장음표시 사용
51쪽
trilineo IEC: ergo cum trilinea sint aequalia, tantundem
HG superabit ininores velocitates, quantiim superatur a maioribus &consequenter ei it media velocitas. Quod dic.
o tria superiora problemata artimeticae soluuntur.
Sit altitudo sectionis BC pedum proportio vero velocitatum BE,& CH, si ea,quam habet Dada tae ad faciliorem calculum lad et quommodo per
Ixperimet inuenienda sit velocitatum proportio, inferius docebimus fiant velocitatum 9 cia quadrata .v. 8I,&144,4 minus a maiori subtrahatur, eritque differentia 63. I tacue per regulam auream, ut 3 ad 8i, ita ad 3 cuna septima, tantaque erit linea CD, residuum axis integraediaraboliae, consequenter tota BD eri 9 cum i leptima: ἴucatur BD axis cum et septima in a tertias lineae BE, videsicet 8,d productum 3 cum et septima, erit area parabolae BDE similiter ducatur axis DC in a tertias lineae CH idestis, productum 3 cum, septimis , erit area parabolae DCH. Subtrahatur 3 cum septimis a V cui septima,&differentia et cum a septimis, erit BCHE. Itaque si et cum a septimis, diuidatur per B erit quotiensio cum A septimis reliquum latus rectanguli CΙ- - ualis spatio parabolico BCHE. Vt autem inueniatur locus linea ΚG aequalis CF in axe BD, fiat ius quadratum
iii I,4 per ς gulam auream, ut quadratum 8 ad quadratum Or. - , ita axis cum i scprima ad axim N
quare ablato ex K axe Das cum raptima, remanebit ', siue,si perpendicularis BC sit in mensura pedum, pede: I nc. ii cum dimidia proximc Quare locus velocitatis mediae erit tantundem demerius intra aquae superficiem.
52쪽
PRoportionem velocitatum Mecanice inuenire. Ex data longitudine canalis, siue distantia inittreiusdem a sectione,& angulo inclinationis, facile inuenieturi, VS 7 tio velocitatum superficiei &fundi cum .n triangulum ABD sit rectangulum ad B, angulus DAB inclinationis sit cognitus, ulterius notum sit latus AB nota etiam fiet per trigonometriam altitudo parabolae BD, qua coonita,&altitudine alicuius perpendicularis in lectione .g.BQ erit
ratio velocitatis B ad velocitatem C subduplicata eius, quam habet DR ad DC Nisi vero sit cognita distantia sectionis ab mitio aluei, ex ijs, quae supra demonstrata sunt propositione 6, euidens
est conuersum, . v. data proportione velocitatum BE,CH&c reliqua inotescere. portet igitur in praesenti modum assignare, quom canice nota fiat huiusmodi proportio Sit perpendicularis horigoti A &pendulum AB, quod sustentetur extra perpendicularem potentia BC: Ostendit Herigonius prop.9.
suae Mecanicae,quod si ex B erigatur Eparallela DA,&per Educatur EF parallela BC,&alia EC parallela AB: erit BE ad BC,ut pondus B in perpendiculari AD ad potentiam BC. Intelligatur eleuatum pendulum in H, fiat H aequalis ipsi BE erit ergo etiam in hoc casu pondus in perpendiculari ad potentiam HI,vi H ad F lacuq BE,&H sint aequales,erit ut potentia BC ad potentiam Hl, ita B ad HI.Quare si potentiae BC,ωHI operentur per lineas horizontales: cum in eo casu anguli HI EBC sint re-eti,erunt HI, B tangentes angulorum inclinationis HKI, BE quare in hoc casu in tentiae erunt,ut tangente angulorum inclinationis. Si vero potetiae non sint horiZontales, si tamen sit notus earum angulus cum linea verticali, una
cum angulo inclinationis penduli cognoscetur nihilom
53쪽
nus trigonometrice earumdem potentiarum ratio istenim suppositam quantitatis cuiuslibet arbitrariae, erit in triangulo HK notum latus HK, una cum angulis HKI inclinationis penduli H tractionis quare innotescet latus Hi, similiter in altero triangulo BC innotescet BC ad communem mensuram cum Hl, si BE eius mensurae supponatur,qualis suppositae ita H quam proportionem ergo habebunt HI, BC, candem habebunt trahentes potentiae. Cum vero perinde sit, siue potentia agat trahendo per HI, ac urgendo per H,vel B,cu aequa liter in utroque calu ab ipsis, una cum potent ijs AH, AB
