장음표시 사용
91쪽
i ρ , D V Ο numeri medij proportionales inter duos eubos, uteruis ipsorum cuborum, interses compositi sune. Ad
ro SI quaή arus numerus quadratias umeri, F etibus exbi sis multiplex: unius Iarus lareris aiserius muleiplex: oris.Et si unius quod Mi , is cubi lams lateris alteriussi mus Ulax:is quadrarus quadrati, ct eubus eurimul ipι- ννiLSi vero quadrarus quadrars, ct gubur etibi nost multiplex'. neque latus lateris erit multiplex. .Etsi larus lateris non μ multi ex . nequa quadratus qua ari, neque cubus cubi erit multiplex. Ad propost'. 11 INTER duos similes planos endit medius proponion lis in rariona laterum homologorum,per qua medius proportionalis inquiritur. Ad propos i s. a1 NUMERUS medius proportionalis inter duos planes fimiles,σ uteruis ipsorum sanorum,sunt intaν se compo-
μι. Ad propos I 8.1 3 INTER duos similes solidos ea ne duo modi, proponio
nales in proportione laterum homoluoram,per quamσ- dij proparsionales inquirunPr. Ad propos. I9. x DUO numeri mediν proportionales inper duos solidos similes,ct uteruis usorum solidorum,interse sunt eo ositi. Ad propos.19. rV. - i s DATIS quotlibet numeris, procreabitur ex eorum mu- eua mulat lieatione idem semper numarus,quom docun-' que ordinem intersaepermutant. Ad propos r'. 26 PROPORTIO euiusuis numeνi quadrati ad quemliueet numerum non quadratum , exhiberi nullo modo potes in duobus numeris quadratis Corollιpmpofa 4.αν NUMERI in dupla proportione vel quinιupla proportionem non habent, quam quadratus ad quadraι-LCO
a 8 PROPORTIO euiustiis numeri etibi ad quemlibet numerum non eubum reperiri non potest an duobus numeris . eubis. Coroll. propos 2 s. 29 NUMERI, qui proporrionem habent, quAm qu dratus numerus ad quadratum numerum , simile
92쪽
; o P L A RI numeri non similes proportionem nohhabent, quam quadratus ad quadratum. Ad propos 26.3I NUMERI, qui proportionem habent quam cubus nM- merus ad sabum numerum , sunt solidismiles. Ad propos . . . ' ' . '. 'ra NULLI numeri habentas duplam proporrionem, διμ- perparticularem,vel superbipartientem , sunt iles pa-
non possunt osse plani, mei solidi similes. Ad propos e .
37 DUOS numeros planos,velsolidos non ites iuuanire. Ad propos 27,
I SI duo numeri quadrati se mutuo muti lirantes faciant quempiam:Productus quadratus erit. Ad prop.2. a SI duo numeri se mutuo multiplicantes fac antquAdratum,alter autemst quadratus:Er reliquus quadrastus erit. Ad propos μ3 SI duo numeris se mutuo mula'lieantes faetant non quadratum,auer autem β quadratus:Reliquus no qua
SI duo numeri, quadrastus non quadratus, se mutuo multiplicantas Deiani aliquem, Productus non quadraetus eris.Ad propos 2. .s SI cubus num avus non cubum numerum multiplicans inaciat aliquem,Factus non cubus erit.Ad pDpo 1. s.
93쪽
s SI cubus numerus numerum quendam multiplieans faciat non eubum o Et multiplicatus non cubus erit. Ad propos . SI ab υnitate quot eunque numeri deinreps proportionatisfuerint:quilibet maior numerus aeceptus santum di-Πabis ab assumpto quouis minora , quaneum ab unirate abea is numerus, per quem minor maiorem metitur.Ad propos II.
s Sc ab unitate quotcunque numeri diamreps proportionales fuerint: quilibet illorum seipsum multiplicans producit num arum,qui tantum ab eo distat in numeris proporrionalibus, quantum ipsa ab unitare.Minor vero quiuis maiorem quempiam multiplicans producit numaru, qui tantum is maiora dissa quantum minor ab unitate.
