장음표시 사용
101쪽
sy SI a maiori nomine eius,qua ex binis Medijs fecunda, minus nomen auferatur: Reliqua Irrationalιs eri. Vocetur aurem Media Motome secunda. Ad propos. 76. εο SI ὰ maiori nomine linea Maioris minus nomen auferatur:Reliqua Irrationalis est. Vocetur autem Minor.
6s SI a maiori nomine eius, qua Rationale ae Medium potest,minus nomes auferatur .Reliqua Irrationalis ea.Vocetur autem eum Rarionati Medium totum essetans .
Ad propos. 2.6E SI a maiori nomine eius,qua bina Media potest,minus nomen auferatur:Reliqua Irrationalis ea. Vocarur autecum Medio Medium totum e ciens. Ad propos .fa S I icam excessus sit inter primam magnitudinem is secundam , qui inter tertiam magnitudinem edi quaream erit vici m idem excessus inιor primam magni udinem edi tertiam, qui inter secundam magnitudinem ρο quartam: Ac proinde Euaruor magnitudines Arithmetieam Analogiam habentes, habent quoque vieissim Arithmeticam Analogiam . Ad propos 79.6 RECTA linea Apotoma potentia tantum commensurabilis, , ipsa Aporome ea, sed non semper ordine eadem. Ad propos IO . 6s APOTOME. is eatera ipsam consequentes Irrationales linea per detractionem facta,neque ipsi Media,nequeo inter se sunt eadem. Coroll.propOLI I a. 66 FIERI potest, vi spetium Rationale eontinearursub duabus rectis Irratronalibus. Coroli prop. I I s. εν N O N solum lineasea magnitudines etiam plana, ac solida incommensurabiles esse possunt. Ad propocri'.
r A puncto in sublimi adsubiectum planiam dua recta linea ad angulos rectos non demittentur. Ad propos i I. E SI fuerint dua plana parallel : Recta linea , qua ad
102쪽
unum eorum recta fuerit , ad relιquia quoque recta erit
Ad propos I . I DATO plano,per datum punctum, quod in eo non es, parallelum planum .ucere. Ad propos i s. η LU AE eidem plano parallela, is inter se sunt paralle . νευ eo urrunt, υnu planu metunt.Ad propos. I 6.s SI in Nisis parallelis duo anguli sint aquales , ct linea una unius anguli, linea uni alterius anguli parallela : Erit quoquo alura linea alteri linea parallela, si modo aucta sint ex eadem purie plani per priores parat. Ioiarducti.Ad propos. I 6. 6 SI Eua , aut plures tinea recta in uno plano exissentes secemur quotuis lineis parallelis o Segmenta illarum ti ne arum inrbr paraiaetas proportionalia erunt. Adhropos. In DVO plana ad idem planum racta, in quo faciant eommunes sectiones parallelas .parallela sunt. Ei duoru ρlanorum parallelorum , si unum cuipiam plano ad rectos sit anguIos,erit oe alteria ad idem rectum. Ad propos r8. 8 PER rectam in plano quouis datum, planum ducereia,
Mia ad Vsum planum sit rectum. Ad propos. IS. 9 SI Prima quodcunque seretur plano aduersis planis paraIltiar, erit τι basis ad basem,ira solidum ad solidum. Ad propos aro S L Prima quodcunque secetur plano aduersis planis parallelofectio effigura aqualis, similis planis oppositis. Coroli propos. 2 s. ii SOLIDA ρarallelepipeda aqualia super eandem basim siue in lentes linea in eisdem eolioeentur rectis, enon: in eadem sunt altitudine. Ad propos Io.ra SOLIDA parallelepipeda aqualia super aquales bases,in eadem sunt altitudine.Et parallelepipeda aqualia in eadem altitudine,super a quales sunt bases, si non ha- biserint basim eandem. Ad Propos 3 I.
i; SI selida parallelepipeda inter se sunt , vi basesripsa omni sub eadem altitudine. Ad propos 3 r.
