장음표시 사용
61쪽
in bas dimidia, Maltitudine eadem; ergo parallelogramuB parabolae AE aequale est ablata ergo communi
portione BAEH,remanebit trilineum AE aequale trilineoEHD, sed trilineo AEI mensuratur cffectus velocitatum superiorum inter A,&Ca velocitate CE,& trilineo HED mensuratur eXcessus inferiorum supra E,ergo cum excessus, deffectus sint aequales erit CE, vel BH ipsi aequalis, velocitas media . Quare dato complexu velocitatum&c. inuenta est media velocitas. Quod &c.
I De aliter ostendi posset, nam si omnes parte perpendicularis A fluerent aequali velocitates tempore quo C peruenit ad E, eodem etiam A perueniret ad I, i ad H, sic de caeteris ideoque para licto granaum AI esset complexus velocitatum perpendicularis AB, sed parabola BAE est complexus velocitatum natura luam eiu idem perpendicularis AB: ergo complexus velocitatum aequales essent,& cosequenter etia qualitates aquae sue fluat aqua .r.ἰ.AB velocitate uniformi CE siue disso in i ii xta rationem ta semiordinatarum in parabola; consequenter crit C EVe iis .locitas media. Quod c.
opiam, per axioma primum, quaelibet perpendicularis ea idem habet clocitates in ea leni lectione; rit velocitas media unius perpendicularis, velocitas etiam media integrae lactionis.
62쪽
HInc patet velocitatem maximam ad mediam habere rationem sesquialteram; est enim maxima semiordinatarum BD ad DH, siue CE velocitatem mediam, in ratione sesquialtera.
Constat ulterius,qubd si una , eademque, vel aequales
parabolae assumantur pro velocitatum mensuras, locitates mediae in perpendicularibus diuersae altitudinis, erunt inter se in subduplicata ratione perpendicularium; eum enim maximae ad medias sint in ratione sesquialtera erunt singula maximς ad suas medias in eadem ratione, permutando maxima inter se in eadem ratione erunt, ac media inter se sed maximς inter se sunt in ratione subduplicata suarum perpendicularium ergo etiam mediae in eadem ratione erunt.
PAtet etiam,punctum C perpendicularis AB esse locum
velocitatis mediar, quod punctum, si centrum v locitatis dicere possumus
Hoc igitur centrum velocitatis semper erit demersum infra superficiem aquae ita, ut eius distantia a s perficie sit nonς partes totius perpediculari cu .n maxima velocitas ad mediam sit in ratione sesquialtera si maxima supponatur 3, erit medita; quare ut quadratu
63쪽
idest, ad quadratum et, id est , ita AB ad AC, ideoque si tota AB intelligatur diuisa inis partes erit Aa ex his partibus
CVm igitur centrum vesocitatis omnes perpendicul res sit militer secet, idest in ratione ad 5;consequens est,ut partes abscisa a centro velocitatis inter e sint, ut altitudines vivae sectionum quaelibet enim abscisa ad suam perpendicularem rationem habet ad 9; ideoque ut absci sa ad suam perpendicularem ita altera imilis abscisa ad suam perpendicularem δε permutando ut abscisa ad a stilam, ita perpendicularis ad perpendiculare, ita ut eadem proportione semper sibi ipsis respondeant augmenta perpendicularis,d depressio centri velocitatis intra super-
ET quoniam velocitates mediae inter se sunt in propol tione perpendicularium subduplicata sunt autem perpendiculares inter se, ut abscisae erunt etiam velocita res mediae in proportione abscisarum subcuplicata.
IN Canalibus igitur horizotalibus velocitas media crescit,4 decrescit per solam variationem altitudinis,& in subduplicata ratione diuersarum altitudinum vavarum ali incis ijs canalibus, quorum aut squales altitudine aquς, aequales euiam sunt velocitates mediae. P
64쪽
PArabolae, quae sunt mensura velocitatum in aquis fluetibus uniuersis, si earum maximarum ordinatarum proportio eadem sit, ac proportio velocitatum mediarum, siue maximarum eae omnes inter se aequales erunt.
τὰ , , Sint duae parabolae CAE, BD, quae assumantur pro mensura velocitatum diuersarum sectionum, siue in canalibus horigontalibus, siue inclinatis sitque proportio velocitatis maximae correspondentis altitudini parabolae AC ad velocitatem maximam correspondentem altitudini Ceadem, ac CE ad CD. Dico parabolam ACE esse aequolem parabolae CBD. Disposita enim utraque ad comunem aYem cita ut m ximae semiordinatae coincidant,per Derigatur DF parallela avi AC secans lineam parabolicam FE in F, leti ducatur FG semiordinata, consequenter parallelaCE. Quoniam igitur ut AC ad CB, ita quadratum E ad qua.dratum CD, sive FG; erit ut quadratum C ad quadratum FG, ita AC ad CB sedit quadratum C ad quadratum FG. ita est AC ad AG ergo ut AC ad AG ita AC ad CB; ideoque erunt AG, CB inter se equales addita igitur communi GB; erit AB ipsi GC aequalis sed C aequalis est FD: ergo etiam AB aequalis erit eidem FD: Similiae 4.ὰs Ostendetur H aequalem AB; ideoque aequalem p-Hἡὸ ὰ FD. Cum igitur AB, M H, FD c. sint aequales. erunt pa- parab.pr. rabolae AFE,BH aequales. Quod c.
