장음표시 사용
401쪽
recta DE tangentei contentum, theorema sit pauli simplicius. Hoc enim in casti D mma,
iterat quo determinatur variatio eurvaturae ves mensura
anoli contactus cumin circulo inulatorio content , inclinea quavis geos tetrica s,r Emittenda tamen est eo cario brevis variationis curvatura , eum haec rum satis dilucide apud auctores descripta sit. Linea quaevis cum tangente sectitur per curvaturam suam, cujus eadem est mensura ac angaei contactus curvat tangente comtenti & similiter cum a circulo ostulatorio inflectitur
per variationen curvaturae sitae, cujus variationis eadem est mensura ac anguli conlaetus curva circulo oscula- Fig. 13. torio comprehensi occurrat recta' tangenti DTperpendicularis curvae in E circuIo olhulatorio in G& variatio curvaturae erit ultimo utar lah tensa a nouliconia Rusa Dr si detur DT; cumque dato angulo contactus D sitra ultimo ut DT , ut ex Art. 369. tractatus de fluxioribus colligitur, generaliter curvaturae Ervariatio erit ultimo ut inimur rei, --rturam aliarum figurarum definiendam verum ad variationem curvaturae mensurandam, quae in circulo nulla est, adhibenda est parabola vel sectio aliqua conica. Q iemadmodum autem ex circulis numero indefinitis ui curvam datam in puncto dato contingere possunt, unicus dicitur osculatorius qui cui m adeo intime tam git ut nullus alius circulus inter huncin curvam duci possit, similiter omnium parabolarum quae eandem habent curvaturam cum sinea proposita adiun m datum
402쪽
PROPRIETATIBU GENERALisus, a s sunt mitem hae quoque umecto infinitae meandein
simul habet cumiturae variationem, quae, non solum arcum curva tangit Mosculat, sed adeo premit ut nullus alius arcus parabolicus duci possit inter eas reliquis omisnibus arcubus parabolicis transeuntihus vel extra vel intra utrasque. Qua vero ratione haec parabola determia
Nari possit, ex iis quae alibi fusius explicavimus facile intelligitur. Sit DE arcus curvae D tangens, ΕΚ recta tangenti perpendicularis, sitque rectangulum ET, TU semper aequale quadrato tangentis DT, curva SKF locus puncti qui rectae DS curvae normali occurrat in S, quemque tangat in Scie sta SV tangentem D secans in V. Recta DS erit diameter circuli osculatorii, di biseistam in s erit 1 centrum curvaturae ciuneta
autem K angulus SD constituatur aequalis angulo fumex altera parte rectae DS, rectam Ν circu ostulatorio occurrat in N; tum parabola diametro Aparametro DN descripta, quaeque rectam tar contin- git in D, ipsa erit cujus contactus cum linea proposita in D intimus erit atque maxime perfectus seu proximus. omnes autem parabolis alia quavis choriti circuli inimiatorii tanquam diametro parametro descriptae, cretaim Dd contingentes in D, e in Gel habent curvaturam cum latea proposita in puncto D in alitas cur- aturae a Newrono in opere posthum nuper edito explicata est potius variatio rami curvaturae est enim ut fluxio radii curvaturae applicata ad fluxionem curvari est si
denotet radium circuli osculatorii α arcum curvae) ut Ipia autem curvatura est inverse ut radius R.