r SI fuerint quatuor linea recta proportionales eontinue: ut es prima ad quartam, ita eritiarallelepipedum su-
103쪽
per ρνι mam desicriptum, ad parallelepipedum i Ie, δε- militerque descriptumsuper secunda. IorOll. propos 3 s. i s PRISMATA. quorum basies sunt triangula super candem basim,vel aquales, oe in eadem aliisudine, sunt inter se aqualia. Ad propos. 3 . - ci σ PRISMATA, quorum bases sunt triangula,seub eadem altitudιner,inter se sunt, ut bases. Ad propos. 34. I
I PRISMATA similia, quorum bases sunt triangula n-ιorsa sunt in triplicata ratione homologorum Iadstrum. Ad propos. 34. 'rs PRISMATUM aqualium, quorum bases sunt triangula bases is aliiιudιnes reciprocantur. Et quorum priymarum triangulares bases habentium bases is altiiudines reciprocantur, ilia sunt aqualia . Ad propos. 34. 19 SI fuerint duo anguli plani aquales , quorum verricibus bublimus recIae itinea aquales in ant , qua gra lidineis primo posis angulos conrιneant aquales,verumque utrique : Erunt a punctis exινε mis linearum siublimium
ad plana angulorum primo positorum demissa perpendiculares intorse aquales. Coroll. propos 3 3. 2o SI parallelepipedum ex tribus lineis νectis descriptum, a quale fuerit parallelepipedesbi aquiangulo a media linea degeripto : Erunt tres racia linea continust proportionales. Ad propos 36. γ -
a I SI fuerint ι res recta proportionales,erunt o parallelepipeda similia militerque descripta ex eis,propor tona
militer describuntur,fuarin ι proportionalia r em ipsa tre recta linea proportionales erunt. Ad propos 3 p . 21 SI quatuor recta linea proportionales juerinι : Et prismata triangulares bases habentia , qua ab ipsi: oismi lia,ctsimiliter describuniur, proportionalia erunt . Et primata triangulares bases habentia, qu ε Θ smilia,s- militerque deseribuntur , fuerint proportionalia: Et ipse reo a linea proporιionales erunt. Ad propos 37. 23 SI fuerint tres recta proporιionales, erunt is prim/tarriangulares bases habentia , qua ab ipsis edi similia, o similiter describuntur,proportionalia. Eis tria primata ,
104쪽
triangulares buses habentia, qua os milia, o tu est deseribuntur,fuerint proporrionalia: Et ipse tres recta It nee proportionales erunt. Ad propos 3 7. IN omni parallepipedo diametri se mutuo bifariam se- eant in uno uncto Coroll .propos I9. SI solidum parallelepipedum plano secetur per centri obifariam secabitur solidum ab ipso plano . Et si solidrum arallelepipedum plano secetur bifariam : per ee narium transibit ipsum planum. Ad propos. 39.
1 CIRCULUSλad eireurum era , ut post num in isto δε- seriptum ad polygonum simile in hoς descriptum. Coroll. propos 2.2 SI vramides tat angulares inter se sint, ut bases : imarunisub eadem altitudine. Ad propos. s. t PTRAMIDES triangulares eiusdem altitudinis super eandem,vel equales bases consitura r sunt inter se a quales. Et p=ramides triangulares aquales super eande, mel aquales bases reandem habent altitudinem. Item ρο- ramides triangulares aquales, eandemque habentes altitudinem : bases h. tbent aquales ,si non habuerint eandem. Coroll. propos s. PTRA MI DES quarumlibet basium, qua inter se sunt,
ut bases: eandem habent altitudinem . Ad propos. 6. PTRAMIDEs eiusdem atritudinis super aquales M. ses quaslibet, vel super eandem constituta : sunt inter aequales. Et Dramides aquales super aquatis bases quaslibet, vel super eandem constructae eandιm habent altitudinem. Item p amides quarumlihet baFum .e quales , eandemque habentes altitudinem : aquales habent bases , si non habuerint eandem. Coroll. prop0s 6,PTRAMIS qua liber tertia pars e i gri Asis, quod eandem habet is basiem, ese altitudinem ,Saue, Prisma quodlibet triplum es vramidis, qua eandem cum ipso haber c, basim,e, altitudinem. Coroll.I. propos. 7.
