장음표시 사용
701쪽
Nμ DRoportio quae est inter rationes corporum Mad R MX ad in. eadem est cum . Nioc. L proportione corporum L ad S, & Υ ad P. Praeterea proportio , quae est inter rationes corporum M ad R, & X ad χ, eadem est cum proportione, quae est inter rationes corporum K ad T,& Z ad O : praeterea proportio, quae est inter rati nes corporum Mad R, & X ad Q. eadem est cum proportione , quae est inter rationes corporum I ad U, & ω ad N. Atque ita proportio quae est inter rationes corporum Mad R, & X ad Q, comparata est cum omnibus alijs, eum quibus conferti potest, ita vilem per antecedentis locum obtineat. Vt igitur discutium prosequamur, assumemus proxime sequentes terminos, qui vicem antecedentis obtineant. Proportio itρque quς est inter rationes corporum L ad & Y ad P , eadem est cum proportione, quae est inter rationes corporum K ad YZe Z ad O .item eadem eum proportione quq est inter rationes corporum I ad v, & ω ad N. Denique ea dem eum proportione quά est inter rationes corporum M ad R ,&Xad : uti patet ex demonstratis prop.ro6.huitis. Atque ita contulimus proportionem, quae est in ter rationes corporum L ad S ,-Y ad P, cum reliquis proportionibus, dando illi semper locum antecedentis. Idem ergo in alijs praestemus. Rursiis proportio quae est inter rationes corporum K ad T,&Zado, eadem est eum proportione, quae est inter rationes corporum I ad V, de vi ad N. item eadem eum proportione, quae cit inter rationes M ad R, & X ad Qs & rursus eadem cum proportione, quae est inter rationes corporum Lad S, & Υ ad P. Tandem proportio quae est inter rationes corporum 1 ad V, ω ω ad N, eadem est cum proportione.quae est inter rationes corporum M ad R, α X ad in item eadem cum proportione, . . quae est inter rationes corporum L ad S, M Y ad P, & denique eadem cum pro portione, quae est tutet rationes corporum K ad Τ, & Z ad O. His ita conclusis infero exvi c Lemmaticae propositionis quod proportio quae est inter rationem aggregati corporu M, L, K, I, ad aggregatu corporu R,S,T,U,& ratio nem aggregati corporum X, Υ,Z, ω, ad aggregatum corporum Q, P,O,N, eadem sit eum pro potiione quae est in ter rationes partium iam enumeratarum quae antecede itum vices obtinebant; de rationes partium quae consequentium loFo ponebantur. Quia vero per eundem discursium circa quatuor alia aggregata quorum primum complectitur corpora Mλ,Lδ, Kγ,Iβ, iecundum corpora Ri. S M,T V , tertium Σο Ych, Z i, V; quartula cientque inu , P5Oν,Nμ, eodem modo argumentari possumus, licebit etiam inferre, quod proportio quae est inter rationem aggregati primi ad secundum aggregatum, ad rationem aggregati striis ad aggregatum quartum, fit eadem cum proportione quae est inter rationes partium aggregatorum quae antecedentes constituebant, de rationes partium aisregatorum quς conseqtientium sup- plebant vices. Quia vero demonstratum est 4 quod proportio quae est inter rationes eorporum M
702쪽
703쪽
ad R, & L ad S, ad proportionem quae est inter rationes corporum X ad QxL: Y ad P, vr proportio, quae est inter rationes corporum M λ ad Ri , 5 Lδ ad So , Est ad proportionem quae cit in tetratior es corporum X θ ad Q π, de ad. εP ξ tque ita consequenter de reliquis, & hoc quidem in omni subdiuisione diametrorum parabolae: infero per Corolli proportionis Lemmaticae supra citatae , quod proportio quae est inter rationem aggregati corporum M, L. K. I, ad aggregatum corporum R, S,T, , , Ic inter rationem aggregati corporum X. Y, Z, i, ad aggregatum corporum V, P, O,N, eadem sit cum proportione quae est inter rationes aggregati corporum M λ,- γ. I S ad aggregatum corporum Re, So , T κ, V11. de rationem aggregari corporum Xθ, Y ad aggregatum Coiporum
PROPOSITIO CXIV. M Anente eadem figura . .
