장음표시 사용
51쪽
Datis Diametris Ellipsis maxima , o minima , - Enipsim in boras stasectam una eademque
Ut ipsis multipliciter describi potest; quia tamen in
Disco Term opus est Ellipses in horas M. di videre, Quo O hic praxim unicam, quae in re nostra est omnium expeditissima , quippe Ellipsim, & in ea puncta horaria&c. simul exhibet. Eito AB petiis Ellipsis diameter maxima , d e minima, se mutuo bifariam, & normaliter secantes in C. Centro C, radio CA, circulus describatur A EBD, de alter concentricus.e b d radio C d. Productii utrinque e dad E, &D sectus erit quadrifariam uterque circuluS. Majoris quadrantes singuli secentur in 6, vel la &c. par tes aequales. Ductis ex C radiis occultis ad singula puncta horaria circuli majoris, minor etiam similiter sectus prodibit. Per omnia puncta hina, & bina circuli majoris hinc inde ab A , aut B aeque distantia jungantur chordae occultae . In his sper praeced.J sunt puncta horaria Ebliptis, quae sie determinantur. Per omnia puncta horaria circuli minoris bina, & bina hinc, R inde aeque remota a punctis d, & e agantur similes chordae extra circulum minorem, donec concurrant singulae cum chordis cognominibus circuli majoris , nempe, quin in ejus pC ripheria coeunt cum eodem radio, cum quo chordae mi noris in hujus perimetro . Per omnes, & singulos chor darum cum chordis concursus ducatur decenter curva s quae circulum majorem tangat interius in A, & B, mino rem exterius in Dicollane esse petitam Ellipsim, 3c in chordarum c mcurlibus, per quos ducta est, sectam esse in horas, semihoras S c. Fiant os, tg perpendicu lares ad CB. Chordae per hor. II, Io M. circuli majoris
52쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. IX. 3IDemon auo. Ex doctrina Sinuum patet os esse sinum complementi arciis do,dc Marcus di. Item II p est
sinus complementi arcus D γ , & Io h artas D Io. Sunt autem arcus D I r , do similes, ut etiam D I o , di: ergo& eorum sinus com p. sunt litiailes: i. cui I Is ad Io b, ita
tionalis inter Ap,pB,Sc. io h inter Ah v B: ergo ut quam dratum II p ad rectangulum Ap B, ita quadratum Io had rectangulum Ab B, nempe utrobique quadratum I7. 6. Eucl.) respondenti rectangulo aequale & quia os ad tg, ut ιι p ad Io h , erit etiam quadratum os ad rectangulum ut quadratum tg ad rectangulum A b B; non tamen erunt quadrata aequalia respondenti rectangulo, cum os sit minor quam II p, &tg minor quam Io h . Per constructionem Parallelae sunt of , ut etiam i g,n θοῦ, item o m,o, ut etiam in ,gh : ergo 3 .X.Euclid,) os, mp aequales, ut etiam tg,nh; qua re quadratum N aequale quadrato os, & quadratum n bquadrato ig: quare etiam quadratum mp 7. 3. Euclid.)ad rectangulum Ap B, ut quadratum n h ad rectangu luna Ab B. Cum ergo rectangulis Ap B , Ah B ostensa sint proportionalia tam quadrata rectarum II p, Io Θ, quae sunt ordinatim applicatae ad A B diametrum circuli quam rectarum mp,nh , quae sunt ordinatim applicatae ad maximam petitae Ellipsis diametrum A B priora tamen suis correlativis rectangulis aequalia lint, non vero posteriora, patet definit. Ellipsis a. Conic. Des Chales) puncta m , & n esse hi Ellipti. Eodem ratiocinio concluditur de quibusvis aliis per datam methodum inventis punctis. Curva ergo ducta per puncta inventa Ellipsis est , & ea, quae petitur, utpote circia datas dianae tros. Et quia chordae per horas circuli circa diametrum maximam secant Elliplina in punctis inventis; eaedemque per praeced.) determinant puncta horarum &c. patet in iisdem punctis Ellipsim dividi, ut petitur. Una ergo ea dumque opera Ellipsim in horas &c. Quod erat facien dum , & demonstrandunar.