105쪽
PTRAMIS qualm et iertia pars ea Prismatis, quod a qualem habet is basem,is altitudinem, lieet bHs iniurplura vel pauciora latera contineat , quam basis alterius . Ad propos.7. 8 PRISMATA sub eadem altitudine , quascunque habeant basesMinter se sunt, ut buses . Et prigmata quurumcunque basium,si inter se ι,ut bases:sub eadem sunt altitudine . Ad propos. 7. 9 PRISMATA eiusdem aItitudinis super eandem , vel a qualea babes quascunque: inter se sunt aqualia. Et Prismata aqualia super aequales bases quascunque, vet super eandem: in eadem sunt altitudine. Coroll. z.propos 7.1 o PTRAMIDESs miles, quarum bases plura latera, qu
Ir a, conrinent . proportionem habent homologorum laterum triplia alam. Coroll.propos. 8.it PRISMATA similia quarum eunque basium : proportionem habent laterum homologorum triplicatam. Ad propos. 8. .
ia PTRAMIDES multangula similes diuiduntur in v-
ramides triangulares iles, numero aquales, mώomologas totis. Ad propos. 8.is PRISMATA multangula similia diuiduntur in pris mata ilia triangulares bases habentia, ct numero aqualia,Or homologa totis. Ad propos. S. 114 φ TRAMIDUM aqualium quascunque bases haben-tιum,recιprocantur bases,atque altitudιnes . Et quarum Dramidum quascunque bases habentium , vec procantur bases , atque altitudines: illa sunt aquales. Ad propos. 9.i 3 PRISMATVM quorumlibet aqualium reciprocantur bases, , altiIudines. Er qumrum pri Atum bases,atqubeia altitudines uniprocantur, ilia inter se sunt aqualia. Ad propos. 9. Fa 6 OMNIS conussiue rectus, e scalenus, tertia pars est cuius ιibero linari e recti, e scalent, eandem cum Φρ 'so is basim, di altitudinem habentis, lιcet non sit idem axis coni o Ulιndri. Ad propos Io.37 CONI, CP Ulindri sub eadem altitudine , siue ambo
106쪽
sivi rectisve scalent sue unus rectus, edi Altericalenus . inter se proportiouam habent,quam bases. Ad propos a I.
i s SI coni, , cylindri inter se sint, ut baseius sub eadem
a Ititudine erunt. Ad propo1. i I. is CONI, Θ lindri eiusdem attiru inis super eandem , vel aquales bases constituti,siue AEmbo sint recti, esca ἰσnisue unus rectus , is altersecalenurrinter sesunt aquales. Coroll. propos II. ro CONI, ct cylindri aquatis seuper eandem, vaI aquales bases in eadem sunt altitudine. Er eoni, ae Ulindri aqua. les in eadem aDitudine super aquatis basessum non habueνin 3 eandem. Coroli propos. Ir.
ri DONI, is vlindri scalan miles, in triplicata ratione sunt diametrorum,qua in basibus. Ad propos ια. x x CONI, , vlindri scalani seuper aqualibus basibus, vel etiamsi unus si radius, ct altar scalanus:inter seseum, ut altitudines. Ad propos I4.23 SUPER aqualibus basibus prisemata,parallelepihoda, Furamidessinter se hunι,υt altitudines. Ad propos. ι .: CONI, ct Olindri tam recti, quam scaleni Dam prismata, arallelepipeda θ vramides, Unt, is alιitudines.bases habent aquales. Ad propos. I a s CONORUM, Θ sindrorum aqualium, tue ambo sca- leni sint,sue unus rectus, , alter scalanus:bases , altitudines recipro eantur. Et quorum conorum, O Ulindrorum, siue ambo sint scalani , siue unus rectus is alter Iealenus, bases e, arilaudinas raciprocantur: illi sunt aquales. Ad proposis.
2 6 s I duobus cireulis eiνea idem centrum exissentibus, in maiori circulo pol onum aquilaterum, is parium laterum inseribarur minorem circulum non tangens, is ubexIremitate unius lateris polygoni inferipit, quod cum dιametro conuenit,ad diametrum perpendicul ris ducatur:/ae nullo modo eirculum minorem tangit ,sed eximinum cadit. Coroll. proposi6. ia 7 DUO polyedra ilia in duabus pharis descripta, pr.
