장음표시 사용
191쪽
eum per hypothesim anguli BCD , bed sint aequales, dela- . tera BC, CD ' be, ed proportionalia, triangulum DBC simile erit triangulo dbe a J. Sunt autem altitudines DE, de triangulorum DBC, dbe directe, ut bases BC, bc b). Ergo & c OROLLARIUM P.
Altitudines duorum triangularum , sicuti etiam duorum parallelo grammorum simitum, q-rum bases su latera ipsorum homolaga, sunt directe inter se, ut duo qualibet homologa eorundem latera.
8o Eadem enim est ratio omnium laterum homologorum duarum figurarum rectilinearum similium c e ), & ratio ;quae uni duarum , vel plurium rationum aequalium aequalis est, alteri quoque earundem est aequalis do.
. OROLLARIUM M. Elementa trianguli plani rectilinei deereseunt in ratione imminuta altitudinis.
si Elementum scilicet ed trianguli ABC eam habet rationem ad elementum BC ejusdem, quam habet altitudo Afet. . respondens elemento ed ad altitudinem AD respondentem elemento M. Elementum quoque est ad elementum BC, ut altitudo A e ad altitudinem AD. Cum enim trianguli et menta snt rectae lineae basi parallelae , duo triangula Aed ,ΑBC erunt similia e , eorumque latera homologa erunt
rectae ed, BC s . amobrem habebitur c d ad BC, ut est altitudo A f ad altitudinem AD g . Eadem ratione erit ab ad BC, ut Ae ad AD.
192쪽
Genesis trianguli plani rectilinei.
81 Ηine triangulum planum rectilineum Oritur ex mi- . . . tela elevatione rectae lineae eontinuo decrescentis in ratione imminutae altitudinis. Sic triangulum ABC consurgit exli motu rectae BC, ut sibi semper sit parallela, & pro ratio ne imminutae altitudinis ΑD ipsius trianguli continuo mi
c OROLLARIUM L se propterea triangulum quodcunque piarium rectili. neum ex tot rectis parallelis, eontinuo pro ratioηe imminuta altum dinis decresseruibus, quot in ipsa altitudine puncta numerantur. c OROLLARIUM R 8 Hine spectari potest triangulum planum rectilineum, veluti factuim ex multipluinti e basis, in ratione imminuta altitudinis eo tinuo durescentis, per ipsam altitudinem.
In omni parallelogrammo, qua elaea diametrum hunt, parallelo gramma rati , re inter se faeni similia. In parallelogrammo ACDA ducatur recta EF parallela luteribus AC, BD secans diagonalem BC in puncto Κ. Tum ver punctum sectionis Κ ducatur recta GH parallela lateri. Dus AB, CD, constitutaque idcirco habeantur duo paralle logramma EmB, GKFC , quae circa diametrum B C pDrallelogrammi ΛCm posita dicuntur.
193쪽
llisei M. 8s Dico primo , utrumque parallelogrammum GHB , lib. α G C simile esse toti parallelogrammo A B.
Cum enim recta EF posita si parallela laterr is , angulus B EF inlualis erit angulo BAC a , eadem ratione etiam angulus G HB angulum CDB aequabit; cum recta GH posita sit parallela rectae CD. Angulus tutem ABD communis est utrique parallelogrammo cac D B , MXH. Ergo tres anguli BEF , GHE , ABH parallel Hranuni EXHB aequales sunt tribuLangulis . B ,-I parallelosrammi ECI Baac proinde etiam reliquus EXH erit reliquo aequalis Duo igitur parallelogramma EΚΗΒ , AC DR sunt inter se mutuo aequiangula c . Rursus cum per hypothesim recta EX in triangulo Maec parallela sit tau AC, erit BE. ΕΚ. BA. d), quae sunt latera circa aequales angulos BEX , BAC. Eadem ratione erit ΚΗ. HB CD. DBI cum in triangulo CBD recta ΚΗ posita sit parallela basi cD . Est autem recta Bes aequalis rectae re, dil recta DB rectae AC G. Ergo erit quoque HX. KE DC. CA o , sicuti etiam Ea.
cta AC rectam BD adaequet g). Duo igitur parallelogramma A B, BEm iunt inter se mutuo aequiangula , ω habent latera circa arituales angulos proportionalia. Igitur sunt similia h . Eodem modo ostendam , parallelogrammum quo que Grac simile esse parallelogrammo ACM . adeoque M. II. Euel M. Dico secundo, parallelogramma BETH, GKFc esse ibid. sibi mutuo similia.
