장음표시 사용
51쪽
situm majorem esse angulo ACB, qui latus minus AB tendit.
Cum enim latus AC majus sit latere M ipsius trianguli MC , evidens est, magis a se mutuo distracta esse latera AB, BC, quam latera AC , CB . Ille autem angulus est major altero, qui crura magis distram habet ca . Ergoam gulus ABC major erit angulo ACB , adeoque M. II. Vicissim vero in eodem triangulo plano rectilineo ABC angulus ABC major sit angulo ACB. Dico, latus AC, quod majori angulo ABC opponitur, majus esse latere AB, quod minori angulo ACB subtenditur.
Si namque angulus ABC major est angulo ACB ejusdem
trianguli ABC, magis a se mutuo distracta erunt latera AB, BC, quam latera BG, Exa IMM AB, BC majorem , ut patet, intercipient lineam, quam latera AC, CB ieritque propterea latus M majus latere M. Itaque in omni triangulo &α quod erat ostendendum. c OROLLARIUM LD triangula rectangulo majus latus est Dpotemfa.' In triangulo vero ambiumis mallus latus est illud, quod anguis obtuso opponitur. F In triangulo namque rectangulo angulus rectus est reli- suis duobus major, quemadmodum etiam angulus obtusus in triangulo ambigonis. Etenim si in uno triangulo unus amgulus rectus est, vel obtusus, reliqui sunt acuti te coma
52쪽
eoa OLLARIUM RD triangulo sciam tres anguli sunt inter se inquates rSiquidem triangulum scalenum habet tria latera inter
36 Majori enim angulo majus latus opponitur. coROLLARIUM IRRecta perpendicularis minima est omnium rectarum, qua ab eMem puncto ad eandem rectam duci possunt. IT meantur enim a puncto C ad restam AB Pampi res redue lineae CD, CE, , quarum CD ipsi AB ad pedipendiculum insistae. Igitur cum angulus CDE sit rectus M. angulus CEDerit acutus H, adeoque minor angulo CDE M. LQuamobrem per Me theorema latus CE majus erit latere CD. Eadem ratione recta CP eandem CD superabit, omnesquo aliae, quae a puncto C in rectam ΑΒ cadere possunt, ipsa CD majores erunt. Perpendicularis itaque est omnium minima. sc MOLION L38 Ex m, quod recta perpendicularis sit omnium min, ma , liquido apparet, cur magnitudinis cujuscunque mensura penes perpendicularem unice sumatur. Mensura namque debet esse certa , & determinata apud omnes, hujusmodi nimirum, ut diversitas in ejus acceptione contingere mini- , F me
53쪽
ine possit: Manifestum est autein, solam perpendicularem est se hujusmodi , hoc ipso quod est omnium earum miniara , renes quas mentura sumi potest; adeoque &α
sp Ηine deducitur, tres tantum esse dimensiones, vid licet latitudinis , de prefunditatis ; acyroinde tres tantum species quantitatis continuae permanentis, lineam m- mirum , superficiem , & corpus Trea enim dumtaxat rectae
lineae per idem punctum duci possunt, quae tat sibi invicem Perpendiculares a . Τ H E O R E M A IV. Anguli, qui sunt ad basim trianguli iseselis , aquales sunt interseo priauctis lateribus, anguli quoque infra basim sunt aquales.
mt., . Esto triangulum isosceles ABC, cujus nimirum duo luzab. I. tera AB, AC sint aequalia.
Helia. oo Dico primo, angulos ABC , ACB, qui sunt ad baiasim BC, esse inter se aequales.
Etenim, si fieri potest, inaequales sint anguli ABC, ACB, sitque ansulus ABC major angulo ACB. Igitur latus AC majus erit latere M b . Hoc autem est contra hypoth sm . Ergo anguli ABC, ACB non sunt inaequales, sed ae
54쪽
ILε1 In directum pro lii tantur latera AB, AC. Dico, amgulos quoque DBC, E B insta basim BC esse aequales.
Quoniam tam duo ABC, DBC, quam duo ACB, BCEvalent duos rectos ta , duo ABC, CBD adiauales erunt duobus ACB, BCE b . Ostensum est autem , etiam duos ABC, ACB eIte aequales. Ergo illis sublatis, qui remanent DBC , ECB , erunt aequales c . Itaque anguli M. quod ierat Ostendendum. ic OROLLARIO M LTrumgaι- aequilaterum est etiam aqui gulam. Si nimirum tria latera AB, BC, trianguli MCsunt inter se ualia, etiam tres ipsius anguli erunt aditu les. in aequalitatem namque laterum AB, M duo anguli ABC, ACB sunt aequales d Eadem ratione aequales sunt etiam duo ABC , CM. Ergo tres anguli ABC, MB, C sunt aequales te .c OROLLARIUM ILOmne triangi lara aquilateram est regulare.