E quoniam parabolae quales,si diuersos habeant veratices, ad eundem axim constituantur, inter se sunt parallelae, siue assymptoticae, quarum proprietas est, ut ea
65쪽
rum perimetri conti moti semper magis , magis ad inubcem accedant; nunquam tamen se ecent, aut tangantis quitur,quod in eadem sectione sub diuersa altitudine vel citates mediae quidem rixaequales erunt: attamen velociatatum mediarum incrementa per quales altitudines superadditas,icmper magis, magis minora fiunt.
QVantitates aquae in sectionibus canalium horizonta-luim ei uidem latitudinis, sed diuersae altitudinis, - ter se sunt in triplicata proportione velocitatu
Sint se tiones BA, B eiusdem latitudinis BA, sed diuem sae altitudinis BC, BA; sitque velocitas noxima lactionis Bid, linea BD sectionis vero BPveso citas maxima sit BE, ita ut velocitatum maximarum proportio sit ea, quae intercedit inter BD: BE. Dico quantitatem aqua per Had qualitatem per B Ceile in ratione triplicata BD ad B E. Ducantur enim parabolae BCD, BAE, KHG, KII, quae, per propositionem antecedentem, Omnes erunt aequales. Et quoniam BC, ΚΗ perpendiculares sunt aequales ferunt earum maximae velocitates aequales, videlicet BD ΚG:
Similiter ostendetur BE, KF elle aequales: quoniam binarbinis sunt parallelae erit planu ABE plano KF parallelu si itaque per perimetrum binarum parabolarum intelligatur circumuolui linea 3arallela At, vel IF describetur super ficies cilindrici parabolici Intelligantur igitur completi huiusmodi cilindrici CBDGH , ABEFlK Et quoniam parabola BCD est complexus velocitatum perpendicularis CB,4 parabola H est complexus velocitatum perpendicularis HV suntque similes , aequales complexus velocitatum in alijs IK rpendicularibus sectionis Bid erit omnium complexuum ter nua in superficie cilindricii
66쪽
Geo nI 2 Corol. 4. Vinc. r. Σ I. de parab. Prop. I s. I. huiuI. Prop. 6.1. ius.
rabolici CDGH ideoque complexus elacitatum sectio
nis CH erit cilindricum BGH D. Similiis odo ostendetur complexum velocitatum sectionis Blesse cilindricum parabolicum BFIE. Et quoniam ista duo cilindrica suntque alta;erunt inter se, ut bales s dest cilindricum BGH D adcilindricum BFIE erit, ut parabola CBD ad parabolam ABE; sunt autem parabolae aequalis inter se in proportione triplicata maximarum ordinararum, ergo cilindlicum
ad cilindricum erit in proportione triplicata BD ad BE sed cilindrica ostensa sunt esse complexus velocitatu sectionu; ergo complexus velocitatum sectionis B ad complexum velocitatum sectionis ΒΗ, seu aqua fluens petet ad aqua fluentem aequali tempore per BH, erit in triplicata proportione maximae velocitatis BD ad maximam velocitatem BE. Quod&c.
HAEc propositio aliter, breuius posset ostendi. Cum
enim quantitateSaquae habeant inter se rationem compositam ex proportione sectionis ad sectionem, ,elocitatis mediae ad velocitatem mediam sit autem pro. portio sectionum, aequalis, Vel eiusdem basis eadem,ac altitudinum erit proportio aquae ad aquam composita ex proportione altitudinis ad altitudinem, velocitatis mediae ad velocitatem mediam, idest erit compos ta ex pr portione altitudinum,&, subduplicata earumdem altitudinum. Si igitur prima altitudo A, secunda C: eritque proporti aquarum composita ex proportiones ad C &e subduplicata' ad C. Si ergo inter A, inueniatur media proportionalisa, qu ria addatur B erit pi oportio A ad B composita ex proportione A ad C, idest altitudinum, C ad B, idest velocitatum mediarum, sed propor
tio A ad B cst triplicata eius, quam habet A ad L,idest v
67쪽
locitatis mediis per A ad velocitatem mediam per tergo quantitas aqua per A ad qualitatem qu per C est in ratione triplicata velocitatum niediarum. Quod c.
E quoniam maximae velocitates sunt proportionales , ,
mediis erunt 'uantitates aquae in triplicata ratio pri*. a.' ne mediarum velocitatum.
PAriter, quoniam velocitates mediae inter se sunt in sub. duplicata ratione altitudinum sequitur, quantitates aquae esse inter se in triplicata proportione eius, quae est sub duplicata altitudinum.
