장음표시 사용
31쪽
AEquinoctiis, facillime exhiberi in Disco AEquatorem, aut ejus quoscumque alios Parallelos.
Centro Solis extra AEquatorem versante, AEquin
tor , o ejus Paralleli in Disco Teri ae sunt
Ellipses , quarum diameter maxima aequalis Zametro propriae, exserique Paralleli , cI ad Meridianam recta; minima vero est portio ipsus Meridianae inter duas ebordas distantes utrinque is latitudine Paralleli arcu declinationis Solis in data longitudFne et centrum deuique in ejus portionis medio.. Tib. I fu S. Disco Terrae AFBD esto AB meridiana, F DI AEquatoris diameter, STN radius per centra Solis, ac Terrae, Sol in S. Fiant Fae, Fu, Dx, C ρ singuli
aequales datae declinationi,& jungantur chordae a x,ugsecantes AB in a, 3cb. Dico I. .Hquatorem in Disco esse Ellipsim, cujus diameter minima ab , maxima FD dhuneter AEquatoris ac centrum in T medio inter a , & b. Meridianus sit AS BN, Fiant in eo arcus S ET, S V, NX, N Uinguli AEquales datae declinationi Solis ; quae ponatur bo realis ... Patet panetum AE, eique oppositum βλ perti-IIere ad AEquatorem: est ergo in scommunis Meridiani, & 2Equatoris sectio. Iungantur chordae ZEX, V IPs quae utpote parallelae radio N S 4. 3'. Horograph. nostra J, cum quo arcus aequat es utrinque intercipiunt, redis sunt ad Discum, ideoque congruunt cum radiis bolis centralibus per AE, Sc & quia aequaliter distant a centro T, atque chordae Fae, Fu, necessarios cant diametrum AB in punctis iisdem a , &b. De o,batio .. aEquator in hypothesi obliquus est
32쪽
1NTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. VI. xx
radiis Solis centralibus; ideoque hi in illius perimetrum
incidentes formant cylindrum stalenum , quem Discus Terrae secat oblique ad basim, nec subcontrarie, cum Distus sit ad latera, seu axem cylindri rectus , balis autem, nempe AEquator, obliqua. Sectio ergo fI3. I. Sere
nid est Ellipsis: cum ergo ea sectio sit in Disto AEquatoris apparentia, . Equator in Disto est Ellipsis. Praeterea puncta a, & b iunt apparentiae punctorum EE. &aEquatoris, sunt ergo in perimetro praedicti cylindri; &eum sint in Diseo, erunt in praedicta Ellipsi. In eadem
sunt Puncta F, & D, quae sunt in communi sectione s Equatoris cum Disco. Item F D secatur bisariam in T, ut etiam a b, cum a T, T, sint sinus arcuum aequalium: Ergo FD, as sunt Ellipsis diametri, ac centrum est in T. Sunt autem illae diametri Doroll. I. post a. huj.J in. vicem normales: ergo D . defin. a. Conicor. Des ChalesJ
sunt axes Ellipsis, & fprop. i 3. ibid.J F D major est diameter maxima, a b minor est diameter minima: Quod est propositum. II. Proponatur Parallelus alter , puta , latitud. Bor. G. F. Retenta priori constructione nant F G, D X gr. s. datae latitudinis; item ge, gh, hi, ke singuli aequales datae declinationi Solis , & jungantur chordaee i, Θ e, quae secent AB in & n. Secta d n bifariamino, per o agatur j I recta ad dn, fiantque , o 3 singulae aequales dati paralleli radio . Dico apparentiam dati Paralleli in Disto esse Ellipsim, cujus diameter maxinuos 3 minima d n , centrum O. In Meridiano fiant arcus
S G, NX aequales singuli dati paralleli latitudini, item GC, GN, RI, XE singuli datae declinationi Solis. Jungantur chordae C I, Η E, quae parallelae sunt ipsi S Meonsequenter 29. I. Eucl.J ad AB, & 8. ii. ejusd.J ad
Distum normales; ideoque sunt radii Solis centrales per puncta C& E, transeuntque per puncta d,&n: nam Fo
ergo S C, FC aequales; itemque S Η, F h, consequen ter eorum sinus aequalesi nempe Td sinus arcus Fe est B a etiam
33쪽
etiam sinus arcus SC, &Tn sinus arcus Fb est etiam sinus arcus S H. Iungantur CE , ac tandena facto BP aequalidatae Solis declinationi, jungatur radius T P. Demonstratio. S, GCfacti sunt aequales, utpote uterque data Solis declinatio: addito ergo utrinque S C erit AEC aequalis S G. Similiter ostenditur Eaequalis NX, aequalis in C. Cum ergo E. N per cinsiim Ι.J sit aEquator, recta CE, propter aequales arcus