53쪽
cinia. I. Quia puncta horaria AEquatoris, & Parallelorum sunt horum cum circulis horariis concursus, puncta vero horarum in Ellipsibus sunt punctorum horariorum in circulis AEquatoris, & Parallelorum apparentiae , patet puncta horaria in Ellipsibus es e apparentias dictorum concursuum consequenter apparentias circulorum horariorum in Disco transii re per inventa puncta horaria in Ellipsbus aut etiam in Diametris .mquatoris , aut Parallelorum , cum hae sunt apparentiae in Disco suorum circulorum juxta 3. hujus Circuli horarii su nodempto meridiano , R etiam, cum Sol est in .ssiquatore , circulo hor. 6, qui tunc Coroll. 6. secundae huju0 congruit cum plano Disci , utpote ad Discum inclinati, projiciuntur Coroll. a. sextae hujus) in Ellipses. Si itaque delineentur in Diseo apparentiae Parallelorum ad quinos , aut saltem denos gradus latitudinis, & per singulorum puncta horaria cognomina agantur decenter curvae, hae erunt circuli horarii. Sole posito in .ssiquatore coibunt omnes in punctis Disci A &B, ubi tune sunt Poli Mundi; & prodibit Analemma commune de quo Des Chales lib. a. de AstrolabiisJ cum hoc unico disecrimine , quod quia Analemma illud destribitur in plano Meridiani, oculo statuto in ejus axe ad infinitam distantiam, nostrum vero in Disco Terrae, qui in eo casia congruit cum circulo horae sextae, oculo statuto ad similem distantiam; in analemmate communi Meridianus circulus est, hora sexta linea recta, eademque axis Mundi , in nostro contra hora sexta erit circulus, Meridianus linea recta, eademque axis Mundi. Hinc si Ecliptis a cidat Soli versanti in AEquatore, Analemma communes servato praedicto discrimine, erit pro Disco; sed casus erit raris limus. Sole vero declinante , circuli horarii in Disco Terrae concurrunt quidem in eo Polo , ad quem Sol declinat, ac proinde in Disti facie extat; at ultra polum , ut & ad alteram plagam carentem polo terminantur in variis peripheriae Disci punctis, nempe spectantibus ad latitudines, in quibus singulae sunt horae or
54쪽
INTEGRAE CONSTR. AsΤRON. PROP. IX. 33
tus, aut occasus quae puncta non solum pro horarum, sed & pro declinationis varietate diversa sunt. Determinantur haec puncta per Coroll. Io. VI. hujus ut etiam clarius suo loco exponetur, ubi hujusinodi punc Ortim
II. Quia in quovis loco terrestri ea numeratur hora , in cujtas circuli plano est radius Solis centralis ad datum locum pertingens; fiet, ut si in loco quopiam dati Paralleli numeretur hor. ex. gr. Α, cum radius praedictus incidat hora quarta in Ellipsis pro dato Parallelo descriptae punctum Α, locum illum e Sole apparere in puncto φAt quia Sol motu diurno continenter pergit ab ortu in occasum circa axem Mundi motu, ad sensum , saltem intra paucas horas, ad AEquatorem Parallelo, cum una hora post in eodem loco numeretur hor. I , datus locus
apparebit in puncto S. ejusdem Ellipsis: &perinde serit, sive dicas Solem una cum circulis horariis progressum ab ortu in occasum grad. II, & punctum S per venisse ad locum, ubi prius erat punctum Α, sive imagineris , Sole & circulis horariis immotis, Terram interea circa sitim axem Mundi nempe) rotatam tantumdem ab occasu in ortum, Se locum, qui ante suberat puncto , pervenisse ad S. Hac secunda eXpressione is, quia breviori, & quia ita re ipsa videretur aspicienti Terram e Sole, utar deinceps. Hinc vero clarius adhuc patet, quomodo A B sit meridiana uni versalis; imo tales lint hora omnes, quia nempe successive eaedem easdem horas exhibent pro aliis, & aliis locis, prout per dictam imaginariam, seu opticam Telluris rotationem, loca alia, atque alia sub ipsis speetantur. III. Hinc sequitur apparentias Parallelorum in Disco esse vias, quas viderentur percurrere loca in iis Parallelis existentia . At quia semper Sol imminet verticaliter centro Disci T, si ex T ad quodvis Paralleli in Disco punctum agatur recta, haec erit sinus distantiae Solis a vertice ejus loci cujuslibet, qui in eo puncto hic , &nunc est. Ponatur punctum 3 . Agatur 1 3 , quae produ