107쪽
28 SPHAERA ad pharam est, ut postedrum in illa descriptum, ι polyedrum in hac descriptu. Coroll.proposi8.
t SI recta inaquatiter feeetur, ct minus segmentum affumen s dimidium maioris segmenti qumιuplum possit eius, quod a dimidia maioris segmenti deferibasur, quadrarit. Recta illa lanea secta erιt extrem ct media ratione. Ad propos. I.
E SI recta linea inerualiteroeeturoque quadrarum torius,una eum quadrato minoris segmenti, triplum quadrati ex maiore segmento descripti: Recta illa linea extrema ac media raιrone secabitur. Ad prop. 4.3 SI recta linea extrema ae media ratione secetur rota linea adsumens minus segmentum, quintuplum pores eius, quod a maiori segmento describitur, uadrati. Et si recta lanea in aqualiter secetur, totaque assumens minus segmentum possit quintuplum eius, quod a mascri segmento δε- Ieribitur,qua rati. Recta illa linea extrema ct media rationesecta eii. Ad propos .
4 SI recta linea secetur extrema ae media ratione, detrahaturque ex maiorι segmento segmentum minus: erit maius segmentum sectum extν ema ae media Matione, minus segmentum est illa linea, qua prioris lιnea minus segmentum erat Ad propos. s.s SI linea secetur extrema ae media ratione, atque ex dimidio rilius auferatur dimidia maioris segmenti : Erii quoque dimidia totius diuisa extrema ac media ratione.
maiusique segmentum erit κιmidium maioris segmenti totius linea Ad propos. s. 6 SI recta linea secundum extremam ct mediam rationem secetur,sitque murus segmentum linea Rationalis :Erit minus segmentum Apotome: Ad propos. 6. RECTA, qua angulum Pentagoni aquilatera, ct a qui
anguli subtendit, parallela es opposito lateri. Ad propol 8.s EI Intus hexagoni in quopiam eirculo descrip i secetur
extrema media ratione: maius illitis stamentum est la
108쪽
tus de eagoni in eodem circulo defcνipti. Ad propos o.
9 SI linea diuisa extrema ac media rarione , marus hymentum fuerit latus hexagoni alaeurus circuli: erit minus segmentum latus dee goni eiusdem cireuu : Κuod si
minus segmentum fuerit latus decagoni alieuitis circuli, erIt maius segmentum latus hexagoni eiusdem circuli.
Ad propos. 9-a o LI NE A recta, qua ex centro circuli ducta diuidit arcum quempiaem bifariam,dιuidit quoque rectam illi arcui subtensam bifariam,m ad angulos ractos. Corollet. propos. ID. I E DIAMETER eiretili ex anguis quouis pentagoni in eo descripti ducta,ct arcum, quem latus pentagoni ut, angulo oppositum subtendit, si latus ipsum oppostum bis viam, is ad angulos rectos.Coroll.propos Io.IO IN dato circulo latera pentagoni, , decagoni una eadem que opera inuamire. Ad propos. I σ.
ix DIAMETER eireuli posentia eLysesquitertia lateris triangu Ii aquilateri in eo ciνculo descripti. Coroll. i. propos I 2.
I 2 SI in circulo triangulum aquilaterum desernarur: Dia merer ex uno angulo ducta diuides , angulum bifaria, o larus oppositum, ae insuper ad angulos rectos: Semidiameter quoque vicissim bifariam , o ad angulos rectos secabitur a latere opposito. Ad propos. I 2.33 SI ad lina m rectam perpendicularis ducatur , qua μmedia proporιionalis inter segmenta linea: Semicirculus eirea illam line m rectam deseripius, transibit per ex-ν emum punctum linea peνpendieularis. Ad propos i 3.r DIAMETER sphara potentia est quadrupla sesquialte
νa semidiam erri cireuli eirea basem oramidis in ea sphara constructa descripti Coroll. I. propos. I 3. Is LINE A perpendicularis ex centrosphara ad planum basis vramidis in ea sphara costructa demisse,sexta pars est diametri sphara, , tertia pars semidiameari. Coroll. a.propos I3ώi6 ALTITUDO ρ'ν amidis insphera descripta, duas tertias partes diametri sphara eontinet. Coroll. 2. prop. I.
109쪽
17 IPLO edro tres diametrisa mutuo ad angulos rectos scant ια centro sphara: nee non , tria quadrata ex lateribus octaedra composita se mutuo ad angulos rectos se.
