장음표시 사용
111쪽
s Si in sphara eadem cubus, m Do de eaedrum i cridiantur: quadratum lateris cubi, ct quadratum lateris-Dodo caeari, utraque simul, quintuplasent quadrari semidiametri cireuli pentagonum Dodecaedri cιrcumscrabenm. Coroll. propos. 3. 4 PERFICIES euiuslibet Dodaeaedri ad supersieiε cuiuscunque I eofaedri tiamsi non describantur amba figura in eadem sphara, sicut rectangulum eo entum sub la itere Dodeeaedri, perpendicularι ducta ex rentro pentagoni Dodecaedra in latus dictum,ad rectangulum eon.
tentum sub latere Ie aedri. se perpendiculari ducta excentro trianguli Icosaedri in dictum Iatus. Coroll. propol. 7. 7 SI ex eentro circuli triangulu Tetraedri,vel Octaedri, sue quadratum eubi circumscribentis , perpendies lurisdueatur Aa unum aliquod eorum latus. Erit, quod sub dicto ι arere, P perpendiculari conrinetur, rectangulum, in
Tetraedro qui sumptu sexies, supersteter Tetrae drret ooctae dro vero , oe cubo, duodecies sumprum , superficiei Octaedri, ν cubi aquale. Ad propos r. 8 It Eta TA κG UL UM eo mρνehensum sub perpendieulari ab angulo trianguli Dosaedrs ad unu eius latus ducta , is sub quinque sextis partibus lateris cubi eidem sphara ,3n qua Icofaedrum,inscripti,aquale eri pentagono Dode- eaedri in eadem Jhara eo Θιι uti. Coroll. propos. S. 9 RUAM proportion m habene latera cubi , is Icosuedr, eiusdem sphara, eandem habent latera cubi, is Ico Aedri in quatos alia sphaera descriptorum . Ad propos . lo. to SUPERFICIES Dodocaedνi ad superfletem Ieosue in onsolum habet eandem proportionem, quam latus Ico-
faedri in eadem sphara eum ipsis , ut mula propos o. huius liboed etiam, quam obtinet latus cuba ad latus reosast
dri in quacunquo alia sphara. Ad propos. ro. II SI sphara plano quopiam socerur,communis sectis eirculus erit. Ad propos Io.t i Si planum spharam secans trasieris per eentrum, efficietur cινculus idem centrum habens quodnara: Si vero planum securas per sphara centrum non transierit, efficieris r
112쪽
eireulus habens aliud centrum quam sphara , illud mia deliras punctum,in quod cadis perpendicularis ex centro sphara ad planum secans ducta.Coroll.propos Io.13 CIRCULI in sphara aquales aqualiter dictant a re pro θbara. Et ei uti aqualiter disantes A eenιros ara, aquales sunt. Ad propoc ι o. 14 EADEM proportio ea lateris eubi ad Iasus Ieasaadri, qua superficiet Dodecaedrι ad superficie Ieofaedri:Er linea potantis rota quamcunque sectam extrema ae media ratione , is eius segmentum maius, ad lineam potentem totam eandem , is minus segmentum illius. EsDo-deeaadri ad I saedrum eius m sphara. Coroll.propos II. 1 1 LINEA perpandisularis ex uno angulo strianguli aquι-
lateri ad latus oppositum demissa secat O angulum la
Ia OMNE triangulum aquilaterum , cuius latus sie Rarianale, superficies Media. Coroll.propos II. x LINEA perpendicularis ex quolibet angulo trianguli aquilateri ad basem opposita ducta sesquialtera est eius.
qua inter centrum rrianguli dictum angulum interiν-citur: Hae autem inter centrum trianguli vietum angulam interiecta dupla es eius porpendicularis, qua ex centro tνianguli,ad basem eiusdem ducitur,Corial pro
et 8 SOLIDUM, quod ' ex dimidio lateris eubi in duas terrias partes quadrati diametrisphara dictum cubum eomprehendentis , aquais es eubo. Vel solidum , quod fit ex latere cubi in tertiam partam quadrati diamatri sphara, aquale est cubo. roll.proposa . 19 SOLIDUM, quod fit ox porpendiculari e centro eisiuscunquo corporis regularis ad aliquam eius basem ducta, in tertiam partem superficiei V 3 eorporis , aquais est proposito corpori regulari.Αd propos 2 ao LINLAE perpendieul res coniungentes centra circulorum , qui bases oppositas tam cubi, quam Octaedri in eadem sphara circumscribunt,inter se aquatis sunt.Coroll.
