per infinitas reuolutiones ab ipso gra
vi a . Quod erat de trionstrandum .
SVpponere hic unuiersim videmur, quod in descriptione euma
rum motus compositus sit semper secundum contingentes . Hoe autem opportunius demotastratulo inuenies in propositi i7.
Vod autem innuit P. Thomas Cena in sua Philosophia nou, antiqua carmine exarata, dissert. q. motum videlicet proiectorum aeternum quidem esse, sedper circuitum ex qua-Τ a tuor
159쪽
r N E O. STATIC AEtuor segmentis parabolicis constitutum ι id plane sequitur ex syste-iuate Galilei de motu uniformiter accelerato, cui tunc, ob tanti viri auctoritatem , mordicus adhaerebat. Illud autem superuacaneum est admonere , in ea distantia , in qua sumus a centro communi, systema Galilei a systemate nostro discerni sensu vix posse .
ESto semiparabola, cuius diameter a d, ct latus rectum ah. Ordinariis applicenIur de maior, ct n b minor. Nico sumi posse in diametro a d aeuo puncta x, ct r, tum afuedisiantia a punctis d , ct
adeo ut, ordinatim anticaris x l , r m , ratio excessus o inara d e supra ordina tam x l, ad excessiam ordinata n b supra ordinatam r m , semper magis sine v o termino accedat ad aquais atem exis ratione reciproca ipsius ordinata n bad ordinatam d c. Excessus ipsius dι supra x Isit se; ipsius autem n , supra rmsit gb . Rur in ipsarum de , n , duplae sint te, lib. Iam sic . Quoniam quadratum d c aequatur rectangulo da B, de quadratum x I rectangulo xah; excessus quadrati ἐς supra quadratum XI aequabitur rectangulo ex dx in ah. Similiter excessus quadrati nb supra quadratum rm aequabitur rectangulo ex nr in ah. Sunt autem aequales ipsae dx, nr, & ab est communis. Igi-etur excessus quadrati de supra quadratum x I aequalis est excessui quadrati nb supra quadratum rm. At rursu in exeessus quadrat δέ supra quadratum ae I aequatur duplo rectangulo csd, Sc uni quadrato σι, siue, aequatur uni rectangulo ς sto atque item, simi-Disiligod by Cooste
160쪽
it ratione,excessus quadrati nb supra quadratum rmaequatur rectangulo bgk. Igitur aequalia inter se sunt rectangula est, gli. Quare ita erit rc ad gb, ut reciprocE εg ad i s . Porro autein, si puncta x, de r proximiora semper sumantur ipsis ae, de n; ratio g ad ι ι semper magis sine ullo termino accedet ad aequalitatem eum ratione ipsius nbad dc: quandoquidem ipsae n b, dc semper magis sine ullo termino accedent, ut sint aequales medietatibus praedictarum lig, is, atque adeo in eadem cum ipsis ratione is . Igitur, si puncta a , de r proximiora semper sumantur ipsis ae , di n s ratio rc ad gb , nimirum excessis ordinatae de supra ordinatam x I, ad excessum ordinatae n b supra ordinatam r m, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum ratione reciproca ipsius ordinatae ad ordinatam de . Quod erat
HIne, ordinatis in parabola duabus quibusvis ae e , n b ; ratio
infinitesimae, per quam d c excedit proximε ordinatam viciniorem vertici, ad infinitesimam, perquam πώ expedit proxiis me uniformiter ordinatam viciniorem vertici, aequatur rationi reeiprocae ipsius ordinatae nb ad ordinatam aec. Quoniam enim ratio excessus ordinatae dc supra ordinatam x I viciniorem vertiis ci , ad excessum ordinatae nb supra ordinatam Um vicinicirem iit idem vertici, semper magis sine ullo termino accedit ad aequalitatem cum predicta ratione 3 consequens plane est , ut in eam aequalitatem veniatur , dum ipsae XI, rm fuerint omnino proximae praedictis ordinatis dς,n b.
SI γοώam graue hac ratione descendere ἡnteiIstatur Oenus aliquod centrum, υι in singulis qualibus temporibus aquain Ies velocisatis gradus acquiraιοῦ ratio impeιuum tot Ilum, quos