장음표시 사용
721쪽
D Atio parallelepipedorum ex R in X, M S in Y, ad parallclepipeda ex Tin ZV in &, caden cst . cum ratione parallelepipedi ex R in X ad T in Z,5 R in X ad V in &, ulterius ex ratione parallelepipedi ex S in Y ad parallelepipeda ex T in Z, & U in &, per propolitione monauam huius libri. Simili modoratio parallelepipedorum ex ductu I in N,& K in , ad parallelepipeda ex ductu plani L in P,& M in Q . est eadem ii eum ratione parallelepipedi ex in N, ad parallelepipeda ex L in P, 6e M in c, si iiiiii cum ratione parallelepipedi ex K ino, ad L in P, Ac M in Denique ratio parullesepipedorum ex diictu A in Ii, B in F ad parallelepipeda ex ductu C iti G , de D m H, est eadem cum ratione parallelepipedi ex ductu Α in E ad parallelepipeda ex C. in G, dc D in Η , si in ulcum ratione parallelepipedi ex B in F, ad parallelepipeda quς fiunt ex ductu C in G deIa in H. Sed ratio parallelepipedi ex R in X, ad T in Z, toties continet rationem parallelepipedi ex I in N, ad L in P, quoties haec continet rationem parallelepipedi ex A in Ε, ad C in G, quod eodem prorsus modo ostenditiir quo illud in quadratu- .ra circuli propositionibus 37. de 38.& harum Corollario ostensum fuit: sunt enim omnia ad hoc praestandum iii hac etiam quadratura praemissa. Simili modo ratio parallelepipedi ex Rin X ad parallelepipeduex v ita de totius continet ratione parallelepipedi ex I in Mad M in inquoties haec continet rationem parallelepipedi ex A in Ε, ad D in P . Atque eodem modo de ratione parallelepipedi ex ductit S in Y ad T in Z,& S in Y ad V inoc, ostenditur, quod toties contineat rationem parallelepipe di ex K in O ad Lin P, At Κ in O ad Min , quoties haec eadem continui ratio
nem parallelepipedi, quod fit ex ductu B in F, ad C in G, ω B in F , ad id quod
resiliat ex ductu D in H. Igitur patet quoi ratio duorum parallelepipedorum ex R in X, & S in Y, ad duo parallelepipeda ex T in Z, dc V in Et, toties contineant rationem parallelepipedorum quae oriuntur ex ductu I in N, de K in O ad paralis elepipeda quae fiunt ex ductu L in P, ω M in Q , quoties haec ipsa ratio continetrationem parallelepipedorum quae gignuntur ex ductu plani Alii E,N B in F, ad
parallelepipeda , quae fiunt ex ductu C in G, & Din H. Quod fuit demonstrandum. oron m. Quae dicta sunt praecedenti propositione de quatuor parallelepipedis ex planis A B C D in plana EF G H ductis, de reliquis: etiam sunt intelligenda de quavis
sabdiuisione rectangulorum eorundem per parallelas in partes aequales ad formanda parallelepipeda prout in propositione requisita fuerunt; de quibus semper fiet eadem illatio &consequentia,quae facta iam est,cum demonstrationis discursus sit uniuersalis, erusdemque fundamenta semper occurrant iteranda. quare cum illae subdiuisiones nihil noui inferendum adducant ab eo, quod iam demonstratum fuit, sed meram eorum repetitionem quae praemissa sunt, molestam intelligentibus contineant, hinc propositionem praecedentem de quacunque sithdiuisione demonstratam libere assumemus.
ΡROPOSITIO CXLIII. Iisdem manentibus:
Dico rationem solidi quod oritur ex ductu concauae parabolae RS in parabolam concauam X Y ad solidum ex di ictu concaui parabolici TV in parabolicum Z &, toties continere rationem solidi, quod fit ex ductu trapezij IK in N O ad corpus ex ductu trapezij LM in P Q quoties haec ipsa continet rationem solidi ex ductu parabolet conuexae AB in E F parabolam ad corpus ortum ex ductu parabolae conuexς C D in G H.