fiat aequilibrium cum pondere B vel H nota etiam erit potentiarum H, B impellentium ratio. Vt igitur velocitatum quaesiit a ratio inueniatur , pendulum aptetur quadranti in gradus, minuta diuiso, cuiuSVnum latus ponatur verticale, demittaturque pondus B in aqua canalis alicuius, ita ut centrum ipsius cohaereat superficiei aquae: euidens est velocitatem a tu distracturam pendulum a directione versus centru Dilige te ergo Obleruetur angulus inclinationis . Deinde demis o pendulo inuariata tamen fili longitudine usque ad fundum canalis ita tamen, ut ab co non in pediatur, denuo Obscruetur angulus inclinationis. Quoniam igitur potentia detinens pendulum in angulo inclinationis et ipsa que fluentis velocitas, tam in fui. do quam in superficies in aqua nimstagnante pendulum dirigitur versus centrum sine ullo angulo: erit ratio potentiarum eadem, ac velocitatuni Quare
si superficics quae vel nullo nai do, vel insensibilitor it ad
hori Zontem inclinata quam proportionen hab bunt tan- gentes angulor uni inclinationis, eandem ii bc ni &velocitates . Si vero lis sit, lis sit supelficiei a ilia horizonte declinatio ea mensuranda erit &angulo iccto addenda in fiet angulus traditonis, quo habito, ut ui radi ctum est, eruitur volo citatum proportio. Quod Sc.
54쪽
DAto loco velocitatis mediae, angulo inclinationis
canalis, spatium deteriminare, quod velocitas data apta est percurrere dato tempore
Sit datus H locus velocitatis mediar,& angulus D AB:op-ry. Ortet determinare spatium, quod apta sit velocitas Id per- transire ad datum tempuS B. Quoniam in inuentione puncti H,prius cognoscitur axis BD: erit in triangulo DKH notum latus DH,&,pr ter angu lum DKH rectum,etia angulus ΚDH complemetum anguli K AB inclinationis, quare innotescet latius ΚH. Itaque Velocitas media H eadem est, ac si flueret aqua e vase sub altitudine ΚH. Sit igitur Vas NO, in quo altitudo M. lumen P sit,.. notae superficiet, .g. quadratum unius unciae, cuius vel o ' citas media sit R: sit autem altitudo RO aequalis altitudini ΚΗ,&supponatur, quod per lumen P fluxerit tempore L, quod sit horae minutum, pes cubus Aquari. g. QS: haec quantitas intelligatur conformata in prisma rectum, cuius basis sit ipsum lumeni g.VX,& altitudo XY; erit igitur XY velocitas media luminis PM, propria puncti R; quoniam itaque notum est,tam lumen VX,quam basis cubi QT, erit nota ratio QT ad X;& quoniam prismata S,Vxsupponuntur aequalia,erit ut X ad QT, ita reciproce T ad XY, sed TS est altitudo nota ergo XY erit nota. Quod&c
IN nostro casu,quonia QT est basis pedis cubi idest pes
quadratus erit QTinciarii 14 quadratarum V Jero est uncia una quadrata ut igitur uncia una aduncias
aqq, ita pes unus altitudinis TS ad pedes 1 4 altitudinis XY quare velocitas media puncti R, siue puncti H est apta
55쪽
percurrere pedes 3 4 , tempore L, siue uno horae minuto.
ITaque inuenta, per repetita experimenta, quantitate quae fluentis per datum lumen,e vase sub certa altitudine intra tempus constitutum,in quo quidem maxima opus est diligentia, non solum determinabitur spatium corre, pondens illi velocitati, sed & spatia quarumcumque velocitatum sub maioribus, vel minoribus altitudinibus per pro p. primam huius libri Nos suo loco tabulam exhibebismus, prora per experi menta nobis licuit inuenire, in qua quidem istum non fidimus, ut ad maiorem praecisionem redigi non possi existimemu S.