55쪽
3 sta secet perimetrum Disci in H. Fiat HI quadrans, lajungatur TI, ite in 3 L normalis ad T 3 , secans quadrantem HI in L. Iungatur TL, R ex L ad TI normalis L M, quae erit sinus arcus L I, seu anguli LTI. ipsi L M aequalis est T 3 . Nam MT, L 3 ainbae normales ad T 3 Parallelae sunt, ut etiam T3 , LM ambae ad TIre hae: est ergo 1 3 linus arcus L I, seu anguli LTI. Cogitetur quadrans ITH super latere TH ad Discum rectas: quia IT iniistit normaliter Disco in centro T, est radius per centra Solis, ac Terrae; & illi Parallelus L 3 est radius , per quem locus terrestris e Sole resertur in punctum 3 Paralleli. Locus ergo ille est in L superficiei terrestris, consequenter TL est linea, quae producti versus Z in verticem, seu Zenith loci cadit; arcus autem I L H per Solem, & Zen illi loci trantiens, est verticalis Solis in dato loco. In hoc verticali metimur di itant iam Solis a vertice loci , quae proinde erit I L, seu angulus L TI, nam locus datus habet Zetaith in L Z, Solem in I. S; ergo angulus S L Z, hoc est ei aequalis internus, &Oppolitus 29. I. Euclidis) LTI, est distantia Solis a vertice loci, cujus ostensus est linus aequalis rectae T s : haec ergo est sinus distantiae Solis a vertice loci: quod est propositum. Quia autem altitudo Solis sit pra
loci horizontem est complementum distantiae a vertice,
ea erit arcus L H, ideoque determinari potest in Disco pro loco quovis, cujus detur in Disco apparentia altitudo Solis pro dato tempore, supra horizontem. Cum autem idem arcus L H sit altitudo loci supra Discum, seu balina Hemisphaerii illuminati, patet tantundem eleVari Solem supra loci cujusvis horizontem, quantum eodem tempore elevatur locus supra basim Hemisphaerii illuminati in circulo per Zenith loci, & Solem transeunte ad Patet item T 3 , esse verticalem Solis pro dato loco, ac tempore in Disco Terrae. IV. Ex demonstratione propositionis, patet Elii pses, earumque puncta horaria determinari singula, si ex chordis circuli circa Diametrum maximam, distantibus
56쪽
bus utrinque a Meridiana sinu arcus distantiae binarum,& binarum horarum a Meridie, sinu, inquam, respective ad Semidiametrum maximam, nempe radium circuli circa eam, abscindantur supra, & insta ab eadem diametro maxima sinus complementi similium arcuum respective ad radium circuli minoris, seu Semidiametrum minimam: Ostendimus enim se nn aequalem os. & Hr. io. Θ n aequalem tg &c. Ellipsium diameter maxima constans
est, utpote 3 , & 6. huj.) semper aequalis diametro Parallelorum: minima diameter varia, vel nulla, prout varia, vel nulla fuerit Solis declinatio. Poterit ergo parari instrumentum universale pro solutione expeditisse
sima propositi problematis, & aliis plurimis; & in subjecta materia omnia sere fieri poterant, quibus egemus. Instrumento hoc absolute carere possumus, si pro uno, aut altero tantum loco Eclipsium phaenomena investiganda sint: at pro typo universali ejus defeetus nonnili labore improbo, aut aliis instrumentis pretii non levis suppleretur. Instrumenti ergo constructionem, usumque hic a me proponi, neminem puto tardebit.
Instrumentum transportatorium parare.
Videatur Fig. II. Ο ΙΣ. Ρ Aretur tabella buxea, seu orichalcica &c. rectangu- Tub. IVR g. M.