722쪽
Emonstratum est praecedenti propositione eius ii Corollario, quod ratio me die. Utatis figurarum inscriptarum tertio schemati ad alteram medietatem figurarum inscriptarum, toties contineat rationem medietatis figurarum secundo schemati inscrip tarum ad alteram suam medietatem, quoties haec ipsa rati continer ratione medietatis figurarum primo schemati inscripta tum ad suam residuam medietatem 1 6c
quia hoc ipsum semper fieri potest gitur per propositionem uniuersale libri deduini plani in planum, quadragesimam scilicet sextam,etiam ratio sblidi eXR S paraboli co in X Y paraboli elim,ad solidum ex parabolico concavo T V in ZM, toties continet rationem solidi ex trapeZio IK in No trapeetium quoti es haec eadem ratio continebit rationem solidi ex ductu paraboliei conuexi AB in EF, ad solidum ex duetup rabolici CD in convexum parabolicum G H. Quod fuit demonstrandum.
723쪽
REsumatur figura similis illi quam propositione i yy huius exposui
mus N inter Α C, A B ponantur mediae proportionales AD iuxta i norem propositionis i 3 i. huius libri, erit parabola D D. Dico figuram parabolicam A D ductam in se, aequari figurae A B, du- 'ctae in A C. Demonstratio. 'Cum enim ex hypothesi A B, A D , A C sint in continua, ergo ut patet ex pro- positione vitiuersali quadragesima quinta libri de ductu plani in planum, quantitas ΑD in se ducta lidum producer, quod aequetur magnitudini selidae. quae Conficitur ex duarum supelficierum BA dc AC mutuo inter te ductu.Quod erat demonstrandum. ' iora aris . porro corpus ortum ex ductu figurae paraboIicae BA in figuram parabolicam AC ad parallelepipedum reductum esse patet, cum iidui quod nascitur ex ductu parabolae AD in se, quodque corpori isti in propositione ostensiim est aequale i ad parallelepipediim reduxerimus. Nam D A in s e ductum est inuolucrum solidi quod remanet ex cylindro parabolico post ablatam ungulam, est autem de cylindrus paraboliausa M ungula b cubata. ergo Sc solidum illud residuam cubatum est. Quare cum a ri. a. illud solidum te siduum cum suo inuolucro confietat prasina rectilineum, ipium quo e Metque inuoluerum erit cubatum. sed DΑ in se ductum est inuoluerum illius residui. Eiso D A ductum in se est cubarum. Quae vero de rotis illis stiperficiebus in se vel in te mutuo ductis demonstrata simi , eadem etiam non dissimili ratione de illatum partibus a parallelis lineis DB AC, C ABD interceptis, demonstrantur.
PROPOSITIO CXLV. REsumptia hypothesi priori in scemate constituantur AB, CD, EF ad μή-ν
angulos rectos ad communem axem G H, occurrentes sectionibus
parabolicis in i,M,Vι O, Υι B, D, Fι dc hyperbolae in γ, δ, λι& subtensis PT, R X, in P, Q,T; R, S, X. Dico rationem solidi, quod orstur ex duehu IKLM, in ΚLONaAsoliduexductu superficiei ML HV in superficiem Lo YH notam esse insuper notam esse rationem solidi ex ductu plani Κ PQ Lin ΚRS L id solidum productum ex ductu LQTH in planum LSXH. Demonstratio.