EX his facilis consurgit methodus inueniendi mensura
proportionalem abstractam, siue proportionem , qua habent inter se aquae fluentes per diuersas sectiones canal um horigontalium aequalis latitudinis. Si enim altitudines duarum lectionum inuicem multiplicent tir, a producto extrahatur radi vinii adrata; erit pio portio maioris perpendicularis ad radicem inuentam, ca, quani habet maior velocitas ad minorem,sitae maxima, siue mediaci cuius termini si cubentur; idest si multiplicentur in se, productum denuo multiciplicetur per radicem; erit cuborum proportio eadem, ac aquarum eodem, vel aequali tempore sueristium:sunt enim cubiicio citatum inter se sicuti quanti tates aquae, in ratione triplicata velocitatum.
68쪽
SItaltitudo perpendicularis AB pedes s altitudo vero perpendicularis BC pedes 9: inquirere opportet proportionem, quam habet aqua fluens per BC ad aquam fluentena aequali tempore per AB. Multiplicetur igiti rosper9,sietque productum a 3,cuius radix quadrata is erit itaque proportio velocitatis BE ad velocitatum Dil, ut sad si est enim is medius proportionalis inter a 3, 99siue ut Lad 3. Si ergo BE supponatur esse 5;erit BD 3; facto cubo primi termini 3, idest ias: secundia, idest et terit proportio aquae fluentis per AB ad aquam fluentem per B, ut ius ad et Hi aute numeri possunt dici Numeri cubici aquarum fluentium,quorum frequens erit usus.
SI vero latitudines non sint aequales altitudines vero aequales plane constat quantitates aquarum esse inter se,ut latitudines cilindrici enim essent in eadem basi, quoniam aequalium perpendicularium aequales sunt velocitates maximae δε consequenter inter se, ut altitudines, idest latitudines sectionum
SI vero neque latitudines neque altitudines sint aequales quoniam omnes cilindrici habent inter se rationem compositam ex proportione basium, improportione altitudinum; erit proportio quae ad aquam composita ex ratione,quam habet latitudo primae sectionis ad latitu dinem secundae,& ex triplicata velocitatis media in prima
sectione ad velocitatem mediam in secunda sectione; Hincii fiant
69쪽
s fiant cubi aquartim fluentium per utramque sectionem, cum eorum proportione componatur proportio latitudinum quas habent lectiones erit consurgens proportio eadem, ac aquarum LVt sit cubus primae sectionis sit tet si secunda vero 27 sitq proportio latitudinis prima sectionis ad latitudinem secundae ea, quam habet 3 adci: fiat ut 3 ad L, ita et ad 9 eritq; proportio idis ad 9 ea,quam habet aqua flucns per prunam sectionem ad aquam fluentem persecutidam aequali tempore.
PArabolam terminatam ita secare per aliquam ordinatam axi, ut parabola tota ad ablaisam datam habeat
Sit parabola BD secanda per lineam ordinatam aX Fig. : AD; ita ut parabola ABD ad parabolam abscisam ad verticem .g. ACE eam habeat rationem, quam Rad H. Inter F, H inucia tantur duae inciliae proportionales, quae licet geometrice haberi no possint per loca plana saltem haberi poterunt per loca solida S lineas organicas
atque etiam numeris per approximationem: sintque hae rς-cta G, i Muti ad G, natat DB ad aliam v. g.CE; fiatque ut quadratum DB ad quadratum CF, ita DA ad AC, per C applicetur CE Oidinata, quaeicit inc bit ad parabolam . Dico parabolam ABD per lineam in ita esse scirea, ut ad parabolam AC canilcm habeat rationem, quam FadH. Quoniam enim parabolam BD ad parabolam ACE ra. tioncm habet triplic.itam eius, quan habc BD. H cst autem BD ad E, V F ad G erit proportio patai bolae ABD ad parabolam ACE,triplicata eius, luam habet F ad G sed etiam proportio F ad Id triplicata si cius quam habet
ad , cis o parabola ABD ad parabolani ACE csi, ut F
70쪽
Si vero parabola AC augenda esset iuxta rationem datam H ad F,quod pius in mensura aquarum con tingere potest inuentis, ut supra, duabus medij proportionalibus I,G, producto axe AC ita determinate, fiat ut H ad I, ita EC ad aliam v .g. BD, 4 quadratum E ad quadratum BD, ita fiat AC ad AB,& puncto B applicetur BD ordinata, quae ad parabolam pertinebit, sunt enim quadrata CE,BD inter se, ut AC, AB; quare continuata linea parabolica AE, ransibit per B eritque parabola CAEad parabolam ABD, vi H ad F, quod facile eadem meth do demonstrari potest, per assumpta in propositione supe
ET, si secanda esset parabola ita,ut parabola abscisa adverticem ad spatium parabolicum residuum datam rationem haberet, .g. F ad H, facile ex sumdemonstratis fieri posset diuisa enim parabola ABD it tota ABD ad abscisam ACE eam habeat rationem, quam F,una cum H, adi, factum erit, quod quaeritur, cum enim parabola ABD ad parabolam ACE ita sit, ut FH ad F erit diuidem do, ut spatium CBDE ad parabolam ACE, ita Hada,sive ut parabola ad spatium, ita Rad H.
DAta quantitate aqua fluentis in canale horigontali persectionem datae altitudinis. latitudinis, datitudine alterius sectionis timenire altituduiem eiusdem a-que in secunda sectione.