장음표시 사용
81쪽
altitudinum. Ad propos. 23.s s DATIS duobus parallelogramis aquiuulis,sed no similibus: ex quoi s illorsi altera simile resecare. Ad pro p. 26.s 6 DATO parallelogrammo, describere aliud maius, aut minus simile illi,similiterque descriptum. Ad propos . 17 SI ad rectam lineam applicetur parallelogrammu deseiens quadrato ipsum applicatum aquale est rectangulox quod Ab sigmentis linea per applicationem factis continetur . Ad propos. 28.s 8 SI figura, qua ab uno laterum trianguli describitur, aequalis sit eis, qua a reliquis trianguli lateribus describuntur gurii similibus militerque postis: Angulus comprehensius sub reliquis duobus trianguli lateribus, rectus est.
sy SECTOR ad siectorem est ,υt angulus ad angulum. Coroll. ι. propos. 33.
6o Angulus in centro cireuli ita est ad quatuor rectos, utaretis illi siubtensus ad totam circumferentiam. Et contra Ita se habent quatuor recti ad augulum in centro,ut tota cireumferentia ad arcum illi angulo subtensum, Coroll. a. propos II. oi SI MILIA ei retitorum segmeta, hoe est, in quibus auguli sunt aquales, eandem proportionem habent ad integras circumferentias circulorum. Ad propos. δῖ. 62 SI duo aut plures circuli ex eodem centro describatur, atque ex centro dua , aut plures recta linea ducantur erunt arcus inter quascunque duas lineas intercepti ,m
miles. Ad propos II. 6s AEL UALES rectae linea ex eirtutis inequalιbus auferut arcus in quales, maiorq; en arcus minoris circuli,et
Et maior, qvisimilissit arcui circuli maioris. Ad propia 364 A dato rectilineo imperatam partem auferre,ita rame,
mi is ablatum, is id, quod relinquitur simile sit cuiuis rectilineo dato militerque positum. Ad propos. 33. 6ς DUOBUS datis rectilineis, tertium proportionale inuenire. Ad propos 'I.
82쪽
εγ DVOB Us datis rectilineis, medium proportionale inuam ira. Ad propos 3 I. DATO rectilineo duo rectilinea aqualia conssi uere, qua similia sint militer ; descripta cuicunq; re Atilineo, Gabaantquinterse proportionem propositam quamcunque.
s DATO rectilineo duo rectilinea aqualia exhibere, quae uitiis rectilineo similia sint militerque descripta, late. raque eorum homologa habeant intorse propartionem datam. Ad propos l3.
O DUOBUS datis rectilineis aquati rectilineum eonstituere , quod simile sit , similiterque positum cuiuis rectilineo dato. Ad propos II.
t SI in eirculo dua recta lineasese mutuo secuerint: Erut segmenta uniu4 segmetis alterius reciproca. Ad pro p. II. a SI extra cireulum sumaIur punctum aliquod, ab eoq; in circulum eadant dua recta linea circulum feeantes: Erunt tota, is segmenta extra circulum reciproca. Quod
si ab eodem puncto linea ducatur , qua circulum tangat: Erit hae media propertionalis inter quamlibet recta, quaeirculum secet eius segmenta ex arsus. Ad propos. 3.73 S I dua recta linea sese mutuo saeuerint, a duobus earum teνminis perpendiculares sibi mutuo demittantur:
. Erunt dua linea , quarum una inter unum terminorum
is sectionem, at era vero inter iactionem, ct prioris linea sumpta perpendicularem interjcitur, 'lijs duabus eoisdem modo in elusis reciproca. Ad propos 3 3. IN parallelogrammo dua recta lateribus parallela se mutuo Fecantes, diuidunt parallelogrammum in quatuor parallelogramma proportionalia. Ad propos. 33. OMNE quadrilaterum a duabus diametris se mutuosaeantibus diuiditur in qua suor triangula proportionalia. Ad propos. 33.
