장음표시 사용
31쪽
Contra vero ilia duae recta lineae parallata non sunt , quarum distantia a se mutuo eadem ubique non est, sed ex una parte Fig.a . continuo decrescit. Hujusmodi sunt duae rectae AB, CD. Manifeste namque constat, eandem non esse ubique ipsarum a se mutuo distantiam, sed ad partes B, Deam continuo minui.
s Recta sinea non parallela , se utrinque in directum.pro eam tur , ex una parte ad se mutuo eantinuo accedunt, seu proximi res fiant; ex altera vero a se mutuo magis continuo recedunt, maritisque divergentes a se mutuo redduntur.
6 Recta v incidens in duas rectas parallelas AB, CDpi res emcie angulos, qui diverso nomine designantur . Duo enim BGH, GHD, quemadmodum etiam duo AGH, GHC dicuntur interni ad easdem partes. Duo GHD, AGH, sicuti& duo BGH GHQ3 3---a i .i.-i,.----. AGB, D- . aliique eodem modo se habentes, dicuntur externi ad easdem partes. Angulus EGB dicitur extemus i angulus vero GHDistemus ad easdem partes.
Duae recta lineae nequeunt spatium coneladere.. 7 si namque rectae sunt, vel in nullo puncto eoncurrunt; vel si concurrunt in puncto ex una parte, ex altera coni,nuo a se mutuo recedunt.
32쪽
D in duas rectas lineas recta quaedam incidens angulos internos ad eandem partem duobus rectis minores fecerit, para ista non erunt illa dua recta linea.
8 Recta EF incidente in duas rectas ΑΒ , CD , duo amguli interni ad easdem partes BGH, GHD minores fine duobus rectis. Dico, lineas AB, CD non esse inter se parallelas.
Cum enim duo anguli BGH , AGH aequales sint duobus xectis, quemadmodum etiam duo GHC, GHD 9 , si duo BGH, GHD minores fuerint duobus rectis, duo reliqui T1. I. AGH , GHC duos rectos iuperabunt; ac proinde majores erunt duobus BGH , GHD . Igitur magis distracta sunt a recta GH segmenta AG, CH, quam ab eadem recta distra m sint segmenta BG, DII earundem rectarum AB, CD M.
Ergo duae rectae AB, CD non ubique aequaliter a se mutu distant; atque ideo non sunt inter se parallela: cc . Igiturn in duas rectas M. quod erat ostendendum.
Si in duas rectas lineas recta quadam incidens angulos internos ad eodem partes duobus rectis aquales fecerit, parallela erant illa duae recta linea.
s In duas rectas lineas ΑΒ , CD incidat recta quaedam Euelid. , sintque duo anguli interni ad easdem partes BGH ,sHD duobus rectis aequales. Dico , rectas AB, CD esse inter se parallelas.
33쪽
Enimvero cum duo anguli AGH, GH, quemadmodum etiam duo CHG, GHD , valeant duos rectos ain, si duo BGH, GHD aequales fuerint duobus rectis , duo quoque AGH, CΗG duobus tectis aequales erunt. Itaque si auae rectae lineae AB, CD non sunt parallelae, si ad unam eandem- rue partem ambae producantur, sibi mutuo continuo acce
ent; contra vero ex alia continuo a se mutuo recedent
Id autem contingere nequit in duabus rectis AB, CD. Quandoquidem cum duo anguli BGH , GHD aequales sint
duobus AGH , CHG c), quod tam illi, quam isti, ut
modo ostensum est, valeant duos rectos, vel utrinque con tinuci sibi mutuo proximiores fient, si in directum producantur , adeo ut tandem simul utrinque jungantur, sicque spatium concludant , quod plane repugnat d ) ; vel eontinuo magis masisque a se mutuo utrinque recedent, quod earum rectitudini ad evidentiam adveriatur . Ergo duae r ctar lineae AB, CD hujusmodi erunt, ut in directum utrinque productae, eamdem semper a se mutuo distantiam se
veni ; ac proinde sint inter se parallelae se) . Si in duas
c OROLLARIUM LSi Da recta linea eidem recta perpenriculares fuerint; erant inter se pae sime. io Ut s duae rectae lineae AB, CD perpendiculares suerint eidem rectae EF , illae erunt inter se parasseIae . Cum enim hoc ipso rectus sit uterque angulus ABD, CDBj, duo anguli interni ABD, CDRpriaucti a recta EF in duax incidente AB, CD, erunt recti. Ergo per hoc theorema duadirectae AB, CD sunt parallelae L
34쪽
c OROLLARIUM II. - Si recta in daas rectas incidente , angulus externus aequalis fuerit interno Ῥposito ad easdem partes, parallela erunt illa dua recta linea.