Dico quod ratio corporis orti ex ductu parabolici segmenti EGζr in se ipsum, ad corpus quod exsurgit ex figura parabolicavi Fu in seducta, si ad rationem corporis orti ex figura parabolica H F D ducta in seipsam ad corpus quod resultat ex ductu figurae E G n A in seipsam, vi ratio corporis ex dii tu figurae EG 'in seducta subalterne,ad corpus Ortum ex .duehu figurae v HFω ductae in se subalternὸ , est ad rationem corporis nati ex ductu figurae H F D in se subalterne,ad corpus quod ex
surgi t ex figura E G Π d ueta in se subalterna. Demonseratio.
PRxeedenti demonstratione ostensum est, quod ratio inter omnia parallelepipega M, L, K, I, Sc omnia parallelepipeda R, S, T,U ad ration- inter corpora X. Y, Z, ω &corpora in P, O,N sit ut ratio inter corpora Μλ. L δ, Κ γ, Iis,& corpora Ri,So ,Τκ, Ust,est ad rationem crirporum X θ,Yς, Zψυωα ad corpora Qvis P ξ,O, , N c de hoc quidem in quavis inscriptione figurarum per subdiuisionem linearum L G, H F in infinitum intelligendum est, ex vi discursus in demonstratione positi. Cum igitur continuatis semper diuisionibus auferatur ii semper plus dimidio residui corporum illorum quibus parallesepipeda inscribuntur; ac propterea cem omnia corpora simul suinpta exhauriant corpora quibus inscribuntur, manifestum es, rationem plani parabolici EGEr in seducti, ad planum parabolicum OH Pir in seductum esse ad rationem plani parabolici H F. D in se dii hi, ad planum parabolicum H G u Δ ductum in se, ut ratio primorum corporum in se stabalternὸ ductor sm , est . ad rationem secundorum eorporum in se subaltern E ductorum, eum haec ipsa corpo ha sint, quibus ea parallelepipeda circumscripta fuerant aut inscripta. Haec porto eorpora, similiter atque in secunda & tertia quadratura praestitum a nobis est, adeospora cylindrica ipsis aequalia reducentur.Restat ut propositiones iam aliquot hic subiu1igam ex quibus manifestior ratio circuli ad rectilineum eruatur.
1N eirculo ABC constituantur ordinatim ad diametrum AC rectae BD, EF aequaliter semotae a centro P : sumpto deinde arcu G I com mensurabili cum B E ponintur ordinatim G H, IK aequales. Oporteat auteni L MN elli Om assignare , ad quam circulus ABC talem habeat rationem , quam GHKI circuli segmentum, ad ellipseos segmentum s inclusum parallelis B M & E O ; aequaliter a P centro communi distantibus.
704쪽
. PN: &deseribatur quaecurrisi ellipsis LMN; cuius axis maior sit L N. Dico factum quod re quiritur. Ductis enim P M, PO , & G P .P Iterit sector G PI ad situm circulum AB C, ut seactor ellipticus Μ Ρ o est sua ellipsim L M Ni ac proinde segmentum G HKI ad circulum ABC , ut segmentum D MOF ad ellipsim LMN. Quod fuerat requisitum.
PROPOSITIO CXVI. SIt A centrum circuli B CD & ellipseos
axem communem rectae CH, .l Κ, aequaliter a centro remotae, sitque sector AO Pcommensurabilis secto ii C Al. Dico si sit ut EG ad B D, ita N A ad M Α, & sector O A P ad circulum B N Deam rationem habeat, quam sector F A Lad ellipsim EMGi quod sectores FAL, O AI aequales inter se sint. - Demon ratio.
Sunt enim ς ellipsis & circulus inter se vetriangula maxima inscripta ME', NgA . semieirculo vel semiellipsi. Quare eum aequalia sint triangula illa his figuris inscripta ex eo quod circa communem angulum latera habeant per hypothesim reciproca, etiam figurae ipsae aequales erunt ac proinde etiam sectores FA L. O Α P qquales sunt,qui ad totas figuras eamdem sortiuntur rationem. Quod erat propositum.
PROPOSITIO CXVII. TIsdem positis si ellipsis transeat per puncta C &1 ineo quod sector F A L M F minor sit sectore C AIN G
705쪽
Qv ADRATURA CIRCULI. nos Demonstratio.
QVoniam EG. axis ellipseos ponitur maior diametro BD. igitur tecta tum EI Gad EAG rectanguIum maiorem habebit rationem quam rectangulum ΒΗ D ad B AD reactangulum; unde quadratum FH ad MA, quadratum maiorem habet rationem, quam quama tum FH ad N A quadratum. minor igitur est ΑM quam sit AN; unde de sectoe F MLΑs minor est sectore CAIN C. Quod luit demou.
