장음표시 사용
41쪽
quibus notum factum fuit latus m t. Itaque si fiat ut sinus complementi datae elevationis Poli, nempe m E ad eandem m E, ut sinum totum, ita mi superius inventum ad 4 , prodibit numerus partium mi in partibus radiim Ε , qui inter si
dus t m complementi arcus semi- diurni quaesiti,cujus summa, cum 9o erit arcus quε situs in declinatione ad Polum
conspicuum; in opposita erit illius a so differentia, ut in appolito exemplo. Uides autem in utraque analogia eandem summam prodire ex duobus Log., sed in poste riori analogia non demendum Log. sinus totius, sed tantum Log. sin. Comp. datae elevationis Poli: Unica ergo analogia res expeditur; si nempe duobus Log. prioris analogiae addas insuper Log. Sec. datae elevationis Poli, dempto Radio. Tunc enim prodibit immediate squod petitur in secunda , ut vides in exemplo ad-
nam determinat puncta a, c 3 , in quibus datus Parallelus secat perimetrum Disci, & est Ti sinus arcuum Disci F aD 3 inter arauatorem , & ea puncta sinus is nempe T t calculo item Acili invenitur. Nam in triangulo eo dena Tml, posito Tm sinu datae elevationis Poli pro sinu anguli m i T, complementi datae declinationis , erit Tt sinus totus. Si ergo fiat ut simis complementi declinationis ad sinum totum, ita sinus datae elevationis Poli ad quartum, prodibit Log. Sinus arcus Fa , Ti. ι
42쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP. VI. 21& inde ex Tabulis quantitas ipsius T i nota fiet, ut in
apposito e xemplo . Sunt ergo arcus F
X. Item dato arcu semidiurno in data Solis declinatione poterit inveniri latitudo , ad quam ille arcus spectat, & inde inveniri in perimetro Disci praedicta puncta a ac 3 , quae & ad eum Parallelum , & horas ibi ortus , & occasus in data declinatione suraul pertin bunt . Abscindantur in quovis circulo arcus SI, S L
dati arcus semidiurni vel seminocturni, perinde estJ :& jungatur I L,. quam recta per S , ac T circuli cen- trum secabit ad rectos angulo; in ideoque OS. 3. Eucl.Jbifariam. Nam si ducerentur TI, TL anguli STAS TL insistentes arcubus f per constru. J aequalibus, 27. 3 Eucl. J aequales sunt; ideoque &. reliqui ITH, LTH, qui cum intercipiantur radita TI, F L aequalibus, ac TH communi duobus triangulis TIH, TLII, etiam anguli I. Eucl.J ad II deinceps aequales sunt, ideoque fi 3. pri. ejusd.J recti. Agatur per T diameter ATB, ad SN normalis. Fiat angulus IIIC datae declinationis Solis. Latus ΗC secetra in C. Iungatur CN. Dico Angulum HNC esse Paralleli quaesiti
latitudinem. Nam esto quaesitus Parallelus CE adhuc ignotus, in quo m t complementum dati arcus semi- diurni. Juncta TE, erit angulus B Thoc est ei aequalis alternus TEm , latitudo quaesiita, cui mendendus aequa Iis angulus CNT in Figura 8. Triangula Tml, C TH Fig. s. rectangula in nr, & Thabent etiam angulos mi T, C aequales, nempe aequales complemento datae declinationis cum angulus TH I ostensus sit rectus. Sunt ergo invicem aequi angula: ergo D . 6. Eues.J ut Tm ad G t, ita
43쪽
11 SCIENT. ECLIPS. PARS I. ita CT ad TH ; sed ut m t ad vi E, ita TH ad T N
cum tam mi , respectu radii m Ε, quam TH respectu T N lit sinus complementi ejusdem arcus semidiurni dergo ex aequo fa2 3. Eucl.J ut Tm, ad mE, ita aciT N: sunt autem anguli ad T recti: ergo 6. 6. Eucl.J anguli TEm, CNI aequales. Quod erat Ostendendum. Nota Paralleli latitudine, poterit per p ce dentia duci in Disco ejus diameter, & inveniri punctum t &c. Poterit etiam punetum t immediate inveniri sic . In C N in latere sinistro Fig. 8.J producta, si opus sit , abscindatur Cr aequalis radio Disci TE, ducatur que ra parallela ipsit NT, quae secet CH in M , erit C M longitudo quaesitae Tt, ut patet , cum parallela rafaciat triangula Cra, CNT similia, ut etiam Cua,