3 IN triangulo rectangulo,in quo perpendicularis ab angulo recto demissa secat basem extrema ae media ratione,tria latera sunt continue proportionalia. Et si tria lateνa arianguli rectanguli sunt continue proportionalia, arpendicularis ad basem ex angulo recto demissa secat basem
83쪽
basem extrema ae media ratione . Ad propos sq. A dato puncto in latere trianguli lineam ractam dueere, qua irrangulum dividat in duo segmenta secundiam proportionem datam . Ad propos ret. 8 IMPERATAM partem ex triangulo auferre perlineam rectam , qua a quouis dato puncto lateris ducisur
=o DATO rectilineosimila similiterque positum roctili
neum describere,maaus vel minus, seιundum proportio
εr NIRA datum quadratum,aliud quadratum riseria ere in data proportione. Oporres autem dasam proportis nem dupla non esse maiorem. Ad propos 3 rsa SI ad diametrum circula an ex remis punctis dua perpendaculares exertensur , ct ab eisdem extremis per unardemque punctum crrcumferentia, dua alia vecta atreulum δε eantes ducantur, occurrentes auabus perpendicularibus : Erat rectanguium comprehensum sub mi, a liber
8 III In eirculo .uae diametri e ad rectos angialos neDctabuntus extremo puncto recta dueatur ut euaud secans erreumferentram, , alteram Gamerrum siue s
ρνιhensum sub duobus segmentis huius linea ducta, quorum υnum inter extremum punctum prioris diametriseeundam dιametrum , alterum vero inter idem pun astxtνemum,m circumferentiam interdicitur,aquale quadrato ιntra cetrculum descripto.
norum ara metra dira recta aucantur, una ad eius intem
84쪽
sectionem in circumferentia, altera vero ut libet, siecans circumferentiam in alto puncto : Erit rectangulum sub segmentis huius posterioris linea . quorum unumst inter
predictum term aeum, o perpenda cularem , alterum vero inter eundem terminum, ct circumferentiam, a quale quadrato prioris recta ιnter eundem terminum , ct cir-
ferentiam , seu perpendicularem intercepsa . Ad pro
84 DATO eireulo, is duobus punctissiue extra eiν eulum,
siue intra, dummodo neutrum sit in circumferentia : per ea puncta duas rectas ducere ad aliquod unum puncta circumferentia,ita ut recta eoniungens duo puncta,qui bus dia ε illa recta circumferentiam secant, parallelam recta data duo puncta connectenti. Ad propol. II.
8, LUADRA TRICEM lineam describere. Ad fi . ne in lib. 6.8σ SI ex centro per qua uis puncta linea Luadratricis recta ducantur usque ad circumferen iam Luadrantis ex eodem centro deser ipti, et ex eisdem punct is ad basim demittantur perpendiculares , is alia recta eidem basi parallela d Erunt Areus Suadranι is inter semidiametros
interiecti, perpendicularibus, vel 'gmentis semidiametri inter parallelas positis, proportionales . Ad finem lib. 6.s DATUM arcum circuli in datam proportionem diuidere. Ad fine in lib. σ.88 ANGULUM quemvis rectilineum in duos antulos datam habentes proportionem partiri: atque adeo di quamlibet arcum , is angulum sn quotuis parres aquales distribuere . Ad finem lib. 6.89 I SOS C ELES triangulum eonaituere, euius merque angulorum aqualium ad reliquum habeat proportionem
datam. Ad snem lib. 6.9o OMNES figuras aquilateras in circulo describere . Ad finem lib. 6. ot S I quadrantis, ct Euadratraris idem eon rum sit:
85쪽
pa RECTAM euilibet arcui circuli , ex quo Luadrat x descripta est,aqualem reperire, Ad finem lib.6.9; SI basii Suadrarraris statuatur semidiameter alleuius circuli: Erit eius latus quadranti eiusdem eirculi a Malis. Ad finem lib.6. Ο SI dua recta eandem proportionem habeant, quam basis quadratricis ad eius latus,minor autem e semidiameter alicuius circuli; erit maior aqualis Luadranti eiusdem circuli. Ad finem lib.6.9s DATO eirculo quadratum aquati conssiluere . Ad finem lib.6.96 DATO quadrato circulum aqualem deseribere. Ad finem lib. 6.9 RECTILINEO eMicunque cireulum aqualem: Et eireulo figuram recti laneam aqualem consiliaere, qua dato rectilineo enicunque similissit similitar descripta. Ad finem lib. 6. os DATAE recta linea eireumferentiam circuli reperire aqualem. Ad finem lib. 6.9o DATIS duobus eireulis inequalibus, datoque arcu in
vust eorum. ex altero areum aqualem abscindere. orret autem areum in maiore circulo datum non esse maiovem
circumferentia minoris eirculi. Ad finem lib.6.