NULLUS numerus primus,qui maior sit eo, qui proximus est unitari,aut minor proximum unitati non motios, me/iri potea ultimum, vel quemvis maiorem in propor-sionatibus numeris.Coroll.propos. να SI quotcuque numeri deinceps proporrionales, fuerint minimi omnium eande ratione habentium cum ipsis: NMmerus aliquem eorum metiens, metietur quoque alterum duorum numerorum,qui in eadem rasione sumuntur minimi,vel certe ad alterum erit eopositus. Ad propos. 14. a 2 PRIOR A io. heorematasecundi libri in numeris demons rare. Adprop. I s. 1 v ii NULLUS numarus secari potest in duas panes ita , ut qui sit ex toto in minorem partem, quadrato maioris pamris aquatis sit. Ad propos. ι Θ29.
I SI quotcunque numeri deinceps proportionales,fuerint minimi omnium eandem eam ipsis rarionem habentium:
Ad quemlibet eoνam reliqui omnes ut compositherunt primi. Ad propos. I s. Is PROPOSITIS quoreunque numeris continus proportionalio ui, an ipsis possit alius proportionalis adiungi,considerare. Ad propos. ι P. I 6 SI sint quatuor numeri ρνορονtionales, sed non deincep quorum primus , tertius ρνimi inror ba sint, eri non po-
94쪽
rest,ut detur alius,ad quam is se habeaι quartus ,sicuti secun dus ad tertium. Ad propos. I9. it 7 PRIMIS numeris quot unqua pνopositis, inuenire alia primum numerum ab illis diuersum. Ad propos Σο': 8 IMPAR numerus pari numero, set pluribus paribus numeris additus,faeit imparem. Ad prop.2 I. ly SI par numerus parem,aut seipsum multiplicans βω-rit aliquem: Factus par erit. Ad propos a8. O IMPAR numerra ausa multiplicatur,imparem gignit. Coroll. propos. 29.
I IMPAR numerus numerum parem metiens, er num rum parem eum metitur. Ad propos. 29. 3ιχ IMPAR numerus numerum imparem metiens, per numerum imparem eum metitur. Ad propos a9.r 3 NUMERUS impar, qui ad aliquem numerum primus est; Primus quoqua es ad eius avium ,quadruplum,octuplum, , sic dein evs per proporιionem dupIam progrediendo. Coroll. propos 3 I. ι NUMEROS omnes pariter tantum pares inuenire,
: I NUMEROS omnos pariter tantum impares inuenire.
Ad propos 3 3. . 6 NUMEROS omnes, qui is pariter pares sint is puriter
imparas inuenire. Ad propos sq. ν άZVoTCUNEVE numeνorum continue proportionalium,quorum primus,seeundus,& vltimus noti sunt,summam νnuenire. Ad propos 3 s. ' .s IUUMEROS omnes perfectos, ct eorum partes βίiquoras inuenire.Ad propos.36. 9 ae UOLIBET numaro νεν duos quosvis numeros diuiso; Erune duo hi numeri quotienιibus conuerso ordine proportionales. Ad propos 36. o G L IB ET numero per quor uis numeros diuiso et Erianr bini numeri diuidenres binis Euotientibus respondentibus eonuerso ordine proportionales . Ad propos 36.: I QUOLIBET numero per quotuis numeros continu proport/onales diuiso; Erunt auotienses conuerso ordin.
95쪽
in eadem proportιone continue proportionales. Ad propos 36. M. 31 SI sint quotuis numeri quicunque, est, totidem ali, in eisdem proportionibus:Erii ve siumma priorum ad quelibet eorum,ita summa posteriorum ad exm,quι illi in posterioribus respondete. Ad propos 36.3 3 SI sint quotuis numeri quicunque,t, solidem alij in eisdem proportionebus:Summa priorum per ipsos diuisa sigillatim,faciat eosdem prorsus aeuotiantes,quassumma posteriorum per ipseos diuisa facit. Ad propos Io.