consequenter cum C r, T E saetae sint aequales, etiam Tt, C M aequales erunt. Itaque si inventi Paralleli describenda sit Ellipsis, abscisso Fig. 7.) T t aequali invento C M, agatur per i normalis ad T P recta at 3 , itemque recta Θ ti faciens cum at 3 in t angulum datae declina tionis. Per puncta b , R i , ubi ea perimetrum secat , ductae rectae b e , i e ipsi a m Parallelae, juxta dicta determinabunt diametrum minimam d qua secta hi-sariam in o , ductaque per o recta Io 3 ad 1 P normali , fiant or, o 3 aequales radio inventi Paralleli, eritque
Sed hic etiam calculus trigonometricus expeditissimus est. Nam cum angulus datae declinationis, quaecumque sit Paralleli latitudo, idem sit, & angulus axis T P cum quovis Parallelo rectus, patet in Fig. 8, trigona Tao, Tmi M. esse smilia, R in unoquoque notos esse ambos angulos obliquos, & simul latus unum sive a o, sive M t, pro dato arcu semidiurno: est enim a o, mi M.
sinus Comp. dati arcus semidiurni, qui proinde in Tabu lis sinuum habetur; eritque in partibus, qualium radius quaesiti Paralleli habet ioooo. Porro in trigono Tml, sumpto m t pro sinu toto , est m T tangens Comp. datae
44쪽
INTEGRAE CONST ASTRON. PROP. VI. a a
declinationis: eadem m T in triangulo m T E est: tangens quaesitae latitudinis , sumpto m E pro sinu toto partium Ioooo. Si ergo m T fiat nota in hujusmodi partihus , innotescet quaesitus angulus mET. Fiat ergo, ut m t tanquam sinus totus, ad G T tanquam tangentem comp. declinationis , ita mi tanquam linus complementi
dati arcus semidiurni ad quartum , prodibitque quaesitum. Addi ergo debent Log. Tang. Comp. datae declinationis, & Log. numeri sinus mi dati. E summa abjiciatur Log. numeri Ioooo, relinquetur Log. tangentis
quaesitae . Et quia Log. IOOOo est 4. O cio, qui subtrahi debet; sumatur tangens Comp. datae declinati nis minuta A. in duabus notis sinistimis, cui sic minutae addito Log. pri icto fiet sine alio tangens quaesita. Ut quia in Exemplo Tang. Comp. declin. I 3 o' 4O est Io. IS 18OS
ablatis 4 , ut dictum est, fiet
Formam calculi ostendit adjeetum Schema. Invento Angulo E in triangulo Tm E , invenitur Ti&c., ut in coroll. praeced. Duo liaec postrema Corollaria usui sunt pro Typo Ecliptis universali, de quo inserius. Licet autem aliam viam eadem obtinendi dem in a6.' hujus: placuit tamen hanc ex ipsa geometrica constructione in Disco deducere per solam Trigonometriam rectilineam; quod ad hujus rei pleniorem intelligentiam plurimum confert. XI. Ex omnibus praedictis tandem patet, Discum Fig. 6. Terrae esse veluti quemdam horizontem universalem, &mobilem : inde enim omnia determinantur pro tot orbe fetiam altitudo Solis pro dato quovis momento, supra proprium cujusque loci horizontem, ut ostendam post 9' hujusJ, quae ex horizontibus particulari S, ac fixis. Differentia unice in eo est, qaod respective ad 'horizontes particulares Sol oritur , & occidit, cum centrum habet in illis: at respective ad Discum Terrae,
45쪽