SAtius est,in determinanda quantitate aqua transeuntis
per datum lumen dato tempore, loco linearium me surarum,ut ponderibus. Si enim ponderetur aqua luxa tempore vitius minuti:eius quantitas usque ad granum poterit praecise determinari: parato deinde vase, cuius interna cauitas sit cubica in litus v. g. unius uncis linearis, de aqua impleatur,&deinde eius pondus diligentissune perbilancem examinetur,quod erit pondus unius uncia cubice aquae. Si deinde totum pondus diuidatur per pondus inuentum unciae unius cubicae aquae quotiens erit num rus unciarum cubaearum, quibus aequalis est tota aqua, cuare haec intelligetur consormata in prisma rectum,cuius gasiisvncia na quadrata,&altitudo tot unciarum linearium quot erunt in quotiente praedicto unciae cubice, quo pris materi utemur loco cubi QS, habebitur altitudo XY, meo iudicio exactissima. . . .
Advertendum: est,quod licet lumina circularia primo
56쪽
visu videantur aptiora ratione minoris circumferentis,4 consequenter contactus; nihilominus tamen,ut facilius determinari possiit distantia loci velocitatis mediar ab aquae superficie, melius est uti luminibus quadratis,uel rectangulis in aerea lamina, quantum fieri possit subtili, laeuigata, insculptis,quorum latera inferiora, superiora sint horsezontalia quae quidem lumina, quo ampliora eo meliora
erunt propter minorem contactum dummodo tamen tota
simul claudi,& aperiri possint, mitio,& fine dati temporis. Inuensetur autem media luminis velocitas ea methodo, qua in sectionibus prop. inuenta est, supponend0 lineam OM, altitudinem aquae supra marginem inferiorem luminis, esse axim parabolae,&altitudinem lumiais P esse ab titudinem sectionis
C ' O L. II. EX dictis patet, qu bd si spatium debitum velocitati,
perpendicularis, una cum latitudine sectionis, sint ad comunem mensuram . multiplicctu spatium in perpendicularem, productu multiplicetur per latitudinem;consurget quantitas aquae fluentis per sectionem, tensore, lubquo est determinatum spatium. Exempli gratia, Si spatium correspondens volocitati mediae sectionis BC pro uno minuto temporis sit pedes i 4; sitque altitudo, siue perpendicularis sectionis pedes a latitudo vero pedes o Multipliceturio per et, di prodiretum 728 ducatur in or huius producium 86 coirit 3 umerus pedum cubicorum transeuntium per datam sectionem durante uno minuto. Iden proueniet, si latitudo, altitudo scillionis,& spatium correspondens Velocitati indiscrim natim vinii ducatur in alterum, productum multiplicetur per tertium quartus enim numerus consurgens crit quantitas aquae quaesita.
57쪽
Continens mensuram aquaruna fluentium in Canalibus Origon talibus, tam solitariis, quam ni tis cum alijs hori ZOntalibus
I. manalis horigontalis is est , cuius landus aequaliter ubique distat a centro gra-
uium:hoc est se accomodat sphςricae su-M perficiei terrestri, quae quoniam in par- Mi 2 a distantia non dissertis plano sentibi
liter ideo fundum canalis hori Zontalis saepius tamquam planum aliquod considerabimus. II. Mensura proportionalis aquae fluentis nil aliud est,
nisi proportio quae intercedit inter aquae quantitate eo dem, vel aequali tempore fluentes, per unam, vel plures scictiones, quae mensura non solum locum habet in canalibus horarontalibus,sed in alijs quibuscumque. III. Cubus aquae est numerus ex certis regulis consurgens, qui alio consimili comparatus ostendit proportionem aquarum, quarum sunt cubi IV. Centrum velocitatis dicatur punctum alicuius per
pendicularis in sectione, quod cone Odet mediae velocitati eiusdeci perpendicularia.
58쪽
6 Aquarum Fluentium PROPOSITIO I.
IN Canalibus horizontalibus ab una parte apertis si exaduersa parte Aqua subministretur quae apta sit lubaliqua altitudine fluere aquae fluxus continget, coni 'nuabitur usque ad exitum dummodo tamen canalium ita diis, vel altior sit extremo termino fluxus, vel saltem in eadem, cum ipso linea horizontali. Sit Canale AB apertum ad partes B, cuius fundus AB horizontalis,siit altior,vel in eadem horiZontali cum extremo termino fluxus B,eique aes partes A suppeditetur aqua constituta in altitudine AC. Dico aquam fluxuram ab A ad B. Quoniam enim aqua non potest consistere in altitudine AC, nisi extremo termino contineatur , propter generalem naturam corpor fluidorum nullusq; ex hypothesi in B sit talis terminus sequitur,quod aqua debeat sese complanare aequaliter supra fundum AB; sed hoc non potest c5- tingere, nisi aqua ab A fluat in B ergo fluxus aqua fiet ab A in B.Et quoniam per successivam depressionem altitudinis AC; successiti pariter noua aqua subministratur,ex hypothesi, apta eandem altitudine redintegrare denuo aqua non poterit consistere in ea altitudine, duc cessivus coni,nuabitur motus ab A in B,patente exitu in B. Quod c.