II Duae nimirum M , CD parallelae erunt inter se , si angulus externus EG B aequalis suerit interno opposito ad Fig. 14. in1clem partea GH D . Enimvero cum duo anguli EGBBGH aequales sint duobus rectis H, erunt quoque hoc ipso i t. duo angula interni BGH, GHD duobus rectis aequales; ad- e eoque M. OROLLARIUM m. Si recta in duas rectas incidente , auali alterni aequales fuerint, parallela erunt illa duae recta linea. 12 Si nempe incidente recta EF in duas rectas AB, CD, quales fuerint anguli alterni AGH, GHD, duae AB, CD etidi
erunt Inter se parallelae . Duo enim anguli interni BGHG- ertine hoc ipsis murum duobus rectis c cum duo an
Recta inridens in duas rectas parallelas angulos internos ad easdem partes duobus rectis aquales essest.
ia In duas rectas parallelas AB, CD recta incidat EF . Euella. Dico, ang- internos ad easdem partes BGH, GHD esse i duobus rectis aequales.
35쪽
Duo siquidem anguli BGH, GH D nequeunt excedere duos rectos, neque a duobus rectis deficere. Non primum: quia cum duo AGH, BGH, sicuti etiam duo GHC, GHD, valeant duos rectos ca) , adeoque omnes AGH, BGH , GHC, Gm simul sumti quatuor rectis sint uales, si duo BGH, GHD majores essent duobus rectis, reliqui duo AGH, G a duobus rectis deficerent; ac proinde rectae AB, CD non essent parallelae M. Non secundum, quia tunc duae r ctae AB, CD parallelae non essent inter se o, quod est oci tra hypothesim . Duo ergo anguli BGH, GHD Muales sunt duobus rectis, si duae lineae AB, CD parallelae inter se su rint; adeoque recta incidens &c. quod erat ostendendum .c OROLLARIUM LRecta in duas rectas parallelas incidens, externum amrulum interno opposito ad easdem partes aequalem efiit. I Incidente nimirumgecta EF in rectas parallelas AB ; , angulus exterrius RGD-mierit-axis opposito ad easdem partes GΗD. Cum enim per hoc theorema duo ans li BGΗ, GHD valeant duos rectos, aequales erunt duobus
. EGB, BGH, qui duos itidem rectos adseuant d, . Igitur ablato communi angulo BGH, erit reliquus EGB reliquo GHD aequalis se .
c OROLLARIUM A. Recta incidens in duas rectas parallelas alterata angulos. aquales esscit . . .
a s Ut si duae AB, CD, in quas recta incidit EF, paralle
lae fuerint, anguli alterni AGH, GHD erunt aequales. E enim
36쪽
enim duo anguli BGH, GH D, utpote aequales duobus re- mg.r . diis aequales sunt duobus AGH, BGH, qui pariter duos re-I 'li: ctos adaequant sa). Demto igitur communi BGH, erit re- p. 1s.liquus AGH reliquo GHD aequalis b . ιib. COROLLARIUM III. Recta uni parallelarum perpendicularis alteri quoque est perpendicularis.16 Ut si recta a b perpendicularis fuerit rectar CD , cui parallela si recta AB, erit quoque ipsi M perpendicularis.
Cum enim per Me theorema duo anguli ea b, ab d valeant duos' 'rectos, quemadmodum etiam duo Αab, Cba, nequit angulus abd, sicuti etiam angulus ab C, esse rectus, quin rectus quoque sit uterque angulus Αab, ea b ; ac proinde non potest recta ab ad perpendiculum incumbere recis CD , quin Pariter rectae AB ad perpendiculum insistat G. , T II E O R E M A IV.
1 Duae rectae lineae M , EF parallelae sint eidem rectae Eueliis. CD. Dico, rectas AB, EF inter se quoque esse parallelas.
Quoniam ex hypothesi duae AB, CD sunt parallelae, duo anguli interni ab easdem partes BbH, b HD producti a recta incidente b K, aequales erunt duobus rectis d . Eadem ratione duo similiter DΗΚ , ΗΚP duos rectos aequabunt. Quatuor igitur anguli BbH, bΗD, DI K, Η aequales erunt quatuor rectis. Duo autem bH D, DΗΚ valent duos pl. .. rectos e . Ergo reliqui duo Bb Κ, b KF duobus rectis ae . TA I. D qua
37쪽
quales erunt. Sunt autem interni ad easdem partes : Ergo duae rectae ΑΒ , ta sunt parallela: a . Igitur quae eidem rectae &α quod erat ostendendum.
