장음표시 사용
41쪽
vero vitimae huius fistulae lumen, nonnihilo, licet ei insensibiliter priori maius esset, quo de quantitate aquae exeuntis primo , deinde etiam e rectificatione diametri subtili experimento didicimus;ideo ex mutatione luminis, duplex instituenda fuit radicalis obseruatio, prima in altitudine unciarum 8. secunda in altitudine unciarum et . Singulae autem obseruationes habentur in subiecta abula una cum quantitatibus aquarum correspondotibus proportioni subduplicatae altitii linis aquae supra centra unu-num ex duabus obseruationibus radicalibus, ut appareat quam parum discrepet proportio aquarum per obserua tionem inuenta, a proposita ratione Iubduplicata
alitas aqua exiens singulis Is vibrara ni u in uncidi liis
Propositio aquarum ex obseruatione radicati prima sit Quillicata altitudinu in unorsti. a Bonon.
ri retia aquarum ex obseruatione radicari secunda.
42쪽
2ψ . Aquarum Fluentium Ex his obseruationibus patet, quantitates Aquar esse in
subduplicata ratione altitudinum: licet enim alicubi nonnihil discrepent ab expositi proportione; id tamcn insensibile est,&inluminu in siue orficiorum contactum refundendum, aut inobseruationum lubricitatem,ita ut appareat Naturam hac ratione procedere. Praeter experimenta nonnulli hanc propositionem, quasere omnes tamquam principium assumunt, vel immediate ex suppositione deducunt demostrare conantur tutiora
naen mihi videtur Torriceliij demonstratio, quae talis est. Sit Vas ABDC,cui sit foramen in E horizontale, sitque superficies aquae AB. Et similiter intelligatur aliud VasF ς, cui foramenes aequale foramini E. Dico velocitatem, qua Aqua exit a lumine H ad velocitatem,qua exit a lumine E, esse in subduplicata ratione linearum, siue altitudinum BD, FG Aqua enim Xiens a luminibus E, m detracto aeris impedimento salit usque ad horigontales AM, K per impetum,seu velocitatem impressam in E,ωH;ergo velocitasini,&M eadem est, ac si Aqua descendisset ab M in Ε,& a in H, sed velocitas in Ela descensu per E ad velocitate in bina descensu per ΚΗ habet rationem subduplicatama, nearum ME, ΚΗ, siue BL FG,ergo velocitas in E m est
pariter in ratione subduplicata linearu BL, FG cum autem quantitates aquae in sectionibus, seu luminibus aequalibus sint,ut velocitates, etiam quantitates aquae habebunt subduplicatam rationem altitudinum. Quod&c.
Exquoniam velocitas in E,ωH nullam aliam agnoscit
causam,quam pressionem superincumbentis aquae in vase, sequitur pressionem agere iuxta praedictam proportionem, si actio in elocitatem tantummodo influere im
43쪽
P Erinde est siue oramen sit in Chorirontale sursim
vergens, siue infundo CD deorsum, siue in lateribus BL, FG verticaliter, ita ut directio sit horizontalis:aqua enim quaqua versus premit aequaliter, dummodo aequa lem, vel eandem habeat suprati altitudinem.
R O P. II. EAdem est velocitas aquae fluentis per aliquam sectionem canalis inclinati, ac si fluxerit e vale per lumen sibmile,& quale lectioni,tantundem a luperficie quae rem tum; quantum lactio ab hori Zontali per initium canalis. Sit canale inclinatum AB, per quod fluat aqua in lectione B, sit Ehorizontalis per initium canalis. Dico in te Fig. II.ctione Beandem esse velocitatem aquae, ac si flueret per eandem sectionem B, ansuam lumen,e vase clauso ABE, va quo quae superficies sit AE. Quoniam enim Aqua est corpus graue si intelligatur ab . u. Ailux ille in B per planum inclinatum AB,eadem erit velo iv. de citas in B, ac in D, si ex Acin D cecidisset supponitur enim ' ADtor ironti perpendicularis, secta tori Zontal DB vel ex C in B scd in vase auso velocitas lumini si eadem est, ac si aqua a C in B descendisset ergo velocitas in B e dem est, siue aqua fluat per Canale A sectionei, siue fluxerit e vale ABE lumine B. Quodnc.
EX bis sequitur velocitates in diuers si ictionibus eiu
dem canalis esse in stibduplicata ratione perpendicularium a sectionibus ad horizontalem per initium aluei, cum
44쪽
26' Aquarum Fluentium cum enim velocitates in luminibus F,B sint in subduplicata ratione linearum FG, BC; velocitates insectionibus F, B eandem habebunt rationem subduplicatam.