Is OCTAEDRUM inuiditur in duas uramides similes ,
ct aquales, quarum basis communis ect quadratum exoctae dea lateribus compositum. Coroll. 2. propos. l . I9 SI Terraedrum. et Octaedrum in eadem sphara deseribatur I eri Tetraedri latus potentia sesquisertium lareris octaedri.Coroll. 7. propos. I . EO BASES Octaedri opposita , sunt parallela. CorOlI, . propos. I . xi OMNES diametri cubi sunt interse aquatis,festq; mutuo bifarramDeant in eentro sphara: nee non is recta linea,qua centra basium eubi oppositarum eoniugunt,bi viam in eo am eentro diuiduutur. Coroll. I. propoc I s. aE POTENTIA diametri sphera aquatis ect potentiys larum Tetraedrι, se cubisimulsumptis.Coroll. 2. prOP. I s.
a 3 DIAMETER Jhara potentia ea quintupla semidiametri circuli quinque latera Icosaedri pentagonum cstn-sι tuentι a ambreatis. Coroll. I. propos i 6. αε DIAMETER Bhara composita e 1 ex latere hexagoni, hoc est, ex Semidiametro, , duobus lateribus deeagoni eiusdem circuli,qui circa quinque Icofaedri latera describisur. Coroll. 2. propos. 16, as ICOSAEDRI latera opposita,sunt parallela. Coroll. propos l6. 26 SI Iasus eubi secetur extrema ae media ratione, maius segmentum est latus Dodeeaedri in eadem sphera cum eubo descripti. oros. I. propos II. 27 LATUS eubi aquata est ιιnea racta subtendenti angulupentagoni Dodecaedri eadem Dbara compreheγι,Coroll. 2. Propos II. 28 SI recta linea secetur extrema ae media ratione, cuius minus segmentum est latus Dodeeaedri , maius segmensum est latus cubi eiusdem sphara. Coroll. 2. PrO-pos II.
2 9 IN DOGeaedro funt sex latera, quorum bina opposita
110쪽
siunt paralleia,bifariamque seeantur, , ad angulas rectos, a tribus lineis rectis aqualibus sese in cenινo'Dode- easdri bifariam quoque, O ad angulos rectos scamibus.
Io SI recta diuidens opposita latera Dorieaedri bifariam ct ad angulos rectos,beeetur extrema ac medra rarrone zmaius rimentum est latus eubi,minus vero latus Dode- eaedri eadem sphara comprehensi, Coroll.4.propos. I p. 3I PRAETER quinque corpora regularia , qua Euetides hoe lib. t r.eostruxit,nultu aliud dari potest. Ad prop. 18.3 α LUOTNAM latera, o angulos quodvir Regularium soliuorum contineat. Ad propos. I 8. 3 3 CUBUS, Octae umutem Icosaedrum,ct Dodecaedrum, reciproca sunt,quod ad numerum basium,em angaelorum solidorum attinet: Solum Tetraedrum cum nullo. reciprocatur, sed tot bases habet,quot angulor solidos. Ad propos. I 8.
I LINEA perpendieularis ducta ex centro eleuti ad lineam rectam in eodem circulo aptaram,secat Areum , quem dicta hac linaa subte ιt,bsfarsam.Coroll. I.pr
E LINEA ,ovendisviaris ex centro ad larus pentagoni ducta,aqualis est mirique linea ul, , ei,qua ex ouistro ad latus trianguli aquilaere, eidam circulo inserini citur,perpendicularι,is dimidio lateris decagoni. roll. 2. propos I. TATUS AOxagoni ad Iarus de gonι in eodam cirenis descriptorum eandem. proportionem habet, quam recta subtendens angulum pextagoni aquilateri,ρον aquianguia ad latus ipsius 'pentagoni. Ad propos. 2. SI linea perpendicularis ex centro circuli ad larus pentagoni in eodem eireulo desierιpta ducta secetur extrema ac medra ratione maius figmentum aquale est perpendiaculari ex eodem centro ad latus rNanguli aquilateri ducta,minus vero aquale ea dimidio lateris decagona in e -- circulo deseritorum. Ad propos. 2.