r ετ duobus numaris inter se primis propositis , detraharur semper minor de maiore, alterna quadam detractione:nunquam reliquus metietur praeedentem , quoad os
sumptasis unitas. Ad propos. I. et SI propositis duobus numeris inter se eompositis, detrahatur semper minor de maiore, alterna quadam detr -ctione: Detractio ad unitatem usque non perueniet .sed ad numerum, qui praeedentem detractum meriatur. Ad propos 3. 3 NUMERUS duos numeros metiens,metitur quoque m
86쪽
ximam eorum mensuram communem. Coroll.propos. a. 4 PROPOSITIS duobus, aut pluribus numeris, explora. re,an sint inter se primi,nec ne.Ad propos a. s NUMERUS tres numeros,vel plures meriens, metitur quoque maximam eorum mensuram communem . Ad
propos. 7. 6 SI υnitas numeri pars fuerit, is altera unitas, vat numerus a Derius numeri eadem pars: Er simul utraq; uni-t's, vel unitas, , numerus simul, utriusque numeri simul eadem pars erit, qua uniιas numori. Ad pro
ν SI sint quotcunque numeri quotcunque numerorum ἀ- qualium numero,singulisngulorum eadem pars: Et omnes omnium simul eadem pars erunι, qua unus unius.
8 SI sint quotcunque numeri quoteunque numeroru aqualium numero,singuli singulorum aqua multiplices: qunm mutiiplex es unius unus numerus,ram multiplices eruect omnes omnium . Ad propos. s. 9 SI sint quotcunque numeri quoteunque numerorum, guli singulorum, eadem partes: Et omnes omnium ut eadem partes erunt, qua unus vo us. Ad propos. 6.ro M numerus numeri aque fuerit muti lex,atque abi tus ablati: Etiam reliquus reliqui ita multiplex erit, ut totus totius. Ad propus.7.1I SI primus secundum aqualiter eontineat,atque tertius quartum,eandemque insuper partem, vel partes : Erit e eontrario secundus primi eadem partes, qua quartus reserj . Et si fuerit primus secundi eadem partes qua tertius quartH. Continebit e contrario secundus primum aqualiter, atque quartus tertium, eandom qua insuper partem vel partes. Ad propos. II. ix L VAE proportiones numerorum eidem proportioni eadem sunt, inter se quoque seunt eadem. Ad propos 14.
I 3 SI numerus quotcunque numeros mutii licet,vel quotcunque numeri numerum quempiam multiplicent:Habebunt productι numeri easdem rationes,quas numeri multi lieati , mal multiplieantes. Ad propos i 8.
