장음표시 사용
711쪽
Qv ADRA TvRA HYPERBOLAE. Demonstratio.
Ixost DRopofitione Irs. demonstratum est, quod si fiant rectangulis MIR aequalia e-λ ctangula KIO, quod DOG, sit parabola. sed quadrata NI aequantur ex hypothesi rectangulis MI R. ergo etiam si quadratis NI fiant tectangula ΚIO aequalia, erit D OG parabola. Quod erat demonstrandum.
Dico auadrDico quadrato Io aequari rectangulum QI L. Demonstratio.
Quadratiim ΚΙ, rectangulum MIR, rectanguluLI unt proportionalia; sed rectangulo MIR ex hypothesi praecedentis aequale eit quadratum NI. hoc est ex hypothesi praecedentis rectangulum ΚIO. Tria igitur haec , quadratum K I,
rectangulum Κio , de rectangulum LI Q proportionalia si me. Sed quoniam rectangulo K Io aequale est quadratum NI, etiam quadrata KI, NI, I O sunt proportionalia. Quare cum in duabus his seriebus terminus primus sit commiinis,de me dius,insuper terminus rectangulum KIO, aequatis fit medio, nempe quadrato NI. etiam tertius tertio par erit, hoc est rectangulum KIO quadrato OI. Quod erat demonstrandum.
712쪽
T Imsese rans misi Vestombobratio inter proprietates circuli1. hvertiti, quam ut eamsuppressam voluerim, autsilentisprat ritam quidquidenim ad circuli quia turam necessariumsuis uomne in hue oti ad tuMisaada si flebe era ut Haempror in chmraneribus eadems di currendmethodo utramque abfioluerem sis, m do onantur debita ratione, qua requiruntur ad Assursum formam
713쪽
dum.Ponantur enim duo cybndra quomm aeter basio inciri insi at, sicilicet ylindrus ex altitudine δε D seu LI ,.bas icireuiara PI, aster autem basi Amihyperbolica I P, altitudine. ΚΙ, juos oporteat admagnitudines Abdis reducere qua vel parallelepipedassint quel cubi
Primus labor in circulari cylindro fuit eum reducere ad abud corpus, aquale quidem=dquodnihilcircularecontineret, sic eνιtprima industria pus ut id praestemiude Olindro hyperbolico. Ostensium itaque 'est sta infigura, constructioisequadratura primae circuli cylindrum basi circulari P Isaltuudine ΚI, aquari corpori quod fit ex parabolis Ll,
IN subalterne consitutis in se ducto. Ita quoque demonstrauimus posita propositionum iam in hac quadraturipraemiliarum csnstructione Ulindrum ex basi hyperbolica I P, es altitudine ΚI aqualem esse magnitudini senim quasit ex parabolis parasse sis Ll,l N instinuicem duci se nam in hac figura parabola D N N refert parabolum B P P infigurάρω- positionis iso.huim hyperbola veia D P P d gnat hv rbolam B N Nm figura praedicta, neque enim in alia diuersitas huiu gura abea, qua Fumuspropositiomer 3 o. huius, quam quod unaparabolarum D N. eum .se oti D P P, adabampartem translatasti, Secundo uti incirculi quadratura demonstratu fuit Κ I, L I, Muem TI,N I,O I,proportionales esset, itaqgoque in hac ostensum est, .si: ' in eadem litteraalphabeti assumantur. Deindescut in quadratura circuli ostensemest KI,MI,GI, STI,OI, RI proportionales esse 1, ita qu . que i in hyperisti. Vlterius uti ostensium es s in quadratura circuli ΚΙ, : ', PI, VI esseproportionales, ita quoque in hue oti K I,P I, ' VI com
tinuanteandem rationem. Atque hac omnia ex demonstrati cognoscere
poteris. Praeterea sicuti in circulii quadratura ostensium ect, quadraium I V siue quantitatem IV in Aductamquari magnitudini, quot exta piani G I in planum I R, ita quoque demonstrabimus, hyper--3 s Lia idconuenis Micet V Isuperficiem parabolisam in seductam,aqua lesbsidum exhibere cum magnitudine, qua oritur reductu ver eiG Iin stuper rim i R. Imo vero qua adhuc siquentur, si bbuerit nonnihil resectere, perfectissime etiam Jmbolilare cognses fecundum omnia,
quanecessaria requiraturailreductionem cylindri hyperbolici ad cubum me parasielepipedum. quod hoc loco indicandum volui, ut occasionem Lectori aberem curiosius ea quasiquentur cum demonstrationibus cim tiras Inndri conferend. mirasiliter enim rectere nata est usique ad omniuersiasis omnia tio. transeatus igitur est cylindrin lyperbolicus