Qvariatio curvaturae ut m quae est mensura an-
403쪽
386 DE LINEARUM GEOLIETRICARUM tuli e tactus curva circulo osculatorio contenti. Haruni autem una ex altera data iacit derivatur. Variatio mi curvaturae in curva Marisinest ut tan
gens angulimus vel DU in parabola' vis est
semper ut tangens anguli contenti diametro per pun contactus transeunte de recta ad curarum perpe diculari. . Haec ex theoremate sequenti generali deduci possunt. Fig. I7. Theor. III. Sit D punctum in linea tia Dis geometrica datum, occurrat D diameter circuli oscul tori teri ειe a curvi in tot punctis , A, B, se. quo ipsa es dimensonum ducatur D curvam contingens in D, quo curυam stere in ptinctis , Se binario paucioribus t occurrat tangentibus Κ, L. i. in Κ, , Ic eritque variatio curNaturae, Ilae mensura an gui contactus eum V irculo Oseulatoris comprehensi, L. recte ut excessus quo summa reciprocarum sementis tam gentis D puncto contactus μου tangentibus AD L, ter notis superat Amnum reciprocorum segmentis eodem uincto, curva timinatis, 2 inverse ut radius
Ducatur enim rectam curvam secans in &c. circulum inulatorium in xi sitque angulus mT quam
minimus hujus supplementum ad duos rectos bisecetur recta Diri, ria lineae geometrio: propositae occurrat in punctis D, b d α lucta talagentes, 4 l, C. secent rediami in punctis , , c. eritque per pro
404쪽
PROPRIETATIBU GENERAMBUs. 387- ὼ - vj -- c. Proinde coincidentibus rectus P MDK, seu ominente angulo DK, erit ultimo perpendicularis tangenti in T, atque occurrat circulo ostulatorio inis; cumque sit, ultimo ad M, re ad I . . re is
6 18. Variatio autem radii curitaturae, sive hujus qua lita a Newton delcripta, ex priori facillime colligitur: Iunctis enim SI, Κ, L,ine erit haec variatio radii osculatorii ut excessus quo summa tangentium angulorum DUS, DLS, e superat summam tangentium rigia lorum I S, Iec Crescit autem curvatura a puncto versus & minuitur radius Oseulatorius quoties arcus D tangit circulum ostulatorium D interire, vel cum
itur curvatura . versus augetur radius circuliostulatorii, quoties arcus cum tangit arcum circularem externe vel transit intra circulum tangentem, adeoque cum D sit ultimo minor quam D vel cum
, 9 Sumatur igitur in tangentem reditam ita
405쪽
F, constituatur angulus D aeqtialis Us, atqud occurrat rectam circulo osculatorio in paratabola diametro DN deliinspui, cujus parameter est DRquaeque rectam DT coiit uagit in D, eandem habebit variationem curvaturae cum linea geometrica proposua
in puncto D. Ex iisdem principiis alia quoque theoremata deducuntur, quibus variatio arvativae in lineis geometricis senoraliter'efinituri
Io. Ut ll:et theoremata ad formam magis geometricam reducatular, lemmata quaedam sunt prete mittenda, quibus doctrina de divisione rediarum harmonica am-
Fig. plior generalior reddatur. In re sta quavis I sum ptis a qu.ilthus Otrmentis DFI FG, ducantur a pundio quovis V quod noli est in recta DI tres rediar D UF,VG, de quaIta V ipsim parallela, atque hae quadam rectae, a Q. D. Harmonicales dicuntur stacta vero quaevis, quae quatuor harmonicalibus occurrit, ab iisdem harmonice secatur incurrat
recta DC harmonicalibus D, F, G WV in punctis , A, B, C erisque D adam ut AB ad BC. Ducatur enim per pulicitam A rectae 11- ipsi mi rallela, quar. o uirat rectis VI, 3 vG in με Ν, ob aequales DF, FG aequales errant A MAM Est autem A ad D ut Am sivi: AN ad C,
adeoque ut AB ad C. Manifestum est rectam, quae . uni harmonicalium pari llela est, dividi in aequalia seg- .menta a tribu Ieliquis occurrat recta H parallela
ipsis reliquis VG, VC, D in B, Κ, in eritque V ad B ut FG vel DF ad VF adeoque ut VK ad KH,in proinde ΒΚ, ΚΗ.6 i. Hinc sequitur, si recti quaevis a quatuor rectis ab eodem puncto ductis secetur hario ni illam quam-
406쪽
Vis r tam quae his quatuor rectis occurrit harmonice steri ab iisdena eam vero quae Drallesa est uni quatuor rectarum in segmenta sequalia dividi a tribus reliquis. Sit DA ad DC ut AB ad BC, jungantur A, B, VC,in D; occurrant rectae AIAN DFG ipsi Cparallelae rectis D, A, B in M, A N, i, F, G eritque A ad inuti ad DC, vel AB ad BC, adeoqii ut Amado C; MA, AN, QDFm FG, k, per praecedentem, recta tigilliis quae ipsis VD VA, B, C occurrit barmorum secabitur ab Laa. Εκ punicto D ducantur duae rectae DAC, Dae Fig. 6.rinas, δι C secantes in punctis A, C atque iuneti minis sibi mutuo occurrant in C et ductis V harmonice secabit rectam AC vel aliam quamvis rectam ex puncto D ad easdem rectam ductam. Seceterim Q Hlam AC in B, mictum inducatur recta Min parallela ipse DC,-- occurrat recti, Da, V A C in punctis , T MN, cumque se MR aes sit OA uim in Q ad N in inmsaiione, eris quoque m ad Qt uti ad DC. Sed RQ est ad Q ut AB ad BC. Quarem est ad DC
ut AB ad BC. Haec est Prop. om , Lib. I. sectionum COIucarum l. T. Ia Hire.