3 SI summa quotuis numerorum continue proportionatra ρεν eos sigi liatim diuidatur, is Ruorientum summa per ijor molientes'. is horum seeundorum Symolientum Itimma per eosdem secundos Euotientes. θ' deinceps in infinitum: Procreabuntur alternissemper ijdem primi aeuotientes ordine eo,uerso.Ad propos. I s. 3s FI summis quotuis numerorum eontinue proportionaliuper eos sigillatim diuidatur: Erit summa omnium Luo-
tientum a realis numero,qui gignitur ex multiplicatiouo primi in ultimum , vel ex mutua mutiiplicatione quorumlιbet duorum mediorum ab extremis aqualiter distantium , vel denique si Luotientum numerus fueris impar 9 ex multiplicatione meάν Luolientis in se. Ad
propocs6 , I 6 SI summa quotuis numerorum cotinue proportionaliu , quorum numerus sit impar, per eos sigillatim diuidatur: Erit summa omnium Quorsentum numerus quadratus , cuius latus , e radix est medius terminus.. Ad propos. 36. . . . 37 N UMEROS quot eunque in data ratione contiuue proportionales Teperiνe, quorum omnium summa aqualis sit numero, qui ex primo tu ultimum genstur , vel ex quibusvis duobus,qui ab eriremis aequaliter distant.Ad pro
38 DUOS numeros in data proportione reperire, quorum summa aqualia sit numero producto ex uno 3n alierum.
96쪽
states , operasionesque varias demonstraro. Ad finem lib. s. t o PROPORTIONUM eompositionem , contra quosdam Recentiores, explieare. Ad finem ii b.ν.
t SI duabus magnitudinibus ineam mansurabilibus propositis,detrahatur semper minor de maiore, alterna quadam detractione: Nunquam reliqua pracedentem metietur. Ad propos*.x SI duabus magnitudinibus eommensurabilibus propositis,detraharur semier mruor de maiore,alterna quβdam detractione e Metietur quadam reliqua pracedentem:
3 MAGNITUDO metiens duas magnisudines, metitur maximam earum mensuram communem. Coroli propos. ' . , . AN quotlibet magnitudines propositastat commensurabiles,necne ,eonsaerare. Ad propos 3.s MAGNITUDO meιians quoiribet magnitudines,metitur is maximam earum mensuram communem.Coroll. propos . 6 SI sint quoreunque magnitudines totidem otiam num eri, qui bini in eade ratione sumantur,in qua bιna ma-gmitudines:Et ex aqualitate in eadem ratione erunt magnitudines,, numstri. Ad propos MAGNITUDINES comm Uurabιles proportionem habent eandem , quam numeri , per quos earum communis mensura maxima ipsas metitur. Ad propos s. 3 LI NEAM rectam inuenire,ad quam lin se habeat qua-tiis alia data recta linea, si numerus ad numerum: Item recta n , ad cuius quadratum ira se habeat quadratumal erius data recta ,ut numerus ad numerum. Coroll.
97쪽
Erit is ut prima illarum ad sicundam, ita prima harum ad secundam. Ad propos. 8.1 o RECTAE linea, qua longitudine funt commensurabiles, omnino is potentia commensurabiles sunt: Elua vero
potentia commensurabiles , non omnino is longitudine . Et qua longitudine incommensurabiles fiant, non omninois potentia ineommensurabiles: Qua vero potentia incommensurabiles, omnino is longitudine ineomme urabiles
sunt.Coroll. propos. 9.r1 DI AMETER quadrati cuiusuis lateri eiusdem ineommensurabilis est. Ad propos. 9.r E DUOS numeros planos inuenire , qui proportionem non habeant, quam quadratus numerus ad numerum quadratum. Ad propos Io.a; C UOTLIBET numeros inuenire , quoru quilibet duo
proportionem non habe nt,quam quadratus numerus ad quadratum numerum. Ad propos. I o. r RECTA media proportionalis inter duas rectas potentia tantum commonsurabiles , virilιbet illarum incommensiurabilis est longitudine ct potentia. Ad propos II.