Ia, utrinque probe plana, & laevigata, cujus longitudo saltem paulo ultra p it marem, latitudo non minor subdupla longitudinis. In ea prope unum latus in longum ducatur recta AB aequalis radio electo pro Disco Terrae : is si palmum adaequet, satis commodus est. Sueta AB biseriam in C, ductaque normali Co, centro C, radio CA, super AB semicirculus describatur, quem radius Co in duos quadrantes dispertiet. Hi singuli dividantur exacte in 9o Gr. , quorum ordo, ut in Sche mate. Ductis utrinque radiis C , jungantur item utrin
57쪽
SCIENT. ECLIPS. PARS Lque chordae 6o, o, factusque erit Rhombus ex duobus trigonis aequilateris ut patet ex definitionc Circuli, &I3. Euclid.J quorum latus commune Co. Applicata
Regula ad gradus qui nos aut si placeat etiam singulos)utrinque ab O cognomines notentur intersectiones Regulae cum radio Co, quae circino transferantur in utraque
singillatim latera Go; & utriusque lateris puncta jungantur lineis rectis cum cognominibus punctis notatis in Co. Hae rectae erunt radii Parallelorum, quorum latit
do aequalis gradibus, per quos notatum suit singulorum punctum in Co, scctique erunt singuli bifariam in radio Co; sicut chordae 6o, o, 6o exhibent radium AEquato ris similiter sectum: deinde ascendendo radius latitudinis Gr. Io ao M. juxta numeros singulis in figura adscriptos. Latus C6o ad sinistram tribuatur horis 24 meri- diei, ac Ia mediae noctis: ad dexteram horis 6, & i 8a Meridie. Et quia Sinus Gr. 3o aequalis semiradio, radius Co spectabit ad horas, a, Io, I ,2a, quae duabus horis, seu 3o grad. distant a Meridie, vel Media nocte . Accipiatur jam in Semicirculo chorda Gr. 3o, cui in hasi sinistra Rhombi abscindatur a 6o aequalis O, I . Sumpta deinde chorda integri quadrantis, abscindatur in semis circuli diametro aequale Segmentum A 3. Excessui C 3 s pra radium A C abscindatur in basi Rhombi ad dexteram aequale Segmentum a radio Co usque ad punctum 3. Idem fiat de chordis graduum Iao, ac Iso, quibus abscissis aequalibus A , AS, transferantur Segmenta CA, CIa radio C o in basim Rhombi dexteram, ut habeantur ibi puncta A, & S. His peractis, sectus erit radius AEquatoris
in simis omnium horarum integrarum. Sicut autem per chordas tricenum graduum determinantur sinus horarum integrarum , ita eodem artificio per chordas quindenum graduum determinentur sinus semihoraruna, per chor dra gr. 7 - sinus quadrantum per chordas grad. a 4- sinuS quinum minutorum, ac tandem per chordas graduum sus M I , a, &c. sinus singulorum minutorum. Sed sint is sunt sinus quinum minutorum; nam caeteri aestimation
58쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. X. II
facile accipi possunt, cum opus fuerit , sine errore sensibili. Tandem ex centro C rectae ducantur ad inventa puncta singula horarum , semihorarum , & quadrantum, quae caeterorum Parallelorum radios omnes in similes sinus divident, & absoluta erit instrumenti facies.
II. In dorso ejusdem Tabellae agatur prope i t M IV i, unum in longum recta DE aequalis semicirculi diametro AB, de similiter secetur bifariam in F, ductis F Η, Ε Lad D E normalibus , &aequalibus ipsis DF, F si, compleatur rectangulum D L constans duobus quadratis Din F L, quorum latera aequalia radio Semicirculi. Quadrati D II latera singula secentur in lo partes aequales, ut et iam latus E L. Puncta laterum D G, E L aeque remota a D, & E jungantur rectis, quae erunt invicem paralle lae, & perducantur nonnihil ultra latus E L , ut F E ultra E. Item in quadrato D Η a puncto D ducatur recta
ad primum punctum post G in latere GH; a primo post D ad secundum post G, R ita porro donec perveniatur ad punctum H. Hae obliquae pariter invicem Parallelae
erunt & aequales. Numeri describantur circa quadrati DII latera, ut figura ostendit. Singulae decimae partes in linteribus DG, FH secentur in Spartes aequales, & pun eta utriusque aeque remota a D, &F jungantur rectis, quarum tamen non appareant nisi puncta in dictis lat ribus , & in singulis obliquis ad vitandam confusionem. Praeterea lateris E L, ut & FH, vel alterius ei paralleli prope ipsum occulte ducti singulae partes decimae subs centur trifariam, junganturque in quadrato FL puncta aeque remota ab F, & E rectis punctatis. Item e semicirculo in altera Acie Tabellae accipiatur chorda arcus Gr.3o, cujus ab Fabscindatur dupla F 3o in latere M non nihil producto , & jungatur L Io, in qua terminentur omnes parallelae quadrati F L. Jam sumantur chordae
