장음표시 사용
21쪽
itinere arcum circuli, totumque circulum in ipso plano describit. Affirmant porro plerique , ebremum ine inventum Icari, cui Daedalus Pater laudem invidens tam mirifici in strumenti, necem machinatus suerit.
Omnes anguli recti sunt inter se aquales. 37 Quamquam propositio inter axiomata ab Euclide, aliisque celeberrimis Geometris censeatur 9 quia tamen maximi in Geometria momenti est , iubet eam breviter ostendere. Sint itaque duci anguli recti ABC , ab e . Dico, eos esse inter se aequales.
Si namque fieri potest, sit angulus rectus abc major a gulo recto ABC ; ductaque proinde ex apice B recta B E, nat angulus ABE angulo abe aequalis. Producta ergo indirectum recta ΑΒ in D se , cum ex hypothesi angulus ABC , sit rectus, erit angulus deinceps positus CBD ipsi ABC a ii. qualis b . Eandem quoque in Urumn aeretvlvs EBD a, i, qualis erit angulo ME; cum etiam ipse ME, utpote aditu lis angulo abc, positus sit rectus. Est autem angulus ABEmajor angulo ABC c . Ergo eodem angulo ABC major itidem erit angulus EBD d) ; cumqqe duo anguli ABC, CBD snt aequales inter se , angulus EB D major similiter erit angulo CBD se s atque adeo pars superabit totum , quo nihil absurdius c0 . Angulus itaque ab e major non est angulo ABC. Eodem modo ostendam, non esse ipso ABC minorem . Ergo duo anguli recti ABC , ab e svht inter se aequales , Omnesque propterea anguli reia sese mutuo ad quant, quod erat ostendendum. cOROD
22쪽
c OROLLARIUM. Omnes aetuli recti aquales areus ex eorum apicibus aequali intervalla descriptos subtendunt. 38 Cum enim arcus hujusmodi sint directe inter se , ut ipsi anguli, quibus subtenduntur in , si omnes anguli recti sunt inter se aequales, a uales quoque erunt arcus, quos ex eorum apicibus 'quali intervallo descriptos subtendant. s c Η O L I O N. Recte itaque Proetus vocat angulum rectum finitum semper , atque determinatum , eundemque manentem, neque a cretionem , neque decietionem suscipientem . Penes ipsum quinque ceteros angulos rectilineos definiri ; cum ipse per se in D, ιi, indetermisarique sint, ut patet.
Recta super νectam eo flens eseis angulas veι rectos, vel duobus rectis aquales.
o Rectae lineae A D altera quaedam recta CB insistat ;duos cum illa emciens angulos CBR, CBD . Dico, hujus-η et Lmodi angulos vel rectos esse, vel summam aequare duorum prop. rectorum , si ambo simul sumantur .
Recta namque CB vel ad perpendiculum incumbit rectae AD , vel oblique . Si primum: ergo rectus est uterque angulus ABC , CBD b . Si vero oblique incumbit, quemadmodum reipsa linea BE insistit rectae AD , educatur expuncto B recta BC e) , quae ipsi AD sit perpendicularis. ' B L Igitur
23쪽
Igitur duo anguli ABC, CBD erunt recti ca). Tres autem anguli ABC, CBE , EBD aequales sunt duobus ΑΒ C, D b). Ergo tres ABC, CBE, GD aequales sunt duobus rectis. Est autem angulus ΑΒ E aequalis duobus ABC , E c . Ergo addito communi EBD, erunt duo ABE, D aequalis tribus ABC, CBE, EBD d cumque, ut jam ostensum est, tres ABC, CBE, EBD valeant duos rectos, duo quoque A BE , EBD duobus rectis aequales erunt te . Igitur recta super rectam, M. quod erat Ostemdendum. c OROLLARIUM L. cognita qxantitate unius duorum angularum, qui deinceps positi sunt , alterius quoque magnitudo innotescet. I Cum enim ambo simul sumti valeant duos rectos, mnius quantitate cognita, quod relinquitur ad duos rectos , erit alterius magnitudo , quae ignoratur. COROLLARI ,UM usunt aqvades duobus rectis.
1 Sunt enim duo recti in plures aequaliter, vel inaequa liter, ut patet, divisi.c OROLLARIUM m.
De recta linea sese mutuo in pom secantes quatuor angulos vel rectos, vel quatuor rectis aequales collituunt.