O ra enim aequilaterum, & aequiangulum ci .e OROLLARIO M UT Tres anguli trianguli aquilateri statu Muti. Cum enim triangulum aequilaterum sit regulare s ic F 1 quilis
55쪽
quilibet angulus ipsius trianguli erit tertia pars duorum rectorum a . Ergo eorum quilibet erit minor recto, ad eque acutu .
Si trianguli plani rectilinei duo anguli aquales fuerint, etiam latera eos subtendentia erunt aqualia.
6s Trianguli plani rectilinei ABC duo anguli ABC , ACBνἰt34. sqt inter se aequales. Dico, latera quoque AB, AC , quae v illis respondent, esse aequalia.
andoquidem ego, si fieri potest, latus ΑΒ majus la- Euclid. tere M . Consectarium est , ut angulus ACB , utpote qui majori lateri opponitur, angulum ABC excedat b . P suimus autem angulos ABC , ACB inter se aequales. Ergo latera AB, AC non sunt inaequalia, sed aequalia. COROLLARIUM L Omne triangulum aequiangulum est etiam aquilaterum. 66 Ut si triangulum ABC suerit arsu tangulum, erit etiami aequilaterum. Si namque duo anguli ABC, ACB sunt inteest aequales, aequalia itidem erunt duo ipsius latera AB, AC e . Figaν. Eandem ob causam Mualia erunt duo latera AC, CB. Quae I Ri autem ei sunt aequalia, inter se sunt aequalia M. Ergo duo quoque latera AB, CB erunt aequalia ; atque adeo triangα--lum ABC erit aequilatarum. ROD.
56쪽
e OROLLARIUM II. Omne triangulam quiangulum est regulare ἰ67 Si namque omne triangulum 'quiangulum est etiam aequi laterum, habet quidquid requiritur , ut figura regulu
c OROLLARIUM mcuilibet angulus tri guli aequianguli es acutus. 68 Cum enim triangulum aequiangulum sit regulare ' , quilibet angulus ipsius trianguli adaequat unam tertiam Partem duorum rectorum sc) , adeoque M.
Omnis trianguli plani rectilinei duo qualibet latera reliquo sunt majora. 69 Esso triangulum ABC . Dico, duo ipsius latera AC, Fig.M. AB simul sumta rectam constituere majorem latere M
In directum producto latere ΒΑ, fiat segmentum AD quale lateri AC, & ducatur recta DC. Cum igitur duo lutera AC , AD sint aequalia , aequales erunt anguli ADC, MD d . Est autem angulus D major angulo DCΑ H. Ergo major quoque erit angulo ADC cI ; ac proinde la-Mellintus DB , utpote majori angulo oppositum , majus erit la- in xu tere CB g . Posuimus autem latus DB aequale duobus CA,
57쪽
AB . Ergo etiam duo CA, AB majora erunt reliquo CB ν Omnis itaque trianguli &α quois erat ostendendum. OROLLARIUM.Linea recta brevissma est Oxmium linearum eadem
o Ab extremo Α ad extremum C quamplures ducantur lineae AC, ABC, ADC, AEC. quarum AC sit recta. M nisestum est ex hoe theoremate, rectam AC esse omnium miritali nimam. Etenim sumto in curva ABC puncto B, ductisquoad extrema A, C rectis BA, BC, erunt duae lineae AB, B majores, si simul sumantur, recta AC. Est autem curva ABC major rectis AB, BC, ut patet, & facile ostendetur. comparando curvam AB cum recta AB, & curvam BC cum recta BC . Ergo curva ABC major quoque erit recta AC . Eodem modo ratiocinare de aliis quibuscumque curvis, quae
I Hine distatuta------- - aena Planci confiderari debet penes rectam ab uno ad alterum ductam . Haec enim, cum sit ceterarum omnium, quae intra ipsa pu cta contineri possunt, brevissima, inrit quoquo certa , fixa,ci stabilis , prout ad mensuram requiritur.