habens basim si h perbolam I P, saltitudinem KIώρMum,quia
nassiturex duabin parabolis L I, I N instinuicem ductis, sicut etiam de eulindro circulari factum est. p equemur itaque reliquas proprietates
714쪽
PMquadraturae incub aptauimm ut ex iis ipsem hyperbo iam, tangulum reducamin aut quadratum. PRO
715쪽
Construantur duo scemata, unum quod circulari cylindro subseruiat, alterum, quod cylindro hyperbolico. Constructio verὁ utriusque hoc pacto fiat. in uno duae . equales parabolae constituantur subalterne positς ad communem axem, in altero vero loco parabolarum subalteriae positarum fiant parabolae parallelae inter se sicut libro de parabola dictum est. sintq; illae parabolae in utroque scemate A B C, D E F , quarum axis communis sit A D. Deinde axibus aequi distantes ponantur CG, Hl,qua: ab axibus distent aequali interuallo. fiant praeterea G I, KH ordinatim ad adiem AD & ducantur A C, D T constituentes aequale angulos cum axe Α D. Denique construantur parabolae DNS, ALC quarum vertices sint Α&D, & contingant axem in ij idem punctis. Dico rectangula L MN, O M., KM H esse in continua proportione
Stensiim enim LM,OM, ΚΜ, item MN, M P, Mu esse proportionales li- neas. Igitur per demonstrata libro de progreisoni biis propositione 33. etiam rectangula L MN, OMP,ΚM H proportionalia sim t.
ΙΙsdem manentibus: Dico rectangula O M P, B M Q, Κ M H esse priportionalia. Demonstratio.
DEmonstrauimus propositione 29. de quadratura circuli hanc ipsam propositio nemised praecedentibus quoque immediatis ostensum est lineas OM,B M,Κ Μ, brii. h.-M M P, M Q, M Η proportionales esse in scemate hyperbolico.Igitur per ea quae li hro de progrestionibus sunt demonstrata etiam rectangu Ia Proportionalia su nr.
PROPOSITIO CXXXV. Iisdem denuo manentibus: Dico parallelepipeda quae super basibus rectangulis L M, RS, O M,
RT & KM, RI construuntur habentia communem altitudinem MR, esse inter se proportionalia, uti etiam sunt parallelepipeda, super rectangulis o M, RT; BM, RE,&ΚM, RI. sub eadem altitudine rectae M R. Demonstratio.QVoniam demonstratum iam 4 est L M, OM, KM,&rectas R S ,RT, RI pro-dpis m. portionales elle.lgitur etiam rectangula proportionalia sunt quae constriauntur i. . ex L M, in RS, O M in RT & ΚM, in RI. sunt autem parallelepipeda commuia nem habentia altitudinem inter se ut bases. qu re cum bases perhibeantur propor tionales. etiam parallelepipeda proportionalia sunt, quorum illae bases sunt. Eodem modo ostenditur parallelepipeda habentia bases rectangula O M,R T, B M. R E, MKM RI & communem altitu linem MR proportionalia esse, constat itaque veritas propositionis.
716쪽
M QUADRATURA HYPER AOLAE. PRO Posi TIO CXYXVI. Iisdem permanentibus: Dico rectangulum LMN ad VRS rectangulum duplicitam Liabere rationem eius quam habet rectangulu Ο M P ad rectangulu X R T. Diuiti eo by Cooste
717쪽
Qv ADRATUR A HYPERBOLAE. niue Demonstratio.
O Stensium est supra tam rectangula L MN , OLP , XM H quim rectangula . in . URS, XRT, GRI eandem conrenuate ratis en . quare cum extrema recta vis με- la ΚMH, GRI sint aequalia, e tratio rectanguli LMN M URS, rectar tum duplicata brationis, quam habet rectansulunt OMP ad XRT rectangulum. b ν -- Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXXXVII. ΙIsdem manentibus:
Dico rectangulum O M P ad XRT, duplicatam rationem habere eius quam habet rei tangulum B M Q ad Y R E. Demonstratio.
Ostensium este tam rectangula OM P, B M in x MII, quam rectangula X R T, YRE AE GRI in eadem esse proportione. quare cum re istangula postrema K MEI, GRI inter se sint aequalia, erit dratio rectanguli ΟΜ P ad XRT, rectangulum duplicata rationis rectanguli BM Q. ad ΥR E rectangulum.