QM uni rectarum paratularum di piariatiis, alteri quoque est parallela.
,3 sint duae rectae parallelae AB, CD , quarum uni CD parallela sit recta M. Dico, rectam EF alteri quoque Messe pacissitim.
Cum enim ex hypothesi angulus DΗΚ sit aequalis angulo BbH η, erunt duo BbK, i ΚF aequales duobus -Κ, autem duo anguli DΗΚ, H aequales duobus rectis e , quod rectae CD, EF positae sint parallelae. Ergo duo similiter anguli BbK , b KF duobus rectis aequales erunt d . Sunt autem interni ad easdem partes. Ergo duae EF, ΑΒ erunt parallela: ce . Igitur quae uni recta
38쪽
De triangulis planis rectilineis. A Lineis ad se perficiem, quae est secunda species quant,
talis continuae permanentis, gradum racimus. Haec figuras omnes planas complectitur. Quoniam vero omnium figurarum, quae pluribus lineis continentur, max, me simplex triangviam est, ejusque cognitio ad caeterarum symptomata demonstranda requiritur, triareulorum naturam, di affectiones priori loco exponemus.
x C U Getes est metvitudo duplisi tantummodo dimensine, is si dimis nem , in Iariodisis, praedita . Quae diximus
de punm, & sima, de superficie quoque intelligenda sunt, videlicet supreficiem haberi, si in corporibus ad longitudinem,& latitudinem dumtaxat attentio fiat. Hinc Proclus,supere festi , inquit, cognitionem nos habere dicunt , eum agros dimet, mar , eorumque extremitates juxta longitudinem, σ latitudinem distinguimaes. Sensum vero quemdam ea pere , umbras inspicientes. camen i astaec studinesu , eoquod interiorem terra partem penetrare non possum, longi dinem tantumatque latitudinem habent.
SCHOLIOR.x Divisio superficiei est in sanam, eumvam, de mixtam, ut de linea diximus, eodemque modo Laecsupersisterum genera explicantur. D L DEFI-
39쪽
Eleurentorum DEFINITIO U. 283 Figura generatim sumta est magnitudo pluribus dimensis nibus praedita , undique clauis . Dicitur pluribus dimensionibus praedita, ut linea finita a figurarum serie excludatur . Sicuti ergo duo tantum sunt genera magnitudinum, quae plures dimensiones habent, superficies nimirum, corpus, ita duo tantum sunt prima figurarum genera , scilicet figurati solida. OROLLARIUM. Repugnat extensio figurata, quae sit infinita. Infinitum enim est, quod caret terminis. Figura vero necessario postulat, ut terminis comprehendatur.
GFmetricarum figurarum praestantia tanta est, ut, RVitruvio credimus, cum Aristippus ad Rhodiensium littus naufragio ejectus, Geometrica schemata conspexisset, laetus
6 Figura plana est superficies tina , ves pluribus lineis te minata . Porro licet etiam superficies curma, & mixta una , vel pluribus lineis undique contineri queat ; attamen Rura plana non dicitur, nisi plana superficies undique clausa. S c Η O L I O
Habita ratione linearum , quibus figura plana terminatur , dividi solet Agura plasa in restilineam , curvilineam , ω
40쪽
8 Figura plana rectilinea est illa, quae rectis lineis terminatur. curvilinea, qua una tantum , vel pluribus lineis curvisi mixti- Fina . linea vero, qua partim recta, partim curva linea eo νebenditur. , ε : Figura plana rectilinea est ABC , curvilinea ED i mixta ve- T. .. I. ro de B.
DEFINITIO Rs Laura figura dicuntur illa linea , quibus ipsa figura eontis ,-tur. Sic tres rectae lineae M , BC , in sunt latera figurae Tatar
Io Perimeter figurae , qui etiam illius ambitus dicitur , sunt Omnes illa linea simul sumta , quisus figura clauditur . Sic tres FIg.a . lineae BC, CA, si sumantur simul, sunt perimeter figu- 'τα rectilineae ABC . Curva quoque linea CAED est perimen '' ter figurae curvilineae CAED.
II inea figura totum illud spatium vocatur, quia figura peri metro comprehenditur. Sic area figurae ΑΒ C est spatium com mea . tentum tribus rectis AB, BC, CA, quae ipsius figura: per, metrum constituunt.
DEFINITIO VIII. I 2 Bases figurae rectilinea es illud latus , eui figura ipsa insistit. Talis est latus EF in Rura DEF. Illi namque figura DEPincumbit.