grad. 2, 4, 6 M. numerorum parium usque ad 28 inci
sive, quibus singulis a puncto F versus E abscindantur duplae in latere F E. Similiter in latere HL a puncto Hversus L abscindentur duplae chordarum grad. I, S, I S
59쪽
numerorum imparium usque ad 29 inclusive, Punctis adscribantur numeri suorum graduum. Jungantur diligenter obliquae ab F ad ι , a a ad 3 , & ita porro usque sad rectam L Io . Parallelis lineis per decimas lateris F Hiranseuntibus adscribantur numcri priuaae infra F, 6 , sequenti Ia , inde Id', 2ψ', 3O', 36': qa', q3', I '. Si militer fiat iisdein parallelis ad latus L Io , sed ordine inverso, nempe primae supra L 6 , inde la', IS Rc. absolutumque erit instrumentum ad plurima utile & por-
commodum , & in re nostra aptissimum. Demonstratio. Hic ad nostrum finem tribus opus est. Primo sinubus omnium horarum in radiis Par illelorum : per eos enim transeunt chordae , quibus & Ellipses, & horae in his determinantur. Secundo imperatos arcus Disci Terrae abscindere, aut d.itos metiri, seu , quod in idum recidit, imperatos angulos constituere , aut datorum quantitatem notam facere. Tertio imperatas partes radii Disci Terrae ab eo , vel aliis lineis abscindere, aut datas in partibus radii Disci Terrae notas facere. His enim tribus absolvuntur omnia, quae in re hac geo
metrice praestanda peti possunt. Porro tria haec facile,& expedite suppeditat constructum instrumentum. Ostendo primum . Rhombi latera i - Euci id.)aequalia sunt radio semicirculi: ergo duo limul 6o o, O. 6o aequantur diametro semicirculi, cui ponimus aequalem radium Disci describendi; ideoque, & AEquatoris. In hoc AEquitoris radio duplo radii semicirculi abscindimus chordas duplum graduum cu jusque horae Sc., quae respective ad radium Disci erunt linus semistis graduum, nempe horis, semihoris &c. convenientium. Nam, qu Z radius AEquatoris duplus est radii semicirculi, & sinus sunt, ut radii, linu, gr. II. in radio Disci, seu AEquatoris duplus est limis limilis in radio semicirculi. Sed in hoc chorda Gr.3o dupla est sinus Gr. II detin. sinus . Ergo chorda arcus semicirculi gr. 3o aequalis est sinu i Gr. Is in radio Disci& ita de caeteris. Porro in basi Rhombi a radio Co ad dexteram tantum excessus supra A C no
60쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTROR PROP. X. 3s
tantur; nam in latere 6o , O ad deXteram habetur jam ,
recta aequalis ipsi AC, quae simul cum illo excessu integrant convenientes sinus, ut patet. Habemus ergo in usqualore sinus petitos. Praeterea radii Parallelorum
2Equatoris ex doctrina sinuum sunt sinus complementi latitudinis Parallelorum. In hujusniodi sinus secuimus radium C o ; nam regula applicita ad gr. ex gr. I o utrinque ab o exhibet rectum ad Co perpendicularem,& a Coin puncto Io bifariam sectam, cujus propterea semissis est
sinus Gr. Io, & Segmentum C Io radii Co est sinus gr. 8o complementi latitudinis Paralleli per gr. Io utrinque ab AEquatore: & ita de reliquis . Hos eosdem sinus abscindimus in utroque latere ino: ergo rectae per eorum ex trema ad puncta cognomina in Co efficiunt intra Rhombum totidem trigona aequicrura, & propter angulos verticales graduum 6o omnibus communes, etiam aequilatera, ideoque bases cruribus, hoc est praedictis sinu bus respective aequales: ergo si binae, & binae aequales accipiantur pro una linea, erunt radii Parallelorum in Disco, similiter ac dictum est de radio AEquatoris. Sunt autem hae bases omnes Parallelae, propter Omnes angu los aequales: ergo rectae ex C ad sinus JEquatoris Io. 6. Euclid.) secant in similes sinus omnes radios Parallelorum ductos, & alios per quoscumque gradus latitudinis ducendos, cum opus fuerit. Habemus ergo in diametro
maxima cujusvis Ellipsis in Disco sinus petitos. Quod est primum. In eodem Rhombo haberi possunt etiam sinus complementi cujusvis horae relatae ad semidiametrum minimam ; si nempe in radiis Coo utrisque , R in CC abscindatur semissis datae semidiametri minimae,& tria pun cta rectis jungantur . Nam in his sinus hor. I, & II erit sinus complementi lior. 7, & 3 , & contra, & ita porro. Sed quia Semidiametri mininiae inconstantes sunt, ut Solis declinatio, & cepius nimis parvae, multo magis
earum semissis, res nec ita commoda, nec tuta admo
dum esset. Dicam igitur in Schol. sequente, quid pro his aptius sit.