87쪽
I SI maior fuerit proportio primi ad secundum, quam terti, ad quartum: qui ex primo ct quortos,numerus, maior erit eo, qui ex secundo is tertio sit, numero. Et si, qui ex primo is quarto fit numerus, maior fuerit eo, qui ex se- eundo is tertio fit,numeror maior erit proportio primi ad secundum, quam terti' ad quartum. Ad propos I9. I s SI maior fuerit proportio primι ad secundum, quam secundι ad terriumlmaior fies numerus ex primo in tertiu, quam ex Iecundo in se .Et si maior numerus fiat ex primorn tertium , quam ex secundo in sie: maior erit proporrio primi ad secundis qua secti udi ad tertiu. Ad propos a o. a 6 LVOI LIBET numerι minimi in continuationestiaruproportιonum,sue eadem sint , siue diuersa proportiones,
mettunIur aque totidem alios numeros , qui easdem cum
eis proportiones habent,primus primum, secundus secundum,tertius teratum,ctc. Ad propos 2 i. 7 SI quatuor numeri proportionales t . Et conuertendo proportionales erunt. Ad propos. 22. IS 5 I compositi numeri proportionales sint: Hi quoque dius proportionales erunt. Ad propos . 2 2. I9 SI diuisi numeri proportionales N. Hi quoque compositi proportionales erunt. Ad propos. 22.2o SI compositi numeri proportionales sint . Hi quoque per
conuersione rattonis proportionales erunt. Ad propos 22. a I SI primus ad hecundum eandem habuerit rationem, quam terrius ad quarsum dii habuerit autem se quintus ad secundum eandem rationem, quam sextus ad ora arru: Eliam compositus primus cum quinto ad secundum ea n -- dem habebit rationem, quam Iertius cum sexto ad quar-
Ium. Ad propos 2 2.22 SI duo numera ad duos numeros eandem habeant rationem; o detracti quidam habeant ad eosdem eandem:
Ei reliqui ad eosdem eandem rationem habent. Ad propos 22. a I SI primus ad secundum eandem habuerit rationem,
quam tertius ad quartum,habuerit autem , primus ad quintum eandem , quam tertius ad sextum : Etiam primus ad compositum se eundum eum quinto eandem να-tionem
88쪽
sionem habebιt, quam ιertιus ad quartum cumsexto. Aci propQs Za. a SL quotcunque numeri ad eundem habuerint propoν-siones , quas alty iliis multicudine aquales ad quendam Alium eundem : Habebunt quoque tui omnes simul ad
illum eundem. Etsi idem numerus ad quoscunque numeros proportiones habuerit, quas idem alius numerus ad alios malitiudine illis aqvulere. Habebit quoque idem numerus ad omnes illos Amul proportionem , quam idem nisus numerus ad hos omnes simul.Αd piopos 21.
AUOTCUNSVE numeri inter se primi, minimi sunt
in continuatione suarum yroportionum. Et quotcunquo numeri in continuaraone suarum proportionum minimi,
sunt inter se primi. Ad propos a . 6 NUMERUS, qui ex duobus compositus ad unum illorum primus est, ad reliquum quoque est primus. Ad propos 3 o.
I SI duo numeri sies mu/uo multiplicantes faterint alia quem,genitum autem ex ipsis metiatur aliquis non primus numerus,vel certe ad ipsum sir eopositus: is etia ad unum eoru , qui in principio, ι oinus erit. Ad propos 3 ia8 MAXIMA mensura quotIibet numerorum meιitur ipsos per numeros, qui minimi sunt eandem proportionem eum ipsis habentium. Coroll.propos. 329 DUOS minimos numeros inuenire, qui eandem habeat proportionem , quam quotcunque numeri dati continue proportionales. Ad propos s.
3ο S I duo numeri multiplicent minimos eandem rationem habentes, maior minorem, vel minor maiorem,pro- dueitur minimus numerus, quem isti me iantur . CO-
3I SI tres,vel pluras numeri numerum quempiam metiantur metietur quoque eundem minimus numerus,quem illi metiantur orolI.propos.3 8. 32 MINIMUS numerus, quem quotlibet numeri metiun tur, minimus ect, habens partes a numeris meriantibus
89쪽
3 3 NUMERU M reperire, qui minimus eum sit, habena datas partes. hae lege, ut qualiber pars subsequentem partem contineat. Ad propos. I.