3 Nimirum quatuor anguli AEC, CG, BED, AED, ' qui a duabus rectis sese mutuo secantibus in puncto E pri
24쪽
dueuntur I vel sunt recti, vel omnes simul sumnam adae. quant quatuor rectorum . Etenim tam duo Am , CEB , quam duo AED, DEB vel recti sunt, vel summam duo rum rectorum conficiunt. c OROLLARIUM IROmnes anguli, qui in eodem pIano circa idem pinctam eo sistunt, si simia accipiantur, aquales funt quatuor rectis. ω Sunt enim quatuor recti anguli in illos plures aequaliter, vel inariualiter divisi.c O R O L L A R I U M V. Bateger eireulus ex aliquo puncto deseriptus , est mensura qua παπgulorum re rum, quarum omnium apices
in illo puncto eonsistunt. Circulus nimirum AE metitur quatuor rectos an gulos ABC, CBD, DBE, EM consistentes circa punctum νε. B , ex quo circulus ipse deseriptus est . Etenim circa idem Talpunctum B , & in em plano nonnisi quatuor anguli re
c OROLLARIUM VI. Mensura anguli recti est quadrans eimili ex illius apice descripti. Mensura anguli obtusi est areas major quadrante ; σ at si aruti est arcus quadrante circuli minor. Αreus nimirum ABE , qui metitur angulum rectum ΑΒΕ , erit quadrans circuli AE . Cum enim circa pumctum B nonnisi quatuor anguli recti haberi possint πι, eoseque simul metiatur integer circulus ΑΕ te ; omnesque anguli recti sint inter se ariuales d , aequales erunt arcus,
25쪽
quos singuli subtendunt Q. AEquales ergo eruot arcus A ED, DC, CA, si fuerint recti quatuor anguli ABE, EBD, DBC, CBA ; ae proinde eorum quilibet erit quadrans circuli . Quoniam vero angulus obtusus ABG est major recto ABE b ', & angulus acutus Em est recto minor is , illius mensura erit arcus AEG major quadrante A E ; hujus
vero mensura erit arcus m minor quadrante EG D. Arcus
enim hujusinodi sunt directe inter se , ut ipsi anguli d .s c H O L I O N. 7 Cum quilibet circulus dividatur communiter in 36α partes aequales , quae graviιs dicuntur, & quilibet gradus in
clo. partes itidem a quales, quae Vocantur minuta, & sic deinceps, remanet, mensuram anguli recti esse arcum circuli PO. graduum; mensuram anguli Atusi esse arcum, cujus magnitudo m. gradus superat . mensuram vero anguli acuti esse arcum, qui minus, quam 9O. gradus, comprehendit. Universaliter autem tot graduum, & minutorum esse datum quemcumque angulum , quot gradus , .& minuta in arcu ab illo subtenso conti niur.
Duae recta linea raqueunt habere segmentum commune.
8 Si namque fieri potest , rectae sint duae lineae ABC ABD commune segmentum habentes AB. Ex communi e go puncto B erigatur recta BE e . Igitur per hoc theorema duo anguli ΑΒΕ, EBC a quales erunt duobus rectis, quemadmodum etiam duo ABE, EBD; cum utraque ABC, ABD posita sit recta ; ac proinde duo ABE , EBC aequales erunt duobus ΑΒΕ ,- f . Sublato propterea communi angi loΑBE, erit reliquus EBC reliquo EBD amalis, pars toti ae . Id autem repugnat ch). Ergo duae lineae ABC, ABD commune habentes segmentum AB, non sunt rectaeῖ adeo lue exo. THEO-
26쪽
Si ad datam rectam lineam ad Luam in ea punctam duae rectae linea ea oppositis partibus ducia , duos angulos vel rectos, vel duobus rectis aquales fecerint , in dis uam erunt uia dua recta linea.
9 Ad datam rectam lineam EB , ad datum in ea pun-Euelid.ctum B , ducantur ex oppositis partibus Α, C duae reia li- μν neae AB, CB, quae cum ipsa EB duos emiant angulos 'ME , EBC ves rectos , vel duobus rectis aequales. Dico , lineas M , CB esse in directum positas, seu unam eandem que rectam constituere ABC.
Si namque, stante hac hypothesi, duae lineae AB, CB non sunt in directum positae , producatur in directum earum ab era ΑΒ, eaque radat in D ast. Igitur eum linea ABD sit recta , duci anguli ABE , EBD aequales erunt duobus rectis b . Sunt autem per hypothesim aequales duobus rectis etiam duo ME , Em. Ergo duo ABE , EBD erunt duobus ABE, EBC aequales cc . Sublato propterea communi ME, erit reliquus GD aequalis reliquo f. Hoc a tem repugnat o. Ergo reia ΑΒ in directum producta nequit cadere extra re BC; eruntque proinde duae AB, BC in directum positae. Itaque si ad datam rectam lineam occ. quod erat ostendendum.
Ad datam rectam lineam e puncto in illa aecepto una taurium recta perpendicataris ad eamdem partem excitari pote .
o Esto recta AD, in qua sumatur punctum B. Ex ipso
27쪽
autem erigatur recti perpendicularis BC . Dico , ex eodem puncto B excitari non posse aliam rectam ad eandem patritem C, quae sit ipsi AD perpendicularis, atque cum perpem dieulari BC in eodem plano consistat.
si namque fieri potest , esto altera perpendicularis B EzIgitur cum utraque - , EB sit rectae AD perpendicularis , uterque angulus CBD, EBD erit rectus o. omnes autem anguli recti iunt inter se aequales b) . Ergo angulus EBD aequalis erit angulo CBD. Est autem ansulus GD pars a guli CBD , ut patet. Ergo pars aequabit totum: quod cum repugnet se , ueunt duae rectae CB, EB simul ad perpendiculum incumbere eidem rectae AD . Itaque ad datam rectam lineam M. quod erat Ostendendum.