EC, NE datae latitudinis parallela ipsi in P est diameter dati Paralleli, qui obliquus erit ad Discum, per inde ac AEquator, consequenter ad radios Solis centrales: quare ut in primo casu, ostendetur ejus in Disco appa
rentia esse Ellipsis. Jam puncta d, & n sunt apparentiae in Disco punctorum C& E dati paralleli: sunt ergo pun
cta d, & n in ea Ellipsi, &dn una applicatarum in ea. Praeterea BP , S E facti sunt aequales,. addito ergo utrin que SP, erunt S B, EP aequales; consequenter P quadrans, utS B: est ergo P polus AEquatoris, &TP ejus is, qui cum transeat per centra omnium Parallelorum aEquatoris, punctum m , ubi T P secat CF est centrum propositi paralleli, consequenter m C, m L aequales isser m esto radius Solis centralis mZ; hunc dico transire per o medium ipsius in . Nam ducta per m recta rmsi a rallela ipsi, d n inter duas chordas G, Hn, quae pariterstini parallelae&sibi invieem , & radio m Z, erunt 33. I.Evcl. rf, d n aequales , derm aequalis erit do segmento d n inter rectas C d, segmento ejusdemdn intern , Elam Z: quare m Z secat rf, d n similiter. Secat autem r/'bifariam: nam in triangulis in Cr,m E Rm C, m E ostensiae sunt aequales, item anguli in m ad verticem, ut & alterni m Cr, m En:. ergo fa 6. I. Euel.Jrm, ms aequales sunt. Ergo radius m Z secat etiam d n bifariam: cum ergo hanc secuerimus bifariam in ob pa tet radium m Z transire per o, & punctumo esse appa rentiam in Disco e entri dati Paralleli . Tandem permintelligatur alia diamcter paralleli dati recta ad planum meridiani datur autem hujusmodi diameter, cum Pa ralle t
34쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTROM PROP VI. ra
rallelus rectus sit ad meridianumJ & per illius extrema radii Solis centrales ἱ hos dico cadere in puncta s, &yrectae pero ad d n normalis, & fieri os, o I singulas aequales radio dati Paralleli: Nam illi duo radii sunt in seperficie cylindri radiorum. Iam si per eos, & dictam diametrum in m ad meridianum normalem intelligatur pisenum, hoc Ι 8. I I. Eucl.J tam ad meridianum, quam ad. Discum rectum est: quare radius m Z in eo est, consequenter planum illud per o transit ; estque mo plani illius cum meridiano communis sectio ὁ & quia plani illius, &Disci communis sectio D I9. I I .Evcl.J ad meridianum, &A B, seu d n recta est, ea communis Sectio est recta s or, quae f8. I I. Eucl.J illi diametro perni parallela est: &portiones Solis radiorum inter eam diametrum, & Di Dcum sunt parallelae , & aequales sunt tum inter se, tum ipsi mo, utpote omnes perpendicula inter easdem parallelas : ergo rectae, quae eas jungunt, nempe per m se midiametri Paralleli dati utrinque a meridiano, &segmmenta o s utrinque ab O f33. I. Euclid.J aequalia sunt. Τales autem factae sunt os, o 3: ergo praedicti radii cadunt in t , SI quae puncta propterea erunt in superficie cy
lindri, ideoque, ut in primo eassi, in Ellipsi: est ergo 33 altera applicatarum in Ellipsi Sy, d n bifariam secta mutuo ino, s3,dn sunt Ellipsis diametri, & quia ad invicem normales, etiam sunt axes: quare ut prius, symajor est diameter maxima, d n minor est minima, 8ca centrum Ellipsis. Quod erat alterum. Centro ergo So lis &c., quod erat &
S C H O L I U M. In eXemplo proposto, declinatio Solis posita suit
ad polum conspicuum . Si detur ad non conspicuum, ea dem erit constructio in Disco Terrae, ut & pro demon' stratione in inridiano, excepto quod AEquator erit UxPolus p infra B, axis Mundi D, ae tandem IH datus
35쪽
Parallelus, cujus centrum a. Tunc similiter omnia d
