A treatise of algebra, in three parts. Containing

391쪽

374 LINEARUM GEOMETRIcARUQsupportatur u α ---, pro in substituatur ipsius va-

lor, - ὀ in equatione inuissemiata deerit secundus terminus ti ut ex calculo, vel ex doctrina aequationum passilii tradita facile patet de hinc quoque constat, quod per hypothesim valor quisque ipsiusu minor sit valore correspondente ipsius disserentiae es, unde sequitur summam valorum ipsius u quorum numerus est ii deficere a summa valonin ipsius di quae summa est . - Ω differentia 'ista me

H b, adeoque priorem una mam evanescere & secun dum terminum deesse in aequatione qua, defitaitu belainmativosa negativos valores ipsius u aequales sum mas conficere. si itaque sumatur PQ αQM rectae ex utraque parte punctis ad Curvam terminatae eandem conficient summam. iocus autem

R. a puncti Q est recta BDquae abscisam ultra principium 4 productam secat in Brita ut AB ordinatam AD Ipsi ΡΜ parallelam in D ita ut sit Ainc , ι; si enim haec rere ordinatae M occurrat in puncto A erit PQ ad PB seu Φ hut AD ad AB vel aian, adeo que PQ α oportebati Atque inconstat rectam semper duc posse quae parallelas quasvis lineae

geomethicae occurrentes in tot punctis quot sunt figurae dimensioue ita cubiti lusiuna segmentorum Uulvi Si pars Disjtiro b Corale

392쪽

PROPRIETATIBU GENERALIBVs. Grahelae ex una secaritis parte ad curvam terminatorum

semper aequalis sit summae segmentorum ejusdem ex al-Moaecatuis parte . mufestum autem est viam quae duas quasvis p rallelas hac ratione secat ipsam necesurio esse tu similiter alias olline pes allela seeabit Atque hinc patet verita theorem us/θω--hs proprietas linearum geometricariun generali , notisma: sestionum conicarum propriotari analoga. i in his mim recta quae duas quasvis parallelo. M pctior sya e --

Irata hi lecat diameter est, & bisecat alio omnes hisce parallelas ad sectionem ei minatas. at similiter recta quae duas quasvis parallelas mea geometrica n Cur--rentes in tot punctis quot ipsa est dimension ut ita secat : ut summa partium ex uno secantis latere Cola listentium ac ad curvam terminatarum aequali sitsum iri: partium ejusdem parallela ex altero secantis atere conlistentium ad curvam terminatarum, eodem modo secabit alias

quasvis rectas his parallelas.

- s s. In aes β' ς ' a. Vis terminus ultimiis, sive is: si mradixa 'on ngreditur, aequalis est facto ex radici-

. biis mi inibillinis imulio ductis unde ad aliam ducimur mi'usi mkindinearum geometri in proprie taxo urea: - ' 'M. lineae tertii ordinis in M, Fie. i. m Miseritque PM,im Τμαμ ix' in x M. A et inissa AP curvam in tribus punctis L MI AI, AR Aia erunt valores abscissae x, posita ordinata quo in casu aequatio generali dat esto pro his Moribus determinandis, ut in Art. a. expositimus uationis igitur x -- ----mo tres radices sunt AI, An AL, adeoque haec aequatio componitur ex tribus x' 'At, AK, -- in

Ba a se

393쪽

se mutuo ductis inque - , -

iminum P curvam terminatis est ad factum ex segmentis In 'i' rei, AP, eodem punctoin cumva terminatis in ratione invariabili coemientis j ad unitatem simili ratione demonstratur, dato angulo APM, si recta AP PM, lineam geometricam cujusvis ordinis secent in tot punctis quot ipsa est dimensionum, fore semper factum ex segmentis prioris ad punc tum 'Meurvam terminatis ad factum ex segmentis posterioris eodem puncto ει curva terminatis in ratione invariabili.

S 6. In articulo praecedente supposuimu', cum αυ- uno, rectam A lineam tertii ordinis secare in tribus punctis I, Mi vertim ut theorema egregium re datur generalius, uri, utamus abscissan AP in unico tantum punctis curvam secare; sitque id purictum A. Te QMURi igitur evanescenter evanescatatuoque x uutimus aequationis terminus, in hoc cassi, erit'' ex Φ

si sumtur Aa versus P aequalis S Wad punctum a

394쪽

ut in articulo praecedente erit Μ--κ Pia ad AP QP in ratione constante coemientissa unita mi Vallar autem - perpendiculam ab est semper realis quoties recta AP curvam in imico puncto secat; in hoe enun casuis es aequatio si quadrati μ' sae. kiunt necessario imaginariae, de te in major quam grai quantitas in Jh-α realis. Cum igitur recta quaevis in unico puncto A secat lineam tertii ordinis, est solidum sub ordinatis PM Pm, li- dum sub abscisia AP, quadrato distantia puncti in puncto da is in satione onstanti. Juncta A est ad

venit eidem rectae AP, qualiscunque sit angulus sui abscissa Mordinati c*ntinetur. 3 1. Sit figura sectio conica, cujus sequati*generalis studi c ccxx--δε ει α out supra; s, sequationis ex e rit radices sint imaginariae, recta AP sectioni non occurret ruino autem casiquantitas Me semper sipeo MM- ώ. unde μήλ

Aa --4 erigatur ab perpendicitaris abscisis in a

quePWκPmis ex e -- erit PMQ ad Myutis ad unitatem. Itaque in sectione quavis conica s recta AP sectioni non occurrat, erit, dato angit APM, rectangulum contentum m rem ad punctum P qnsistentibus is curvam terminatis ad 'ado B tum

395쪽

378 DE AEasEARUM GEOMinicARUM tum distantiae puncti P a punino dato b in ratione eo stanti, quae in circulo est ratio aequalitatis. Manifestum autem est eandem methodum adhiberi posse line: quarti ordinis quam abscissa secat in diIobus tantu in punctis, vel lineae ordinis cujuscunque quam abicissa secat in punctis binario paucioribus numeroqui figurae orditiem designat

6 8 Histe praemissis, progredimur ad linorum geometricarum prurietates minus obvias exponendo e dem sere ordine quo se nobis obtulerunt. . Utebamur autem lemmate sequenti ex surionum domin petito, quodque in tractatus de hisce nuper editi Art. 17 demonstravimus harum tamen aliquas per algebon, vulgarem dem.nstrari posse postea observavimus.