in quo centrum Solis nunquam est, oritur Sol in aliqua regione , cum Semiperipheriae Occidentalis B F A punctum quodpiam attingit eum locum sprovehitur enim Discus cum Sole , perpetuo ab ortu in occasumJ tunc enim locus incipit esse in hemisphaerio illuminato, seu radius e centro Solis tunc primo eum attingit. Occidit vero Sol , cum semiperipherile orientalis BD A punctuin locus occupat , tunc enim ultimo est in parte illustrata , nec ullus deinceps radius Solis centralis eum p tit . Porro punctum B, Sole declinante ad Austrum, est contactus ad extra Disci cum Parallelo 2Equatoris Bore ii, qui a Polo boreo distat quantitate datae declinationis, nempe qui ex st per B duceretur, in quo Parallelo Sol tunc praxise oritur, & occidit; hoc est centrum Solis ut hori Zontem astendendo attigit, statim iterum incipit mergi. Ultra eum Parallelum vero potum p versus, est nox perpetua. Tunc autem punctum extreme oppositum A, & m. atactus ad intra cum aequali Parallelo circa P lum Australem , in quo eo die Sol non occidit , sed ubi ejus centrum horizontem attigerit descendendo, iterum incipit attolli. Ultra vero eum Parallelum, polum austra lena versus, est dies perpetuus. Sole autem declinante in
Boream in Parallelis Borealibus fit, quod in priore casu dictum est de Australibus, R eontra. Cum ergo P, vel p iit polus, &PB, ρ B areus datae declinationis, patet limites Borealem, & Australem Disci distare semper apolis arcu datae declinationis, ultra polum quidem ad quem est declinatio, at citra oppositum . Et quia die bus aequinoctialibus declinatio nulla est , tunc it limites sunt in ipsis polis, nempe Coroll. 6. a' hujus) Poli sunt in punctis A&B. Reliqua, quae ex dictis inferri pos sunt, quae e re nostra fuerint, inferius suis locis expo
46쪽
Dato mero loco Solis in Ecliptiea declinationem Solis ab aequatore determinare. RAdio quovis quo majore, eo aptiore) CA duc
tur arcus , in quo abscindatur AB graduum a 3 go maximae declinationis Eclipticae. Junctis CA, CB, agatur per B normalis ad C A recta B D, quae erit sinus arcus B A. Centro D, radio DB describatur quadrans BLE, in quo abscindatur E L aequalis distantiae dati loci Solis a proximo aequinoctio, in assumpto exemplo Gr. a' Ao' . Per L agatur L G parallela E A, quae secet arcum AB in G. Dico arcum AG esse quaesitam declinationem. Producatur, si sit opus, G L donec secet C B secet in F ; ac ducatur LX ad ED normalis. Demonseratio. Concipiatur sector ACB pars plani Coturi Sol stit torum,in quo CA AEquatoris cum illo com munis sectio; erit CB Coturi, & Eclipticae communis sectio, quae ab aequatore in eo coluro distat gr. 23 3O', hoc est arcu A B. Cum ergo CB sit Eclipticae radius subtendit quadrantes illius duos unum hinc , unum inde, &normales ad colurum Solstitiorum per Eclipticae polos ii
cedentem. Eidem coluro normalis est etiam AEquator, ut
pote & per hujus polos transeunti ; consequenter etiam AEquatoris Paralleli, quorum proinde cum eo coluro communes sectiones II. I. Theod.) sunt Parallelorum diametri, Rad radium aequatorisCA I 6. I I .Evcl. parallelae . Est ergo G L communis sectio cum coluro disto, Paralleli AEquatoris transeuntis per G, cujus proinde de clinationem patet esse arcum A G . Ostendendum superest eum esse Parallelum, quem Sol in dato loco in Ecliptica percurrit.
Quoniam G L secat CB in F, & tani Ecliptica, quam Parallelus per G incedens recti sunt ad ejus coluri planum, etiam illorum communis sectio I9. I i. Eucl.) inmsistit perpendicularis plano coluri in F, ideoque 3. de D fin.