113쪽
11 ALTITUDO Oetaedri ad altitudinem Terraedri eiusdem θhara est , ut latus Octaearι ad latus Tetraedri. Coroll. prop. 12.1 P DIAMETER Jhara ad Iatus Tetraedri est, ut latus Octaedra ad latus cubi ei de sphara. Coroll. propos 1 a.
SI linea quavis rectaseeeδur extrema ac media ratio
ne, et alia linea poteria huius sesquialtera sit Iasus Celaedri: maius segmetum erit latus Doricaedri eiusdem1phara,in qua Octaedrum describitur . Coroll. propos 2 s. 24 SI an triangulo aquilatero perpendicularis dueatur ex υno angulo ad latus oppositum : quadratum recta , que medio loeo proportionalis est inter dictam perpendicularem, di dimidium lateris, aquale est ipsi triangulo. Coroll. propos. 29.
1s Di AMETER sthara potentia est dupta sesqwquarta
axis Terraedri,seu altitudinis ipsius I atque adeo aramerer longitudine est sesquialtera axis , υel altitudιnιs Tetraedra.Coroll. I.propos 3 I. 26 AXIS,seu altitudo Tetraedri ad Iatus eubi eidem sphara inscripsi eri , ut latus Tetraedri ad perpendicularem ex uno angulo basis ad latus oppostum ductam. Coroll. a. propos. II. ' .a PRISMA eandem habens 9 basem . altitudinem eum Tetraedro,aquale ent cubo in eadem sphara , in qua Tetraedrum, descripto. Coroll.propos 3 a.
I SI in Terraedro octaedrum inscribatuν, diuidetur Tetraedrum bifaria tribus quadratis aqualious,qua Octaedrum bifariam quoque, sese ad angulos rectos interse- eant. Coroll. propos. 2.2 RECTAE linea centra basium cubi oppositarum eonnectentes se mutuo is bifaria m,is ad angulos rerus Iecant. Coroll. propos. I. . I IDEM est centrum Ieosa adri,aesibi inseriptι Doaecae
114쪽
. ST Tetraedrum octaedro ιnscribatur,erunt quatuor bases ratraedri octo basibus Ocyaedri parallela, sit uia vi-
SI in Octaedro Tetraedrum interibatur; recta, qua cen-sνα basium Octaedri onositarum coniungit , sesequialterae v Axis Tatraedri,hoc est, perpendicularis ab angulo Te-
ιν aedri ad basim opposivam deducta.Coroll. 2. propos.6. R ECTA subten aiens unum angulum pentagoni aquilateri, aquianguli, parallelu est opposito lutari. Coroll.
DIAMETER Dorieaedri duo latera potest, ipsius sit.