Stensam est e cui paralleIepipedo aequetur corpus eat ductu mutuo planorum e e IKLM in KLON, quemadmodum etiam de corpore ex ductu ML Hsuperfietem Lo YH. Insia per ostensum est a cui parallelepipedo aequetur Eladum ara .ia
explanis K PQ L & KRS L in se mutuo ductis, de eodem modo qψ- - - - Iidum ex saperficiebus L TH N L XH ipter se dui is. Quace,ciari a si ratio par ilelepipedorum inter se,oota qusque erit ratio eo raui de sisus agit
724쪽
Pidem positis: A Dico rationem solidi ex ductu plani AKLC in planum ΚBDL,d solidom ex ductu CL HE in planum L DFH, notam habere ratio
725쪽
Ο Stensium est notam efferatione solidi quod oritur ex ductu I KLM in KL O N . i. i. s. ad solidum ex ductu superficiei ML HU in superficiem Lo YH. Simili mo- do demonstratum est,t notam esse rationem solidi ex ductu plani K P in KR SL ad solidum productum ex ductu Linr H in planum LS X H. Demonstratum vero est,c rationem corporis orti ex ductu KIM L in KNUL ad corpus productum ex ductu plani ML HV in planum LOYH, toties continere rationem corporis orti ex ductu plani K PQ L in KR S L ad solidum, quod sit ex ductu Q. L H T in planum L S X H, q uoties haec ipsa ratio continet rationem solidi,quod oritur ex ductu plani Α Κ LC in planum Κ B D L ad corpus factu ex ductu superficiei C L H Ein superficiem L DFH. Quocirca cum nota sint rationes, quae sunt inter duo pri. ma corpora,& duo secunda, ctiam nota erit ratio, quae est inter duo tertia .Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXLVII. ΙΙsdem manentibus: fiant rectangulis Α ΚΒ, C L D, E HR &c. aequalia rectangula &c. erit quidem hyperbola per
Corollarium pro p. 29.huius. 'Dico insuper superficiem ad seperficiem notam habe e rationem.
Emonstratum est a corpori ex ductu plani AKLC in planum ΚΒ DL ad cor- 4,... . Mpu, otium ex ductu plani CL HE insuperficiem L DFH notam habere ratio ν-.neni sed etiam demonstratum est .corseri ex ductu AKL C in planum K B D L, aequale esse solidum ex basi hyperbolica KγδL, re altitudine vi K, Ze solidum ex hasi hyperboliea L, λ H,S: altitiadine η aequale esse solido ex ductu plani C L H Rin planum L DFH. Igitur etiam inter duo solida haec, quae bases habent hyperbo lios Κν, L, de L δλΗ,& communem altitudinem, ratio nota erit: ac proinde etiam inter ipsas bases erit nota ratio , cum haec corpora demonstrata. tae eam habete rationem, quam ipsae bases continent. Quod erat propositum.
PROPOSITIO CXLVIII. It hyp erbolae A C B axis A G, ex quo assumptis G D, D E aequali
bus inter se, & constitutis ordinatim B G, F D, E C ponantur B F, F C subtensae arcuum B F, F C. meo segmentum BF minus esse segmento FC.
726쪽
rax QUADRATURA HYPERBOLAE. Demoniatio.
at,.ιπωι. I aenim BC ponatur mus diameter HLΚε, quae diuidet bifariam tecta BC ' in puncto K in quo FD oecurrit E B. quare punctum L in quo diametet se e hyperbolam,est inter C ADF ordinatim positas ad axem H C, comprilis diam ter debeat oecurrere sectioni, quam ordinatim positis intra hyperbolam. Dumis igitur CL, LB, eranti segmenta CLkLB inter se aequalia, est autem L B segmentum maius segments P B , ergo etiam segmentum C L maius est segmento F Bino . proinde stamentum C P multo maius erit F B segmentα Quod Me demonstranta.
PRO Posi Tlo CXL IX. AOPoneat tandem hyperbols rectilineum aequale exhibere.