c..e e uta. Hinc patet data Solis declinatione snonrib. I. El.n' refert ad quam plagamJ, absicissis in Disco ab F, &D' utrinque arcubus datae declinationis, ductisque chordis occultis ex , u , inveniri puncta a ,&is terminos dilametri minimae Ellipsis aequatoriar, cujus diameter maxima F D item datur. Pro caeteris Parallelis abscissis F G, D X arcubus datae latitudinis , & utrinque Ag, & arcu-busge, gh , Ri , Xe arcubus datae declinationis, regula per e , & i dabit punctum d , & per Θ, & e punctum n terminos semidiametri minimae, quae secta bifariam in o per' normalem Sat, factisque s I, sol aequalibus singulatim radio dati Parylleli, nempe semichordae datae latitudinis, erit S 3 diameter maxima. His habitis describi poterit Ellipsis quaesita. Descriptionis praxim expeditissimam docet nona hujus. II. Ex facta demonstratione patet in disco Terrae quemcumque circulum sive maximum, sive non, si sit ad discum obliquus, esse Ellipsim . III. Si in Disco abscindantur B p., BP singuli aequales datae declinationi Solis, patet cliordam Pp inu, ubi secat A determinare Polum in facie quidem Disci, si declinet Sol ad Polum conspicuum; in dorso , si ad non
conspicuum: nam similiter ostendetur chordam Ps trauseire per s. IV. Quoniam diameter Paralleli secat Dis in in Actiam Paralleli cum Disto communis sectio transit per G& quia uterque ad meridianum rectus est, illa communis Sestios I9. I I .Evcl.J ad meridianum,& rectam AB recta erit: erit ergo at Discus utpote basis hemisphaerii ibluminati separat partem Terrae obscuram ab illuminata, consequenter partem paralleli dati in parte illuminata existentem , hoc est arcum ejus diarnum a parte in hemisphaerio obscuro, nempe arcum nocturnum. Et in IEquatore quidem uterque semper est semicirculus, cum
tam AEquator, quam Discus lint circuli maximi, se se
36쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. VI. astantes per commune centrum T. In aliis Parallelis , eum Sol est in AEquatore idem contingit quia tunc seus
idem cum Coturo Coroll. 6. post a. hujJ Solstitiorum , ideoque per polos Mundi A , & B fiig. I J transiens, omnes etiam AEquatoris Parallelos bifariam secat. Hinc sub AEquatore perpetuum est AEquiminium. In Parallelis tunc tantum, cum Sol cst in AEquatore initio nempe Y,& . At Sole hinc, aut inde extra IEquatorem Veriante, dies noctibus inaequales sunt .. Nam CE bifariam secatur in m , δέ I H in a. Quare utraque in t secatur inaequaliter & arcus cujus sagitta e C, nempe diurnus Paralleli C E major arcu noetamo, cujus sagitta i E minor quamst C. Pariter arcus diurnus Paralleli l Η, eujus sagitta p us diametri minori H, minor est mkturno, cujus sa gittat I nrajor , quam tΗ. Sicut autem Parallelus, ita& ejus Ellipsis in Disco similiter dividitur in arcus diurnum , & nocturnum per rectam g/X, & illa pars Ellipsis
erit arcus diurnus, quae est apparentia arcus diurni in
Parallelo, eritque in iacie Disti: reliqua pars Ellipsis,
ut te apparentia arcus nocturni, tanquam in Disei sa-cie aversa cogitanda. Itaque si inveniatur punctum t , &per i agatur at 3 normalis ad AB, baee secabit Ellipsim, ut dictum est ὁ & puncta a & 3 in perimetro Disti ad dictum Parallelum, simul horas orius, & occastas sec hunt. Porro punctnnas facile invenitur ducta in Discochorda transversali e e triu i , perinde estJ. Dico hanc transire per t. Jungantur in Disco et, &c B, et ,&in meridiano jungantur E B , CB. Per demonstrata S C, aequalis est Fe, ergo & complementa CB, e B aequalia isunt; ideoque a9. 3. Eucl. chordae CB, e B aequales,& angulus CBA, angulo e BA aequalis: est autem id latus commune utrinque triangulo C B, et B: ergo I. Eucl.J Ct, et, & anguli CP 3, et B aequales. Similiter ostenditur Et aequalis et, & Et B aequalis e t B. Ergo anguli e t B, et B simul aequales sunt angulis Ct B, Et B simul. Sed hi fi 3. i. Eucl.J aequantur duobus rectiM. Ergo Sc illi: ergo i I .Evcl. 4 e t, e I sunt una linea rin
37쪽
2scta; hoc est chorda ee, quae propterea transit per quae situm punctum t . U. Quoniam angulus Ct B externus aequalis est interno, &opposito & et B ostensus est aequalis ipsi Ct B, erit etiam aequalis angulo ZET B: ablatis ergo utrinque rectis angulis a e B, S TB erit reliquus et a aequalis reliquo ETS, nempe angulo datae declinati