IIsdem positis: Quod si ellipsi, si QR G,
circulo non occurrat, dc Λ Q, AR iungantur:
Dico sectorem Q Α R maiorem esse lectore C AI.
PRoducta AN in Τ , ducatur CT, T. erie agitur triangulum A QT aequale TCA triangulo, adeoque de QST aequale FSΑ triangulo. est autem triangulum AF S maius sectore FAV. Igitur etiam triangulum υ Τ maius est sectore eodem F A v. sed etiam triangulum S ΑΤ maius est sectore vΑN. Igitur tria gulum QAT maius est sectore PAN , 8e a fortiori totus sector Q AT Y maior sectore FAN. Quare, sector Q AR maior est sectore CAI: ostensum enim est dimidium unius,alterius dimidio esse maius.
Quoniam areus C NI commensurabilis est arcui ONP tinuenlarur mensura quae utrumque commensuret mensura autem de qua loquor non lineatis est sed superficies alicuius legmenti quod aliquoties iumptum adaequae segmentum arcus ei reularis & segmentum arcus elliptici, seeundum ea quae libro de ellipsi explicita sint) sitque illa segmentum arcus C V, producta deinde As in X, dividatur sector QAR per segm. tum Q X,erit enim Q mensura quae commensurabit segmentum, sectoris Q AR quoniam segmentum arcus VC commensurat FNI segmen tum,cumque nota sit ratio segmenti CV ad X segmentum, erit quoque notaratio segmenti CN ad segmentum Q T: est vero segmentum aΤ ostensum maius segmento CN: sit igitur sector CAV tertia pars verbi gratia sectorisCAN, ω fiat UZ aequalis CV, Ecducatur AZY. erunt igitur segmenta QY, YTmaiora quam sint segn enta C V, V Z, ZN, ablaris igitur tribus illis segesentis a sementis duobus RY Et ΥΤ remanebit adhuc aliqua pars convexa ipsius sectoris Q ΑΤ. Quod fuit demonstrandum. .
706쪽
Qv ADRATURA CIRCULI. PROPOSITIO CXX.
MAnentibus ih Hem. Ponatur figurae
H CNIK aequalis FMV XL, ut contineat ellipti eam superficiem QT Rut sit commune spatium Q FLR , s mento MFLX. Dico spatium Q MVXR esse conis
Ostensem enim est segnientum Q RInatus esse segmento circuli CNI vel M v Migitur si diuisast quantitas MuXm quatuor videlicet segmenta M Y V,V Z,ZX,aequalia& tollantur a quantitate elliptica verbi gratia Q Ο, ΟΥ,ΤP illis aequalia residuum erit PRconcauum. Quod fuit demonstrandum.
HAberi ABC circulus centrum Deommune cum ellipsi E F G , de B F, HI ponantur oldinatim ad axem E G, aequidistantes a centro D, sit autem vi K p IL, segmentum ellipseos ad segmentum circuli BMNH, ita BOPHcirculi segmentum ad segmentum elli
oporteat autem quatuor assignare quantitates proportionales inter se, qu rum tres sint conuexae, quatia veTO co
' se ructis in demonstratio. Quonia ex praeeed. propos t. ellipsis EFG,
vel contrahi vel diduci potest ea ratione,ut segmentum FI maius esse possit vel minus segmento areus cireuli BHisupponatiir segmen
tam eIIipti eum P ΚLI minus esse segmento circulari ΜBHN, unde super tecta Mes inseribatur segmentum Μ STN aequaIe segmento KFI L. Fiet itaque parsalia SBRT residua, qua differat segmentum B MN H a segmento inclusio. similiter idem fiat de segmento circulari B OP H, quod etiam segmeto elliptico QFIR inscribi poterit, eum ponamur proportionalia esse segmenta KFIL, B MN H segmentis BOPH, QFIR supponaturque ΚF IL, minus segmento MBNH. se ergo excessus figura v XI F.erit igitur ut M S TN ad residuum S B HT, ita Q.VARadtesduum v FIX. Ostensum vero est SBHT esse e cauum M v FIX conuexum. Igitur MSTN est ad MBHN, ut X R est ad . FIR ε 3c diuide do M STN est ad SBHT, ut Q VXR, est ad up IX. igitur permutando SMNae convexum est ad convexum QvXR, sicile est concauum BSΤ H ad
707쪽
eo ςxum v FIX. Igitur quatuor quantitates exhibuimus proportionales, inter quas tres conuexae sunt & quarta concaua.Quod fuerat imperatum. Eamum. censepprocedendum;cumri posi-
Onstitutae sint duae parabolae ABC, D NE ad eundem axem A D, quarum vertices sint A N D: ductaque C Κ qu aequi distet A D,ponatur A C, DO quae inter te sint
parallelae. Denique sint ordina- . tim ad axem AD collocat et re
ctae ΚI, quae sint diametri parabolarum A GC, DR Q. Dico I S, IM, lΚ de similiter i R, io, lΚ esse proporti
nates lineas. Demonstratio. INuenies illam libro de parabola
Iisdem postis: . a Dico IM, lia I Κ & IO, IN, IK esse continuo proportionales li
. onstratio. J F. illam libro de parabola propositione 42.