727쪽
SIt syperbole AC DB, cuius axis sit AB. D icamur ad axem ordinatim rectae C E, G F. D B, quae aequales axeos partes E P, F B intercipiam , quoniam vero nota est proportio segmenti C EFG ad segmentuin GFBD, sit ea O ad P. FcMιν prodii cantiit FG, EC, in K dc Q, ut CE, GF, snt ad KE, Q. F, ut O ad P. Tum per A , Κ, o describatur hyberbola, cuius axis sit A B: era agitii r ram h b m. ν-
perbole A F ad syperbolem A GF ve QF ad GF, hoc est ut P ad Ois: hy. ρο perbole AKE ad hyperbolem ACE, vi K E ad CE, hoc est, ut P ad O: Quare
etiam residutim segmentum K EF erit ad segmentum residitum C EFG, ut P, ad O , hoc est ut segmentum GP BD ad idem segmen eum CEP G. scgmenta igitur Κ EF Q, GUBD aequalia sunt. Ducantur deinde subtens e KQ, CG, G D. segmentum C Gmaius est e segmento GD,sed segmentum K Q deius coegimen o e s. h. CG, uti facile demonstrabitur ex I s. libri de hyperbola. Ergo mentum K Q -- inultis maius est segmento G D. Abscindatur igitur ex segmento maiori K in segmentum KR aequale segmento GD. erit ergo figura hyperbolica quae arcu ia R& subtensis R K, Q K continetur, excessus segmenti Κ Q supra segmentum G D. Iam vero quia segmenta Κ EF , GFBD ostendi esse aequalia, quo excessu segmentum K insuperat segmentum GD, eodein a trapezio GD BF superatur tra- Σium K FE. exhibeatur ille per elementa, sitque triangulum FXB Erit ergo , figura hyperbolica contenra arcu QR & rectis RΚ, QK aequalis triangulo XPB. ducatur demiam sithtensa Q. R, &rectangulo RK Q, auseratur extriangulo X FD pars aequalis, rectilineum residuum aequabitur residuo segmento hyperboli eo Q R. quod siliscit ad hyperbolae quadraturam.
728쪽
Abes, amice Leetor, conatiis nostros, qui si tibi arridcr,utere &fruere; sin minus, per me licet illis ut demas vel addas, prout ad Matheseos culturam opportunum iudicaris,quae vele abyssum latentiarum complectitur, quodn5 ignorauit, qui Deum Opta Max. omnia opera sua in pondere, numero oc mensura perfecisse diuino oraculo enuntiauit. Scaphulam concinnare tentaui, qua vasti Oceani noua littora legei em, Tu Argonauticam para, ut nostrae imbecillitata opem praestes, qua fretus alto te credas Pelago quod ex harum lucubrationum lectione tibi patere non inficiaberis. Comminisci debui noua quidem et menta, non ita tamen, quin ea communis Geometriae principijs sancirem vel Archimedeae doctrinae conformia efficerem. Meminoris rogo si quae minus placent, ea non ita explodere, ut posteris animos tollas aliquid a dendi, quod ad Geometriae nomencoferre eis videretur. Ordinem de Methodum rerum quas hic inuenies non ita exactam reperies, quam res pomstulat: sed rerum copia raro concinnitatem illam admittit, quam rerum digni tas exigit. Et secundet cogitationes maturae m agis sunt,quae ad incudem malὸ tornata reddere solent. Residuus liber fuit quem nisce adiungere decreueram,qui materiam prosequeretur ductaum planorum in plana sed in orbems, eum, si vita comes fuerit, in aliam occasione reseruamus omissae sunt quoque omnes speculationes quae alia via quam quae proportionali tates implicat, circuli de hyperbolae tetragonis mos exhibere possent,quarum accuratiorem tractatum in aliud quoque tempus disserimus, boni interim consule quae amicorum importunitas & Superiorum imperium publici juris fieri voluerunt. Cedant autem haec omnia
729쪽
Ad propositionem libri primi ponat arsequens constructio. D Ara sit ratio E ad F. & fiat rectangulum aliis quod GlΚ quod ad rectangulum L l Meandem habeat rationem cum ratione E ad F, hoeniscio ponatur ex I. tecta II, Orthogona ad G Mdiuidatut ΚG Miat tam in O eragatuique OT P-rallela I s. Deinde fiat ut rectaugulum LI G ad ruamatum I O. ita linea I P ad D s. ducta deinde T quae aequi dii et I G de bisecti L M ta v pomistat V X patallela P s. Denique fiat Wt linea IF ad PS , ita ieet inulum LIM ad quadratum aliud. Ponatuique ri huius qua diati medium inter I vvel 1X M tectam S R N ex P, per punctum, R ducatsi P R. Die o T Z lineam esse diuisam ut postulatui diuidi AR. Demonstratio huius pendet a Diabola vi ipta figura docet
omittendiis est per. 4 penule.
730쪽
BCH aequalis T. BCG aequalis H