nis . Hinc dato quovis puncto a in Disci perimetro inveniri poterit ad quem Parallelum spectet. Nam ducta a sad TB normali, fiat angulus at e aequalis datae declinationi Solis, cujus latus se productum secat perimetrum Disci ine, Re. Fiat FB aequalis D e,&Di aequalis Fer secetur bifariam ing arcus e ib, vel i e in X. Arcus Fg, vel aequalis D est latitudo paralleli quaeliti. Ratio patet: nam ex ostensis, puncta e , & e distant a latitudine Paralleli , ad quem spectat punctum a. , arcu datae declinati nis Solis prius citra , posterius ultra, & chorda ejus Pseralleli transversalis e e facit cum at angulum item aequalem datae declinationi Solis: ergo facto arcu F Θ aequali
ipsi D e, vel D i ipsi F e, latitudo quaesiti Paralleli est in
medio arcuum e Θ, & i e. Sectis ergo bifariam illis arcubus patet satisfieri quaestioni. UI. Inaequalitas dierum, & noctium extra AEquato rem in eadem Solis declinatione eo major est , quo majordati Paralleli latitudo: & in eodem Parallelo eo major, quo major Solis declinatio. Ostendo primum . Tub.IL FU.8. Esto F D parallelus minoris latitudinis, quam CSAxis T P, secet FD in a, CE in m , PB autem Me ridiana secet F D in O, CE in t : Cum a F sit - FU, R MC CE, si mi sit major pars radii me, quamao radii aD, constat propositum. In triangulis 1 s o, set, ad fac m rectangulis, angulus ad T communis
est : Sunt ergo 3 a. I. Eucl. J aequiangula, & sq. 6. ejusdemJ, ut Ta ad T m; ita a o ad m t: Est autem
T a sinus arcus minoris AEF minor quam Tin , sinus ar cus majoris AEC: ergo a o minor quam mi. Sed a DC S. 3. Eucl.J major quam mE: ergo a o pars minor ra
38쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. VI. II
dii majoris a D, multo minor est quam sit similis pars ejus, qtae est mi major radii minoris me . Quod est
Ostendo secundum. Esto Solis declinatio S ae major quam S eritque α ρ aEquator. Fiat xe aequalis C, & ρ e aequalis G E, item Bρ aequalis S ae : eritque e e idem Parallelus ac CE, sed in majori Solis declinatione , dc Ira axis AEquatoris secans e e in is centro Paralleli normaliter, I b, Tm aequales sunt, utpote sinus aequalium arcuum ae e , AEC: Si ergo centro I per se circulus ducatur, is per miransiit. Et quia e e fi6.3. Eucl.Itangit circulum illum in b, tota extra circulum cadit, quare pergit ultram, &secat B ultras inn ac Tn major est quam D. In triangulis Ibn, Tmt ad b ,εcm re- 'angulis, quadratum Tn l 47. I.Evcl.J aequale est quadratis To, b n simul, & quadratum Tt quadrantis Tm, mi simul. Est autem quadratum T n majoris majus quid rato Tt minoris, ergo quadrata I b, b n simul majora sunt quadratis Tm, mi simul; & ablatis utrinque quadratis aequalibus Tb, Tm, est quadratum h n, ideoque ejus latus b n majus quadrato, & respective latere m t. Additis ergo utrinque axiualibus , c,m C, erit tota e n major tota Ct, ideoque arcus diurnus Paralleli in declinatione majori S ae major diurno in declinatione minori S PE: Quod erat alterum. Porro ex his sequitur etiam in Ellipsibus Parallelorum in Disco Terrae plures inveniri horas in spectantium ad majorem latitudinem arcu diurno , quam in spectantium ad minorem, stante eadem Solis declinatione : & in spectantium ad eandem latitudinem arcu diurno plures in majori declinatione Solis, quam in minori, mado declinatio sit ad conspicuum polum: Si
vero ad non conspicuum, quia contrarium accidit, nempe arcus diurnus brevior est in majori, quam in minori latitudine stante eadem declinatione, R in eodem Parallelo brevior est in majori declinatione, quam in mi nori ideo in primo casu arcus diurnus Ellipsis spectantis ad minorem latitudinem plures habebit horas, quam
39쪽
arcus diurnus spectantis ad majorem; & in altero arcus diurnus majoris declinationis pauciores habebit horas, quam spectantis ad minorem. Nam in Agina 6, It ostensa est aequalis ipsi Ct, cui similis est Ct in Agura 8. Cum
ergo e n major sit, quam Ct, &CE, ceaequales, erit Ne minor, quam is, hoc est ι H infigura 6. Et ita de caeteris. In AEquatoris Ellipsi arcus diurnus perpetuo lubet lior. I 2.