47쪽
nus arcus Eclipticae, cujus sinus ris est FB, nempe arcus Eclipticae inter punctum Solstitiale B , & punctum , in quo secatur circulo Paralleli per G : ergo reliquum radii est simis distantiae ejusdem concursus a proximo aequinoctio. Jam in trigono CB D, propter Paralle
num totum, ita D Η, hoc est ei aequalis L. X sunt enim in X , D H Parallelae , utpote ambae rectae ad CA) ad D Bitem sinum totum quadrantis DBE. Sed LX est sinus datae distantiae Solis ab aequinoctio, nempe per con struct.) arcus L ergo pariter CF est linus limilis arcus Eclipticae inter proximum AEquinoctium,& punctum F. Parallelus ergo transiens per F,&Gest qui datur,& consequenter Λ G qnaesita declinatio . Quod erat . Coroll. Si ducatur G I ad C A normalis, est ea linus arcus AG inventae declinationis, qui propter parallelaes.
G H, ID aequalis est ipsi D H, hoc est X L stinui datae distantiae a proximo aequinoctio respective ad D B tanquam radium. Est autem eadem DB linus arcus A B maximae declinationis Eclipticae. Cum ergo sit, ut CF ad CB, ut D Η, seu aequalis XL ad D B, & convertendo, ut CB ad GF, ita DB ad XL, seu aequalem GI; patet ita esse sinum totum ad sinum distantiae Solis a proximo aequinoctio, ut sinus maximae obliquitatis Eclipticae ad sinum quaesitae declinationis. Hinc additur Log. datae distantiae a proximo aequinoctio, & maximae obliquitatis Eclipticae, deletaque e summa I sinistima, relinque
ut in adnexo CX-οmplo : & ex praxi geometrica etiam trigonometrica de ducta &ostensa est. Facile ergo tabula paratur declinationis singulorum graduum, semigraduum M. Eclipticae, addendo lingum
48쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PROP.VII. a
lis distantiis a proximo aequinoctio Log. Gr. 23 3O'. IIuiusnodi tabula ad dena minuta habetur in libro primo Horograpluae, & ejus usus in Prop. I 6. ejusdem.
SCHOLIUM. Si proposita figura fiat in materia solida, & quadratis BE , soctus exacte sit in 9o gradus, habetur ii strumentum universale ad hunc finem . Pro re nostra si radius C. A fiat aequalis radio constanter assumendo pro Disco Terrae, inventus arcus declinationis usui erit pro determinandis diametris minimis Ellipsis, etiamsi ignorentur gradus, & minuta invento arcu contenta: arcum enim qua rimus conVenientem, quantuscumque ille sit. Poterit tamen etiam in gradibus , & minutis facile notus fieri, praesertim per instrumentum in Io' hujus parandum. Hinc non opus est in arcu AB gradus dividere. Si tamen dividatur utile & commodum erit pro plurimis summam praecisionem non petentibus, in Gno monica praesertim.
Equatoris, aut e us Parasti tu ushbet apparentias in Diso Terrae, in boras, semiboras, quadrantes oc. dividere. IN Disco Terrae B FAD, esto AB Meridiana & axis Tob.LPla. .
AEquatoris,FD AEquatoris diamet r normalis ad BA, g a diameter dati Paralleli& ponatur rq Sol in AEqualore . Secetur perimeter Disci in I partes aequales proa boris, initio facto ab alterutra diametrorum, pro semilioris in 8 &c. Pariter ei rea dati Paralleli diame- . trum , cujus centrumis descriptus circulus gn u similiter secetur. Iungantur rectis occultis puncta horarum
in puri metro Disci opposita ad easdem partes ab A B, &Da ab
49쪽
ab hac aeque remota; ac notentur puncta, in quibus Iaaercetae secant 2Equatoris diametrum FD. Similiter fiat ci ca horas, & diametrum dati Paralleli. Dico apparentias . Equatoris & Paralleli sectas esse, ut petitur.