lica a Dodoraedra is cubι,in quo Dodecaedrum anserib ruri Ad propos. I 3. . ST larus subisecetur extrema ae media ratione, minus, sagmentum latus est Dodeccedri in cubo desicriptinMaiias vero segmentiιm latus cubi in hoc Dodecaedro descripti,
LATUS eubi equale est duabus lateribus , Dyde eaedri. videlicet in ipso desieripti, is Dodocaedri circa eunaemeubum descripti. Ad propos. 13. IO RECTA duos angulos pentagonorum Doricaedri communi lateri oppositos connectens , a qualis es lateri cubi, ,πeui Doricaearum inscribitur. Ad propos. ιδ. Ir DIAMETER I eo aedri pote I is latus Ieosaedri, ct cabi Leosaedrum ambientιs. Ad propol. I .r 2 BIFARIAE sectiones sex oppositorum laterum Icosaedra eouι unguntur tribus rectis equalibus, sese in centro Icosaarii bifariam , is ad angulos rectos secantibus . Ad propos. 24. II SI larus cubι extrema ae media ratione secetur,maius segmentum latus est Icosaeam in dicto cubo descripti . Ad ptopos. I . I ICOSAEDRI tam latera, quam triangula opposita sunt inter se ρarallela. Ad propos . t q. is IDEM es centrum Icosaeuri, o Gefaedri in eo defert pii. Coroll.propos I s. ro S I duo latera trianguli aquilateri serentur extrema
115쪽
rius vero minus sit prope a gulum ab usis comprehensum: Recta connectens alictas sectiones duplum potes minoris segmenri. Coroll. I. propos i 6. II SI in Octaedro Icosaedrum deseribatur, eolloeabuntur octo bases Ieosaedri in octo basibus Octaedra,sdemque erit
centram basis Octaedri, O MO Icosaedra . Coroll. a. propos i s. Is IDEM eentrum est Oct dri,atque sibi infriari Ic saedri. Coroll.3. propos 16. Io IDEM es centrum raramidis, o eubi in ea Asripti. Coroll. a. propos ι8. O RECTA coniungens bifarias sectiones oppositorum ia- rerum Dramidis, transit per cenaerum oramidis, tripla es lateris cubι in nramido deserapti.Coroll. 2. prop. I 8. xt IDEM est centrum oramidis, ct Octaedri in ea de-βripti. Ad propos 18. - .
eum rectae druis extrema ac media ratione , qua ab uno angulo basis Octaedri ἀuctarseat latus oppositum extrema quoque ae media ratioue. Coroll.propos. I.
a LATUS Iesedri in pyramiae destripti, es Aporome. Comit. propos . 3 LATUS Octaedri potentia quadruplum quialtarum
ea lateris cubi in ip f. deseripit , vel eius recta extrema, ae media ratione diui .., cuius maius segmentum latus est Dorica ηam Octaedro inseripit. Coroll.propos II. DIAMEI ER Icosaedri binas rectas pores, diametra silicet cubi in ipso desiripti,ct diametrum circuli triangulum I saedri ambientis. Coroll.pmposas.s IDEM centrum est Octaedri, atque cubi sibi iusiripsi. Coroll. l.pmpoca 3. 6 OCTAEDRUM ad sibi inseriptum cubum eandem ha
bet rationem, quam eorum laterum quadrata habent. Coroll. 2. propos a I. .
116쪽
DODECAEDRUM a duplo cubi sibi inseripit dineis
duobus parallelepipedis, quorum unius longitudo lar rieubi est aquatis, latatudo autem tertra paris minoris sese menti eiusdem laseris cribi, alιitudo denique a latera cubi deficit minora seg=nenio eius lιnea, qua dimidιati lar ris cubi miuus segmentum existit: Alterius vero ct longitudo ct latitudo lateri e ubi aqualis eis, a fritudo autἔminus segmentum erus linea, qua dimidiatr lateris etibi segmentum minus existituta νι'amborum altis udines fia
rolla lepipedo, cuius basis es quadratum lateris Icosae-dri, altitudo vero recta linea bifarias sectiones opposito. rum laterum Iecsaedri coniungens. Coroll. Propoc 3 r. ' 9 DAT Is duobus cireulir in sphara parallelis, dataque in υno eorum linea recta , ducere in altero diametrum huic recta data parallelam. Ad finem lib. i 6.r o SI in planis parastalis deseripti sint duo circuli,in quias bus dua recta parullela abscindant arcus similes e erunt