i s SI sint dua magnitudines incommensurabiles , altera vero sit uni cuipiam eommensurabilis: eris reliqua eι-dem eommensurabilis. Ad propos. 12.16 LUAE incommensiurabilibus sunt commensurabiles inter se incommensurabiles erunt. Ad propos. Iq.i DUABUS datis rectis lineis inequalibus , inuenire id, quo maior plus potest,quam minor.Item datis duabus rectis e aqualibus,siue in aqualibus,inuenire rectam, qua
I 8SI rota magnitudo ex duabus eomposita commensurabilis sit alteri ipsarum: eadem is reliqua commensurabilis ea . Coroll. propos. I 6.i9 SI tota magnitudo ex duabus eomposita neommensurabilis sit alteri ipsarum: eadem is reliqua in commensura bilis ea. Coroll. propos. 17.1o DUABUS datis rectis lineis in aqualibus, quartam partem quadrati ex minore deseripsi ad maiorem applicare, ita ut deficiat figura quadrata. Ad propos. 17.2r DAE
98쪽
1 t DATAM νoctam linoam ita secure,ut rectangula subpartibus eontentum,equales dato rectilineo, quod tamemaius non sit, quam quadratum a dimidia linea deser prum. Ad propos. I .ra SI sint dua recta inaquales, se ad maiorem applicatur quare a pars quadrati ex minora deseripti, desieiens figura quadrata: Non erunt segmenιa , qua ex applicatione fiunt,a qualia. Ad propOL I . . i.
CVOTCVNLVE lineas Rationales longitudine tuter se commensiurabiles inuenire. Ad propos I9.24 RATIORALES linea non seium exposita Rationali, sed etiam inter se sunt commensurabiles. Ad propos I9. as SI sino dua recta linea rit ut prima ad secunda,ita quadratum,quod μὰ prima,ad ractangulum,quodsub duabus illis pectis lineis eonrinoruν:Et vi secunda ad prima, ita rectangulum sub vsis , ad quadratum ex prima . Ad propos. ε9.26 SPATIUM Rationali Datio commensurabile,cir ipsum Rarionale es. Ad propos I9.27 RECTA linea potans sparium Irrationale, Irrationa
lis Ui. Ad propos. 2I. - 28 DUAS, aut plures quoreunque lineas Rationales potentia tantum inter se commensurabiles inuenire. Ad propos. 2 .a9 PROPOSITIS quotcunque Rationalibus lineis potentia solum eommensiurabilibus,inuenire adhuc aliam, qua omnibus isiis eommensurabitis sit potentia tanιum . Ad propos. 2I. IO LINEA media proportionalis inter duas Rationales potentia tantum inter se commensurabiles , Irrationaliseu,qua vocatur Media . Ad propos .aa. 3 i OMNE spatium Medium aquale est euidam alteri rectangulo contento seub duabus Rationalibus potentia tantum commensurabitibus i ipsum sub talibus iam non contineatur. Ad propos. 22.& 2 '. si SPATIVM Medio spatio commensurabile, Medium est.
33 DUAS rectas Medias longitudine eommensurabiles:
99쪽
Item duas potentιa tantum commensurabiles inuenireta.