V Elocitas,qua fluit Aqua per canale aliquod origo- tale eadem eis,qua flueret e vase aqua pleno , cuius altitudo eadem, ac altitudo viva aqua in canale horigon- tali. Intelligatur enim Canale horigontale AB fluens sub ab titudine AC, sectum plano verticali PD: sitque aquae&pla-
59쪽
plani sectio parallelogranum FD, ita ut tollatur puxus. Certum est aquam inter A, O ita urgere planum DF, ut
patente exitu, eadem flueret, qua prilis, Velocitate, plani enim vices in fluxu continuato gerit aqua infra sectionem, sustentans aquam in lectione in eadem altitudine. Intelligamur igitur in plano DF insculpta plura lumina ex quisbus aqua erumpat, siue ob maiorem demonstrationis ac se litatem, lumina intelligantur insculpta perpendiculari G: sintque .g. D,H, quaecumq alia possibilia inter D Nita ut tota DG sit veluti infinita lumina, siue velut num lumen ex infinitis luminibus compositum fluet ergo Aqua per perpendicularem, eadem velocitate , MaevaleCF clauso erumperet, scd la a cladem est, ac velocitas, qua prius aqua fluebat per perpendicularem GD: ergo aqua GD fluit per canale horizontale , ac si rumperet e lumine GD, consequenter aqua tot adlucns per parallelogramum DF ad cna fuit velocitate qua eruae peret e vale
qua pleno per lumen DF,& sub altitudine DG.Quod dic.
FX hac,& priπ propositione secundi libri, patet vel
citates perpcndicularium in scctionibus cana iumhorirontalium tinc licisse in si: bduplicata ratione abscisarum usque ad si pei sciem aquae, ut, si sit perpcndicularis AB erit velocitas punctii ad velocitatem puncti Gin tu duplicata ratione me rum AB,AC.
O R O L. ILHIncisi a xi CC describatur parabola CCD, Minteli,
Patur linea CD, ut ciccitas puncti C: erit AB, locitas puncti A. sic de insulis, tota parabola CGDerit simul, mensura, con plexus ciccitat Lin perpendicularis GC. F
60쪽
Icuti consta velocitatem fundi CD maximam esse, re O liquas autem semper minores, minores, quo super-Πcie viciniores dummodo tamen altitudo GC sit sua, Laliquis non subsit gurges, aut impedimentum; eo tunc enim non solum retardatur aqua velocitas, adeo ut superior Du minor sit; sed aliquoties fit stagnans, pluites motum tuum retrorsum conuertit,quod pendulo non semel experti sumus. Quod dictum sit, ne aliquis in experiendo errorem incidat; facile enim in fluminibus irregularibus, nisi necessaria aduertat, poterit perperam iudicare.
I Ato complexu velocitatum alicuius perpendicularis in in canale horizontali inuenire eius velocitatem me
Sit perpendicularis AB, eiusque complexus, mensura Velocitatum,parabola BAED: opportet mediam velocitatem perpendicularis AB inuenire. Diuidatur BD in tres partes aequales BG,GH, H D,& X in assumantur duae BG,GH. Dico lineam Bid esse velocitatem mediam quaesitam. Erigatur enim a puncto H perpendicularis HL secans parabolam in E, per E ducatur B: semiordinat axi AB compleaturque parallelogramur, producta BD in F, fiat DF aequalis GH,& iungantur hi Quoniam igitur linea BF est sesquitertia lineae
vi , ex constructione erit&triangulum ABF trianguli At liquitertium lunt enim inter se, ut bases sed etiam parabola AE sesquitertia est eiusdem trianguli ABD; ergo igni VR ABF parabola: BAED aequale erit; sed etiambis .f. P4ygiiqi0gramum Braequale est angulo AF quoniam