Demonstratio. FD gk s. huj. sunt apparentia
2Equatoris, & Paralleli in Disco. Pariter tam chordae per horas in perimetro Disci, quam per horas in Paralleli circulo , sunt ad invicem, & meridianam A B parallelae, utpote intercipientes utrinque arcus aequales. Concipiatur u quatoris circulus cis aequalis est circulo Disci, utpote circa aequalem diametrum) ut & circulus Paralleli in situ suo naturali, nempe, in cassi polito, normali ad planum Disci ; etiam praedictae chordae omnes ad planum Disci rectae erunt. Coincident ergo cum radiis Solis centralibus per eadem punita horaria transeunt sebus; quare hi secant datas diametros FD,gk in iisdem punctis , in quibus ductae chordae : ergo chordae, ut radii doterminant puncta horarum M. Quod erat primum. IL Sit Sol extra AEquatorem, consequenter 6.huj02Equatoris apparentia sit Ellipsis a Fb 8c Paralleli Elliptis dgni. Dico chordas, ut in priore casu ductas, dividere perimetrum Elliptium , nempe AEquatoris, &Paralleli apparentias, ut jubetur. Demonstratio. Concipiantur AEquator, & Parallelus inclinati ad planum Disci 6. huj.) juxta datam Solis declinationem, & per puncta horarum, opposita puta 3 ,& 23 aeque ab AB distantium intelligantur radii Solis centrales, qui erunt in superficie cylindri radiorum , cum quo Disci communes sectiones sunt datorum Parallelorum apparentiae: patet ergo illos radios in Ellipsum
perimetros cadere, ibique determinare puneta earum horarum. Per eos duos Radios intelligatur planum ,
quod 38. Ir. Euclid. ad planum Disci rectum erit, &cum a Meridiano distet utrinque arcu Aa 3, B Iῖ, hoc est ejus sinu gr. I 3., est eidem Parallelum , consequenter ejus plani cum Disco Terrae communis sectio Meridia
nae A B res II. Euclid.) parallela erit, & ab A B distabit
50쪽
INTEGRAE CONSTR. ASTRON. PRORVIII. Tybit in utroque extremo, sinu gr. IS. Hujusmodi autem sper constr. est chorda I 3, 23: ergo haec resert eam communem sectionem, consequenter determinat in perimetro Ellipsis puncta earum horarum. Eodem discursu co
cluditur de aliis horis binis, & binis tam in AEquatore , quam in Parallelo. Neque obstat , quod diameter maxima Ellipseos Paralleli, nempe S 3 , non sit eadem linea cum chorda g k per dati Paralleli latitudinem : nam cum 6. huj.J sint Parallelae, & aequales, res in idem recidit: plana enim Parallela rectas lineas in se incidentes i . ii. Euclid.J similiter secant. Quare perinde est sive is circulus Paralleli centro ρ per e , & h, sive centro o pers, &3 describatur. Constat ergo totum Problema. Quod
SCHOLIUM. Cujusvis Ellipsis solus arcus diurnus usui est pro
Eclipsibus Terrae, & Solis; solus nocturnus pro Lunae. Quomodo hi arcus definiantur dictum est in Corollariis sextae hujus, tum Geometrice, tum Trigonometrice . In AEquatoris Ellipsi ea semissis est arcus diurnus, quaea punctis F, D vergit ad polum oppositum ei, ad quem Sol declinat . In Ellipsibus Parallelorum pars major est a cus diurnus, Sole declinante ad Polum conspicuum, pars minor in casu opposito. ordo horarum in declinatione Solis boreali erit ea, quam figura exhibet circa circulos, itemque in arcu Ellipsium inferiori. In australi invertenda series, ut factum vides in Ellipsium arcu superiori: nempe in utroque casu AB est meridiana, & horae ante Meridiem a limbo Disci occidentali, qui Foroll. II. sextae huj. J est quasi horizon ortivus, ad Meridianam, & ab hae ad limbum orientalem pomeridianae pro gredi debent. Ponimus autem meridiem hor. 2ψ, &inde in post. I. a. 3.&c. more Astronomorum serie con