Dido rectangula SI R, MI Ο, ΚΙΚ esse proportionata.
708쪽
Vm sint proportionales quan- titates IR , IO, IK Se a Si IM, I Κ . igitur rectangula en illi resultantia erunt proportiona Ita per propositionem I 8.libri de Pr trestionibus.
PROPOSITIO CXXV. Iisdem manentibus r
ABC sint parallelae 'posita: B D, F E.. Dei de rectae GH a quidia stantes Α B. Fiant au tem rectangulis IH Kaequalia rectangula GH L. Di eo BL L esse ad eandem parabolam. Dinonstratio. FIant rectangulis IKHaequalia rectangula GHM: & quadratis Κ Η aequalia rectangula GΗM L. Erunt puncta B L,L ad parabolam sed haec puncta
L,L, sunt eadem cuin punctis L. L, in hypotheti determinatis et Nam quia re. ctangula I RH, cum quadratis Κ Η aequantur Leeangulis GHΜ cum re
709쪽
stangulis G H, M L, etiam per 1.2.elem. rectanguIa IH K aequalia erunt rectangulis GH L. Pater ergo propositum.
pROPOSITIO CXXV M. IIsdem positis: sine quadrata HN rectangulis GH Latii ualia. Dico BN N esse ad eandem hyperbolam cuius diameter erit BC.Demonstrati
O Stensum est quod lineae quae sunt mediae imer lineas IH & ΗΚ, terminentur in hyperbola quae habet BC diametrum , rectangulis autem GHL aequalia 'b. sunt rectangilla IH K ex hypothesi, ut videre est praecedenti propositione. Igitur e iam IIN, lineae quae mediae sunt inter latera rectanguli GH L erunt ad hyperbo. lam cuius diameter BC. Quod fuit demonstrandum.
PROPOsITIO CXXVIII. Iisdem maiientibus r
Dico quadratum G H rectangulum GH N&rectangulum G Hia esse proportionales quantitates. Demonstratio.
HRoportionales enim sumpet hypothesim praecedentis lineς GH, NH, i e I. H. Igitur etiam b proportionales sunt quantitates, quadratum GH, rectangulum Araisia GH N ec GHL rectangulum.
Coniungantur hypotheses iret Ietyn, tr . Dico rectangulo OH P aequale esse rectangulum GH M. Demonstratio.
QVadratum GH, rectantulum ΟΗΡ, 8erectangulum I ΗΚ sunt e proportio- . . nalia, item proportionalia sunt 4 quadratum G H, rectangulum G H N, re-- '
710쪽
YTIne patet si OH P rectangulis aequalia fiant rectangula GEN, puncta Nesse λAad hyperbolam.
aequari m agnitudini solidae quae fit ex parabolis parallelis O H, P H in se inuicem ductis. Demonstratio.
CVm enim per praeeedentem rectangulunt OH P aequetur semper rectanguIsGΗN: ergo perquadragesimam quintam libri de ductu plani in planum, se micylindrus hyperbolicus qui producitur ex semihyperbola NH in altitudinem G aequalis est corpori, quod fit ex parabola OH in parabolam sibi parallelam H P. Quod erat demonstrandum.
Sint denuo parabolae AB DER, quas contingat AD, in utriusque vertice: positis, A C, D R quae inter se aequi distent de descripti hyperbola D N N, cuius lN Oxdinatim nositae ad axem D H,possint rectam gula Mi Ri fiant quadratis N I aequalia ΚΙΟ recta, gula.. Diuo D Oo esse parabolam.