194쪽
Duo parallelogramma BESH, GKFc similia sunt toti paἀrallelogrammo Ac ab. Ergo inter se quoque sunt sim, Ita b j . In omni ergo parallelogrammo &ς. quod erat
Parinesto e Udem Hlitudinis sunt inter easdem rectas para ias. 8 sint duo parallelogramma ABCD, EFGH , quorum altitudines DX., HL aequales sint inter se, eorumque bases a. BC, FG in eadem recta BL reperiantur. Dico, ipia parablelogramma perinde se habere, ac si inter easdem tectas M'rallelas existerent.
Per extrema puncta D, H ducatur recta DI . Quoniam igitur anguli Dm , HLG sunt recti ce), duae rectar DK, HL erunt parallela: d . Sunt autem arituales per hypoth sm. Ergo duae quoque D H , KL erunt inter se parallelae e ) . Latera autem D A , EH parallelogrammorum ABCD, EFGH coincidunt cum recta DH, quemadmodum bases CB , FG cum recta KL . inippe si secus , latera ipsa D Α, ΕΗ parallela non essent lateribus CB, FG, ut est evidens . Ergo parallelogramma ABCD , EFGH im ter easdem reta parallelas reperiuntur. THEG
195쪽
Paralelogramma aequalium basium , ct altitudisum sunt inter se aqualia. l
88 sint duo parallelogramna DCBA EFGH., quorum bases CB, FG aequales sint inter se , sicuti etiam ipsorum' altitudines DK, HL .: Diuo , li usi di parallelogramma esse inter se aequalia.
, Cum enim parallelagramma DCRA, EFGH sint aequalium altitudinum , erunt in iisdem rectis parallelis d . Habent autem aequales bases per hypothesim . Ergo parallelogramma ipsa erunt aequalia ce) . Itaque parallelogramma octa . quod erat ostendendum. COROLLARIUM L, Si parallelogrammum , ct tri gulam habuerint aequales basta, σ estitudines, erit parallelavvmmum duplum trianguli. 8ρ Ut si basis CB parallelogrammi Dci Asuerit aequalis basi FG trianguli FHG, & altitudo DX altitudini HL , erit parallelogrammum DCBA duplum trianguli FHG. Constituto namque super eandem balim FG , & sub eadem al
196쪽
titudine M parallel Urammo EFGH , erit parallelogram-mum mBA aequale parallelogrammo EFGH a J . Est autem parallelograminum EFGH duplum trianguli FHG M.
Ergo parallelograminum quoque DC BA duplum erit trian
Figura plana cuius elementa decrescunt in ratione imminuta a ritudinis , o medietas illius , cuias elementa ejusdem continuo quotitatis perseverant ζ dummo οutri que figura eadem su basis. O altitudo. so Constat enim tria ulum planum rectilineum esse medietatem parallelogrammi ejusdem basis, & altitudinis d . Elementa autem trianguli continuo decrescunt pro ratione imminutae altitudinis e . Elementa vero parallelogrammi sunt omnia inter se aequalia f . Ergo &c.
st Diagonalem CB parallelogrammi ABDc parallelini. grammum ipsum in duo aequalia triangula CBA, CBD db .vi. videre , etiam ex methodo indivisibilium superius exposita ad evidentiam ostenditur . Rectae namque CD, et, Ed, ab , in parallelae inter se, snt omnia elementa parallel grammi ; atque adeo rectae AB , am , cn , er et menta trianguli ACB , & rectae cD , rf, nd, mb elementa trianguli CBD . Certum in primis est, elementa AB , CD esse aequalia. Certum est etiam , rectas quoque ca, Bs a quales esse inter 2 δ eum uno tantum puncto tam recta Cnsegmentum C a , quam recta BD segmentum Bs per hypothesim excedat . Est autem a m. a C m AB . AC, & U. fB CD . DB c. Ergo, cum ob aequalitatem terminωΑ a rum
197쪽
CD. n, erit quoque a m. a C in rf. fB M. Constat porro, esse a C m fB . Ergo erit etiam a m m G c . Eodem modo ostendam cn ud, er mmb. Igitur elementa triansuli ACB sunt numero , & masnitudine Mualia et mentis trianguli CBD ; atque adeo trianguluui ACB trian. gulo CBD est aequ*e M. Diagonalis itaque CB parallelogrammum ABDC in duo aequalia triangula dividit.
Triangula pura rectilinea μου directe inter se , in parallogramma balentia aequales cum iviis bases , σ altitudiaes. yΣ Ut si super eadem basi BC , de sub eadem altitudinerit. α AD fuerit parallelogrammum BCEF, & triangulum ABC; Fis 7. similiter super eadem basi be , & sub eadem altitudine ad parallelogrammum bees, & triangulum aerit triangulum ABC ad triangulum ab e , ut est parallelogrammum BCEF ad parallelogrammum bes. Cum enim triangulum ABC sit medietas parallelogrammi BC EF, & triangulum ab e parallelogrammi bees so), triangula ABC, ab e erunt partes aliquotae similes parallelogrammorum B F, beefc0. Ergo triangula ABC , abc sunt, ut ipsa parallelogramara
COROLLARIUM M. Triangula plana rectilinea aquatium binum , o est,tudinum sunt aqualia.