Ad propos 2 4 RECTANGULUM sub duabus Medi s longitudine or
potentia incommensurabilibus contentum , neque Rationata en, neque Medium,sed aquale aberi cuipia rectangulo, quod continetur sub Iinea Raιionali, o Irrationali, qua Media appellatur. Ad propos 26. RATIONALE superat Rationale Rationali. Ad propos 27. 3s D VOS numeros planos similes inuenire. Ad propos 2 937 DVOS numeros quadratos iuuenire, it ut composivus ex ipsis quadratus Giam M. Ad propos ro. 38 DUOS numeros quadratos inuenire , quorum excessus lM numerus quadratus. Ad propos. 29. 39 DUOS numeros quadratos inuenire , quorum excessus non sit numerus quadratur. Ad propos 1 p. o DUOS numeros quadratos inuenire , ita ut compositus
ex ipsis Mons quadratur. Ad propos xo.
I DUOS numeros inuenire,ita τι ex illis compositur ad neutrum ipsorum proporatonem habeat, quam quadrarus ad quadratum. Ad propos a9. - , SI μι dua recta tinea in equales , erit ut maioν ad mianorem, isa rectangulum Iub ipsis contentum, ad quadrat. rum minoris. Et ut minor ad maiorem , ita rectangulum
sub ili ad quadratum ma oris. Ad propos 3 r.
4 3 SI Fnt tres linea recta,erit ut prima ad terriam,ira rectangulum sub prima is secunda contenιum, ad lae,quod subsecunda ρο ιertia continetur. Ad Propos. I 2. SI recta linea se eeiur in duas parres ιna quales : erit ut uua pars ad alteram , ira rectangulum sub rota illa parte, ad rectangulum sub rosa O hac altera parte contentum. Ad propos I I. . s Si sintdua recta tinea inaquales, una auresecetur 4ia fariam. erit rectangulum seu b usis eon tentum, duplum rectanguli, quod sub in ecta linea , is dimidia parta Iinsasem continetur. Ad propos. 3 ι. . 46 FIERI poten,ut duo spatia Irrationalia componant
100쪽
ID V O spatia Rationalia Rationale spurium compo-l ount. Ad propos 3 4. ' . 8 INVENIRE duas Medias longitudine, se potentia in-i eommensurabiles. Ad propos 36. l sub linea Rationali, Irrationali contineturi rectangulum, Irrationale est. Ad propos 3 8.s o SI recta linea non bifariam feretur, erit compositum ex quadratis partium maius. quam rei angulum sub parribus bis comprehensum, 'vudroto eius linea, qua maior pars minorem superat. Ad propos 3 ρ.s r SI recta linea in partes ina quales secetur, , rursus iualias partes in aquales t erunt quadrato partium magis ina qualium simul maiora quadratis parcium minus ana- qualium Mi. Ad propos . qa. a. SI ricta linea secta sit υtcunqua e erit rectangulum subpartibus contentum, medium proportionalδ inter eurum quadrata. Ite rectangulum eontentum sub tota , una parte , mediam proportionale inter quadrarum totius L.
nea, T quadratum dicta partis. A 1 propos sq.s I EI, qua est ex binis nominibus Ppotentia tantum com- mensurab: Iis, is it ex binis nominibus est,sird non semper ordine eadem. Ad propos. 67. ' .s EI, qtia es ex binis Mediys, potentia tantum commen-l surabilis, di ipsa ex binis Medijs es,atque ordine eadem.
l f s RECT A linea, qua ex binir nominibus , o reliqua. Ir-νationa Ias per compositione fari e usiam subsequentes, neque ipsi Media,naque iurer Is eadem semit Ad propos 73.s6 RECTA Iιnea media proportionali, se naeum Analogiam Arithmetica inrer duo nomina cuiustiis linea Irrationalis,qua per eompositiones, s quoque Irrationalis ea de illi, tuter euiess nomina media existit. Ad propo. 3sy SI a maiorι naMive eius, qua ex binis nominibus, ininus nomen auferatur: Reliqua Irrationalis os . Vocetur autem Apoto me. Ad propos γε.s8 SI a maiori nomine eius, qua ex binis Medijs prima, minus nomen aufera Iur: Relaqua Irrationalis es. Voce-aur autem Meώιa Apotome prima. Ad propos 7s.