Lemma Si quantitatibus inc simul fluisentibus, ut D inhiantitatibus , , , , &c sit factum ex prioribus ad laetum ex posterioribus in ratione con

S . Theor. I. Occurrat recta quavis per punctum datum uecta lineae geometricae cujuscunque ordinis in tot p ιιι qu. ιβι ν armensionum recta Aguram in hispuntiis contigentes abscinniant ab alia redia pom ne data per idem punctum datum ueta hementa totidem Oelum torminata , borum segmentorum reciproca ean-

396쪽

Ἀμ eo latent unimam, modo segmenta ad conis rema parui imm ait is murum seris fisi sit iunctum datum P &la re, quaevis duae is, ex sedulia quarum utraque curvam secat in tot pulis A, B, C, M. a M. quo ipsi est dimentioriarum. Abscindant tangentes A L, M, α exat, i cm, c. a recta P ex pu inum datum P ducta segmenta PK, L, Μ, εα et ri, Pl Pm, M.

δα atque hanc summam manere semper eandem

manente pumno Pin recta PE positione data. Supponamus enim rectas ABC, Me motibus sibi parallelis deserti, ita ut earum occursus P progrediatur in recta PE positione dati; cumque si semper AP, Dκ Ρ, M. ad ah, π, in in ratione constanti per Art. 5. repraesente A fluxionem ipsius AP, B f ,-xionem recta BP QCP, P, c. uriones rect rum CP, Eri . respectivas, ut vitetur inutilis sm

397쪽

Haec ita se habent quoties puncta Κ, Μ, &c et i , , ,raec sunt olivit ad easdem partes puncti adeoque fluxiones rectarum AP, P, P, M. in brii in δα omnes fusdem signi Si vero, Mi m nentibus puncta quaevisi et m cadant ad contrarias partes puncti ri tum crescentibus eliquis ordinatis Ari M. neces. io minuuntur ordinaue P, P, earuntque fluxiones pros initiis seu negativis habemhi

λ d. V generaliter in summis hisce

colligendis, ter mi iisdem vel contriti iis signis assici endi sunt, prout segmenta cadunt ad eisdem vel in COIItraria parte Puncli dati P.

scio. Si recta PDoccurrat curat in tot punctis D, I, dcc quot ipsa est dimensionum, uirima 44 pia in c. quam constantem seu invariatain manere ostendimus, aequalis erit summe seu aggregatos l c. i. e. summa reciprocarum segmentis re positione datae puncto dato curva terminatis in qu , si segmentum quodvis si ad alteras partes puncti P hujus reciproca ibducend est.

398쪽

--METATIU OENERALiausi agi 641. Si figura sit seictio contea, cui recta P nul ris Llibi occurrat, inveniatur punctum but in Art. . ungatur L illa ducatur ad rectos angulosis rectam

PE secans in Peritque PA, B ad bP in ratione constanti, adeoque per

ad LP ut AP ad Κ, P ad Erut BP ad L,

yta similiter si remari cistrat lineae tertii or rivo.dinis in unico puncto D inveniatur punctum ut in Art. 6 recta biperpendicularis in Junctam ι'occurrat

ra Si autem P perpendicularis sit in rectam Eri evanescet DI 3. Asymptoti linearum geonae tricarum e data Fig. iv. plaga crurum inlinitorum per hanc propolitioliem determinantui eae enim Considerari possunt tanquam tangentes cruris in infinitum produisti. Recta Masymptoto parallela curvae occurrat iniuriistis A, B, &c reeta autem E curvam secet in D, E, L Suti sumatur in bac

recti P ita ut sit aequalis excessit quo summas p superat summa Φpi sImptotos transibit per Μ, si vero

aequales Diuitias by Corale

399쪽

aequales sint hae summae erus curvae parabolicum exit, asymptoto abeunis in uilinitum. DI . Ad curvaturam linearum geometricarum unico Fig. II theoremate generali desiliendam, sit DR circulus cui

cc ruri Ut recta PR in, recta PQui re N; sice tangens C rectam BD in M, atque manente recta DR suppouambri ectam FGN deserti motu sibi se per parallelo domo- coincidant imi vquaeratur ultimus valuidisse'ntiae pii In recta PΝ sumatur punctim si dris coccurrat ρυ parallela ipsi PN, parallela recta circulum contingeriti

est valor ultimus differentiae si Din C sint

ntraque eam secet in tot ove lis D, c., D, A, B, G H. ismum abscindant tangentes

400쪽

scriptu rectam D con ingens erit circulus ficulatoritie,

μου ejusdem curvatur cum simo geometrico proto a ad 'iatam D. ostendimus enim in Art. Io. Fig. generaliter

ma reciprocarum segmentis puncto Di cum a terminatis superat summam reciprocarum segmentis eodem puncto de tangentibus AK, I, L,inc terminatis. Quoties autem excessus hi evaGit negativus, chorda UR laniens est ad altera parte pulicti D, sempeique adhibenda est regula operius descripta pro ligni termino rum d 'lcendis. Si recta DA bisecet angulum EDTDisjtiro b Corale