dua recta coniunIetes extrem A unius rectae cum centro,pa allela duabus rectis,qua extrema alterius recta eum centro coniungunt. Ad finem lib. i 6.1t SI in sphera sint duo circula paralleli , , aquatis , in quibus ducta sinι dua recta parallela en' aquales, ad eas
uem parres eentrorum. Recta harκm parallelartim extremo puncta ad easdem partes coniungeZtes,il quales quoque,ct parallel εμ ut, ad plana circulorum perpendicularas . Ad finem lι b. I 6.r a SI in βhara seni duo circuli paralleli , aquatis , in quibus aucta sim due recta parallela is aquales, non ad
eosdem parres ceverorum : Recta narum sarallelaru ex frema pu ueta non ad easdem parres coniungenres, in eenrro sphara sae intersecat,ac proinde diametri h bara eνile, O inter se aqua ιιs: Recta vero earundem parallelarumax rema puncta ad easdem partes connactentes, is aqua Ies ac parallela 3nter sesunt, et cum paνallelis rectos angulos eo Τιtκuut. Ad finem lib. 16.------ 33 I N
117쪽
i 3 IN data Iphara duos eireulos aquales , ae parallelos deseribere,ita ut diameter sphara sis utriusque diametri potenria sesquialtera. Ad finem lib. I αr IN data sthara Pyramidem aliter, quam ab Euclide , factum erit, describere. Ad finem lib. I 6.i s ΙΝ data sphara Octaedrum alicer, quam ab Euelide factum est, describare. Ad finem lib. I 6.i 6 IN data 'hara eubum aliter , quam ab Euelida factum ect,deseribere. Ad finem tib 16.17 IN data obara Ieosaedrum aliter, quam ab Euclideia factum es, describere. Ad finem lib. i σ.r 8 IN data sphar a Dodeeaedrum aliter, quam ab Euelia de factum ess, descνibere. Ad finem lib. 1 6. I9 SI quadratum, is triangulum aequilaterum aqualia habeant laterarerat viginta triangula simul maiora, quam octo quadrata simul. Ad finem lib. 16.eto OCTO quadrata ex semidiametro sphara deseripta, a
qualia sunt superficiei cubi in eas hara descripti. Ad fi-
. nem lib. 36. 2 I SI Octaadrum, rubus, ct Icosaedrum in eadems ara descrifiantur; erit perpendicularis e centro sphera ad unam basim Icosaedri ducta , maior perpendiculari ex
eodem censro sphara ad unam basim Octaedri , is eubi ducta. Ad finem lib. io. 2 1 SI cubus , is Leo edrum in eadem sphara deseribantur: superficies Icosaedri superficie rubi maior es. Ad finem lib. I 6.
ra DODECAEDRUM Icofaedro in eadem sphara ma. ius est. Ad finem lib. Io. 24 ICOSAEDRVM cubo in eadem sphera maius es. Ad finem lib. I 6. ἀχs CVBUS Qctaedro in eadem sphara maius ess. Ad finem libi 6.
26 OCTAEDRVM Tetraedro in eadem Jhara maius est. Ad finem lib. 16. - α SUPERFICIES eonvexa Dodeeaedri maior est super-Die eonvexa Icosaedra in eadem sphera'. Et superlicies Ieo edri maior superficie rubri Et superficie eubi maior
118쪽
superfie Octae dri: Suparficies denique octae dra maιον seuperficia Tetraedri. Ad finem lib. I 6.18 ANGULUM inelι natιonis duarum basium euiuscunque corporis regularis inuenire. Ad finem lib. 16.as OMNES inclinationes basium euiuscunque corporis regularis quales inter se sunt. Ad finem lib. i 6. ITALVE in Codieibus Graeis habentur in primo libro propositiones 48: In secundo, I 4. In terrio, T. In quarto, I 6: In quinto, et sunsexto, 33: In septimo, 4I: In octavo, 27: In nono, 36: In decimo, Dr: In undecimo, qo:In duodecimo, i 3: In tertiodecimo, I 8: Iu quartodecimo, II: In quin rodecimo, se Areue in uniuersum, 86. PROPOSITIONES vero addita , in quinto libro , 9: In quartodecimo, 2I : In quintodecimo, I 6: In sextodecimo, 3I: Atque omnes numero, 77:
I scholiis denique,ct corollarijs demonstrantur propositiones in primo libro, io 8: In se cudo, 2I: In tertio, sq: In quarto, 28: In quinto, a6:In sexto,p9: In septimo, 33:
N uniuersum ergo I 234. propositiones ta nostro Euclida demonstrantur.