VII. Patet item arcum diurnum cujusvis Paralleliaequalem esse nocturno fusilem in aequali , sed ad partes oppositas, Solis declinatione; & nocturnum diurno. Nam l. 6. J in triangulis Tml, Tat rectangulis ad m, & aetiam anguli ad Taequales sunt propter aequales arcus Briυ : latus Tt commune: ergo 26. I.Evcl.J tm, id aequa les sunt: ergo additis m C, a I aequalibus, est arcus diurnus t C in declinatione ad Polum conspicuum , aequalis nocturno i I in declinatione aequali; & ex m S ZII ablatis aequalibus tm,tZ, restat arcus nocturnus t E in declinatione ad polum conspicuum, aequalis i I diurno in declinatione ad non conspicuum. Hinc in oppositis, sed aequalibus declinationibus eadem prodit Paralleli cujusvis Ellipsis, sed quae pars in una declinatione est diurna, in orposita est nocturna, & vicissim. VIII. Hactenus dicta de Parallelis, qui in figura
ponuntur Boreales valent etiam de Australibus. Nam si Bponas plagam australem, & A Borealem omnia similiter
prodibunt, & ostendentur, ut patet in Parallelis ductis ad partes A in aequali latitudine, & inclinatione: ubi etiam apparet arcum diurnum Paralleli Borealis aequari nocturno Australis aequalis latitudinis , & contra in ea dem Solis declinatione. Horae si in Disco exhibendae sint Ellipses binorum Parallelorum aequalis, sed oppositae iam titudinis , eadem sere opera per praxes inscrius traden das , describi ambae poterunt. IX. Quoniam ce ostensa est aequalis CE, ut 8c e tipsi Ct, patet e e , CE secari simi iner in t , & tam c i, quam Ct esse arcui diurno dati Paralleli in data declination
40쪽
tione aequalem. Itaque in Disco Terrae ducta dati Paral- c.
leti diametro g X, ductaque s Corol. 4.J transversali R V
chorda h i, quae in TP dat punctum t , abscindatur ingst diametro Paralleli, segnaentum g m aequale B t: &per m excitetur ei perpendicularis n mu . Centro g, ubi TP , gh concurrunt, radio qg circulus Paralleli describatur g n k u, vel ejus semissis gust. Eritque g narcus semidiurnus, & nk seini nocturnus in dcclinatione ad polum conspicuum, vel contra i n ad non conspicuum. Quibus arcubus mensura repertis in gradibus,& his redactis ad horas fa 3 I. nostrae GnomonicesJ scietur arcus diurnus totus in horis, & minutis, consequenter hora ortus, & occasus in dato Parallelo, ad quarum priorem spectat punctum a , ubi recta per i ad T Pnormalis perimetrum Disci secat ad sinistram ad posteriorem punctum 3 , ubi ad dexteram. Ex eadem constructione etiam calculo Trigonom trico rem percommode expediemus. Nam in trigono 'S' Tin t ad in rectangulo, polito T m sinu toto partium Oo- , erit quaesitum mi tangens declinationis Solis.
Tm respective ad T P radium Disci est sinus datae elevationis Poli, seu latitudinis AP C, notus ex Tabulis sinuum: Ergo si fiat ut sinus totus T m ad sinum datie clevationis Poli, hoc est eandem T ut partem radii TP, ita tangens declinationis ad candem ς', scilicet aequalem, ut partem radii TP ; is exhibebit quaesitum m t in partibus , qualium radius Disci T P est Ioooo, ut in apposito Exemplo. Idem Latus in t est
sinus complementi quς siti arcus f midiurni, sed in partibus m Eradi i Paralleli datae latitudinis tanquam Tm E ad m rectangulo est sinus complementi datae elevationis Poli, polito sinu toto radio Disci TE; ide que ex tabula sinuum nota est in iisdem partibus, in C a qui-