Si in triangula plano rectilineo panctum aliquod accipiatur , a quoad extrema bases dua recta due tur , is minures erunt la teribus ipsius trianguli, sed majorem angatum continebunt. Σμςlid. 72 Esto triangulum planum rectilineum DCB , in quo, punctum aliquod accipiatur. rimus
58쪽
Et quidem primo in latere DB, sitque illud punctum A:Dntatur autem ab hoc puncto ad extremum C basista ipsius triansuli recta AC . Dico, duo latera AC, AB minora esse lateribus DC, DB ipsius trianguli, sed angulum CAB majorem eo angulo 1 B.
Duo latera CD, DA trianguli CAD maiora sunt reliquo a . Qu mobrem addito communi AB, erunt duo CD, DB majora duobus CA, b . Est autem angulus CABexternus; internus vero oppositus angulus C , ut patet. Ergo angulus CAB major erit angulo CDB c ι adeoque M. Se das casus. Sumatur modo punctum in area trianguli, sitque pumctum o , a quo ad extrema basis CB ducantur rectae OC , CB. Dico, rectas OC, OB minores esse lateribus CD, DB, sed angulum C majorem esse angulo CDB.
Recta Co directe producta in Αω , erunt duo latera OA,M majora reliquo est; quocirca addito Co, erunt duo CA, M majora duobus CO, D. Sunt autem duo CD, DB majora duobus C Α, ΑΒ , ut modo demonstravimus. Ergo duo CD, DB majora quoque erunt duobus m, OB o. Rursus angulus CM major est angulo CDB . Angulus a tem COB eandem ob causam major est angulo CAB h . E M a sortiori angulus COB angulum CDB superabit. Itaques in triangulo plano M. quod erat ostendendum. THE
59쪽
yi duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia baluerint ;alierum alteri ; habuerint autem oe angulum angulo aequa-lam, qui aqualibus lateribus eontinentur, oebasim basi aequalem habebunt, eritque totum triangulum toti triangulo aequale.
Sint duo triangula plana rectilinea ABD. is bd , quorum ruelid. duo latera AB, ab aequalia sint inter se, quemadmodum tib etiam duo AD, ad . Angulus quoque BAD angulum bad' adaequet, qui aequalibus lateribus continentur.
73 Dico primo , basim quoque BD basi bdeo aequalem: Demonseratio.
Cum enim anguli BAD , bad positi sint aequales, aeque ,. distracta erunt latera BA, AD ' ba , ad sa) . Sunt autem
Tit. a. latera ipsa respective in ροπία - Malia see Mosesimo Ergo
Ap aequales rectas intercipient , nempe uasis BD basim b d re quabit. II. Dico secundo; mangulum ABD inluale esse triangulo abd.
Cum enim latera unius trianguli aequalia sint lateribus aNterius, alterum alteri, & angulus BAD angulo sit unum tri-gulum alteri superponatur, congruet angulus BAD angulo
60쪽
gulo bad a , latus AB lateri ab , & latus AD lateri ad η,
necnon basis BD basi bd, cum etiam ipsae ostensae sint aequae, les . Hinc congruet quoque angulus ABD angulo abd, de angulus Am angulo ad b, ac proinde totum triangulum ABD toti triangulo ab d . AEqualia autem sunt inter se; quae sibi mutuo perfecte congruunt sc . Ergo totum triam gulum ABD iniuale erit toti triangulo abd. Itaque si duo uiangula &e. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM: Recta, qua rectas aquales. σ parallelas ad easdem partes conjungunt , sunt inter se aquales. 7s Ut si duae rectae arauales, & paralIelae AB, CD jungantur rectis AC, BD , duae AC, BD erunt inter se adiluale; . Ducta enim ab extremo puncto A ad extremum Oppin me. a. situm D recta AD , duo anguli alterni BAD, CDA erunt aequales d . Positae sunt autem aequales duae rectae AB, CD , & recta AD communis est utrique triangulo BADADC . Ergo bases quoque , sive misc - , BD erunt in p. ,:
In triangulo sesteis recta ducta ab angulo verticati ad basim,s Bam angulum bifariam dividat, ejusdem qlloque basim dividet bifariam. 6 Esto triangulum isosceles ABC, ab cujus verticali angulo BAC , qui aequalibus lateribus AB, AC continetur, νου. 4. ducatur ad basim BC recta AD, quae angulum ipsum veri,
calem BAC bifariam dividat. Dico , rerim AD bifariam quoque secare basim BC.