ET quoniam,vt FG ad BC ta est A ad BA:erunt etiavelocitates sectionum F, in subduplicata ratione linearum FA,F idest distantiarum ab initio aluei
INuenta ergo media proporaionali inter GF, ωCB. siue inter AF, AB erit,ut GF,vel AF alia mediam,ita velocitas F ad velocitatem B.
abis. Vare si aX AB vertice A describatur semiparabola lib. 1.c. AHL, ducantur semiordinatae FH, BL erunt haenic. prρp. mensura velocitatum punctorum, siue sectionum F, ωsic de caeteris.
SEquitur ex supradictis velocitates semper maiores δε-ri,quo sectiones ab initio aluei remotiores sunt e comtra vero, cum velocitates.& sectiones reciproce se habeat canale in eodem statu permanente;consequenter sectiones
semper minores erunt,4 si lis supponantur aeque latae,altis tudines erunt semper minores In
45쪽
Mensura . Lib. II. R O P. III.
N qualibet sectione canalis inclinati velocitas maior in fundo, quam in superficie aquae. Sit canale inclinatum AB, in quo sectio cuius altitudo BC. Dico velocitate ni maiorem esse,quam in C. Ducatur enim per initium aluei, hori Ionialis,ad quam ex B,& ducantur pei pendiculares BE, CD . Itaque quoniam amgulus EB cst rectus:erit angulus AB acutus, quoniaangulus B est rectus, si ex ipso dematur angulus acutus ABE, remanebit angulus CBE acutus; quare demissa CF perpendiculati ad BE; cadet ea ad partes E, abscindet portionem FE minore tota BE; ergo DC minor erit eadeBE; ed velocitas Rcompetit descensu BE,& velocitas C descensui DC; maiori vero descensui competit maior velocitas; ergo velocitas ini maior erit,quam in .Quod &c
OVoniam per maiorem inclinationem angulus EB Alem perit minor,consequenter angulusin maior erit; ideoque perpendicularis CF senaper cadet proximior puncto B; quare differentia inter velocitalcm fundi, supellaciei temper minor erit, quo magis inclinatus erit canalis cium fuerit perpendicularis, cadente CF in C aquabuntur inter velocitates.
R O P. IV. I sectionibus diuersis eiusdem canalis inclinati maior
est proPortio velocitatis findi ad velocitatem supersi fet y ciei, quo sectiones initio canalis proximiores runt. Supponatur enim in eadem figura sectio G proximior
46쪽
initio A,quam B. Dico maiorem ratione esse velocitatis ad velocitatem H, quam velocitatis B ad velocitatem C; iisdem.n constructis,quoniam GH maior est,quam BC; in triangulis IGH FBC omnes anguli aequales praeter enim angulos rectos ad F,l,sunt anguli BCJGH aequales, utpote aequalium angulorum AGK, AB complementa: erit GI maior,quam FB: quoniam Gisinor est, qua EB, ablata IG ex ΚG,ωFB ex BE remanebit ΚI multo minor, quam FE; habebit ergo GI ad F maiorem rationem quam ΚI ad EF, permutando I ad ΚI maiorem, quam FB ad EF, componedo cad IK, seu LH,maiorem,qua BE ad EF,siue DC.Sit X media proportionalis inter Κ,&LH,&a media proportionalis inter EB, ωCD. Itaque ΚGadri maiorem habebit rationem, quam EB ad Y:sed ratio ΚG ad X eadem est, ac velocitatis G ad velocitatem H, ratio EB ad Y eadem,ac velocitatis B ad tergo velocitas Gades habebit maiorem rationem, quam velocitas B ad C. Quod c.
EX his constat, quod in sectionibus plurimum a Canalis
initio remotis fieri potest, ut differentia velocitatum sensibiliter aequalis sit;praecipue in js, quae non multam habent altitudinem, cum proportio semper magis, magis ad aequalitatem accedat
CVm itaque fere semper insectionibus fluminum distantia superficiei quae a principio canalis insensib, liter differat a distantia fundi ab eodem principio, sumi poterit physice velocitas fundi aequalis velocitati superficiei, cum praecipue aqua in fundo sectionis retardetur propter
47쪽
contacta eiusdem fundi, unde fit, ut in fluminibus, prae se tim paruo altitudinis,aliquando velocior sit aqua in superficie quam in fundo.
PArabolam assignar in qua sumi possit mensura velocitatum in perpendiculari alicum sectionis. Sit canale inclinatu AB I citius initium A, sectiora, erus que altitudo BC: opportet parabolam alis nare, qua sumi polliit mensura omnium velocitatum existentium in lineali C. Per Aducatur horizontalis AF, producaturi ci nec cum AF concurrat in F,&circa axim Iue delatabatur
semiparabola FHG. Dico hanc esse parabolam quaesitam. Ducantur enim perpendiculares BD,CE ad AF, semiordinatae BG,CH c. Et quoniam velocitas in B ad velocitatem in C subduplicatam habet rationem BD ad Ei eliautem BD ad Spropter similitudinem triangulorum, ut FB ad FC erit velocitas in B ad velocitatem in C subduplicata eius, quam habet FB ad FC sed eandem rationem subduplicatam habet BG ad CH; ergo velocitates B,& Cerunt inter se, ut BG ad CH Quare sim intelligatur velocitas puncti B erit CH velocitas puncti C. LM puncti M.& sic de caeteris. Quare parabola FB erit esurionis nium velocitatum perpendicularis BC. Quod dic.