Quo ad vertirem oppositi , qui a ductus rediis lineis sese mutno secantibus Aducantur , sunt inter se aequales .
cto E. Dico, angulos CG, AED, sicuti etiam CEA, BED, qui sunt ad verticem oppositi, esse inter se aequales.
Duo anguli AEC, CEB valent duos rectos, quemadmo dum etiam duo MC, AED d); cum utraque ΑΒ, CD posita sit recta . Igitur duo AEC, CEB aequites sunt duobus OC, ABD se ) . Ablato propterea communi AEC , erit reliquus Cta reliquo ΑED aequalis f . Eodem modo ostendam, duos quoque CSA , BED aequales esse inter se. Itaque anguli ad verticem oppositi M.quod erat ostendendum.
28쪽
s 7 c OROLLARIUM LSi unus quatuor angulo υιm , qui a duabus rectis sese mutuo secantibus producuntur, fueris rectus , ceteri quoque omlnes erunt recti.
ex Ut si angulus ABE productus a rectis AC , EF sese mutuo secantibus, fuerit rectus, recti quoque erunt reliqui C. F, ABF. Si namque rectus est angulus ME, reis ctus quoque erit alter ad verticem Oppositus FBC. Duo autem ME, EG valent duos rectos, quemadmodum etiam Tab. I. duo ABF, FG a . Ergo si duo ME, DC suerint recti, recti similiter erunt duo EM, ME . Rectus enim est a gulus, qui duorum angulorum rectorum est medietas.c OROLLARIUM Rsi rectaperpendiculariter alteri recta Miste; infra illam producatur, segmentum quoque inferius eidem recta ad perpendiculum incumbenes Si nimirum recta EB perpendicularis fuerit rectae AC, directe producta recta EB in F, sementum quUue BF eritoidem AC perpendicuiam. Si DRmquς recta EB rectae AC ri. heroendicularis fuerit, rectus erit uterque angulus ME, Tis. i. C tb . Ergo recti quoque erunt duo ABF, GC, utp illis ad verticem oppositi. Igitur recta similiter BF erit
. quasvω recta linea ex eodem pmino exeuntes, ct in eodem plano exinntes , angulas ad verticem oppositos aequales Iecerint, . . erant dua ex adverso in directum posita.
4 Ex eodem puncto E in eodem plano quatuor egrediantur rectae EC, M , - , BD constituentes in ipso plano C qua
29쪽
quatuor angulos AEC, Cta , BED , AED, quorum duo ad verticem oppositi CEB , AED , sicuti etiam duo AEC , DEB , sint aequales. Dico , rectas AE, EB esse in directum positas, quemadmodum etiam rectasEC, ED.
Cum enim duo anguli CEB, AED adiluales sint inter se , sicuti etiam duo ΑEC, DEB, erunt duo CEB, BED simul sumti adituales duobus AED, AEC simul pariter acceptis sa . Fig.14. Quatuor aut anguli CEB , BED , DEA , AEC aequales sunt quatuor rectis b . Ergo tam duo CEB, BED, quam duo DEA, AEC duobus rectis mauales erunt. Duae igitur rectae. CE, ED, quemadmodum etiam duae ΑE, EB, erunt in directum positae o. iamobrem si quatuor rectae lineae& quod erat ostendendum. Si in data recta linea punctum fumatar, ex quo dua recta hinc
de educantur, qua anulos ad verticem opposuos aquales com
stituant , ilia duae recta lineae erunt in directum posita. 'ss Ut si ex puncto E sumto in recta CD duae hine inde educantur rectae EB, ΕΑ, quae angulos ad verticem oppositos CEB, AED, vel duos BED, ASC aequales constituant, sif., . erunt duae EB, EA in directum positae. Cum enim duo αλτας. i. BED aequales sint ductus rectis, quemadmodum etiam duci
CEA , AED d , erunt duo CEB, BED aequales duobusCEA, AED e , . Isitur sublatis aequalibus CEB , Α- , erit reliquus Am reliquo BED Mualis D; ac proinde duη. AE, EB erunt per boc Oeorema in directum positae.
30쪽
HActenus lineas rectas consideravimus, quatenus una cum alia simul in puncto concurrit , nunc eaedem lineae considerandae sunt, quatenus ita se tabent, ut simul in puncto concurrere minime queant.
I T Dea recta paresista voeantur illa , qua isque κε teriture se diluint. Tales sunt rectae ΑΒ , CD . Lippe rit ita se habent, ut eadem semper sit distantia earum a se m ' tuo , ubicumque ea sumatur. COROLLARIO M Lx Perpendiculares emes inter duas rectas parallelas comprehemsa, ut rectae ab , ed, ef, gh, sunt inter se aquales. Ab his enim sumitur distantia ipsarum rectarum parallelarum ΑΒ, CD, ut clarius ex dicendis patebit.
3 ma recta sinea inter se parallelae nequeunt simu in panctoeoncurrere, quamvis directe in infinitum producantur. Hujusmodi siquidem concursus haberi nequit, nisi earum distantia a se mutuo continuo minuatur , ac proinde quin tollatur evrum parallelisinus. C L COROD