SI tres numeνi minimisint eontinue proporrionoles erila extremi eorum quadratri. Si autem fuerint quatuor,erunt
rubi, cte Coroll. r. propos a. EXTREMI numeri proportionalium quotcunque secundum doctrinam proposa. inuentoruna, in data rationa minimorum, intar se primi sunt.Goroll. 2 .pi voca. DUO numeri minimi in data ratione, metiuntur omnes medias quotcunque minimorum cin eadem' ratione. Coroll. 3. Propos 2. ' qSI sint quotcunque numeri deinceps pνoportionales, primus aurem secundi no sie multiplex: . quo aIisis quisqtiam ullius multiplex erit. Ad propos6. . . . SI sint quotcunque numeri deinceps proportio8.tis,primus vero secundum metiatur:et quicunque alius quemlibersequentium metietur. Si primus autem secundi siemultiplex : et quicunq; alius cuiuslibet sequentium multiplex erit. Ad propos 6-
Ss sint quotcunque numeri deinceps proportionales,primus autem, ι olius qui quam nullum a secundo metiaruν:neque primus secundum metietur. Et si prumus, vela ιius quisquam nutrius a secundo sit multiplex'. neque primus seeundi multiplex erit. Ad propol 6,SI sint quotcunque numeri deinceps proportionales, primus nutem, vel alius quisquam quemlibet asecundo meriatur: metietur primus saeundum. Et fi primus,vel alius quisquam euiuslibet a secundo sis multiplex : prι- mus quoque se eundi multiplex erit. Ad propos. 7. INTER numeros dupla proportiones, vel superparticularis , vel superbipartientis , non potest eadare numerus medius proportionalis. Ad propos8-
90쪽
s MUSICUM inteνuallum, quod Diapason appellatur 'bifariam secari nan preest in duas proportiones aquales. quod etiam de Tono ieendum est. Ad propos 8. Io DIAMETER quadrari euiusuis IMeri riusdem es incommensita rabilis.Ad propos8. D SI numerussa'sum multiplicans aliquem feceris , is rursum multiplicet productum,is sic deineeps:erum om- ων producti eontinua pνoportionales ab unitate. Ad pro
a 2 SI .quotquot ntimerifuerina ab unitato continue popor ιιonales: beeundus ab unitare in se multiplicatus producit ortium in ex eodem in hunc fit quartus, oe ex eodem in hunc quiratus, , sic Ma cateris. Ad propos eo. DIis SI fiat ab unitate duio ordiris numerorum continueta proportionalium, is mulsitudine aquatiun Hhabebunt ter ιν ab Unisata proporrionam duplicatam esur, quum habent fecundi ab unitate; quarti υero eiusdem triplicarum quinti quadruplicasam s di semper Ainceps uno am ius. Ad propos x es : .
14 SI sint ab aliquo numero eodem duo ordines numerorum continuo proportionalium,is moisitudine aqualium; Habebunt terrij ab illo numero proportionem auplicatam aius,quam habent secundi ab eodem;qMarai vero eiusdem triplientam, o c. Ad propos Io.
Is SL inter duos numeros aliquam alium numerum assumptum,cotinue proportionales ceriderint numerietquot inter vιrumque ipsorum, is assumpium , deineeps medi, eontinua proportione cadunt numeri,ioιidam o, intex ssos medij continua pνoportione eadent. Ad propos Io. 16 INTER duos quadratos numeros cadit numerus me dius proportionalis in continua pνvorsaone lateris ad latus. Ad propos II. .
r 'NUMERUS medius proportionalis inter duos quadratos, is uteruis ipsorum quadratorum , compositi in ιν sunt. Ad propos. II. I 8 INTER duos cubos eadunt duo numeri me dij propor tionales in continua proportione lateris ad latus. Ad propos Iz.