Di eo tectangulum L M N ad rectangulum VRS quadruplicatam eius continere rationem, quam habet rectangulum B M Q ad Y R grectangulum. Demon tratio.
REctangulum LMN ad URS rectangulum, duplicatam e habet eius rationem, equam habet rectangulum o M P ad XRT rectangulum. sed ΟΜ P rectangu Ium ad rectangulum X R T habet s duplicatam eius quam rectangulum B M a ad YRE rectangulum. ergo LMN rectang*um ad URS quadruplicatam habet isti eius rationem quam rectangulum B M ad YRE. Quod fuit demonstrandum.
Dico rationem rectanguli L M N ad rectangulum V RS , toties continere per multiplicationem rationem rectanguli O M P ad X RT tectangulum, quoties haec eadem ratio o M P ad X R T continet per multiplicationem rationem rectanguli B M Q ad Y R E. Demonstratio.
EX praecedentibus est manifesta: nam offensum est ρ rationem rectanguli L MN ad URS duplicatam esse eius, quam habet rectangulum OMΡ ad XRT, ac pro . -. in te prior ratio secudam bis continet per multiplicatione. Similiter est demonstratui, rectangulum OMP ad XR T, duplicatam habete rationem eius quam rectan. ira 37.-gulum B M ad YRE rectangulum occonsequenter bis continet per multiplicationem prior ratio secundam. Quare patet rationem rectanguli LM N ad VRS, . toties continere per multiplicationem rationem rectanguli. O M P ad X R T, quoties haec continet rationem rectauguli B M ad YRE rectanguluin.
718쪽
Qv ADRATURA HYPERBOLAE. PRO Pos ITIO CXL. Iisdem manentibust Dico parallelepipedum constans basi rectangulfi L M N . &altitudine MR ad parallelepipedum exbasbu R, eademque altitudine MR quadruplicatam habere rationem eius quam continet parallelepi
719쪽
- A D L A T v R A H V P E R B o L. AE. rar pedum ex basi rectanguli B M Q. & altitudine M R ad parallelepipedum iubbasi rectanguli ΥRE & communi altitudine M R. i Demonseratio.
Γ ξ monstratum est, rectangulum LMN ad V R S re languluis, quadruplica. at . - seram eius habere rationem , quam sontinet rectangulum B M QId YRE rectangulum. sviat autem parallelepipeda sub hisce hasibus Ac comi ni altitudine M R inter se utiplaemet bases. Igitur patet propositionis veritat.
I Dico rationem parallelepipedi, quod fit ex basi rectangula LM
per multipli, rationem parallelepipedi superbati reet angula BMQ ad parallelepipedum, quod fit super basi Υ R E rectangula, modo eadem astitudo Omniabus parallelepipedis inseruiat.
HEmonstratum esti rationem rectanguli L MN ad rectangulum VRS, toties bii,. 3 continere permuItiplicationem rationem rectanguli obl P ad XRT, quoties haec ratio continet rationem BMQ rectanguli ad tectangulum YRE, parallelepipeda autem, de quibus agimus , talem sortiuntur inter se rationem, quam bases rectangulare super quibus erecta lunt, quoniam altitudinibus conueniunt ex hypo thesi. patet igitur veritas assertionis.
PROPOSITI o CXLII. EX scematibus uniuersalibus quae inteicipiuntur parallelis , Ca
constituantur ordines sex figurarum, quarum ternae inserviant hyperbolae, aliae vero circulo. Prima vero figura parabolarum conuexarum
diuisa se parallelis quae exhibeant rectangula quaterna ABCD , dc EFG H. Secunda autem figura in qua solae tectae lineae apparent, secta sit parallelis ij idem se antibus rectangula IKLM Et NO PQ. Tertia denique in qua cernuntur parabola concauae secta sit ijsdem parallelis, quae constituant rectangula RSTV & XYZ. Dico itaque rationem duorum parallelepipedorum quae fiunt ex R in X rectangulum,&ex rectangulo S in Y ad duo parallelepipeda orta ex L . ductu rectangulorum T in Z & V in de , toties continete rationem parallelepipedorum ex I in N, &ex rectangulo Κ in O, ad parallelepipeda ex ductu rectanguli L in P, & M in Q rectangulum, quoties haec eadem ratio parallelepipedorum, continet rationem parallelepipedorum
quae gignuntur ex ductu planorum A in E & B in F, ad parallelepipeda , quae fiunt ex rectangulis C in G, dc D in H. PPP 3 ' πιπρα-