X his patet spatium paraboIicum BGH esse complexum omnium velocitatum perpendicularis BC. Data
48쪽
DAt in spatio parabolico semiordinatarum ratione,&segmento axis inter lamiordinatas, inuenire aximparabolae . Sit in spatio parabolico ABCD data poportio, quam habet AB ad CD, segmento axis AC Opportet inuenire altitudinem axis parabolae. Fiat quadratum semiord malae maioris CD, quod sit EH; quadratum vero minoris AB sit EF positum ad communem angulum Et fiatque, Ut quadratorum differentia, idest ut gnomon LM ad quadratum EF, ita AC ad aliam ipsi in directum continuatam AG. Dico totam CG esse inaquaesitum. Quoniam enim ut gnomon ILM ad quadratum EF ita C ad AG erit componendo, gnomon, quadratui idest quadratum EH ad quadratum EF, ita A una cum AG,idest tota CG ad GA;ergo ut G C ad GA, ita quadratum E H, siue CD ad quadratum EF, siue AB. Quare pumetum G erit vertex parabolae Quod c.
O R O L. I. ΙTaque si AB, CD datae sint in partibus segmenti AC, no
s oludabitur altitudo parabolae, sed & eius amplitudo.
EX hac propositione sequitur, quod, in figura propotationis antecedentis, si dabitur ratio velocitatum BG, CH,& perpedicularis sectionis BC,inuenietur axis BF p rabolae mesurantia omnes velocitates perpendicularis BC. Immo
49쪽
III imo, si ulterius notus sit angulus inclinationis BAD, trigonometrice innotescet AB,& BD, idest distati sundi sectionis ab initio aluei,&eiusdem distantia ab horiZotali per initium aluei: in triangulis enim ABD, ABF;praeter latus Bri noti erunt omnes anguli
Spatium Parabolicum quadrare. Sit spatium parabolicum ABCD,cui opporteataqua-lare tangulum inuenire. Inueniatur altitudo axisita fiatque parabolae AEBaequale rectangulu AF,& similiter parabolae E aequalerit rectangulum CC producaturq; AB, ut C A ad AE, sue ut Ho ad OG ita sit Κ ad I,& compleatur rectangulum Hl. Dico rectangulum CI aequalecite spatio parabolico C ABD. Ar et,
Quoniam n. rectangulum AF est aequale parabol AhU,& rectangulum G parabolae ED, ablato ex celangulo CG, ctangulo F;&ex parabola CED, parabola AEB remanebit spatium KFGHCAK aequale spatio par bolico ABD itaque ablato conmuni coangulo Oremanebit redi angulum PO aequale reliquo spatio parabolico H BD: sed rectangulum Oest aqhiale rectangulo HI, quoniam latera habent reciproce proportionalia ergo rectanstulum HI aequale erit spatio parabolico HCBD addito itaque communi rectangulo CD, erit totum ceta
νὶ VI aequale patio parabolico ABD. Quod dic.
50쪽
IN Canale inclinato mediam velocitatem cuiusuis perpendicularis inuenire Sit in canale inclinato sectio B,cuius altitudo BQ oppora te mediam velocitatem perpendicularis BC inuenire. Describatiir parabola,quisit mensura velocitatum perpendicularis B ductisque BE, CH semiordinatis, fiat Octangulum BF arquale spatio parabolico EcHF, cuius ibitis FI secabit parabolam in aliquo puncto , per aducatur clamiordinata ad axem BD, secans ipsum in puncto c. Dico in puncto cesse mediam velocitatem quaesistam, eamque exprimi per linean G. Si enim omnes partes aquae in perpendiculari BCfluerent aequali velocitate, certum est, quod, dum peruenit ad F, etiam Κ perueniret ad G, B ad L quare tunc rectangulum BF esset complexus velocitatum perpendicularis BC, sed spatium parabolicum BCHE est complexus velocitatum perpendicularis BC, rectangulum BF est squaledicto spatio parabolico ergo aequalis est compleXus velocitatum siue aqua fluat sola, uniformi velocitate Κῆsiue inaequalibus BE, CH&c.ergo, ex demonstratis in primo libro,etiam quantitates aquae aequales essent,& cons quenter HG erit media velocitas
QVoniam rectangulum B aequale est spatio paraboa
lico BCΚΕ, ablata comuni portione C HGIB rem,ta. nebit trilineu GF aequale inlineo lGE; sed, Iocitas Hasuperat omnes velocitates minores, velocitatibus, quae cotineri possunt in trilineo HGF superatur autem a velocitatibus maioribus ea portione, quae continetur in tri-