93 Si nimirum bases CB, FG triangulorum C , FHG, aequales fuerint inter se, sicuti etiam illorum altitudines v DΚ, ΗL, duo ipsa triangula erunt aequalia. Sunt enim, ut parallelogramma DCBA, EFGH M, quae sunt aequalia 0.
198쪽
SCHOLION. y me corollarium ex ipsa triangulorum gen ' ostendi itidem potest. Sint enim duo trianguti plana re*linea ABC, iabe aequalium basium BC, be, & ejusdem Altitudinis a. in qua notentur puncta m , n , r. in ipsis vero triangulis distinguantur elementa DE, de ' FG , fg ' HK, b ε, quae basibus BC, be parallela , eidem respemve altitudini respondeant. Igitur cum recta ΗΚ sit parallela basi BC, triangulum ΑΗΚ erit simile triangulo ABC ast, eorumque homologa latera erunt BC , ΗΚ b . Q amobrem em ΗΚ ad BC, ut est altitudo ar ad altitudinem ax c . Est autem eandem ob causam etiam recta ad basim bc in triangulo , ut est altitudo aν ad altitudinem ax. Ergo erit HK . BCra b h. be dθ . Posuimus autem BC in be. Ergo erit quoque ΗΚ α- e . Eodem modo ostendam , esse FG fg, & DE m de , omniaque demum elementa trianguli ABC ariualia esse elementis trianguli ab c , alterum alteri , quae nimirum in eadem sunt altitudine . Sunt autem hujusmodi elementa in utroque triangulo etiam numero inter se aequalia; cum tot sint in utroque, quot puncta in communi altitudine ax numerantur . Ergo duo triau-gula ABC , ab e sunt inter se qualia 0 . THEO REM A XII.
Paradis ramma hue alium basium , sed vindem altitudinis sunt directe inter se , ut eorum bases.' ps Super inaequales hases BC, be , dc sub aequalibus al-nuhi; Leitudinibus D E i de constituta sint duo parallelogramma, MCD , ab c d . Dico , parallelc graminum ABCD esse ad 'Parallelogrammum ab ed, ut est basis BC ad basim be.
199쪽
Esto basis BC parallelogrammi ABCD dupla basis be paurallelogrammi ab ed , de duratur recta FG , cruae bifariam dividat basim BC , sitque lateri AB , atque adm etiam lateri DC, parallela se . Duo igitur parallelogramma Amri FGCD , utpote habentia ae es tases , & eandem altitudinem , erunt inter se aequalia c f), sicuti eandem ob rausam etiam duo FGCD, ab ed. Parallelogrammum idcirco ABCD duplum erit parallelogrammi FGCD, adeoque etiam parallelogrammi ab ed ae . Ergo parallelogrammum ABCD cst ad parallelogrammum ab ed, ut est basis BC ad basim bc. Itaque parallelogramma M. quod erat ostendendum. COROLL.ARIUM LTriangula inaqualium basium , sed .aequalium altitudinam sunt directe , ut bos. x. ua. 96 Triangula nimirum BDC, bde inaequalium basium BC, lib. O. bc , sed aequalium altitudinum DE , de sunt directe inter i.' ,. se, ut bases BC , be . Sunt enim , ut parallelogramina Fie io. ABCD , ab ed super easdem bases BC , be , & sub iisdem altitudinibus DE , de constituta ch .
200쪽
c O st O L L A R Ι ο M II. Si para logrammum , O triingulis eandem habuerint altis vinem, sed basis trianguli fuerit dupla basis parallelogramis, erit triangulum paralislogrammo aequale. Ut si basis BC trianguli BDC fuerit dupla basis bewallelogramini aequalem habentis altitudinem de, pii , erit triangulum BDC parallelogrammo abed aequale. Constituto namque super basi BC, & sub eadem altitudine parallelogrammo ABCD , erit parallelogrammum ABCD duplum parallelogrammi ab ed Est autem parallelogrammum ABCD duplum etiam trianguli BDC b) . Ergo triangulum BDC erit parallelogrammo abed aequale c).
Parallelogramma , sicuti etiam triauula inaequalium basium, sed aquiarum altitudinum fumi respect e inter se inaqualia. 98 Hujusmodi namque plana sunt respective inter se , ut bases.. OROLLARIUM IV. . Bases parallelogrammorum , et ' triangalorum ejusdem altitudinis sunt directe inter se , ut ipsa plana respective.
rum ejusdem altitudinis sint diisse inter se, ut ipsa plana respective, neque plana hujusmodi esse possunt inter se directe , ut tuses. THEO