, a. siti ad D ut AB ad BC, eritque si aequalis summae vel differentiae ipsisum Acia
prout puncta Aar C sunt ad easdem vel contrarias partes puncti D. Sint imprimis pundia Ain C ad ealdeni partes puncti , cumque sit DA, BC, DC, AB, i. e. DA, DC 19 DC, DB - A, vel DA GIl1-DC
407쪽
ad easdem partes puncti D. Si igitur, datis puncto D rectis V WV positione, ducatur ex puncto se octa quaevis illis occurrens in punctis A WC, in
eadem recta sumatur sempera Baia ut δε α -
vel contrariis signis assiciendos esse prout puncta A sunt ad easdem vel contrarias partes mini D, erit locus punctim ipsa harmonicatis V quae rectam DFG rectae C parallelam secat in inita FG quasque transit per punebim in ubi ducta me quae ilia dem rectis Fin C occurrat in leti unctis Aeet vi se mutuo decessent.
Uit. r. sumatur semper D ita ut: - ducatur D paralles rectae quae rectae r euriat in F,4 DII parallela re IF quae rectae V occurrat in 'in duri diagonalis ΗF
erit locus puncti x nam ex hypothesi in, DB, D, adeoque eum G sit locus punctii erit puncium Lad rerum tiri si uneta Q sint ad eassem
408쪽
PROPRI 2 τisus GENERALinus. Miossiem partes punctim si autem supponatur α
nando pune o b, si substituatur loco rectae Calia verectae C parallela ad aequalem distantiam a pum D sta igi contrarias partes ictos. Ex puncto dato D ducatur recta quaeris Dalquae tribus reius positione datis occurrat in punctis
quoties rectae DA, DC vel DE sunt ad contrarias partes
ad rectam poliuini datam per Praecedentem adeoque
sitione datam, per eandem. Compositio autem problematis facile ex dictis perficitur. Sint A, Caetres rectae politione datae & compleatur parallelogram-
mum DF Η, ducendo DF ωDΗ reetis Cin Frespective parallelas, occurrat rem diagonali in xii deinde compleatur parallelogrammum Dob ducendo rectas in dei rectis ora parallelas quae rectis ΗΕ occurrant in punctis f&h; ὁ diag milis Verit locus piincti M. Occurrat enim recta DA rectis ΗF' fini&M. eritque, ex praecedentibus, Minio ex Artiria deducitur.
409쪽
hae recta sumatur semper is Ex AF se
M, c. eritque locus punctim si mper ad rςctani positione datam. Demonstratur ad modum praee recta PD in occurrat linein geometricae cujuscunque om
Ducatur enim e polo 'recta quaevis positione data PA, quae eurvae occurrat in tot punictis A, B, C, 3ec. quo ipsa est dimensionum. Ducantur rectae ΑΚ, BL, C curvam in his punctis contingentes, quae Oecurrant
Hime PD in totidem pulvstis LG, , M. et per
Uno aequalis est huic summae, cum- suo positione detur recta A, maneant rectae A BL CR dum eo: P circa muni P revolvi tur, erit punctum M ad lineam rectam, per articulum praecedentem, quae per disperius ostens ex datis tam sensibus AK BL M. determinari potest. 648. Sicut recta P medium in harmonicunt inier
410쪽
PROPRIETATIBU - LALIBUS. 393 aniliter m dicatur 1-ium harmonlatini inter rectas quasilbe PD, E, PI, M. quarum numinis est
dato P recta quaeris dum lineam geometricam seret in tot punctis quot ipsa est limensionum, in qua simatur semper O medium harmonicum inter segmenta omnia dii, ad punctum datum P de curarum terminata, erit
punctum m ad rerum lineam. Dic mu ψω h
adeoque ad vi ut ad unitatem ; cumque punctum M sit ad rectam lineam, per praecedentem, erit, quoque ad rectam lineam. Atque hoc est illeorema Caesi, vel ei dem assine. 6 29. inta, si , εα radices aequas is ordinis ' V ultimus nus terminus quem ordinata seu radix γnon ingreditur, rico Mens termini penultimi, W-dium harmonicum inter omnes radices seu ri
radicibus omnibus . ibo in c. in se mutuo duehis, si que 'summa factorum cum radices Omnes una demPta
- M., si adeoque - sie si aequatio sit quadratica, cujus radices duae sint a et Merit
Μ assumpta aequatione generali sectionum
conicarum Art. I. proposita zz aequiuom cubica cuius tres radices sunt erit